Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV CHƯƠNG I.. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC... PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN... Chú ý: Đồi với các phương trình 2 sin sin cos 0 sin c
Trang 1 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1 Các giá trị lượng giác của cung (góc) :
sin luôn xác định R và sin( + k2) = sin
cos luôn xác định R và cos( + k2) = cos
- 1 sin 1 (sin 1) - 1 cos 1 (cos 1)
tan xác định khi k
2 và tan(k) = tan;
cot xác định khi k và cot( + k) = cot
Dấu của các giá trị lượng giác của góc
2 Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt:
0 (00) 6 (300) 4 (450) 3 (600) 2 (900)
3 Công thức lượng giác cơ bản:
2
2
cos
1 tan
1 ( k
2 , k Z)
2
2
sin
1 cot
1 ( k, k Z) tan.cot = 1 (
2
k , k Z)
Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV
CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Trang 24 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
Cung đối:(-) và
sin(-) = -sin
cos(-) = cos
tan(-) = -tan
cot(-) = -cot
Cung bù:(-) và sin( - ) = sin
cos(-) = -cos
tan(-) = -tan
cot(- ) = -cot
Cung phụ:(
2
-) và sin(
2
-) = cos
cos(
2
- ) = sin
tan(
2
- ) = cot
cot(
2
- ) = tan
Cung hơn kém : (+) và
sin( + ) = -sin cos( +) = -cos tan( + ) = tan cot( + ) = cot
5 Các công thức lượn giác thường sử dụng:
Công thức cộng:
cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
sin(a-b) = sinacosb - cosasinb
sin(a+b) = sinacosb + cosasinb
b a
b a
b
a
tan tan 1
tan tan
)
tan(
b a
b a
b
a
tan tan 1
tan tan
)
tan(
Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a - sin2a = 2 cos2a - 1 = 1 - 2sin2a
a tan 1
2tana 2
a
Công thức hạ bậc:
cos 2a1cos2 2a
sin 2a1cos2 2a
a
a a
2 cos 1
2 cos 1 tan 2
Công thức biến tích thành tổng:
cosacosb =
2
1 [cos(a + b) + cos(a - b)]
sinasinb
=-2
1[cos(a + b) - cos(a - b)]
sinacosb =
2
1[sin(a + b) + sin(a - b)]
Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosu + cosv = 2cos
2
v
u cos
2
v
u
cosu - cosv = -2sin
2
v
u sin
2
v
u
sinu + sinv = 2sin
2
v
u cos
2
v
u
sinu - sinu = 2cosu 2vsinu 2v
Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina - 4sin3a cos3a = 4cos3a - 3cosa
Công thức sina + cosa:
sina + cosa = 2sin(a +
4
4
) sina + cosa = 2cos(a
-4
4
)
Trang 3§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I- ĐỊNH NGHĨA:
1 Hàm số sin và hàm số côsin:
a) Hàm số sin:
x
y
x
sinx
B' A'
B
M
x
y
x
O
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx
sin: R R
x y = sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx
Tập xác định của hàm số sin là: D = R
b) Hàm số côsin:
x
y
x
cosx
B' A'
B
O
A M
x
y
cosx
x O
M''
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx
cos: R R
x y = cosx
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx
Tập xác định của hàm số côsin là: D = R
Trang 42 Hàm số tang và hàm số côtang:
a) Hàm số tang: Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức
y =
x
x
cos
sin (cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx
Tập xác định của hàm số y = tanx là: D = R\{
2
+ k, k Z}
b) Hàm số côtang:
Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y =
x
x
sin
cos (sinx ≠ 0), kí hiệu là y = cotx
Tập xác định của hàm số y = cotx là: D = R\{k, k Z}
* Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn, từ đó
suy ra các hàm số y = tanx và y = cotx đều là những hàm số lẻ
II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2
Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2
Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì
III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
1 Hàm số y = sinx:
Hàm số y = sinx xác định với mọi x R và -1 sinx 1;
Là hàm số lẻ;
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2
a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]:
sinx 2
sinx 1
1
x 1
x 2
x 3
x 4
sinx 2
sinx 1
y
x x
y
2
x 4
x 3
x 2
x 1
A'
B'
A
B
O O
Hàm số y = sinx đồng biến trên [0;
2
] và nghịch biến trên [
2
; ]
Bảng biến thiên:
x 0 2
y = sinx
1
0 0
Trang 5* Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên lấy
đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; ] qua gốc
tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [-; 0]
2
- 2
-
-1
1
y
b) Đồ thị hàm số y = sinx trên R:
2
2 5
2
3
2
- 3
2
- 5
2 -2
2
-
-
-1
1
y
c) Tập giá trị của hàm số y = sinx:
Tập giá trị của hàm số y = sinx là T = [-1; 1]
2 Hàm số y = cosx:
Hàm số y = cosx xác định với mọi x R và -1 cosx 1;
Là hàm số chẵn;
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2;
Hàm số y = cosx đồng biến trên [-; 0] và nghịch biến trên [0; ]
Bảng biến thiên:
x - 0
y = cosx 1
-1 -1
Đồ thị hàm số y = cosx:
2
3
2
- 3
2
- 5
2
-
-
-1
1
y
Tập giá trị của hàm số y = cosx là T = [-1; 1]
Đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin
Trang 63 Hàm số y = tanx:
Tập xác định: D = R\{ k
2 , k Z};
Là hàm số lẻ;
Là hàm số tuần hoàn với chu kì ;
a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0;
2
):
tanx 1 tanx 2
x 2
x 1
2 A
B
B' A'
M 2
M 1
T 2
T 1
y
x
O O
Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0;
2
)
Bảng biến thiên:
x - 4 2
y = tanx
+
1
0
* Nhận xét: Khi x càng gần
2
thì đồ thị hàm số y=tanx càng gần đường thẳng x=
2
b) Đồ thị hàm số y = tanx trên D:
Đồ thị hàm số y = tanx trên )
2
; 2 ( :
2
y
Trang 7 Đồ thị hàm số y = tanx trên D:
-3
2
3
2
-
2
-2
y
Tập giá trị của hàm số y = tanx là T = (-; +)
4 Hàm số y = cotx:
Tập xác định: D = R\{k, k Z};
Là hàm số chẵn;
Là hàm số tuần hoàn với chu kì ;
a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; ):
Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0; )
x 0 2
y = tanx + 0
-
2
y
b) Đồ thị hàm số y = cotx trên D:
2
-2 -3
2
3
2
2
-2
y
Tập giá trị của hàm số y = cotx là T = (-; +)
Trang 81 Phương trình sinx = a:
Xét phương trình sinx = a (a R) (1)
Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm
Trường hợp a 1:
2
2
Z k k x
k x
sinx=a
) ( 2 arcsin
2 arcsin
Z k k a x
k a x
côsin
sin
a
-1
-1
1
1
K M'
B' A'
B
O
A M
* Chú ý:
] sin ) ( [sin
sin ) ( sin
0
x u
x
] 360 180
[ 2 )
(
] 360 [
2 )
(
0 0
0
0 0
Z k k
k x
u
k k
x u
sinu(x) = a
(-1 a 1)
) ) ( (sin
) ( sin
a x u
a x u
] 360 arcsin
180 [ 2 arcsin )
(
] 360 [arcsin
2 arcsin )
(
0 0
0
Z k k
a k
a x
u
k a k
a x
u
2 ) ( )
(
2 ) ( ) (
Z k k x g x
f
k x g x f
Đặc biệt: sin[f(x)] = 1 f(x) =
2
+ k2, k Z sin[f(x)] = 1 f(x) =
-2
+ k2, k Z sin[f(x)] = 0 f(x) = k, k Z
2 Phương trình cosx = a:
Xét phương trình cosx = a (a R) (2)
Trường hợp a > 1: phương trình (2) vô nghiệm
Trường hợp a 1:
2
2
Z k k x
k x
cosx = a
) ( 2 arccos
2 arccos
Z k k a x
k a x
côsin
sin
a -1
-1
1 1
H
M' B' A'
B
O
A M
* Chú ý:
§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Trang 9
] cos ) ( [cos
cos ) ( cos
0
x u
x
] 360 [
2 )
(
] 360 [
2 )
(
0 0
0 0
Z k k
k x
u
k k
x u
cosu(x) = a
(-1 a 1)
] ) ( [cos
) ( cos
a x u
a x u
] 360 arccos
[ 2 arccos )
(
] 360 [arccos
2 arccos )
(
0
0
Z k k
a k
a x
u
k a k
a x
u
2 ) ( ) (
2 ) ( ) (
Z k k x g x f
k x g x f
Đặc biệt: cos[f(x)] = 1 f(x) = k2, k Z
cos[f(x)] = -1 f(x) = + k2, k Z cos[f(x)] = 0 f(x) =
2
+ k, k Z
3 Phương trình tanx = a:
tanx = tan x = + k, k Z [x = 0 + k180 0 , k Z]
tanx = a x = arctana + k, k Z [x = arctana + k180 0 , k Z]
* Chú ý: tan[u(x)] = tan u(x) = + k, k Z [u x) = 0 + k180 0 , k Z]
tan[u(x)] = a
tan[u(x)] = a ux) = arctana + k, k Z [u x) = arctana + k180 0 , k Z]
Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)] f(x) = g(x) + k, k Z
Đặc biệt: tan[u(x)] = 0 u(x) = k, k Z
4 Phương trình cotx = a:
cotx = cot x = + k, k Z [x = 0 + k180 0 , k Z]
cotx = a x = acrcota + k, k Z [x = acrcota + k180 0 , k Z]
* Chú ý:
cot[u(x)] = cot u(x) = + k, k Z [u x) = 0 + k180 0 , k Z]
cot[u(x)] = a
cot[u(x)] = a ux) = acrcota + k, k Z [u x) = acrcota + k180 0 , k Z]
Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)] f(x) = g(x) + k, k Z
Đặc biệt: cot[u(x)] = 0 u(x) =
2
+ k, k Z
Trang 10I PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
DẠNG 2
0
at bt c (a 0), với t là một hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx, cotx, …)
II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x
DẠNG asinx bcosx c (a2b2 0)
- Chia hai vế của phương trình cho 2 2
a b , phương trình trở thành
- Vì
a b
, ta có phương trình tương đương :
sin cosx cos sinx c
a b ;
- Áp dụng công thức cộng, ta được phương trình
a b
Nhận xét
- Phương trình asinx bcosx c có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2
- Các phương trình asinx bcosx c, acosx bsinx c cũng được giải tương tự
III PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x
0
a b c )
- Xét xem
2
x k có thỏa phương trình không ;
- Với
2
x k (cosx 0), chia hai vế của phương trình cho 2
cos xđể đưa về phương trình theo tan x
Chú ý: Đồi với các phương trình 2
sin sin cos 0
sin cos cos 0
giải bằng cách đưa về phương trình tích
- Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi, phương trình thuần nhất bậc hai được chuyển thành phương trình bậc nhất theo sin 2x và cos 2x
sin sin cos cos
§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
THƯỜNG GẶP
