MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1.. Dùng định nghĩa: Để chứng minh BĐTA B< ta chứng minh BĐT tương đương A B-... SỬ DỤNG MỘT SỐ BĐT THÔNG DỤNG 1.. Bất đẳng thức Cô-si Cauc
Trang 1Bổ trợ kiến thức Toán 10CB “Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh” Feb|2011
Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com – 0939239628 – Phiên bản 1.0 1
Bổ trợ kiến thức, chủ đề:
BẤT ĐẲNG THỨC
I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1 Dùng định nghĩa:
Để chứng minh BĐTA B< ta chứng minh BĐT tương đương A B- <0
Tóm lại: A B< Û - <A B 0
Ví dụ: Chứng minh rằng nếu 2 số a, b thỏa điều kiện ab>0 thì a b 2
b a+ ³
2 Dùng phép biến đổi tương đương
Để chứng minh BĐT A1 <B1 ta có thể dùng phép biến đổi tương đương:
1 1 2 2 3 3 n n
A <B Û A <B Û A <B Û Û A <B
Trong đó BĐT thức sau cùng A n <B n đúng, thì BĐT A1<B1 được chứng minh
Ví dụ: Cho a c b c c> , > , >0chứng minh BĐT c a c( - +) c b c( - )£ ab
3 Phương pháp phản chứng
Xem lại cách chứng minh bằng phương pháp phản chứng (đã gửi lần trước)
Ví dụ: Chứng minh rằng với a b c d, , , là các số không âm thì:
(a c b d+ )( + ) ³ ab+ cd
4 Phương pháp quy nạp toán học (sẽ học năm lớp 11)
BÀI TẬP
1 Chứng minh các BĐT sau:
1 2
a
a
a £ "
+
b) Nếu a b+ ³0,a¹0,b¹0 thì a2 b2 1 1
b +a ³ +a b
a b c+ + £ a +b +c
với a,b,c là các số không âm
5 Sử dụng tính chất của tỉ số
Cho a, b, c là các số dương Khi đó, ta có các tính chất sau:
b < thì a a c
+
<
+
b > thì a a c
+
>
+
+
+
6 Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai
Thuật ngữ: Bất Đẳng Thức Trong tiếng Anh là inequality
ɔ
Trang 2Bổ trợ kiến thức Toán 10CB “Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh” Feb|2011
Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com – 0939239628 – Phiên bản 1.0 2
II SỬ DỤNG MỘT SỐ BĐT THÔNG DỤNG
1 Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy)
BĐT Cauchy chỉ áp dụng cho những số không âm
Cho hai số:
2
a b
ab
+ ³
dấu “=” xảy ra khi a=b
3
a b c
abc
+ + ³
dấu “=” xảy ra khi a=b=c
1 2
n
a a a n
³ dấu “=” xảy ra khi a1=a2 = = a n
Ví dụ: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
1 1 1
a b c
+ + ç + + ÷³
2 Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Bất đẳng thức Bunhiacopski có thể áp dụng cho mọi số thực
1 1 2 2 1 2 1 2
(a b +a b ) £(a +a b)( +b )
1 2
b = b
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
(a b +a b +a b) £(a +a +a b)( +b +b )
1 2 3
a
b = b =b
Tổng quát cho n cặp số tùy ý a b a b1, ; , ; ; ,1 2 2 a b n n:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
(a b +a b + + a b n n) £(a +a + + a n)(b +b + + b n)
1 2
n n
a
b =b = = b
Ví dụ: Cho 2 số a, b thỏa mãn 3a+4b=7 Chứng minh rằng: 3a2 +4b2 ³7
BÀI TẬP
1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
ab
a b
ab
+ ³ + với a, b là hai số dương
b) a b- +1 b a- £1 ab với a³1, b³1
æ + öæ + öæ + ö³
d) a3+ +b3 c3 ³a bc b2 + 2 ac c+ 2 ab với a,b,c là các số dương
2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x= (1 2 )- x với 0 1
2
x
£ £
2
x
- với x>2
4 Với 0£ £x 3,0£ £y 1 hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
C = -(3 x)(1-y)(4x+7 )y