Đường tròn định hướng và cung lượng giác: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.. Một điểm M
Trang 1 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1 Tia, góc hình học và cung hình học:
x O
Tia là hình gồm điểm O và một
phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O
được gọi là tia gốc O
O
y
x
Hai tia Ox, Oy tạo thành một góc xOy
Đơn vị đo góc là "độ"
B
Hai điểm A, B nằm trên đường tròn tâm O tạo thành hai cung hình học: cung lớn AB và cung nhỏ AB
Đơn vị đo cung cũng là "độ"
Cung bằng nửa đường tròn có số đo là 1800
2 Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 0 đến 180 0 :
Với mỗi góc (00 1800) ta xác định một
điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM
bằng và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0) Khi đó
ta định nghĩa:
sin của góc là x0, kí hiệu sin = y0;
côsin của góc là x0, kí hiệu cos = x0;
tang của góc là
0
0
x
y (x0 ≠ 0), kí hiệu tan =
0
0
x
y ;
côtang của góc là
0
0
y
x (y0≠0), kí hiệu cot =
0
0
y
x
x 0
y 0
M
1 -1
1
R = 1
O
y
x
CHƯƠNG VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC
CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Trang 2§1 CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC
I- KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1 Đường tròn định hướng và cung lượng giác:
Đường tròn định hướng là một đường tròn
trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi
là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm
Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay
của kim đồng hồ làm chiều dương
-+
A
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B Một điểm M duy động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B
Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB
* Chú ý:
Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì:
Kí hiệu AB chỉ một cung hình học (cung lớn hoặc cung bé) hoàn toàn xác định Kí hiệu AB chỉ một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B
2 Góc lượng giác:
Trên đường tròn định hướng cho điểm M
chuyển động từ C tới D tạo một cung lượng
giác CD Khi đó tia OM quay xung quanh gốc
O từ vị trí OC tới vị trí OD tạo nên một góc
lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD
Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD)
D
C
Trang 33 Đường tròn lượng giác:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn
định hướng tâm O bán kính R = 1
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn
điểm A(1 ; 0), A’(-1 ; 0), B(0 ; 1), B’(0 ; -1) Ta
lấy A(1 ; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó
Đường tròn được xác định như trên được gọi
là đường tròn lượng giác (gốc A)
y
x +
B'(0; -1) A'(-1; 0)
B(0; 1)
A(1; 0)
O
II- SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1 Độ và rađian:
a) Đơn vị rađian: ngoài đơn vị độ thường được sử dụng, trong Toán học và Vật lý
ta còn sử dụng một đơn vị đo cung và góc khác nữa là rađian (đọc là ra–đi-an) Viết tắc là rad
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo
1 rad
b) Quan hệ giữa độ và rađian:
rad
180
180
1 rad
Với 3 , 14 thì 10 0 , 01745 và 1rad 57017 ' 45 "
* Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, ta thường không
viết chữ rad sau số đo đó Chẳng hạn cung
2
được hiểu là cung
2
rad
Bảng chuyển đổi thông dụng:
Độ 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
c) Độ dài của một cung tròn:
Cung có số đo rad của đường tròn bán kính R có độ dài: l = R
2 Số đo của một cung lượng giác:
Số đo của một cung lượng giác AM (A ≠ M) là một số thực, âm hay dương
Kí hiệu số đo của cung AM là sđAM
Trang 4* Chú ý:
Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm
cuối sai khác nhau một bội của 2
Ta viết: SđAM = + 2k, k Z , trong đó là số đo của
một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A điểm cuối là M
Khi M trùng A ta có: sđAA = k2, k Z; khi k = 0 thì
sđAA = 0
Nếu viết số đo bằng độ ta có:
SđAM = a0 k360 0 , kZ
trong đó a0 là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm
đầu là A và điểm cuối là M
M
3 Số đo của một góc lượng giác:
Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng
* Chú ý: Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại,
đồng thời số đo của các cung lượng giác và các góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi nói cung thì điều đó cũng đúng với góc và ngược lại
D
A
O
y
x
P
E
B
B'
O
x y
3 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:
Để biểu diễn cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A(1 ; 0) làm điểm đầu của cung, vì vậy chỉ cần xác định điểm cuối M trên đường tròn lượng giác sao cho cung AM có sđ AM =
Trang 5§2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
I- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG
1 Định nghĩa:
Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđAM =
y
x O
B'
B
A A'
M
H
K
Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của và kí hiệu là sin
sin = OK
Hoành độ x = OH của điểm M gọi là côsin của và kí hiệu là cos
cos = OH
Nếu cos ≠ 0 thì tỉ số
cos
sin gọi là tang của và kí hiệu là tan (hoặc tg)
tan = cossin
Nếu sin ≠ 0 thì tỉ số
sin
cos gọi là côtang của
và kí hiệu là cot (hoặc cotg)
cot =
sin cos
Các giá trị sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung Trục tung còn được gọi là trục sin, trục hoành còn được gọi là trục côsin
* Chú ý: Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác Nếu
01800 thì các giá trị lượng giác của góc chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK hình học 10
2 Hệ quả:
sin và cos luôn xác định R, và
sin( + k2) = sincos( + k2) = cos
Vì -1 OK 1, -1 OH 1 nên ta có:
- 1 sin 1 (sin 1)
- 1 cos 1 (cos 1)
Với mọi mR mà -1m1 đều tồn tại và sao cho sin= m và cos = m
tan xác định khi k
2 ; cot xác định khi k
Trang 6 Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM
3 Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:
0 (00) 6 (300) 4 (450) 3 (600) 2 (900)
II- Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG
i 1 M
t'
t
x y
T H
K
B'
B
A
tan = AT
tan được biểu diễn bởi độ dài đại số
của vectơ AT trên trục t'At
Trục t'At được gọi là trục tang
S M
x y
T H K
B'
B
A
cot = BS
cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s'As Trục s'As được gọi là trục côtang
* Chú ý:
tan( + k) = tank cot( + k) = cotk
Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV
+
+ + +
+ +
-+ + +
y
A'
B'
B
A
M K
H
IV III
Trang 7III- QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
1 Công thức lượng giác cơ bản:
2
cos
1 tan
2 , k Z)
2
sin
1 cot
1 ( k, k Z) tan.cot = 1 (
2
k , k Z)
2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
a) Cung đối nhau: - và :
Ta có: M và M' đối xứng qua trục x'Ox và:
sin(-) = -sin
cos(-) = cos
tan(-) = -tan
sđAM =
H
M' -
y
x O
B'
B
A A'
M
b) Cung bù ( - và ):
Ta có: M và M' đối xứng qua trục y'Oy, và:
sin( - ) = sin
cos( - ) = -cos
tan( - ) = -tan
cot( - ) = -cot
sđAM'= -
sđAM =
K
M'
-
y
x O
B'
B
A A'
M
c) Cung hơn kém ( + và ):
Ta có: M và M' đối xứng nhau qua gốc O, và:
sin( + ) = -sin
cos( + ) = -cos
tan( + ) = tan
cot( + ) = cot
H'
sđAM'= +
sđAM =
H
M'
+
y
x O
B'
B
A A'
M
d) Cung phụ nhau (90 0 - và ):
Ta có: M và M' đối xứng nhau qua đường phân giác y=x,
và:
sin(
2
- ) = cos
cos(
2
- ) = sin
tan(
2
- ) = cot
cot(2 - ) = tan
K' K
H'
sđAM'=
2 -
sđAM =
H
M'
y
x O
B'
B
A A'
M
Trang 8LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
1 Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho (OA OM, ) Giả sử M x y( ; )
x OH
y OK
cos sin
sin tan
cos cot
sin
Nhận xét:
tan xác định khi k k Z,
2
cot xác định khi k k Z ,
2 Dấu của các giá trị lượng giác
3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
cosin
O
cotang
H A
M
K B S
T
Phần tư
0
6
4
3
2
3
4
2
2
00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600
2
2 2
3
3 2
2
2
2 2
1
1 2
2
3 3
Trang 94 Hệ thức cơ bản:
5 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm
nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ
giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết
I Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
cos
tan
Góc hơn kém Góc hơn kém
2
2
2
2
2
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
2
2
2
2
Trang 102 Cho biết cos, tính sin, tan, cot
cos
tan
tan
2
1 cos
1 tan
2
1 cos
1 tan
2
1 cos
1 tan
cot
2
1 sin
1 cot
2
1 sin
1 cot
2
1 sin
1 cot
II Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
thức
III Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:
A3B3 (A B A )( 2AB B 2) A3B3 (A B A )( 2AB B 2)
IV Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính
VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết)
Trang 11VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác
Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng
giác Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:
A B C và A B C
Trang 12§3 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I- CÔNG THỨC CỘNG
Với mọi số thực a, b và các biểu thức đều có nghĩa, ta có:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
sin(a + b) = sinacosb + cosasinb
b a
b a
b a
tan tan 1
tan tan
) tan(
b a
b a
b a
tan tan 1
tan tan
) tan(
II- CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
Với mọi số thực a, ta có:
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos2a - sin2a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2sin2a
a tan 1
2tana 2
a
Công thức hạ bậc:
2
2 cos 1
a sin 2 1 cos2 2a
2 cos 1
2 cos 1
III- CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH
1 Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosacosb =
2
1[cos(a + b) + cos(a - b)]
sinasinb
=-2
1[cos(a + b) - cos(a - b)]
sinacosb =
2
1[sin(a + b) + sin(a - b)]
2 Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosu + cosv = 2cos
2
v
u cos
2
v
u cosu - cosv = -2sin
2
v
u sin
2
v
u
sinu + sinv = 2sin
2
v
u cos
2
v
2
v
u sin
2
v
u