Chuyen de ham so

Cơ sở lý thuyết 1... Chuyên đề hàm số Luyện thi đại học b.

Chuyên đề hàm số Luyện thi đại học

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

y x= − x + x+

2

2

x

y

x

−

=

+

2

y

x

− +

=

−

2 1

x

y

x

=

+

y= x x− x>

2

1

y

=

− +

3 2

7

x

y

x

−

=

+

2

2

y

− +

=

+ −

2

y= − +x x +

2 16 3 4

3

y= x+ x − x −x

y x= + x + 2

2 9

x y x

=

−

1

y

x

− +

= +

2

y x

− +

=

− 2

25

1

5 2

y= x + − +x x

6

y= x − x + x +

1 3

x y x

+

=

2

3 1

x y x

= +

y= x + x+

1

y

x

=

+

5

y x

− +

=

−

1 2

1

x

= − +

+ 2

y x

+

= +

y= x − x+

2

4

y= −x

2

2

y= x x−

Vấn đề 2: Xác định tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến)

I Cơ sở lý thuyết

1 Cho hàm số y= f x( ) xác định và có đạo hàm trên D

* Hàm số đồng biến trên ( , )a b ⊂D khi f x'( ) 0,≥ ∀ ∈x ( , )a b

* Hàm số nghịch biến trên ( , )a b ⊂D khi f x'( ) 0,≤ ∀ ∈x ( , )a b

2 Xét tam thức bậc hai f x( ) ax= 2+ +bx c, a≠0

0

a

+ + ≥ ⇔ ∆ ≤



0

a

+ + ≤ ⇔ ∆ ≤



II Bài tập áp dụng

A – HÀM ĐA THỨC

Cho hàm số y x= −3 3(m−1)x2+3 (m m−2)x+1 Tìm m để hàm số

a Đồng biến trên R

b Nghịch biến trên R

Lời giải:

TXĐ: D = R y' 3= x2−6(m−1)x+3 (m m−2)

a Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y ≥ ∀x

3 0

3

2

a

m

m

= >



⇔ ∆ = + ≤



⇔ ≤ −

b Hàm số nghịch biến trên R khi ' 0,y ≤ ∀x

3 0

a

v nghiem m

= <



⇔ ∆ = + ≤



Vậy: Không có giá trị nào để hàm số nghịch biến trên R

Cho hàm số y x m x= 2( − −) m Tìm m để hàm số nghịch biến trên R

Lời giải: TXĐ: D = R

'

y = − +x mx −m

Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi ' 0,y ≤ ∀x

2

0,

1 0

0 0

a

m

m

= − <



⇔ ∆ = ≤



⇔ =

Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Lời giải: TXĐ: D = R y' 3= x2−4x m+ −1

Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y ≥ ∀x

2

3 0

7

3

a

m

m

= >



⇔ ∆ = − + ≤



⇔ ≥

3

m≥ thì yêu cầu bài toán được thỏa

Cho hàm số y x m x= 2( − −) mx+6 Tìm m để hàm số luôn nghịch biến

Lời giải: TXĐ: D = R y'= −3x2+2mx m−

Hàm số nghịch biến trên R khi ' 0,y ≤ ∀x

2

2

3 0

a

m

= − <



⇔ ∆ = − ≤



⇔ ≤ ≤

Vậy: Với 0≤ ≤m 3 thì điều kiện bài toán được thỏa

Lời giải: TXĐ: D = R

Chuyên đề hàm số Luyện thi đại học

2

y = x − mx+ m−

Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y ≥ ∀x

2

2

1 0

1

a

m

= >



⇔ ∆ = − + ≥



⇔ =

Vậy: Với m = 1 thì điều kiện bài toán được thỏa

3

Lời giải: TXĐ: D = R y'= − +x2 2(m−1)x m+ +3

Hàm số luôn luôn giảm khi ' 0,y ≤ ∀x

2

2

1 0

a

v nghiem

= − <



⇔ ∆ = − + ≤



Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán

Cho hàm số y x= −3 mx2+3x−1 Tìm m để hàm số luôn đồng biến

Lời giải: TXĐ: D = R

2

y = x − mx+

Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y ≥ ∀x

2

2

3 0

a

m

m

= >



⇔ ∆ = − ≤



⇔ − ≤ ≤

Vậy: Với 3− ≤ ≤m 3 thì điều kiện bài toán được thỏa

3

Lời giải: TXĐ: D = R

2

y =x − m− x+ m−

Hàm số luôn tăng trên R khi ' 0,y ≥ ∀x

1 0

a

m

= >



⇔ ∆ = − − ≤



⇔ ≤ ≤

Vậy: Với 1≤ ≤m 3 thì điều kiện bài toán được thỏa

R

Lời giải:

TXĐ: D = R

2 3

4

Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y ≥ ∀x

4

1 0

a

m m

= >



⇔ ∆ = − ≤



Lời giải: TXĐ: D = R

2

y = x + mx+

Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y ≥ ∀x

2

2

3 0

a

m

m

= >



⇔ ∆ = − ≤



⇔ − ≤ ≤

Vậy: Với − 6≤ ≤m 6 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số y mx= 3−(2m−1)x2+(m−2)x−2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến

Lời giải:

TXĐ: D =R

2

y = mx − m− x m+ −

Trường hợp 1:

m= ⇒ =y x− ⇒ m = 0 không thỏa yêu càu bài toán

Trường hợp 2: m≠0

Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y ≥ ∀x

2

2

0

0

( ô nghiem) 1

m

m

v m

= >





>



⇔  + + ≤



>



⇔  = −



Vậy: Không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán

Chuyên đề hàm số Luyện thi đại học

3

m

y= − x +mx + m− x

luôn đồng biến

Lời giải: TXĐ: D = R

2

y = m− x + mx+ m−

Trường hợp 1: m− = ⇔ = ⇒ =1 0 m 1 y' 2x+ ⇒1 m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: m− ≠ ⇔ ≠1 0 m 1

Hàm số luôn đồng biến khi ' 0,y ≥ ∀x

2

2

1 0

2

m

m

− >



⇔ ∆ = − + − ≤



⇔ ≥

Vậy: Với m≥2 thì yêu cầu bài toán được thỏa

3

Lời giải: TXĐ: D = R

2

y = −mx + mx−

Trường hợp 1: m= ⇒ = − < ⇒0 y' 1 0 m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: m≠0

Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi ' 0,y ≤ ∀x

2

2

0

0

m

v nghiem m

= − <



⇔ ∆ = − ≤



>



⇔  ≤ ≤



Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

3

m

y= − x − −m x + −m x+

luôn luôn giảm

Lời giải

TXĐ: D = R

2

y = −m x − −m x+ − m

2

m= ⇒ = − + ≤ ⇔ ≥y x x nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: m≠1

m m

∆ = − + ≤  ≤ ≤



3

m

y= + x − m+ x + m− x m+ −

Tìm m để dồ thị hàm số nghịch biến trên R

Lời giải: TXĐ: D = R

y = m+ x − m+ x m+ −

Trường hợp 1: m+ = ⇔ = − ⇒ = − ⇒2 0 m 2 y' 10 m = -2 thỏa yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: m≠ −2

Hàm số nghịch biến trên R khi ' 0,y ≤ ∀x

2

2

2 0

2

a m

m

= + <





⇔ < −

KL: Với m < - 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa

3

Lời giải:

TXĐ: D = R

y = m − x + m+ x+

Trường hợp 1: m2− = ⇔ = ±1 0 m 1

* m= ⇒ =1 y' 4x+ ⇒3 m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán

* m= − ⇒ = > ⇒1 y' 3 0 m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: m2− ≠ ⇔ ≠ ±1 0 m 1

Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y ≥ ∀x

2

2

1 0

m

 − >



⇔ ∆ = − + + ≤



⇔ < − ∨ >

Vậy: Với m≤ − ∨ >1 m 2 thì bài toán được thỏa

3

a Đồng biến trên R

b Nghịch biến trên R

Lời giải:

TXĐ: D = R

2

y = m+ x − x m+

Trường hợp 1: m+ = ⇔ = − ⇒ = − − ⇒3 0 m 3 y' 4x 3 m = -3 không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: m≠ −3

a Hàm số luôn đồng biến khi ' 0,y ≥ ∀x

2

2

3 0

1

a m

m

= + >



⇔ ∆ = − − + ≤



⇔ ≥

Chuyên đề hàm số Luyện thi đại học

b Hàm số luôn nghịch biến khi ' 0,y ≤ ∀x

2

2

3 0

4

a m

m

= + <



⇔ ∆ = − − + ≤



⇔ ≤ −

nghịch biến trên R

Lời giải:

TXĐ: D = R

2

y =mx − m− x+ m−

Trường hợp 1: m= ⇒ =0 y' 2x− ⇒6 m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: m≠0

Hàm số nghịch biến trên R khi ' 0,y ≤ ∀x

2

2

0

2

a m

m

= <



⇔ ∆ = − + + ≤



−

⇔ ≤

3

R

Lời giải:

TXĐ: D = R

Ta có: y'=(m2+2m x) 2+2mx+2

Xét 2 trường hợp:

2

m

m

=

 + = ⇔  = −

+ m = 0 ⇒ ' 0,y ≥ ∀x nên m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

2

⇒ = − + ≥ ⇔ ≤ nên m = -2 không thỏa điều kiện bài toán

2

m

m

≠

 + ≠ ⇔  ≠ −

Hàm số đồng biến trên R khi

2

2 '

y

>  + >

∆ ≤ 



Vậy với m≤ − ∨ ≥4 m 0 thì điều kiện bài toán được thỏa

Lời giải

TXĐ: D = R

y = m + m x + mx+

m + m= ⇔ =m m= −

+ m= ⇒ = > ⇒0 y' 6 0 m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

+ m= − ⇒ = −5 y' 60x+ ⇒6 m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán

m + m≠

Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y ≥ ∀x

2

2

m

 = + >





⇔ < ≤

Vậy: Với 0≤ ≤m 5 thì yêu cầu bài toán được thỏa

B – HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ

3

mx y

x m

−

=

Lời giải:

TXĐ: D R= \ 3{ −m}

2

2

'

y

x m

=

+ −

Hàm số luôn đồng biến khi ' 0,y ≥ ∀ ≠ −x 3 m

⇔ ≤ ∨ ≥

Cho hàm số

1

y

x

=

của nó

Lời giải:

TXĐ: D R= \{ }−1

2

'

y

x

=

+

Hàm số đồng biến trên tập xác định khi ' 0,y ≥ ∀ ≠ −x 1

Chuyên đề hàm số Luyện thi đại học

2

1 0

3 0

a

⇔ + + + − ≥ ∀ ≠ −

= >





⇔ ∆ = − − + ≤

 − + − + + − ≠



⇔ < ∨ >

x m

=

Lời giải:

TXĐ: D R m= \{ }

2

'

m

y

x m

−

=

−

Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi ' 0,y ≥ ∀ ≠x m

0

0

m

m

⇔ − ≥

⇔ ≤

Cho hàm số

1

y

x

=

từng khoảng xác định của nó

Lời giải:

TXĐ: D R= \ 1{ }

2

'

y

x

=

−

Trường hợp 1: m= ⇒ = ⇒0 y' 0 chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0 không thỏa yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: m≠0

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi ' 0,y ≤ ∀ ≠x 1

0

0

2 0

0

a m

m

m

m

= <





⇔ ∆ = − ≤



<





⇔ − ≤



⇔ <

Cho hàm số

y

x m

=

Lời giải:

TXĐ: D R m= \{ }

2

'

y

x m

=

−

2

1

x

= − ⇒ = > ∀ ≠ − ⇒

Trường hợp 2: m≠ −1

Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y ≥ ∀ ≠x m

1 0

1

1

2 0

1

a m

m

m

m

m

 = + >



⇔ ∆ = − − ≤



> −





⇔ ≥ −

 ≠



⇔ > −

C – BÀI TẬP NÂNG CAO

Cơ sở lý thuyết:

Giả sử tồn tại ax ( )m x K∈ f x

x K

x K

∈

∈

< ∀ ∈ ⇔ <

Giả sử tồn tại min ( )x K∈ f x

x K

x K

∈

∈

> ∀ ∈ ⇔ >

Lời giải:

TXĐ: D = R

2

y =mx − m− x+ m−

Điều kiện bài toán được thỏa khi y' 0,≥ ∀ > ⇔x 2 mx2−2(m−1)x+3(m− ≥ ∀ >2) 0, x 2

2

x

− +

− +

Chuyên đề hàm số Luyện thi đại học

Xét hàm số

2

'( ) 0

x

g x

x

 = +

= ⇔ 

= −



Bảng xét dấu

x −∞ 3− 6 2 3+ 6 +∞

g’(x) + 0 - - 0 +

g(x)

2

6

3 2 6

− +

3

m≥

Cho hàm số y x= 3+3x2−mx−4 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0)

Lời giải

TXĐ: D = R

2

y = x + x m−

Hàm số đồng biến trên (−∞;0) khi ' 0,y ≥ ∀ ∈ −∞x ( ,0)

2

2

( ,0)

min ( )

−∞

⇔ ≤

Ta có: '( ) 6g x = x+ = ⇔ = −6 0 x 1

Vẽ bảng biến thiên ta có m≤(min ( )−∞,0)g x = − = −g( 1) 3

Kết luận: Với m≤ −3 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số y= − +x3 3x2+mx−2 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ( )0; 2

Lời giải

TXĐ: D = R

2

y = − x + x m+

Hàm số đồng biến trên (0, 2) khi ' 0,y ≥ ∀ ∈x (0, 2)

2

2

(0,2)

max ( )

⇔ − + + ≥ ∀ ∈

⇔ ≥

Ta có: '( ) 6g x = x− = ⇔ =6 0 x 1

Vẽ bảng biến thiên ta có m≥max ( ) 0(0,2)g x =

Vậy: m≥0 thì điều kiện bài toán được thỏa

m

biến trên [2;+∞)

Lời giải

TXĐ: D = R

2

y =mx − m− x+ m−

Trường hợp 1: m= ⇒ =0 y' 2x− ≥ ⇔ ≥6 0 x 3 nên không thỏa yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: m≠0

Hàm số đồng biến trên [2;+∞) khi ' 0,y ≥ ∀ ∈ +∞x [2, )

2

2

[2, )

6 2

max ( )

x

+∞

−

− +

⇔ ≥

Ta có:

2

− +

Vẽ bảng biến thiên ta được

[2, )

2

3

+∞

3

Lời giải:

TXĐ: D = R

2

y = − +x m− x m+ +

Hàm số đồng biến trên (0; 3) ⇔ y'= − +x2 2(m−1)x m+ + ≥ ∀ ∈3 0, x (0;3)

2

2

x

+ −

+

Ta có:

2

2

x

+ +

+

⇒ g(x) là hàm số đồng biến trên (0; 3)

12

7

⇒ < < ⇔ − < <

7

m≥

Lời giải

Chuyên đề hàm số Luyện thi đại học

2

y =mx + − m x+ m+

2

m= ⇒ =y x+ ≤ ⇔ ≤ −x nên không thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 2: m≠0

y =mx + − m x+ m+ ≤ ∀ ∈x

2

x

+

− +

[1;5]ax ( )

⇔ ≥

Ta có:

2

2

x

g x

x

 − +

=



=



Vẽ bảng biến thiên ta có

[1;5]

11

ax ( )

3

m m≥ g x =

1

y

x

Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, +∞) ⇔ 2( )2

1

x

+

2

−

+

( )

1

Min

≥

x

+

+

3

x

≥

−

Tìm m để hàm số

y

x

=

Lời giải

2

2

'

y

x

=

−

x

− [ )

[ ) [ )

2

2

4;

3

ax ( )

x

∈ +∞

− −

⇔ ≥

Ta có: 2 2 [ )

x

[4;+∞) nên

[ 4; )

3

7

x

∈ +∞

Định m để hàm số

2

y

x

=

1

; 2

− +∞

Lời giải

2

D R= − 

 

  2

2

'

y

x

=

+

2

− +∞

2

2

x

2

1;

2

max ( )

− +∞

 ÷

 

⇔ ≥ − − − = ∀ ∈ − +∞ ÷

⇔ ≥

2

g x = − − < ∀ ∈ − +∞x x  

;

2

1

2

− +∞

 ÷

 

 

≥ = − ÷= −

 

1

y

x m

+ + −

=

Lời giải

TXĐ: D R= \ 1{ −m}

2

'

y

x m

=

+ −

Hàm số đồng biến trên (0;+∞) khi

2

x m

+ −

Tam thức g(x) có biệt thức ∆ =' 2(m−2)2 Ta xét các trường hợp:

+ Trường hợp 1: ∆ = ⇔ = ⇒ ≥ ∀ ≠ − ⇒0 m 2 y' 0, x 1 hàm số đồng biến trên (0;+∞) Nên m = 2 thỏa yêu cầu bài toán

+ Trường hợp 2: ∆ > ⇔ ≠0 m 2

Chuyên đề hàm số Luyện thi đại học

Với điều kiện trên thì điều kiện bài toán được thỏa khi phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm

x1, x2 thỏa

2

1 2

0 2







< < ⇔ = + > ⇔ − > ⇔ < ⇔ < −

 = >  −  < − ∨ >



Kết luận: với m< − 2∨ =m 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa