Lý thuyết dây loại II

Tuynhiên khi các nhà vật lý gặp khó khăn trong việc lượng tử hóa trường hấp dẫn và nhất là khi thấy trong phổ trạng thái của dây, có trạng thái tương ứng với những đặc trưngcủa lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TRẦN TIẾN MẠNH

LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ DẪN KHOA HỌC:TS Phạm Thúc Tuyền, Trường Đại học Khoa Học

Tự Nhiên-ĐHQGHN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TRẦN TIẾN MẠNH

LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số:60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phạm Thúc Tuyền, Trường Đại học Khoa

Học Tự Nhiên-ĐHQGHN

Hà Nội – Năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS.TS Phạm Thúc

Tuyền, là người đã trực tiếp hướng dẫn tôi rất chu đáo và tận tình giúp đỡ tôi trong

suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô, tập thể cán bộ Bộ

môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội vì đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sau đại

học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn

thành luận văn

Qua đây, tôi cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới toàn thể người thân, bạn bè đãgiúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa họcquý báu để em có thể hoàn thành luận văn này

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn có nhiều thiếusót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn

Một lần nữa, tôi xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viên Trần Tiến Mạnh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DÂY 3

1.1 Cơ sở lý thuyết cổ điển dây boson 3

1.1.1 Hàm tác dụng, nghiệm của phương trình chuyển động và điều kiện ràng buộc 4

1.1.2 Bất biến Poincaré 8

1.1.3 Lượng tử hóa dây boson 10

1.2 Lý thuyết siêu dây cổ điển 15

1.2.1 Siêu đối xứng trên trang đời 15

1.2.2 Siêu dây cổ điển 17

1.2.3 Điều kiện ràng buộc của siêu dây-Các toán tử siêu Virasoro 20

1.2.4 Lượng tử hóa siêu dây 23

1.2.5 Siêu đại số Neveu – Schwarz và Ramond 25

CHƯƠNG 2: TRƯỜNG DÂY 33

2.1 Phiếm hàm trường siêu dây đóng 34

2.1.1 Phiếm hàm trường cho các khu vực của siêu dây đóng 34

2.1.2 Biến đổi gauge phiếm hàm trường dây 38

2.2 Hình thức luận BRST(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin) 38

2.2.1 Tích BRST trong đối xứng gauge 39

2.2.2 Trường ma 39

2.2.3 Trường siêu ma 41

2.2.4 “Tích BRST” cho siêu dây đóng 46

2.2.5 Phiếm hàm trường dây mở rộng 47

CHƯƠNG 3: LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II 49

3.1 Tổng quan về các lý thuyết siêu dây 49

3.2 Spinơ trong Không thời gian D= 10 (hoặc 11) chiều 51

3.3 Lý thuyết dây loại II 55

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH ẢNH

Hình 1.1 (a) Tham số hóa đường đời của một hạt.(b) Tham số hóa trang đời của một

dây mở 4Hình 3.1 Quan hệ giữa các lý thuyết dây khác nhau 51Bảng tóm tắt các lý thuyết dây 49

MỞ ĐẦU

Mục đích chọn đề tài

Lý thuyết dây là một ứng cử viên cho lý thuyết thống nhất tất cả bốn loại tươngtác: mạnh, yếu, điện từ và hấp dẫn Ban đầu nó vốn được đề xuất để mô tả tương tácmạnh giữa các hadron, trước khi Sắc động lực học lượng tử (QCD) ra đời Sau khi đã

có QCD, lý thuyết dây được rất ít người quan tâm trong một thời gian khá dài Tuynhiên khi các nhà vật lý gặp khó khăn trong việc lượng tử hóa trường hấp dẫn và nhất

là khi thấy trong phổ trạng thái của dây, có trạng thái tương ứng với những đặc trưngcủa lượng tử trường hấp dẫn: không khối lượng, spin bằng 2, lý thuyết dây mới lạiđược chú ý trở lại Hiện nay nó trở thành mối quan tâm hàng đầu của lý thuyết trường

và hạt cơ bản

Ban đầu, bằng cách tương đối tính hóa dây cổ điển trong không gian D chiều,người ta thu được một lý thuyết, gọi là lý thuyết dây boson Để các trạng thái kíchthích của nó tuân theo các quy luật của bất biến Lorentz, số chiều tới hạn của không –thời gian phải bằng 26 Để giải thích việc chúng ta không quan sát được các chiều phụngoài bốn chiều thực của không - thời gian Minkowski, người ta giả sử các chiều ngoạiphụ ở kích thước nhỏ chúng bị xoắn, cuộn lại với nhau (compact hóa) tạo thành không

con số quá lớn so với số chiều là bốn của không – thời gian Minkiwski, do đó việc

Kaluza – Klein, sẽ gặp khó khăn khó lòng có thể vượt qua được Hơn nữa, lý thuyếtdây boson không mô tả được trạng thái tương ứng với hạt fermion (hạt mô tả trườngvật chất) Như vậy lý thuyết dây boson chỉ thích hợp khi mô tả trường tương tác(boson), không thích hợp khi mô tả trường vật chất (fermion)

Để khắc phục nhược điểm của lý thuyết dây boson người ta siêu đối xứng hóa

nó bằng cách đưa thêm vào các tọa độ spinơ phản đối xứng, còn gọi là tọa độ lẻ trêntrang đời hoặc trong không thời gian và xét các phép biến đổi qua lại giữa các tọa độkhông – thời gian, tọa độ boson, với các tọa độ siêu đồng hành spinơ của chúng Lýthuyết dây chứa siêu đối xứng được gọi là lý thuyết siêu dây Lý thuyết siêu dây có rất

thuyết siêu dây có cả trường tương tác boson và trường vật chất fermion, các phân kỳxuất hiện trong lý thuyết trường lượng tử thông thường đều được tự loại bỏ, bởi vì,bậc tự do boson và fermion là bằng nhau và sự đóng góp vào phân kỳ của hai loạitrường boson và fermion có giá trị bằng nhau và trái dấu

Khi ta lượng tử hóa lý thuyết siêu dây chúng ta có năm phương án để mô tả lýthuyết trường siêu dây Đó là: lý thuyết dây loại I, lý thuyết dây IIA, lý thuyết dây IIB,

1

lý thuyết dây lai (heterotic): HO với nhóm chuẩn là E8×E8 và HE với nhóm chuẩn là

SO(32) Năm phương án này, thông qua khái niệm đối ngẫu, chúng được coi là những

thể hiện các mặt khác nhau của một lý thuyết dây thống nhất gọi là M – theory Trong

lý thuyết siêu dây loại I dây cơ bản là siêu dây mở, trong những lý thuyết siêu dây cònlại, trong đó có siêu dây loại II, siêu dây cơ bản là đóng Tuy nhiên, trong siêu dây loại

II vẫn tồn tại những dây mở tương tác với dây cơ bản, gọi là các p-brane

Do đó trong luận văn này, tôi chọn đề tài nghiên cứu: Lý thuyết dây loại II, bởi

vì nó chứa đựng những nét tinh túy nhất của lý thuyết dây và hiện đang là những đốitượng được quan tâm nhiều nhất

Cấu trúc luận văn

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văngồm có 3 chương, cụ thể:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết dây

Chương 2: Trường dây

Chương 3: Lý thuyết dây loại II

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DÂY 1.1 Cơ sở lý thuyết cổ điển dây boson

Trong lý thuyết trường lượng tử, hạt cơ bản được coi là hạt điểm không kích thước,trong khi với lý thuyết dây, đối tượng cơ bản là một dây (sợi dây – string) Chúng có

kích thước vô cùng nhỏ (cỡ kích thước Plank ~ ) Dây có hai đầu trùng nhau nhau gọi

là dây đóng Dây có hai đầu rời nhau được gọi là dây mở

Tương tự như hạt điểm, khi vận động trong không thời gian hạt điểm vẽ nên mộtđường cong một chiều gọi là “đường đời” (world-line), một dây chuyển động sẽ quétmột mặt cong hai chiều, gọi là “trang đời’’ (world-sheet) Tổng quát hơn, một đối

(world-volum)1

Trong mọi lý thuyết dây hiện nay, chiều của không thời gian đều lớn hơn 4, cho nêntrong luận văn này, chiều của không thời gian nói chung sẽ được ký hiệu là D Metric tổng

quát sẽ được ký hiệu là g AB hoặc γab , trong khi metric Minkowski (metric

 AB= diag {1, −1, −1, , −1}, cho trang đời là ηαβ= diag {1, −1} Nói chung khi

nào có thể, ta sẽ dành chỉ số µ ,ν để chỉ không thời gian 4 chiều

thứ nguyên là lũy thừa âm hoặc dương của năng lượng

Hình 1.1 (a) Tham số hóa đường đời của một hạt

(b) Tham số hóa trang đời của một dây mở

1Trong một số tài liệu tiếng Việt, world-line, world-sheet được dịch thành đường thế, lá thế, …, chúng tôi tránh chữ “thế”, vốn được dùng để dịch từ potential.

3

1.1.1 Hàm tác dụng, nghiệm của phương trình chuyển động và điều kiện ràng

buộc

Hàm tác dụng của dây cũng được xây dựng tương tự như hàm tác dụng của hạt

Trong trường hợp hạt, nó tỉ lệ với độ dài của đường đời, thì trong trường hợp dây, nó

tỉ lệ với diện tích của trang đời:

đơn vị độ dài, thứ nguyên +2 )

Hàm tác dụng (1.2a) được gọi là hàm tác dụng Nambu-Goto [1] Nguyên lý tác

dụng tối thiểu yêu cầu diện tích trang đời phải cực tiểu

Hàm tác dụng Nambu-Goto (1.2a) mặc dù có ý nghĩa hình học rõ ràng nhưng do

tính chất phi tuyến, chứa dấu căn bậc hai trong tích phân, nên nó gây khó khăn khi

lượng tử hóa Polyakov đã đề xuất hàm tác dụng sau đây:

Hàm tác dụng Polyakov bất biến đối với phép biến đổi tổng quát, thường được

gọi là phép tái tham số hóa hay phép vi phôi (diffeomorphism):

Metric như trên được gọi là metric chọn trong chuẩn bảo giác (conformal gauge)

Trong chuẩn bảo giác, với điều kiện biên và ban đầu thích hợp, phương trình

sự tiện dùng sau này Các hệ số

trong khai triển Fourier của nghiệm, thuần túy chỉ

tương ứng với hai dao động tử trái và phải Điều kiện Neumann kéo theo dao động tử

trái và phải là bằng nhau và chúng tạo thành sóng dừng Điều kiện thực của sẽ kéo

5

Khi đó, nghiệm sẽ có dạng khai triển Fourier với cả hai dao động tử trái và

phải:

X µ= x µ+α ' p µτ+

2

Như vậy, trong trường hợp dây đóng, hai mode dao động trái

nhau, Điều kiện thực của

Ta nhớ rằng, phương trình (1.6) chỉ thỏa mãn trong chuẩn bảo giác, điều nàynghĩa là ta đã cố định chuẩn Nó tương đương với việc chọn gauge-fixing trong lýthuyết trường lượng tử thông thường Để tìm điều kiện ràng buộc cho phương trình, taxét hàm tác dụng với metric trang đời bất kỳ Khi đó, biến phân của hàm tác dụngPolyakov (1.3) đối với metric trang đời sẽ là:

T = ∂ X

đƣợc gọi là tensơ năng-xung lƣợng của dây Nhƣ vậy, điều kiện để hàm tác dụng bất

γαβT

βα

Nếu thay cho biến τ , σ ta dùng σ±=τ±σ , gọi là tọa độ nó sáng, tensơ Tαβ

T+−= ∂+ X µ∂− X µvà điều kiện không vết (1.14) sẽcó dạng:

6

Thay biểu thức khai triển của X cho dây mở, ta thu được:

trong đó:

L n

được gọi là mode Virasoro Như thế nghĩa là, mode Virasoro là hệ số Fourier của tensơ

Điều kiện để hàm tác dụng bất biến đối với phép tái tham số hóa và phép

biến đổi Weyl là mode Virasoro phải triệt tiêu:

trong đó, để đơn giản, ta dùng dấu chấm để chỉ tích vô hướng (với metric Minkowski

của không thời gian) giữa hai vectơ

Tương tự cho dây đóng, ta có hai điều kiện cho mode Virasoro đối với chuyển

động sang trái và mode chuyển động sang phải:

Như thường lệ, móc Poisson của tọa độ và xung lượng thỏa mãn hệ thức “đồng thời

7

Hệ thức (1.23) được gọi là đại số Witt hay đại số Virasoro cổ điển Sự tồn tại

đại số Witt chứng tỏ rằng, ngoài phép vi phôi δDγab và phép biến đổi Weyl δ W γab một

cách riêng rẽ, hàm tác dụng còn bất biến đối với phép biến đổi làm bất biến metric:

(δD+δ W )γab = 0

Đó là đối xứng tồn dư sau khi chọn metric bảo giác Đối xứng tồn dư này được gọi là

đối xứng bảo giác và mode Virasoro chính là vi tử sinh của đối xứng bảo giác và đại số

Witt (1.23) là đại số Lie của đối xứng này

1.1.2 Bất biến Poincaré

Hàm tác dụng (1.3) phải bất biến đối với nhóm biến đổi toàn xứ Poincaré:

X µ→Λνµ X ν+ b µ , ΛT g Λ= g

Khi Λ = 1, ta có phép tịnh tiến, còn khi b= 0 , ta có phép biến đổi Lorentz

Suy ra, dòng Noether năng xung lượng sẽ là:

P µ=

a

Từ phương trình chuyển động suy ra dòng này bảo toàn Khi đó, sử dụng (1.8a) cho

X µ, ta thu được toán tử sinh cho năng xung lượng:

8

n đến số trạng thái của dây Đối với phép biến đổi Lorentz vi phân Λ = 1 +

sinh cho moment góc:

π

Q µν=∫d σ J 0 µν =( x µ pν− xν pµ)−∑

0

Hamiltonian cho dây có dạng:

mở:

1.1.3 Lượng tử hóa dây boson

Lượng tử hóa dây cũng được thực hiện theo quy tắc lượng tử hóa của hệ có ràng

buộc trong lý thuyết trường lượng tử

Có hai cách lượng tử cơ bản, đó là áp đặt trường tọa độ và xung lượng liên hợp

(1.20) với chúng thành các toán tử Hermitian tác dụng trong không gian Fock các trạng

thái của dây Giao hoán tử của chúng được suy ra từ móc Poisson theo quy tắc:

A, B → i

Thêm nữa, thay cho điều kiện ràng buộc đối với toán tử Virasoro,

cầu nhẹ hơn, đó là, chỉ với các trạng thái vật lý của không gian Fock:

ˆ

ψ =0,

L n

phần ứng với tần số dương của toán tử ∂µAµ là triệt tiêu các trạng thái photon vật lý

Cách lượng tử hóa thứ hai, có ý nghĩa hình học rõ ràng hơn, đó là lượng tử hóa

BRST [20] Theo cách này, người ta đưa vào trường ma Faddeev-Popov và xét không

gian Fock rộng hơn, bao gồm các các trạng thái ma và phản ma Do yêu cầu hạn chế

đối với luận văn thạc sĩ, chúng tôi chỉ đi sâu vào phương pháp thứ nhất trong chương

II của Luận văn này

Như vậy, ta xét các hệ thức giao hoán chính tắc đồng thời gian (để đơn giản ta

bỏ dấu mũ trên các toán tử):

 X µ (τ , σ ), P (τ , σ ')  = iδµδ (σ−σ ')

v v

 X µ (τ , σ ), X v (τ , σ ') 



10

 P µ (τ , σ ), P v (τ , σ ')  = 0

Từ (1.39) suy ra hệ thức giao hoán giữa các mode dao động tử nhƣ sau:

Đối với dây mở:

Do chƣa đặt các điều kiện ràng buộc, không phải mọi trạng thái đều có ý nghĩa

vật lý Ví dụ, xét trạng thái φ = a n0†0;k Chuẩn của nó là:

0 =

11

Điều này nghĩa là, nếu chọn trạng thái cơ bản có chuẩn dương thì φ sẽ có chuẩn âm.Trạng thái có chuẩn âm được coi là không có ý nghĩa vật lý Chúng thường được gọi

là trạng thái tachyon hay siêu quang, vì chúng có tốc độ lớn hơn tốc độ ánh sáng Khốilượng của hạt là giá trị riêng của toán tử M2 Chẳng hạn, ở trạng thái φ , giá trị riêngcủa toán tử khối lượng sẽ là:

M 2

= −

α ′Như vậy, khối lượng của hạt tương ứng với trạng thái

trạng thái tachyon Và một trong những công việc cần thiết của lý thuyết dây là tìm cơchế để loại bỏ trạng thái tachyon

Các mode Virasoro trở thành toán tử Virasoro Tuy nhiên, chúng không thỏamãn đại số Witt (1.23) mà thỏa mãn đại số Virasoro lượng tử, có thêm số hạng dịthường Chẳng hạn, cho dây mở, có thể tính trực tiếp:

{L m , L n}=( m − n )L m+n+

thứ tự của các mode dao động chưa được xác định định khi chuyển từ biểu thức cổđiển sang toán tử lượng tử Nếu ta lấy thứ tự của tích chuẩn, nghĩa là, toán tử sinh

Để tránh sự bất định này, cũng như trong trường hợp QED, ta sẽ thay điều kiện

L n = 0 , ∀n , bằng điều kiện: Với mọi trạng thái vật lý ψ :

n

(L0− a)

trong đó a là một hằng số Điều kiện thứ hai thường được gọi là điều kiện mặt khối(mass-shell) Đây là điều kiện Gupta-Bleuler cho lý thuyết dây.

12

Do tính bất biến bảo giác, ta có thể chứng minh rằng, không phải tất cả D tọa độcủa một điểm trên trang đời đều độc lập, chúng luôn được tách thành một thành phần

phần ngang mới được coi là những bậc tự do độc lập cần phải lượng tử hóa Cách làmnày được gọi là lượng tử hóa nón sáng Khi đó, đặt:

X±= ( X0 ± XD−

1) / 2

là thành phần thời gian và dọc, và

X i , i = 1, 2, , D − 2

là những thành phần ngang Dùng tính bất biến bảo giác, ta có thể đặt thêm điều kiện

cho X µ , đó là X+ = x+ + 2α′p+ và do đó, αn+ = 0, ∀n ≠ 0 Từ điều kiện ràng buộcVirasoro ta giải ra mode dao động αn− Kết quả là ta chỉ còn D−2 mode dao động αi

−i n , n > 0 lên trạng thái chân không Vectơ α−i1 0;k thuộc biểu diễn vectơ của nhóm

SO (D − 2) Ta biết rằng, tính bất biến Lorentz kéo theo hạt vectơ không khối lượngthuộc biểu diễn của nhóm SO (D− 2), (giống như photon), còn hạt vectơ có khối lượngthuộc biểu diễn của nhóm SO(D −1)[26], [18] Từ đó suy ra, α−i1 0;k phải tương ứng

a =1

hóa của các dao động tử

Thực vậy, sự xuất hiện của a là vì trong biểu thức của L0 , ta không xác định được

tích chuẩn, ta cần đổi thứ tự các dao động tử Theo hệ thức giao hoán (1.41), ta có:

13

Suy ra những trạng thái khối lượng đầu tiên của dây mở sẽ là [22]:

N = 0 trạng thái 0;k , với khối lượng là: α′M 2= −1 Như vậy, trạng thái chân không của dây boson là tachyon

của trạng thái chân không là −1 / 24

N = 1, α−i10;k là vectơ boson mô tả trạng thái không khối lượng Vectơ này có

N = 2 , những trạng thái có khối lượng khác không đầu tiên là:

α −i2 0; k ℘ α−i1α−i1 0;k

trạng thái tương ứng với phần thứ hai là đối xứng đối với cặp chỉ số i , j (công thức

(1.40)) Vì thế, số thành phần độc lập chỉ là:

 D − 2 )( D − 1 ) = 24×25 = 300

22

25×26

−1 = 324

2

với spin bằng 2 Hiển nhiên, trạng thái này là vật lý vì có chuẩn dương Chúng đềuđược xây dựng từ các thành phần ngang của mode dao động dây

Đối với dây đóng, ta có hai tập hợp các mode dao động: dao động sang phải vàsang trái Phổ của chúng có thể suy ra từ trường hợp dây mở bởi vì trạng thái dây đóng

là tích trực tiếp của mode phải và trái, trong đó, mỗi thừa số có cấu trúc như của trạngthái dây mở Khối lượng của các trạng thái thuộc phổ dây đóng sẽ là:

′M = 4(N −1) = 4(N −1)

Các trạng thái ở mức khối lượng đầu tiên là:

N = 0 đó là trạng thái 0;k , với khối lượng là:α′M 2 = −4 Đó vẫn là tachyon

N = 1, Ω ij = α −i1α−i10; k là tập hợp gồm 24 2 = 576 thành phần boson mô tả

xứng không vết, vết và tensơ phản đối xứng:

1.2 Lý thuyết siêu dây cổ điển

fermion chứng tỏ rằng, dây boson không thể là một lý thuyết thực tiễn Ta sẽ chứng tỏrằng, trong lý thuyết siêu dây dựa trên việc siêu đối xứng hóa dây boson sẽ chứa cảfermion lẫn boson, đồng thời số chiều tới hạn của không thời gian giảm xuống chỉ còn

D =10

1.2.1 Siêu đối xứng trên trang đời

Để siêu đối xứng hóa dây boson, ta có hai cách tiếp cận

Một trong số những cách tiếp cận đó được gọi là hình thức luận Green-Schwarz(GS) Theo hình thức luận này, ta sẽ xét nhóm siêu đối xứng của không thời gian và từ

đó suy ra sự tồn tại của siêu trường trong trang đời Ta cũng không xét đến cách tiếp cận này trong luận văn

Cách tiếp cận thứ hai mà ta sẽ trình bày trong luận văn được gọi là hình thức luận Ramond-Neveu-Schwarz (RNS) Theo hình thức luận này, trên trang đời, ngoài

Lorentz khác, , gọi là bạn đồng hành fermion của X µ . Trên trang đời,

là các spinơ 2 thành phần phản giao hoán:

15

ψaµ (τ , σ ), a =1, 2, µ=1, 2, , D

Ngoài ra, chúng còn thỏa mãn điều kiện thực (điều kiện Majorana):

(ψµ † ) a = (ψa )† =ψa†

phần ảo Điều kiện Majorana có ý làm cho số bậc tự do fermion giảm đi một nửa chỉ

bằng không Điều này sẽ dẫn đến việc xét cơ chế Higgs để tạo khối cho hạt

Phép biến đổi siêu đối xứng trên trang đời sẽ trộn lẫn tọa độ boson và fermion

đến phép biến đổi siêu đối xứng định xứ (local) ε=ε (τ,σ)

Để tìm hàm tác dụng bất biến siêu đối xứng toàn cục, ta đƣa thêm vào tọa độ

Xét phép biến đổi siêu đối xứng sau đây:

16

{ρα , ρβ}= 2ηαβ

Ta thấy rằng, hàm tác dụng thỏa mãn điều kiện bất biến đối với phép biến đổi siêu đối

xứng (1.52a) có thể chọn dưới dạng sau đây:

1.2.2 Siêu dây cổ điển

Với hàm tác dụng (1.56), tất cả các kết quả đã thu được cho dây boson vẫn còn

đúng trong trường hợp siêu dây và do đó, ta chỉ cần đi tìm các nghiệm đối với các tọa

độ fermion Đối với các tọa độ fermion, áp d ụng phương trình Euler-Lagrange, chúng

Đó chính là phương trình Dirac cho hạt có khối lượng bằng không

Tương tự như trong trường hợp dây boson, đối với siêu dây mở, người ta đặt các

điều kiện biên, còn đối với siêu dây đóng, người ta đặt điều kiện tuần hoàn hoặc phản

tuần hoàn Điều kiện biên đối với tọa độ boson không thay đổi Đối với tọa độ fermion,

để tích phân trên biên triệt tiêu:

∫

Lý thuyết cho siêu dây đóng mặc dù có hình thức phức tạp hơn nhưng thực

chất, nó chỉ là tích tensơ của hai lý thuyết siêu dây mở

17

Vì dấu tương đối giữa các thành phần

(1.60)

Nghiệm của phương trình (1.57) thỏa mãn các điều kiện biên (1.58) - (1.60) có biểu thức khai triển tổng quátnhư sau:

18

Với siêu dây đóng thì điều kiện biên có thể là tuần hoàn (R):

19

4

phải là không vết:

20

ηαβTβα= 0

Đây chính là những điều kiện ràng buộc thứ nhất của siêu dây Điều kiện ràng buộc này

sẽ dẫn đến việc triệt tiêu các mode Virasoro siêu đối xứng hay siêu Virasoro Thay tọa

độ τ và σ bằng tọa độ nón sáng, σ±=τ±σ , ta có thể viết tensơ năng-xung lượng

(1.67) dưới dạng sau đây:

+ ++

Phần boson vẫn như trường hợp dây boson: