LT HÌNH học 11 CHƯƠNG III véc tơ TRONG KG

Phép nhân vectơ với một số: Trong không gian, tích của vectơ a với một số k ≠ 0 là vectơ ka được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã

CHƯƠNG III VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Vectơ:

 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng được đặc trưng bởi: phương, chiều và độ lớn

Đường thẳng chứa vectơ a được gọi là giá của vectơ a

 Độ dài của vectơ AB, kí hiệu AB ABBA

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

 Hai vectơ a và b



được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu a b



 Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, vectơ đối

của vectơ a, kí hiệu là -a Ta có:ABBA

2 Quy tắc hình bình hành và quy tắc ba điểm:

Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì:ABAD AC

Quy tắc ba điểm: cho ba điểm A, B, C bất kì ta có

 ABBC AC  ABAC CB

3 Các tính chất của phép cộng vectơ:

Cho ba vectơ a,b,c bất kì, ta có:

 abba  (ab) ca (bc)  a 0 0aa

4 Phép nhân một số với một vectơ:

Định nghĩa: Cho số k  0 và vectơ a  0 

Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là ka, cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài

bằng ka

Tính chất: Với hai vectơ a và b



bất kì, với mọi số h và k, ta có:

 k(a b

 ) = k a k b





 h(ka) = (hk)a 1.a = a, (-1).a = -a

5 Một số tính chất thường gặp:

 Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi 0 



IB

IA  Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi 0 





GB GC

 Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: MAMB 2MI

 Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:

MG MC

MB

MA   3

 Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b

(b

 0 

) cùng phương là có một số k để

a = kb

 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB k AC

 Cho hai vectơ a và b

không cùng phương Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b



, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho x a k b





§1 VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

I- ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TÓAN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:

Cho đoạn thẳng AB trong không gian Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B

ta có một vectơ, được kí hiệu là AB

1 Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB chỉ

vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ còn được kí hiệu là a,b,x,y ,…

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng

phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, … được

định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng

2 Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian:

 Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp

ABCD.A’B’C’D’ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là

AB, AD, AA’ và có đường chéo là AC’ Khi đó ta

có quy tắc hình hộp là:

'

' AC

AA AD

AB  

3 Phép nhân vectơ với một số:

Trong không gian, tích của vectơ a với một số k ≠ 0 là vectơ ka được định nghĩa

tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét

trong mặt phẳng

II- ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ:

1 Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian:

Trường hợp các đường thẳng OA,

OB, OC không cùng nằm trong một mặt

phẳng, khi đó ta nói rằng ba vectơ a ,,b c

không đồng phẳng

c

b

a O

C

B A

Trường hợp các đường thẳng OA, OB,

OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta

nói ba vectơ a ,,b c đồng phẳng

A

B C O

c

* Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói

trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O

D'

C' B'

B

C A'

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

2 Định nghĩa:

Trong không gian ba vectơ được

gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng

b

c b

a a O



3 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

Định lí 1: Trong không gian cho hai vectơ a b, không cùng phương và vectơ c

Khi đó ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c= m a b

Ngòai ra cặp số m, n là duy nhất

Định lí 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a, b, c Khi đó với

mọi vectơ x ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho xm a b p c Ngòai ra bộ

ba số m, n, p là duy nhất

1 Định nghĩa và các phép toán

 Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng

hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng

 Lưu ý:

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC 

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC 

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: AB AD AA  '  AC'

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O

tuỳ ý

Ta có: IA IB  0; OA OB  2OI

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý

Ta có:

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý

Ta có:

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b cùng phương a(  0)   !k R b ka: 

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý Ta có:

1

OA kOB

MA kMB OM

k





2 Sự đồng phẳng của ba vectơ

 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với

một mặt phẳng

 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b c, , , trong đó a và b không

cùng phương Khi đó: a b c, , đồng phẳng ! m, n  R: c ma nb 

 Cho ba vectơ a b c, , không đồng phẳng, x tuỳ ý

Khi đó: ! m, n, p  R: x ma nb pc  

3 Tích vô hướng của hai vectơ

 Góc giữa hai vectơ trong không gian:

AB u AC v ,   ( , )u v BAC (0 0 BAC 180 ) 0

 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

+ Cho u v,  0 Khi đó: u v u v  cos( , )u v

+ Với u 0hoặc v 0 Qui ước: u v  0

+ u v u v  0

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ

Dựa vào qui tắc các phép toán về vectơ và các hệ thức vectơ

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng

Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

 Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các

cách:

+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng

+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

Nếu có m, n  R: c ma nb  thì a b c, , đồng phẳng

 Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ a b c, , không đồng phẳng, ta tìm các số

m, n, p sao cho: x ma nb pc  

VẤN ĐỀ 3: Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

§2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUƠNG GĨC

I- TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:

1 Góc giữa hai vectơ trong không gian:

Định nghĩa: Trong không gian, cho u vàv là

hai vectơ khác vectơ - không Lấy một điểm A bất

kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB u, AC v

Khi đó ta gọi góc BAC (00  C  1800) là góc

giữa hai vectơ u vàvtrong không gian, kí hiệu là

(u ,v)

v

u

 A

B

C

2 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

Định nghĩa: Trong không gian cho hai vectơ u và v đều khác vectơ - không Tích

vô hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu là u v , được xác định bởi công thức:

) , cos(

.v u v u v

u     

Trường hợp u= 0 hoặc v= 0 ta quy ước u.v= 0

II- VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

1 Định nghĩa: Vectơ a khác vectơ – không được

gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của

vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d

a d

2 Nhận xét:

 Nếu a là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ k a với k0 cũng là

một vectơ chỉ phương của d

 Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một

điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương a của nó

 Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng

phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương

III- GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:

1 Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b

trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’

cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b b'

a'

b

a

O

2 Nhận xét:

 Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một

trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng

còn lại

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

 Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v là vectơ chỉ phương của

đường thẳng b và ( v u , )=  thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  nếu 00   900

và bằng 1800 -  nếu 900 < 1800

 Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00

V- HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC:

1 Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa

chúng bằng 900 Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là ab

2 Nhận xét:

 Nếu u vàv lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì:

ab  u .v  0

 Cho hai đường thẳng song song Nếu một đường thẳng vuông góc với đường

thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia

 Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

0

a là VTCP của d nếu giá của a song song hoặc trùng với d

2 Góc giữa hai đường thẳng:

 a//a, b//b    a b,  a b', '

 Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b, ( , )u v  

,

nếu

a b

nếu

 



 Nếu a//b hoặc a  b thì  a b,  0 0

Chú ý: 0 0  a b,  90 0

3 Hai đường thẳng vuông góc:

 a  b   a b,  90 0

 Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b Khi đó a b u v  0

 Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

1 Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 900

2 Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau

3 Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …)

§3 ĐƯỜNG THẲNG VUƠNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG

I- ĐỊNH NGHĨA:

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng () nếu d vuông góc với

mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ()

Khi d vuông góc với () ta còn nói () vuông góc với d, hoặc d và () vuông góc

với nhau

Kí hiệu: d()

II- ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG:

Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng

thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy

Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó

cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó

III- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một

điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho

trước

d



O

* Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng:

Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của

đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt

M

B A



Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua

một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho

trước



O

IV- LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:

Tính chất 1:

a) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào

vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với

đường thẳng kia

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với

một mặt phẳng thì song song với nhau

b a



Tính chất 2:

a) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng nào

vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt

phẳng kia

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với

một đường thẳng thì song song với nhau



a



Tính chất 3:

a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng () song song

với nhau Đường thẳng nào vuông góc với () thì cũng

vuông góc với a

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng

(không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một

đường thẳng khác thì chúng song song với nhau

b

a



V- PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC:

1 Phép chiếu vuông góc:

Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng ()

Phép chiếu song song theo phương của  lên mặt phẳng

() được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng () A' B'

B A



* Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép

chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song Chú ý rằng

người ta còn dùng tên gọi “phép chiếu lên mặt phẳng ()” thay cho tên gọi “phép

chiếu vuông góc lên mặt phẳng ()” và dùng tên gọi H' là hình chiếu của H trên mặt

phẳng () thay cho tên gọi là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng ()

2 Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng () và

b là đường thẳng không thuộc() đồng thời không

vuông góc với () Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của

b trên () Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a

vuông góc với b’

a

b'

b

B' A'

B A



LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng ()

 Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt

phẳng () thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và

mặt phẳng () bằng 900

 Trường hợp đường thẳng d không vuông góc

với mặt phẳng () thì góc giữa d và hình chiếu d’ của

nó trên () gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt

phẳng ()

* Chú ý: Nếu là góc giữa đường thẳng d và mặt

phẳng () thì ta luôn có 00   900

d

d'

A





1 Định nghĩa

d  (P)  d  a, a  (P)

2 Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

 a b d a d b, ,( ),P a b O   d ( )P





3 Tính chất

 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn

thẳng tại trung điểm của nó

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút

của đoạn thẳng đó

( )a b P a P b

   

 



  ( ) ( )a P ( )P Q  a ( )Q  ( ) ( )( )P P a Q Q,( ) a( )P Q )

   a P b ( )( )P  b a    a a b P( )P,( ) b a P)

4 Định lí ba đường vuông góc

Cho a  ( ),P b ( )P , a là hình chiếu của a trên (P) Khi đó b  a  b  a

5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Nếu d  (P) thì d P,( ) = 900

 Nếu d  ( )P thì d P,( ) =  d d, ' với d là hình chiếu của d trên (P)

Chú ý: 00 d P,( )  900

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P)

 Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P)

 Chứng minh d // a và a  (P)

* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh d  a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a

 Sử dụng định lí ba đường vuông góc

 Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước

VẤN ĐỀ 2: Tìm thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

Phương pháp: Tìm 2 đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã

cho, khi đó mặt phẳng cắt sẽ song song (hoặc chứa) với 2 đường thẳng ấy

VẤN ĐỀ 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp: Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

 Tìm giao điểm O của a với (P)

 Chon điểm A  a và dựng AH  (P) Khi đó AOH  ( ,( ))a P