Lý thuyết dây loại II

Tuy nhiên khi các nhà vật lý gặp khó khăn trong việc lượng tử hóa trường hấp dẫn và nhất là khi thấy trong phổ trạng thái của dây, có trạng thái tương ứng với những đặc trưng của lượng t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TRẦN TIẾN MẠNH

LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ DẪN KHOA HỌC:TS Phạm Thúc Tuyền, Trường Đại học Khoa Học

Tự Nhiên-ĐHQGHN

Hà Nội – Năm 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TRẦN TIẾN MẠNH

LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số:60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phạm Thúc Tuyền, Trường Đại học Khoa

Học Tự Nhiên-ĐHQGHN

Hà Nội – Năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS.TS Phạm Thúc Tuyền, là người đã trực tiếp hướng dẫn tôi rất chu đáo và tận tình giúp đỡ tôi trong

suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô, tập thể cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội vì đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn

thành luận văn

Qua đây, tôi cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có thể hoàn thành luận văn này

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn có nhiều thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn

Một lần nữa, tôi xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Học viên

Trần Tiến Mạnh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DÂY 3

1.1 Cơ sở lý thuyết cổ điển dây boson 3

1.1.1 Hàm tác dụng, nghiệm của phương trình chuyển động và điều kiện ràng buộc 4

1.1.2 Bất biến Poincaré 8

1.1.3 Lượng tử hóa dây boson 10

1.2 Lý thuyết siêu dây cổ điển 15

1.2.1 Siêu đối xứng trên trang đời 15

1.2.2 Siêu dây cổ điển 17

1.2.3 Điều kiện ràng buộc của siêu dây-Các toán tử siêu Virasoro 20

1.2.4 Lượng tử hóa siêu dây 23

1.2.5 Siêu đại số Neveu – Schwarz và Ramond 25

CHƯƠNG 2: TRƯỜNG DÂY 33

2.1 Phiếm hàm trường siêu dây đóng 34

2.1.1 Phiếm hàm trường cho các khu vực của siêu dây đóng 34

2.1.2 Biến đổi gauge phiếm hàm trường dây 38

2.2 Hình thức luận BRST(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin) 38

2.2.1 Tích BRST trong đối xứng gauge 39

2.2.2 Trường ma 39

2.2.3 Trường siêu ma 41

2.2.4 “Tích BRST” cho siêu dây đóng 46

2.2.5 Phiếm hàm trường dây mở rộng 47

CHƯƠNG 3: LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II 49

3.1 Tổng quan về các lý thuyết siêu dây 49

3.2 Spinơ trong Không thời gian D 10 (hoặc 11) chiều 51

3.3 Lý thuyết dây loại II 55

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH ẢNH

Hình 1.1 (a) Tham số hóa đường đời của một hạt.(b) Tham số hóa trang đời của một dây mở 4 Hình 3.1 Quan hệ giữa các lý thuyết dây khác nhau 51 Bảng tóm tắt các lý thuyết dây 49

có QCD, lý thuyết dây được rất ít người quan tâm trong một thời gian khá dài Tuy nhiên khi các nhà vật lý gặp khó khăn trong việc lượng tử hóa trường hấp dẫn và nhất

là khi thấy trong phổ trạng thái của dây, có trạng thái tương ứng với những đặc trưng của lượng tử trường hấp dẫn: không khối lượng, spin bằng 2, lý thuyết dây mới lại được chú ý trở lại Hiện nay nó trở thành mối quan tâm hàng đầu của lý thuyết trường

và hạt cơ bản

Ban đầu, bằng cách tương đối tính hóa dây cổ điển trong không gian D chiều, người ta thu được một lý thuyết, gọi là lý thuyết dây boson Để các trạng thái kích thích của nó tuân theo các quy luật của bất biến Lorentz, số chiều tới hạn của không – thời gian phải bằng 26 Để giải thích việc chúng ta không quan sát được các chiều phụ ngoài bốn chiều thực của không - thời gian Minkowski, người ta giả sử các chiều ngoại phụ ở kích thước nhỏ chúng bị xoắn, cuộn lại với nhau (compact hóa) tạo thành không gian Calabi – Yau và ở kích thước lớn sẽ không quan sát được Số chiều D 26 là một con số quá lớn so với số chiều là bốn của không – thời gian Minkiwski, do đó việc compact hóa không gian với số chiều ngoại phụ D 4 theo cách thức của lý thuyết Kaluza – Klein, sẽ gặp khó khăn khó lòng có thể vượt qua được Hơn nữa, lý thuyết dây boson không mô tả được trạng thái tương ứng với hạt fermion (hạt mô tả trường vật chất) Như vậy lý thuyết dây boson chỉ thích hợp khi mô tả trường tương tác (boson), không thích hợp khi mô tả trường vật chất (fermion)

Để khắc phục nhược điểm của lý thuyết dây boson người ta siêu đối xứng hóa

nó bằng cách đưa thêm vào các tọa độ spinơ phản đối xứng, còn gọi là tọa độ lẻ trên trang đời hoặc trong không thời gian và xét các phép biến đổi qua lại giữa các tọa độ không – thời gian, tọa độ boson, với các tọa độ siêu đồng hành spinơ của chúng Lý thuyết dây chứa siêu đối xứng được gọi là lý thuyết siêu dây Lý thuyết siêu dây có rất nhiều ưu điểm Số chiều tới hạn của không – thời gian chỉ còn là D 10 Trong lý thuyết siêu dây có cả trường tương tác boson và trường vật chất fermion, các phân kỳ xuất hiện trong lý thuyết trường lượng tử thông thường đều được tự loại bỏ, bởi vì, bậc

tự do boson và fermion là bằng nhau và sự đóng góp vào phân kỳ của hai loại trường boson và fermion có giá trị bằng nhau và trái dấu

Khi ta lượng tử hóa lý thuyết siêu dây chúng ta có năm phương án để mô tả lý thuyết trường siêu dây Đó là: lý thuyết dây loại I, lý thuyết dây IIA, lý thuyết dây IIB,

II vẫn tồn tại những dây mở tương tác với dây cơ bản, gọi là các p-brane

Do đó trong luận văn này, tôi chọn đề tài nghiên cứu: Lý thuyết dây loại II, bởi

vì nó chứa đựng những nét tinh túy nhất của lý thuyết dây và hiện đang là những đối tượng được quan tâm nhiều nhất

Cấu trúc luận văn

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm có 3 chương, cụ thể:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết dây

Chương 2: Trường dây

Chương 3: Lý thuyết dây loại II

Tương tự như hạt điểm, khi vận động trong không thời gian hạt điểm vẽ nên một đường cong một chiều gọi là “đường đời” (world-line), một dây chuyển động sẽ quét một mặt cong hai chiều, gọi là “trang đời’’ (world-sheet) Tổng quát hơn, một đối

tượng p chiều (p-brane) sẽ quét nên một đa tạp với số chiều p1 gọi là “quyển đời” (world-volum)1

Trong mọi lý thuyết dây hiện nay, chiều của không thời gian đều lớn hơn 4, cho nên trong luận văn này, chiều của không thời gian nói chung sẽ được ký hiệu là D Metric tổng quát sẽ được ký hiệu là g AB hoặc ab, trong khi metric Minkowski (metric phẳng) sẽ được ký hiệu bằng  Cho không thời gian Minkowski D chiều là

1, 1, 1, , 1

AB diag

     , cho trang đời là  diag 1, 1 Nói chung khi nào có thể,

ta sẽ dành chỉ số ,  để chỉ không thời gian 4 chiều

Hệ đơn vị là c  1 cho nên, mọi đại lượng đều hoặc không thứ nguyên, hoặc có thứ nguyên là lũy thừa âm hoặc dương của năng lượng

Hình 1.1 (a) Tham số hóa đường đời của một hạt

(b) Tham số hóa trang đời của một dây mở Trang đời được tham số hóa bằng hai đại lượng không thứ nguyên,  (tựa thời gian) và  (tựa không gian), mỗi điểm của trang đời sẽ được nhúng vào không thời gian bằng D hàm số vô hướng:

1

Trong một số tài liệu tiếng Việt, world-line, world-sheet được dịch thành đường thế, lá thế, …, chúng tôi tránh chữ “thế”, vốn được dùng để dịch từ potential

4

( , ),

X  X   0,1, ,D1 (1.1a) Tham số biến thiên trong miền sau đây:

Trong đó, h  XX, là metric của không thời gian cảm sinh trên trang đời, 

là đạo hàm theo  hoặc  , còn h là giá trị tuyệt đối định thức h:

Hàm tác dụng (1.2a) được gọi là hàm tác dụng Nambu-Goto [1] Nguyên lý tác dụng tối thiểu yêu cầu diện tích trang đời phải cực tiểu

Hàm tác dụng Nambu-Goto (1.2a) mặc dù có ý nghĩa hình học rõ ràng nhưng do tính chất phi tuyến, chứa dấu căn bậc hai trong tích phân, nên nó gây khó khăn khi lượng tử hóa Polyakov đã đề xuất hàm tác dụng sau đây:

trong đó, là metric trên trang đời còn   detab  d2 là độ đo bất biến, tương

tự như trong lý thuyết tương đối rộng L dùng để ký hiệu Lagrangian của dây

Các hệ số không đổi 2, 2 và 1/ n trong khai triển Fourier của nghiệm, thuần túy chỉ

vì sự tiện dùng sau này Các hệ số n được gọi là các mode dao động hay các dao động tử Nghiệm riêng của phương trình sóng có dạng hàm mũ với số mũ là in

tương ứng với hai dao động tử trái và phải Điều kiện Neumann kéo theo dao động tử trái và phải là bằng nhau và chúng tạo thành sóng dừng Điều kiện thực của sẽ kéo theo:

T  XX  XX (1.13)

đƣợc gọi là tensơ năng-xung lƣợng của dây Nhƣ vậy, điều kiện để hàm tác dụng bất

biến đối với phép biến đổi metric là tensơ năng-xung lƣợng T phải không vết:

Nếu thay cho biến  ,  ta dùng    , gọi là tọa độ nó sáng, tensơ T trở thành

T  XX và điều kiện không vết (1.14) sẽ có dạng:

đƣợc gọi là mode Virasoro Nhƣ thế nghĩa là, mode Virasoro là hệ số Fourier của tensơ

năng-xung lƣợng T Từ điều kiện ràng buộc (1.16) suy ra:

Điều kiện để hàm tác dụng bất biến đối với phép tái tham số hóa và phép biến đổi Weyl là mode Virasoro phải triệt tiêu:

8

x,p ,  m, n im  m n ,0,  m, n im  m n ,0,  m, n0 (1.22b) cho dây đóng

Từ các móc Poisson cho các mode dao động, suy ra móc Poisson cho các mode Virasoro:

1.1.2 Bất biến Poincaré

Hàm tác dụng (1.3) phải bất biến đối với nhóm biến đổi toàn xứ Poincaré:

, T

X X b  g g (1.24) Khi  1, ta có phép tịnh tiến, còn khi b 0, ta có phép biến đổi Lorentz

Đối với phép tịnh tiến:

21,

Từ phương trình chuyển động suy ra dòng này bảo toàn Khi đó, sử dụng (1.8a) cho

X, ta thu được toán tử sinh cho năng xung lượng:

1 2

2 1

1

m m m m m

10

0 1



1.1.3 Lượng tử hóa dây boson

Lượng tử hóa dây cũng được thực hiện theo quy tắc lượng tử hóa của hệ có ràng buộc trong lý thuyết trường lượng tử

Có hai cách lượng tử cơ bản, đó là áp đặt trường tọa độ và xung lượng liên hợp (1.20) với chúng thành các toán tử Hermitian tác dụng trong không gian Fock các trạng thái của dây Giao hoán tử của chúng được suy ra từ móc Poisson theo quy tắc:

trong đó a là một số cần xác định Điều này giống như cách thức Gupta-Bleuler thay

điều kiện Lorentz A 0 trong điện động lực học lượng tử bằng yêu cầu chỉ thành phần ứng với tần số dương của toán tử A là triệt tiêu các trạng thái photon vật lý

Cách lượng tử hóa thứ hai, có ý nghĩa hình học rõ ràng hơn, đó là lượng tử hóa BRST [20] Theo cách này, người ta đưa vào trường ma Faddeev-Popov và xét không gian Fock rộng hơn, bao gồm các các trạng thái ma và phản ma Do yêu cầu hạn chế đối với luận văn thạc sĩ, chúng tôi chỉ đi sâu vào phương pháp thứ nhất trong chương II của Luận văn này

Như vậy, ta xét các hệ thức giao hoán chính tắc đồng thời gian (để đơn giản ta

bỏ dấu mũ trên các toán tử):

Từ (1.39) suy ra hệ thức giao hoán giữa các mode dao động tử nhƣ sau:

Đối với dây mở:

12

Điều này nghĩa là, nếu chọn trạng thái cơ bản có chuẩn dương thì  sẽ có chuẩn âm Trạng thái có chuẩn âm được coi là không có ý nghĩa vật lý Chúng thường được gọi là trạng thái tachyon hay siêu quang, vì chúng có tốc độ lớn hơn tốc độ ánh sáng Khối lượng của hạt là giá trị riêng của toán tử 2

M Chẳng hạn, ở trạng thái  , giá trị riêng của toán tử khối lượng sẽ là:

Các mode Virasoro trở thành toán tử Virasoro Tuy nhiên, chúng không thỏa mãn đại số Witt (1.23) mà thỏa mãn đại số Virasoro lượng tử, có thêm số hạng dị thường Chẳng hạn, cho dây mở, có thể tính trực tiếp:

m m n m

thì khi n 0 ta phải xắp xếp lại

Để tránh sự bất định này, cũng như trong trường hợp QED, ta sẽ thay điều kiện 0

n

L  , n , bằng điều kiện: Với mọi trạng thái vật lý  :

† 0

13

Do tính bất biến bảo giác, ta có thể chứng minh rằng, không phải tất cả D tọa độ

của một điểm trên trang đời đều độc lập, chúng luôn được tách thành một thành phần

“thời gian”, một thành phần “dọc” và D2 thành phần ngang, và chỉ những thành phần ngang mới được coi là những bậc tự do độc lập cần phải lượng tử hóa Cách làm này được gọi là lượng tử hóa nón sáng Khi đó, đặt:

Kết quả là ta chỉ còn D2 mode dao động i

là độc lập và [20]:

2 2

k

 phải tương ứng với hạt không khối lượng Theo (1.50a), cho trường hợp N 1:

1

Tìm điều kiện đối với chiều D26 của không thời gian có phức tạp hơn Có nhều cách để thu được kết quả trên Sau đây, ta tìm nó từ điều kiện a  1 và hệ thức lượng tử hóa của các dao động tử

Thực vậy, sự xuất hiện của a là vì trong biểu thức của L , ta không xác định 0

được thứ tự của các mode dao động Để tìm hệ số a , nếu chọn một thứ tự tích chuẩn

làm chuẩn, thì một nửa trong biểu thức cổ điển của L đã được thỏa mãn, nửa còn lại 0

để về tích chuẩn, ta cần đổi thứ tự các dao động tử Theo hệ thức giao hoán (1.41), ta có:

14

2 0

Suy ra những trạng thái khối lượng đầu tiên của dây mở sẽ là [22]:

N = 0 trạng thái 0; k , với khối lượng là:M2  1 Như vậy, trạng thái chân không của dây boson là tachyon

Việc a1 và D26 suy ra, đóng góp của mỗi bậc tự do boson vào năng lượng của trạng thái chân không là 1/ 24

N = 1, i1 0;k là vectơ boson mô tả trạng thái không khối lượng Vectơ này có

24 thành phần và là biểu diễn vectơ của nhóm SO 24

N = 2 , những trạng thái có khối lượng khác không đầu tiên là:

Như vậy, tổng số thành phần tương ứng với mức khối lượng này là 324 Nó đúng bằng

số thành phần của một biểu diễn tensơ cấp 2 đối xứng và không vết của SO 25 :

25 26

1 3242

Đối với dây đóng, ta có hai tập hợp các mode dao động: dao động sang phải và sang trái Phổ của chúng có thể suy ra từ trường hợp dây mở bởi vì trạng thái dây đóng

là tích trực tiếp của mode phải và trái, trong đó, mỗi thừa số có cấu trúc như của trạng thái dây mở Khối lượng của các trạng thái thuộc phổ dây đóng sẽ là:

15

Các trạng thái ở mức khối lượng đầu tiên là:

N = 0 đó là trạng thái 0;k , với khối lượng là: 2

4

M

   Đó vẫn là tachyon

N = 1, ij  i1 i1 0;k là tập hợp gồm 242 576 thành phần boson mô tả trạng thái không khối lượng Tensơ ij được tách thành tổng trực tiếp của tensơ đối xứng không vết, vết và tensơ phản đối xứng:

1.2 Lý thuyết siêu dây cổ điển

Điều kiện D 26 đối với chiều của không thời gian và sự không có mặt trạng thái fermion chứng tỏ rằng, dây boson không thể là một lý thuyết thực tiễn Ta sẽ chứng tỏ rằng, trong lý thuyết siêu dây dựa trên việc siêu đối xứng hóa dây boson sẽ chứa cả fermion lẫn boson, đồng thời số chiều tới hạn của không thời gian giảm xuống chỉ còn 10

D

1.2.1 Siêu đối xứng trên trang đời

Để siêu đối xứng hóa dây boson, ta có hai cách tiếp cận

Một trong số những cách tiếp cận đó được gọi là hình thức luận Green-Schwarz (GS) Theo hình thức luận này, ta sẽ xét nhóm siêu đối xứng của không thời gian và từ

đó suy ra sự tồn tại của siêu trường trong trang đời Ta cũng không xét đến cách tiếp cận này trong luận văn

Cách tiếp cận thứ hai mà ta sẽ trình bày trong luận văn được gọi là hình thức luận Ramond-Neveu-Schwarz (RNS) Theo hình thức luận này, trên trang đời, ngoài tọa độ mà ta gọi là tọa độ chẵn, ta còn có , A A1, 2, gọi là các tọa độ lẻ Khi

đó, ngoài D tọa độ dây vô hướng Lorentz X, ta còn có D tọa độ dây vô hướng

Lorentz khác, , gọi là bạn đồng hành fermion của X Trên trang đời,

là các spinơ 2 thành phần phản giao hoán:

Phép biến đổi siêu đối xứng trên trang đời sẽ trộn lẫn tọa độ boson và fermion Trước hết, ta xét siêu đối xứng toàn cục (global), với tham số biến đổi  không phụ thuộc vào tọa độ  ,  của trang đời Đến khi cần tìm điều kiện ràng buộc, ta sẽ xét đến phép biến đổi siêu đối xứng định xứ (local)      , 

Để tìm hàm tác dụng bất biến siêu đối xứng toàn cục, ta đưa thêm vào tọa độ

phụ boson B Khi đó, số tọa độ boson mới cân bằng với số tọa độ fermion

Xét phép biến đổi siêu đối xứng sau đây:

i i

   

thỏa mãn đại số Clifford:

1.2.2 Siêu dây cổ điển

Với hàm tác dụng (1.56), tất cả các kết quả đã thu được cho dây boson vẫn còn đúng trong trường hợp siêu dây và do đó, ta chỉ cần đi tìm các nghiệm đối với các tọa

độ fermion Đối với các tọa độ fermion, áp dụng phương trình Euler-Lagrange, chúng

ta thu được phương trình chuyển động cho :

0

 



Đó chính là phương trình Dirac cho hạt có khối lượng bằng không

Tương tự như trong trường hợp dây boson, đối với siêu dây mở, người ta đặt các điều kiện biên, còn đối với siêu dây đóng, người ta đặt điều kiện tuần hoàn hoặc phản tuần hoàn Điều kiện biên đối với tọa độ boson không thay đổi Đối với tọa độ fermion,

để tích phân trên biên triệt tiêu:

                   

ta cần đặt điều kiện giữa các thành phần khác nhau của  ở từng đầu của dây

Lý thuyết cho siêu dây đóng mặc dù có hình thức phức tạp hơn nhưng thực chất,

nó chỉ là tích tensơ của hai lý thuyết siêu dây mở

a Điều kiện cho nghiệm siêu dây mở

1 2

1

2

ir r

1 2

1( , )

2

ir r

/ 0

1( , )

2

in n

Ta sẽ dùng m n để chỉ số nguyên và , , , , r s để chỉ số bán nguyên Nhƣ vậy, khu vực

NS, ta có b -dao động tử, với chỉ số bán nguyên, còn trong khu vực R, ta có các d -dao

dộng tử, với chỉ số nguyên

b Điều kiện cho nghiệm siêu dây đóng

- Khu vực NS – NS :

2 ( ) 1

1 2

1

2

ir r

1 2

1( , )

2

ir r

20

2 ( ) 1

1 2

1

2

ir r

/ 0

1( , )

2

in n

1 2

1( , )

2

ir r

/ 0

1( , )

2

in n

T  XX             (1.67)

phải là không vết:

T  X X    T  X X    (1.69) Các hệ số Fourier của T sẽ cho ta mode siêu Virasoro nhƣ sau:

    1

0

b f in

được gọi là siêu dòng của dây Thông thường để đơn giản, chỉ số spinơ A thường được

bỏ qua Siêu dòng J có tính bảo toàn, tức là:

0

J



23

Như vậy, bên cạnh điều kiện không vết đối với tenxor năng xung lượng , ta còn có điều kiện ràng buộc sau đây đối với siêu dòng:

()AB J A  0 (1.82b) Dùng biến số nón sáng     , siêu dòng sẽ thành J , và điều kiện (1.82b) sẽ

có dạng:

0

Ta cũng có hệ số khai triển Fourier của siêu dòng Ví dụ, cho siêu dây mở:

- Khu vực NS, mode Fourier với chỉ số bán nguyên được ký hiệu là G :

Tóm lại, điều kiện ràng buộc các nghiệm của phương trình siêu dây sẽ được diễn

tả thông qua tensơ năng-xung lượng và siêu dòng trong tọa độ nón sáng là:

0

T T J J  (1.84)

1.2.4 Lượng tử hóa siêu dây

Siêu tọa độ tuân theo hệ thức phản giao hoán chính tắc đồng thời gian như sau:

     a( , ), b v( , ')     v ab (  ') (1.85)

Từ đây ta thay các khai triển theo mode dao động của các tọa độ fermion sẽ tìm được các hệ thức phản giao hoán cho các siêu dao động tử

a Siêu dây mở

d0,d0 v (1.89) Điều này nghĩa là, nếu tái chuẩn d0:  i 2d0, hệ thức trên trùng với đại số Clifford của các ma trận Dirac:

Như vậy, tập hợp các trạng thái cơ bản của khu vực R phải cho ta một biểu diễn của đại

số Clifford Đó chính là biểu diễn spinơ của nhóm SO 1,9 Chân không trong khu vực R sẽ là một spinơ, nó sẽ được viết dưới dạng a , với là chỉ số spinơ:

0

1 0

2 ba

Vì trạng thái cơ bản của khu vực R là fermion, các dao động tử n và dn, n0 đều

là vectơ, cho nên, khi tác động lên chân không, ta thu được các trạng thái kích thích cũng là những fermion

25

1.2.5 Siêu đại số Neveu – Schwarz và Ramond

Khi lượng tử hóa siêu dây, các mode Virasoro L n và các hệ số Fourier của siêu dòng G s, F n cũng trở thành toán tử Các toán tử được gọi chung là toán tử siêu Virasoro Đại số mà các toán tử này thỏa mãn, sẽ được gọi là siêu đại số Ta sẽ có hai siêu đại số Neveu-Schawrz và Ramond Giống như trường hợp dây boson, các siêu đại

số này đều có số hạng dị thường

a Cho siêu dây mở

Hệ số Fourier của tensơ năng - xung lượng siêu dây là

Đây là siêu đại số Ramond (R)

b Cho siêu dây đóng

Ta định nghĩa các toán tử Virasoro và siêu dòng của siêu dây đóng nhƣ sau:

k

G   b 

(1.94)

- Khu vực NS - R :

28

Cũng giống như trường hợp dây boson, do sự tồn tại những số hạng dị thường, điều kiện ràng buộc đối với toán tử Virasoro L n 0 cũng sẽ chỉ đặt ra đối với các trạng thái vật lý 

Một trạng thái  được gọi là vật lý nếu chúng thỏa mãn các điều kiện sau đây:

0, 2

0, 2

R NS

n n

k s

0, 2

n n

k k

Ta có thể minh họa kết quả a NS 1/ 2 thông qua một ví dụ [17] Xét trạng thái

 thuộc khu vực NS của dây mở đƣợc định nghĩa thông qua các điều kiện nhƣ sau:

1

0 2

1/2

G

Để là trạng thái vật lý nó phải bị triệt tiêu bởi tất cả toán tử siêu Virasoro, trong

đó, các toán tử G và điều kiện mặt khối

Từ điều kiện thứ nhất của  , dễ dàng suy ra:

L0 a NS  0 (1.107) Tiếp theo, sử dụng siêu đại số NS (1.92) cho dây mở, ta có: