LT HÌNH học 12 CHƯƠNG III tọa độ KG

Ba vectơ đồng phẳng:  Định nghĩa: Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với mặt phẳng..  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Trong không

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG KHƠNG GIAN

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Điều kiện hai vectơ cùng phương:

Hai vectơ u v

, cùng phương với nhau khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho

v

u  

2 Ba vectơ đồng phẳng:

 Định nghĩa: Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với mặt phẳng

 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Trong không gian cho hai vectơ a b

, không cùng phương và vectơ c Khi đó ba vectơ ab c

, , đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m,

n sao cho c m a n b



 Ngoài ra cặp số m, n là cặp duy nhất

3 Tích vô hướng của hai vectơ:

Trong không gian, cho hai vectơ uvàvđều khác vectơ - không Tích vô hướng của hai vectơ u và vlà một số, kí hiệu là uv

. , được xác định bởi công thức: )

, cos(

.

.

.v u v u v

u     



* Chú ý: u v uv

.

4 Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Vectơ a khác vectơ - không được gọi là vectơ chỉ

phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song song

hoặc trùng với đường thẳng d

* Nhận xét:

 Nếu a là một vectơ chỉ phương của d thì vectơ

a

kvới k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của d

 Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn

được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ

chỉ phương a của nó

 Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi

chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ

phương cùng phương

d a

§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

I- TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ:

1 Hệ tọa độ:

k

z

y

x

O

Trong không gian, cho ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc nhau từng đôi một Gọi i,j,k có i2  j2 k2  1 lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxyz hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz Trong đó:

 Điểm O gọi là gốc tọa độ

 Các mặt phẳng: (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc nhau gọi là các mặt phẳng tọa độ

 i.j  j.kk.i 0

2 Tọa độ của một điểm và tọa độ của một vectơ:

z

y

x

k j i

z

y

x

O

M'

M(x; y; z)

 Trong hệ trục Oxyz, cho điểm M

k j y i x

OM    

Bộ ba số (x; y; z) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục Oxyz

Kí hiệu: M(x;y;z) hoặc M=(x;y;z)

 Trong hệ trụ Oxyz, cho a

k a j a i a

a 1 2 3

Bộ ba số (a1; a2; a3) được gọi là tọa độ của vectơ a đối với hệ trục Oxyz

Kí hiệu: a= (x; y; z) hoặc a(x; y; z)

II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ:

Định lí:

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a (a1;a2;a3), b  (b1;b2;b3) Ta có:

 ab  (a1b1;a2 b2;a3b3),

 ab (a1b1;a2 b2;a3b3),

 k a (ka1;ka2;ka3), k  R

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

Hệ quả:

a) Cho hai vectơ a  (a1;a2;a3), b (b1;b2;b3) Ta có:





















3 3

2 2

1 1

b a

b a

b a b

b) Vectơ 0 ( 0 ; 0 ; 0 ), O(0; 0; 0)

c) Với b  0 thì hai vectơ a,b cùng phương  k  R sao cho a1 = kb1, a2 = kb2,

a3 = kb3

d) Trong không gian Oxyz, nếu cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) thì:

 AB  (x B x A;y B y A;z B z A)

 Tọa độ trung điểm M của AB là M(

2

; 2

;

2 B A B A B

III- TÍCH VÔ HƯỚNG:

1 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:

Định lí: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a (a1;a2;a3)và

)

;

;

(b1 b2 b3

b được xác định bởi công thức a.b a1.b1a2.b2 a3.b3

2 Ứng dụng:

a) Độ dài vectơ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a  (a1;a2;a3)ta có: 2

3

2 2

2

a

a   

b) Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)

AB = AB  (x Bx A) 2  (y By A) 2  (z Bx A) 2

c) Góc giữa hai vectơ: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a (a1;a2;a3),

)

;

;

(b1 b2 b3

b Gọi  là góc giữa hai vectơ a,b

3

2 2

2 1

2 3

2 2

2 1

3 3 2 2 1 1

)

, cos(

b b b a a a

b a b a b a b

a

















* Chú ý: ab a.b 0 a1b1a2b2 a3b3  0

IV- PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:

Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương

trình là:

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2

* Nhận xét: Phương trình dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là phương

trình mặt cầu khi thỏa A 2 + B 2 + C 2 - D > 0, lúc đó mặt cầu có tâm I(-A; -B; -C) và bán

kính r = A2 B2 C2 D

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

r

A B

Mặt cầu qua A có tâm B

I

A

B

Mặt cầu có đường kính AB

A

D B

Mặt cầu qua 4 điểm A,

B, C, D

VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm

– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian

– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian

VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích

– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian

– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian

– Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt

– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:

 A, B, C thẳng hàng  AB AC, cùng phương  AB k AC  AB AC,   0

 ABCD là hình bình hành  AB DC

 Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC trên BC Ta có: EB AB EC

AC.

AC.



 A, B, C, D không đồng phẳng  AB AC AD, , không đồng phẳng 

0

AB AC AD,

VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu

Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu

Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:

(S): (x a ) 2   (y b) 2   (z c) 2 R2

Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A:

Khi đó bán kính R = IA

Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:

–Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:

x   ; y   ; z  

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

– Bán kính R = IA =

2

AB

Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):

– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng:

2 2 2

x y z  ax by cz d  (*)

– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S)

Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:

Giải tương tự như dạng 4

Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:

– Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu (T)

– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)

Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):

2 2 2

x y z  ax by cz d  với 2 2 2

0

a b c  d

thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a2 b2 c2 d

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu

Cho hai mặt cầu S 1 (I 1 , R 1 ) và S 2 (I 2 , R 2 )

 I I1 2 R R1 2  (S 1 ), (S 2 ) trong nhau

 I I1 2 R R1 2  (S 1 ), (S 2 ) ngoài nhau

 I I1 2  R R1 2  (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc trong

 I I1 2 R R1 2  (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc ngoài

 R R1 2 I I1 2R R1 2  (S 1 ), (S 2 ) cắt nhau theo một đường tròn

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu

1 Tập hợp điểm là mặt cầu

Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đó

– Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M Chẳng hạn có dạng:

(x a ) 2   (y b) 2   (z c) 2 R2

hoặc: 2 2 2

x y z  ax by cz d 

– Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có)

2 Tìm tập hợp tâm mặt cầu

– Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn: y g t x f t

z h t

( ) ( ) ( )

 







 



(*) – Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm

– Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có)

§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I- VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG:

Định nghĩa: Cho mặt phẳng () Nếu vectơ n khác 0

và có giá vuông góc với mặt phẳng () thì n được gọi là

vectơ pháp tuyến của mp()

* Chú ý: Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mp()

thì n1k n, (k  0 ) cũng là một vectơ pháp tuyến của mp()

Ví dụ: n  (  6 ;  9 ; 0 ) là vectơ pháp tuyến của mp() thì

1

n = (2; 3; 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của mp() vì

n

n 

3

1

1 

n



* Vectơ vuông góc với cả hai vectơ không cùng phương cho trước:

Trong không gian Oxyz, cho mp() và hai vectơ

không cùng phương a  (a1;a2;a3), b (b1;b2;b3) có giá

song song hoặc nằm trong mp()











2 1

2 1 1 3

1 3 3 2

3

b b

a a b b

a a b b

a a

= (a2b3-b2a3;a3b1-b3a1; a1b2-b1a2)

là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b Kí

hiệu nab hoặc n [a,b ]

 gọi là tích có hướng của hai vectơ a,b

 Vectơ n xác định như trên là một vectơ

pháp tuyến của mp()

a

n b a

b' a'

α

Vectơ có hướng nab

vuông góc với cả hai vectơ

b và

a 

II- PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG:

1 Định nghĩa: Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

* Nhận xét:

 Nếu mặt phẳng () có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là n (A;B;C)

 Mp():







 ( ; ; )

)

;

; ( 0 0 0

0

C B A n tuyến pháp vectơ

z y x M điểm qua đi

 có phương trình A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

b'

b a

a'

n



Mp() song song với giá của hai vectơ a b

,



C

B

Mp() vuông góc đường thẳng BC

n P

n P

B A

P



Mp() chứ AB và vuông góc mp(P)

n Q

Q



Mp() song song mp(Q)

2 Các trường hợp riêng:

a) Mặt phẳng qua gốc tọa độ có dạng: Ax + By + Cz = 0

b) Mặt phẳng song song hoặc chứa Ox có dạng: By + Cz + D = 0

Mặt phẳng song song hoặc chứa Oy có dạng: Ax + Cz + D = 0

Mặt phẳng song song hoặc chứa Oz có dạng: Ax + By + D = 0

c) Mặt phẳng song song hoặc trùng với mp(Oxy) có dạng: Cz + D = 0

Mặt phẳng song song hoặc trùng với mp(Oxz) có dạng: By + D = 0

Mặt phẳng song song hoặc trùng với mp(Oyz) có dạng: Ax + D = 0

d) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

Cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

nằm trên các trục tọa độ

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:    1

c

z b

y a x

C(0; 0; c)

B(0; b; 0)

A(a; 0; 0)

z

y

x

O

III- ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC:

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng

(1): A1x + B1y + C1x + D1 = 0 có vectơ pháp tuyến n1 (A1;B1;C1);

(2): A2x + B2y + C2x + D2 = 0 có vectơ pháp tuyến n2  (A2;B2;C2)

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1 Điều kiện để hai mặt phẳng song song:

























2 1

2 2 2 1

1 1 2

1

2 1 2

1

)

;

; ( )

;

; ( )

//(

)

(

kD D

C B A k C B A kD

D

n k

n 































2 1

2 2 2 1

1 1 2

1

2 1 2

1

)

;

; ( )

;

; ( )

(

)

(

kD D

C B A k C B A kD

D

n k

n 





(1) cắt (2)  n1k n2  (A1; B1; C1)  k(A2; B2; C2)

n 2

n 1

2

1

2 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:

0 ) ( )

( 1  2 n 1n2   A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0

IV- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG:

Định lí: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng () có phương trình Ax+By+Cz+D=0 và điểm M0(x0; y0; z0) Khoảng cách từ điểm M0 đến mp(), kí hiệu là d(M0; ()) được tính theo công thức:

2 2 2

0 0 0

0 ; ( )) (

C B A

D Cz By Ax M

d















1 Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

 Vectơ n 0 là VTPT của () nếu giá của n vuông góc với ()

 Hai vectơ a b, không cùng phương là cặp VTCP của () nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên ()

Chú ý:  Nếu n là một VTPT của () thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT của ()

 Nếu a b, là một cặp VTCP của () thì n a b, là một VTPT của ()

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Ax By Cz D    với A B C 

 Nếu () có phương trình Ax By Cz D    0 thì n ( ; ; )A B C là một VTPT của ()

 Phương trình mặt phẳng đi qua M x y z0( ; ; )0 0 0 và có một VTPT n ( ; ; )A B C là:

A x x(  0) B y y(  0) C z z(  0)  0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

3 Các trường hợp riêng

Chú ý:  Nếu trong phương trình của () không chứa ẩn nào thì () song song hoặc chứa trục tương ứng

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z 1

a b c  

() cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

4 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): A x B y C z D1  1  1  1 0

(): A x B y C z D2  2  2  2  0

 (), () cắt nhau  A B C1: 1: 1 A B C2: 2: 2

 () // ()  1 1 1 1

A B C  D  ()  ()  1 1 1 1

A  B C  D

 ()  ()  A A1 2B B1 2C C1 2 0

5 Khoảng cách từ điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng (): Ax+By+Cz+D = 0

0

Ax By Cz D

d M

,( )     

VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng

Để lập phương trình mặt phẳng () ta cần xác định một điểm thuộc () và một VTPT của nó

Dạng 1: () đi qua điểm M x ; y ; z 0 0 0 có VTPT nA; B;C:

(): A x x0B y y0C z z0 0

Dạng 2: () đi qua điểm M x ; y ; z 0 0 0 có cặp VTCP a b, :

Khi đó một VTPT của () là n a b,

Dạng 3:

() đi qua điểm M x ; y ; z 0 0 0 và song song với mặt phẳng ():Ax+By+Cz + D = 0:

(): A x x0B y y0C z z0 0

Các hệ số Phương trình mặt phẳng () Tính chất mặt phẳng ()

D = 0 Ax By Cz   0 (  ) đi qua gốc toạ độ O

A = 0 By Cz D   0 (  ) // Ox hoặc (  )  Ox

B = 0 Ax Cz D   0 (  ) // Oy hoặc (  )  Oy

C = 0 Ax By D   0 (  ) // Oz hoặc (  )  Oz

A = B = 0 Cz D  0 (  ) // (Oxy) hoặc (  )  (Oxy)

A = C = 0 By D  0 (  ) // (Oxz) hoặc (  )  (Oxz)

B = C = 0 Ax D  0 (  ) // (Oyz) hoặc (  )  (Oyz)

Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:

Khi đó ta có thể xác định một VTPT của () là: n AB AC, 

Dạng 5: () đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:

– Trên (d) lấy điểm A và VTCP u

– Một VTPT của () là: n AM u, 

Dạng 6: () đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):

VTCP u của đường thẳng (d) là một VTPT của ()

Dạng 7: () đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:

– Xác định các VTCP a b, của các đường thẳng d 1 , d 2

– Một VTPT của () là: n a b,

– Lấy một điểm M thuộc d 1 hoặc d 2  M  ()

Dạng 8: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d 1 , d 2 chéo nhau):

– Xác định các VTCP a b, của các đường thẳng d 1 , d 2

– Một VTPT của () là: n a b,

– Lấy một điểm M thuộc d 1 M  ()

Dạng 9: () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2: – Xác định các VTCP a b, của các đường thẳng d 1 , d 2

– Một VTPT của () là: n a b,

Dạng 10: () đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (): – Xác định VTCP u của (d) và VTPT n của ()

– Một VTPT của () là: n  u n,  

– Lấy một điểm M thuộc d  M  ()

Dạng 11: () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (), (): – Xác định các VTPT n n,  của () và ()

– Một VTPT của () là: n  u n,  

Dạng 12: () đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một

khoảng k cho trước:

– Giả sử () có phương trình: AxByCz+D 0 2 2 2 

0

A B C  – Lấy 2 điểm A, B  (d)  A, B  () (ta được hai phương trình (1), (2)) – Từ điều kiện khoảng cách d M( ,( ))  k , ta được phương trình (3)

– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại)

Dạng 13: () là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:

– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R

– Một VTPT của () là: n IH

Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở lớp 11