Lý thuyết dây loại II

Tuy nhiên khi các nhà vật lý gặp khó khăn trong việc lượng tử hóa trường hấp dẫn và nhất là khi thấy trong phổ trạng thái của dây, có trạng thái tương ứng với những đặc trưng của lượng t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TRẦN TIẾN MẠNH

LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ DẪN KHOA HỌC:TS Phạm Thúc Tuyền, Trường Đại học Khoa Học

Tự Nhiên-ĐHQGHN

Hà Nội – Năm 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TRẦN TIẾN MẠNH

LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số:60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phạm Thúc Tuyền, Trường Đại học Khoa

Học Tự Nhiên-ĐHQGHN

Hà Nội – Năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS.TS Phạm Thúc Tuyền, là người đã trực tiếp hướng dẫn tôi rất chu đáo và tận tình giúp đỡ tôi trong

suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô, tập thể cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội vì đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn

thành luận văn

Qua đây, tôi cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có thể hoàn thành luận văn này

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn có nhiều thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn

Một lần nữa, tôi xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viên

Trần Tiến Mạnh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DÂY 3

1.1 Cơ sở lý thuyết cổ điển dây boson 3

1.1.1 Hàm tác dụng, nghiệm của phương trình chuyển động và điều kiện ràng buộc 4

1.1.2 Bất biến Poincaré 8

1.1.3 Lượng tử hóa dây boson 10

1.2 Lý thuyết siêu dây cổ điển 15

1.2.1 Siêu đối xứng trên trang đời 15

1.2.2 Siêu dây cổ điển 17

1.2.3 Điều kiện ràng buộc của siêu dây-Các toán tử siêu Virasoro 20

1.2.4 Lượng tử hóa siêu dây 23

1.2.5 Siêu đại số Neveu – Schwarz và Ramond 25

CHƯƠNG 2: TRƯỜNG DÂY 33

2.1 Phiếm hàm trường siêu dây đóng 34

2.1.1 Phiếm hàm trường cho các khu vực của siêu dây đóng 34

2.1.2 Biến đổi gauge phiếm hàm trường dây 38

2.2 Hình thức luận BRST(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin) 38

2.2.1 Tích BRST trong đối xứng gauge 39

2.2.2 Trường ma 39

2.2.3 Trường siêu ma 41

2.2.4 “Tích BRST” cho siêu dây đóng 46

2.2.5 Phiếm hàm trường dây mở rộng 47

CHƯƠNG 3: LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II 49

3.1 Tổng quan về các lý thuyết siêu dây 49

3.2 Spinơ trong Không thời gian D 10 (hoặc 11) chiều 51

3.3 Lý thuyết dây loại II 55

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH ẢNH

Hình 1.1 (a) Tham số hóa đường đời của một hạt.(b) Tham số hóa trang đời của một dây mở 4 Hình 3.1 Quan hệ giữa các lý thuyết dây khác nhau 51 Bảng tóm tắt các lý thuyết dây 49

CÁC KÝ CHỮ VIẾT TẮT

BRST: Becchi-Rouet-Tyutin

GSO: Gliozzi-Scherk-Olive

NS: Neveu-Schwarz

QCD: Quantum ChromoDynamics

QED: Quantum ElectroDynamics

R: Ramond

SUSY: Supersymmetry

1

MỞ ĐẦU

Mục đích chọn đề tài

Lý thuyết dây là một ứng cử viên cho lý thuyết thống nhất tất cả bốn loại tương tác: mạnh, yếu, điện từ và hấp dẫn Ban đầu nó vốn được đề xuất để mô tả tương tác mạnh giữa các hadron, trước khi Sắc động lực học lượng tử (QCD) ra đời Sau khi đã

có QCD, lý thuyết dây được rất ít người quan tâm trong một thời gian khá dài Tuy nhiên khi các nhà vật lý gặp khó khăn trong việc lượng tử hóa trường hấp dẫn và nhất

là khi thấy trong phổ trạng thái của dây, có trạng thái tương ứng với những đặc trưng của lượng tử trường hấp dẫn: không khối lượng, spin bằng 2, lý thuyết dây mới lại được chú ý trở lại Hiện nay nó trở thành mối quan tâm hàng đầu của lý thuyết trường

và hạt cơ bản

Ban đầu, bằng cách tương đối tính hóa dây cổ điển trong không gian D chiều, người ta thu được một lý thuyết, gọi là lý thuyết dây boson Để các trạng thái kích thích của nó tuân theo các quy luật của bất biến Lorentz, số chiều tới hạn của không – thời gian phải bằng 26 Để giải thích việc chúng ta không quan sát được các chiều phụ ngoài bốn chiều thực của không - thời gian Minkowski, người ta giả sử các chiều ngoại phụ ở kích thước nhỏ chúng bị xoắn, cuộn lại với nhau (compact hóa) tạo thành không gian Calabi – Yau và ở kích thước lớn sẽ không quan sát được Số chiều D 26 là một con số quá lớn so với số chiều là bốn của không – thời gian Minkiwski, do đó việc compact hóa không gian với số chiều ngoại phụ D 4 theo cách thức của lý thuyết Kaluza – Klein, sẽ gặp khó khăn khó lòng có thể vượt qua được Hơn nữa, lý thuyết dây boson không mô tả được trạng thái tương ứng với hạt fermion (hạt mô tả trường vật chất) Như vậy lý thuyết dây boson chỉ thích hợp khi mô tả trường tương tác (boson), không thích hợp khi mô tả trường vật chất (fermion)

Để khắc phục nhược điểm của lý thuyết dây boson người ta siêu đối xứng hóa

nó bằng cách đưa thêm vào các tọa độ spinơ phản đối xứng, còn gọi là tọa độ lẻ trên trang đời hoặc trong không thời gian và xét các phép biến đổi qua lại giữa các tọa độ không – thời gian, tọa độ boson, với các tọa độ siêu đồng hành spinơ của chúng Lý thuyết dây chứa siêu đối xứng được gọi là lý thuyết siêu dây Lý thuyết siêu dây có rất nhiều ưu điểm Số chiều tới hạn của không – thời gian chỉ còn là D 10 Trong lý thuyết siêu dây có cả trường tương tác boson và trường vật chất fermion, các phân kỳ xuất hiện trong lý thuyết trường lượng tử thông thường đều được tự loại bỏ, bởi vì, bậc

tự do boson và fermion là bằng nhau và sự đóng góp vào phân kỳ của hai loại trường boson và fermion có giá trị bằng nhau và trái dấu

Khi ta lượng tử hóa lý thuyết siêu dây chúng ta có năm phương án để mô tả lý thuyết trường siêu dây Đó là: lý thuyết dây loại I, lý thuyết dây IIA, lý thuyết dây IIB,

2

lý thuyết dây lai (heterotic): HO với nhóm chuẩn là E8E8 và HE với nhóm chuẩn là (32)

SO Năm phương án này, thông qua khái niệm đối ngẫu, chúng được coi là những thể hiện các mặt khác nhau của một lý thuyết dây thống nhất gọi là M – theory Trong

lý thuyết siêu dây loại I dây cơ bản là siêu dây mở, trong những lý thuyết siêu dây còn lại, trong đó có siêu dây loại II, siêu dây cơ bản là đóng Tuy nhiên, trong siêu dây loại

II vẫn tồn tại những dây mở tương tác với dây cơ bản, gọi là các p-brane

Do đó trong luận văn này, tôi chọn đề tài nghiên cứu: Lý thuyết dây loại II, bởi

vì nó chứa đựng những nét tinh túy nhất của lý thuyết dây và hiện đang là những đối tượng được quan tâm nhiều nhất

Cấu trúc luận văn

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm có 3 chương, cụ thể:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết dây

Chương 2: Trường dây

Chương 3: Lý thuyết dây loại II

3

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DÂY 1.1 Cơ sở lý thuyết cổ điển dây boson

Trong lý thuyết trường lượng tử, hạt cơ bản được coi là hạt điểm không kích thước, trong khi với lý thuyết dây, đối tượng cơ bản là một dây (sợi dây – string) Chúng có kích thước vô cùng nhỏ (cỡ kích thước Plank ~ ) Dây có hai đầu trùng nhau nhau gọi là dây đóng Dây có hai đầu rời nhau được gọi là dây mở

Tương tự như hạt điểm, khi vận động trong không thời gian hạt điểm vẽ nên một đường cong một chiều gọi là “đường đời” (world-line), một dây chuyển động sẽ quét một mặt cong hai chiều, gọi là “trang đời’’ (world-sheet) Tổng quát hơn, một đối

tượng p chiều (p-brane) sẽ quét nên một đa tạp với số chiều p1 gọi là “quyển đời” (world-volum)1

Trong mọi lý thuyết dây hiện nay, chiều của không thời gian đều lớn hơn 4, cho nên trong luận văn này, chiều của không thời gian nói chung sẽ được ký hiệu là D Metric tổng quát sẽ được ký hiệu là g AB hoặc ab, trong khi metric Minkowski (metric phẳng) sẽ được ký hiệu bằng  Cho không thời gian Minkowski D chiều là

1, 1, 1, , 1

     , cho trang đời là  diag 1, 1 Nói chung khi nào có thể,

ta sẽ dành chỉ số ,  để chỉ không thời gian 4 chiều

Hệ đơn vị là c  1 cho nên, mọi đại lượng đều hoặc không thứ nguyên, hoặc có thứ nguyên là lũy thừa âm hoặc dương của năng lượng

Hình 1.1 (a) Tham số hóa đường đời của một hạt

(b) Tham số hóa trang đời của một dây mở Trang đời được tham số hóa bằng hai đại lượng không thứ nguyên,  (tựa thời gian) và  (tựa không gian), mỗi điểm của trang đời sẽ được nhúng vào không thời gian bằng D hàm số vô hướng:

1

Trong một số tài liệu tiếng Việt, world-line, world-sheet được dịch thành đường thế, lá thế, …, chúng tôi tránh chữ “thế”, vốn được dùng để dịch từ potential

60

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết dây boson, lý thuyết siêu dây và vận dụng những kiến thức đó để nghiên cứu lý thuyết dây loại II – hai trong lăm phương án để mô tả lý thuyết dây Cụ thể, chúng tôi đã làm được những công việc như sau:

1 Trình bày tổng quan một cách hệ thống và chặt chẽ những khái niệm cơ bản của

lý thuyết dây boson, áp dụng lý thuyết siêu đối xứng để xây dựng lý thuyết siêu dây, thu được phổ khối lượng của siêu dây và chứng minh được rằng trong phổ khối của siêu dây chứa hạt không khối lượng và spin bằng 2 tương ứng với hạt graviton trong tương tác hấp dẫn

2 Áp dụng hình thức luận BRST để lượng tử hóa dây thành trường dây

3 Mở rộng khái niệm ma trận - ma trận Dirac trong không – thời gian 4 chiều –

để xây dựng các ma trận Dirac tổng quát cho chiều D 10(hoặc 11) chiều Các

ma trận này được dùng để tạo nên những thành phần thuận phải hoặc thuận trái của spinơ

4 Dựa vào tính chất chirality và đưa vào khái niệm phép chiếu GSO, chúng tôi phân biệt được lý thuyết dây loại IIA và IIB

5 Bằng ngôn ngữ dạng vi phân, chúng tôi đã mô tả được trường vật lý của các lý thuyết dây loại II

Bước tiếp theo của luận văn là thông qua các quan hệ S-đối ngẫu, thậm chí kết hợp giữa chúng, U-đối ngẫu, để xây dựng được các lý thuyết dây khác nhau [F-theory] là tiền đề để xây dựng một lý thuyết thống nhất [M-theory], thống nhất các trường tương tác: điện từ, yếu, mạnh và hấp dẫn

61

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

1 Đào Vọng Đức (2007), Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết siêu dây lượng tử,

Hà Nội

2 Nguyễn Xuân Hãn (2011), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQGHN,

Hà Nội

3 Phạm Thúc Tuyền (2005-2008), Những bài giảng về siêu đối xứng và lý thuyết

dây, chƣa xuất bản

4 Phạm Thúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt cơ bản, NXB ĐHQGHN, Hà Nội

Tiếng Anh

5 B.Zwiebach (2004), A First Course in String Theory, Cambridge University Press, Cambridge

6 C.Bachas (1995), “D-brane dynamics”, hep-th/9511043

7 D.Bailin and A.Love (1994), Supersymmetric gauge field theory and string

theory, Institute of Physics Publishing, Bristol

8 Dr David Tong (2009), String Theory, Cambridge University Press, Cambridge

9 E.S.Fradkin and A.A.Tseytlin (1985), Effective field theory from quantized

strings, Phys.Lett.B158, 316

10 E.S.Fradkin and A.A.Tseytlin (1985), Effective action approach to superstring

theory, Phys.Lett.B160B, 69

11 E.S.Fradkin and A.A.Tseytlin (1985), Non – linear electrodynamics from

quantized string, Phys.Lett.163B,123

12 E.Witten (1995), “Bound states of string and p – branes”, hep-th/9510135

13 F.Gliozzi, J.Scherk, and D.Olive (1977), Supersymmetry, Supergravity Theories

and The Dual Spinor, Nucl.Phys.B122, 253

14 J Polchinski (1998), String Theory, Cambridge University Press, Cambridge

15 J.Wess and B.Zumino (1974), Supergauge transformations in four dimensions,

Nucl.Phys.B70

16 J.Wess and J.Bagger (1992), Supersymmetry and Supergravity, Princeton

University Press, Princeton, New Jersey

17 Katrin Becker, Melanic Becker, and John Schwarz (2007), String Theory And M

– Theory, Cambridge University Press, Cambridge

18 L.Ryder (1996), Quantum Field Theory, Cambridge University Press

19 M.Kaku (1989), Introduction to superstring theory, World Scientific

62

20 M.Kaku (1993), Quantum field theory – A modern introduction, Oxford

University Press

21 Michael Dine (2007), Supersymmetry And String Theory Beyond the Standard

Model, Cambridge University Press, Cambridge

22 M Green, J Schawarz and E Witten (1987), Superstring Theory,Cambridge

University Press, Cambridge

23 P Di Francesco, P Mathieu and D Sénéchal (1997), Conformal Field

Theory,Springer

24 Robert M.Wald (1984), General Relativity,The University of Chicago Press,

Chicago and London

25 R.H.Dijkgraaf, E.P.Verlinde, and H.L.Verlinde (1997), “Matrix string theory”,hep-th/9703030

26 Wigner, E.P (1939), Annals of Mathematics, 40,149

27 ’t Hooft, G (1974), A planar diagram theory for strong interactions Nucl Phys,

B72, 461

28 ’t Hooft, G (1993), Dimensional reduction in quantum gravity, In Salamfest pp

284-296 Singapore: World Scientific E-print gr –qc/9310026