+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.. + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau... PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
Trang 1CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1) Lũy thừa của một số hữu tỷ:
Lũy thừa đối với số mũ nguyên dương: a, b Q, m, n Z+, ta có:
a0 = 1 a1 = a am.an = am + n
n m
a
a = am – n (am)n = am.n (ab)n = anbn
n
n n
b
a b
a)
( (b ≠ 0) Nếu am = an thì m = n (a ≠ 1, a ≠ 0)
Lũy thừa đối với số mũ nguyên dương: x ≠ 0, n Z+, ta có: n n
x
x 1
2) Căn bậc hai:
A
B
A B
A
(A0, B>0)
B A B
A2 (B0) A B A2B(A0, B0) A B A2B(A<0, B0)
B
B A B
A (B>0) AB
B B
(AB0, B≠0)
2
) (
B A
B A C B A
C
(A0, A≠B2)
B A
B A C B A
C
( (A0, B0, A≠B)
0 A < B A B
Trang 2§1 LŨY THỪA
1 Định nghĩa luỹ thừa
*
N
n
0
) (n N*
a a
a 1
) ,
(m Z n N*
n
m
)
, (
limr n r n Q nN*
a
a lim
2 Tính chất của luỹ thừa
Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
b
a b
a b
a ab a
a a
a
a a
a
; )
(
; )
(
;
;
a > 1 : a a ; 0 < a < 1 : a a
Với 0 < a < b ta có:
0
a b m ; a mb m m 0
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương
3 Định nghĩa và tính chất của căn thức
Căn bậc n của a là số b sao cho b na
Với a, b 0, m, n N*, p, q Z ta có:
.
n ab n a b n ; n n ( 0)
n
b b ; n p a n a p(a 0); m n a mn a
( 0)
n p m q
n m ; Đặc biệt n a mn a m
Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n an b
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a n b
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau
4 Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C A (1 ) r N
Trang 3§2 HÀM SỐ LŨY THỪA
Định nghĩa
= n (n nguyên dương) y x n D = R
= n (n nguyên âm hoặc
n = 0) y x n D = R \ {0}
là số thực không
nguyên y x D = (0; +)
Chú ý: Hàm số y x 1n không đồng nhất với hàm số yn x n N( *)
Đạo hàm
x x1 (x 0); u u1 u
Chú ý: n
n n
với x nếu n chẵn x
với x nếu n lẻ
1 0
0
1
n
n n
u u
n u
Trang 4
§3 LƠGARIT
1 Định nghĩa
Với a > 0, a 1, b > 0 ta có: loga b a b
Chú ý: loga b có nghĩa khi a b 0,0 a1
Logarit thập phân: lgb logb log10b
Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb loge b (với lim 1 1 2,718281
n e
n
2 Tính chất
log 1 0a ; loga a 1; loga a bb; aloga b b b( 0)
Cho a > 0, a 1, b, c > 0 Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì loga b loga c b c
+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b loga c b c
3 Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a 1, b, c > 0, ta có:
log ( ) loga bc a b loga c loga b loga b loga c
c
loga b loga b
4 Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b 1, ta có:
log log
loga
b
a
c c
b
hay log loga b b c loga c
log
a
b
b
a
loga c 1loga c ( 0)
Trang 5
§4 HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LƠGARIT
Hàm số mũ y a x (a > 0, a 1)
Tập xác định: D = R
Tập giá trị: T = (0; +)
Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến
Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
Đồ thị:
Hàm số logarit y loga x (a > 0, a 1)
Tập xác định: D = (0; +)
Tập giá trị: T = R
Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến
Nhận trục tung làm tiệm cận đứng
Đồ thị:
Đạo hàm
a x a xlna; a u a uln a u
e x e x; e u e u u.
log 1
ln
a x
x a
ln
u a
ln x 1
x
(x > 0); lnu u
u
0<a<1
y=log a x
y
O
a>1
y=log a x
1
y
x O
0<a<1
x
1
a>1
y=a x
y
x
1
Trang 6§5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƠGARIT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1 Phương trình mũ cơ bản:
Với a > 0, a 1: x 0log
a
b
a b x b
2 Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số:
Với a > 0, a 1: a f x( ) a g x( ) f x( ) g x( )
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M a N (a 1)(M N ) 0
b) Logarit hoá:
( ) ( )
( ) log ( )
f x g x
a
c) Đặt ẩn phụ:
Dạng 1: P a( f x( ) ) 0 ( ), 0
( ) 0
f x
P t
, trong đó P(t) là đa thức theo t
Dạng 2: a2 ( )f x ( )ab f x( ) b2 ( )f x 0
Chia 2 vế cho 2 ( )f x
b , rồi đặt ẩn phụ t a f x( )
b
Dạng 3: a f x( ) b f x( ) m, với ab 1 Đặt t a f x( ) b f x( ) 1
t
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Đoán nhận x 0 là một nghiệm của (1)
Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x 0 là nghiệm duy nhất:
f x f x( ) đồng biến và ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt) ( ) đơn điệu và ( ) hằng sốg x g x c
Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f u( ) f v( ) u v
Trang 7PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Phương trình tích A.B = 0 B 0
Phương trình 2 2 0 0
0
A
A B B
f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Nếu ta chứng minh được: g x f x( )( ) M M
thì (1) g x f x( )( ) M M
1 Phương trình logarit cơ bản
Với a > 0, a 1: loga x b x a b
2 Một số phương pháp giải phương trình logarit
a) Đưa về cùng cơ số
Với a > 0, a 1: log ( ) log ( ) ( ) ( )
a f x a g x f x g x
f x hoặc g x
b) Mũ hoá
Với a > 0, a 1: log ( ) log ( )a f x b
a f x b a a
c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e) Đưa về phương trình đặc biệt
f) Phương pháp đối lập
Chú ý:
Với a, b, c > 0 và a, b, c 1: alogb c clogb a
Trang 8
§6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH LƠGARIT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ
1 ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a
f x g x
a
f x g x
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số
– Đặt ẩn phụ
– …
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit
1 ( ) ( ) 0 log ( ) log ( )
a
f x g x
a
f x g x
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số
– Đặt ẩn phụ
– …
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
loga a
A