Ứng dụng số phức tính tổng

Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học.. Bằng việc kết h

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12 Ta biết sự ra đời của

số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công thức eiπ10) Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán

để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên

có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ

Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế Giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học

để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết Một trong các vấn đề

tôi xây dựng là dạng toán “Ứng dụng số phức để tính tổng của các k C n ” trên cơ sở

khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton

Để nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này có tính thực tiễn trong công tác giảng dạy chung của nhà trường, rất mong được sự đóng góp ý kiến xây dựng và bổ xung của các đồng chí trong tổ chuyên môn và các đồng nghiệp khác

Vĩnh Yên, ngày 20 tháng 5 năm 2009

Người thực hiện

Lê Hồng Thái

khongbocuoc.com

NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT:

1- Khai triển nhị thức Newton:

Với mọi x và với mọi nN* ta có:

(1 + x)n = C0n xC1n x2C2n  xn-1Cnn-1xnCnn

2- Các tính chất của số phức dùng trong đề tài:

* Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ bằng nhau khi và chỉ khi x = x/ và y = y/

* z = r(cos + isin)  zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn)

* Giải phương trình: x3 – 1 = 0

Ta được các nghiệm là x1 = 1; i

2

3 2

1 2

2

3 2

1 3

x   Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1

2

3 2

1

2

3 2

1 2

ε  

 và ε có các tính chất sau:

1) ε + 2ε = -1 2) ε  3 1 3) ε3k  1 4) ε3k1ε 5) ε3k2 ε2

(k – nguyên)

3- Khi nào thì dùng số phức để tính tổng của các k C ? n

Đây là vấn đề lớn nhất cần chú ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng của

các Ckn khi tổng này có hai đặc điểm:

* Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau

khongbocuoc.com

* k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư (trong chương trình phổ thông ta chỉ cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2)

4- Các tổng của k C n được tính như thế nào ?

* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính

* Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là

6



 ,

4



 ,

3



 ) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai

cách tính

* Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính

* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị Cộng vế theo

vế các đẳng thức thu được Suy ra giá trị của tổng cần tìm

Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một

trong các cách trên Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các k C trong tổng Để nói chi tiết n

được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho

từng dạng, qua đó người đọc sẽ tự trả lời được câu hỏi: Để tính tổng này ta phải làm gì?

II- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ:

Dạng 1:Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức

Ví dụ 1:

khongbocuoc.com

Tính tổng A = 2008

2009 C

2006 2009 C

2004 2009 C

6 2009 C

4 2009 C

2 2009 C

0 2009

2009 C

2007 2009 C

2005 2009 C

7 2009 C

5 2009 C

3 2009 C

1 2009



Giải:

Xét khai triển:

2009 C 2009 x

2008 2009 C 2008 x

2 2009 C 2 x

1 2009 xC

0 2009

Cho x = - i ta có:

2009 C 2009 i

2008 2009 C 2008 i

2 2009 C 2 i

1 2009 iC

0 2009

2009 C

2006 2009 C

2004 2009 C

6 2009 C

4 2009 C

2 2009 C

0 2009

2009

2007 2009 C

2005 2009 C

7 2009 C

5 2009

3 2009 C

1 2009

Mặt khác:





























































4

2009π isin

4

2009π cos

2009 ) 2 (

2009 4

π isin 4

π cos 2009 ) 2 ( 2009 i) (1

2

2 i 2

2 2009 ) 2 ( 4

π isin 4

π cos 2009 ) 2

























So sánh phần thực và phần ảo của (1 – i )2009 trong hai cách tính trên ta được:

A = C02009C22009C42009C62009 C20042009 C20062009 C20082009 = 21004

2009 C

2007 2009 C

2005 2009 C

7 2009 C

5 2009 C

3 2009 C

1 2009

Ví dụ 2:









50 C 25 3

48 50 C 24 3

46 50 C 23 3

4 50 C 2 3

2 50 3C

0 50

C 50 2 1

Giải:

Xét khai triển:

khongbocuoc.com







































50 C 50 ) 3 (i

49 50 C 49 ) 3 (i

2 50 C 2 ) 3 (i

1 50 )C 3 (i

0 50

C 50 2 1

50 i 2

3 2

1























50

50 ) 3 (

48 50 C 48 ) 3 (

46 50 C 46 ) 3 (

4 50 C 4 ) 3 (

2 50 C 2 ) 3 (

0 50

C 50 2

1

C

+ 3C150 ( 3)3C350 ( 3)5C550 ( 3)47C5047 ( 3)49C4950 i

50 2

1











Mặt khác:

2

3 i 2

1 3

100π isin

3

100π cos

50 3

2π isin 3

2π cos

50 i 2

3 2











































































So sánh phần thực của

50 i 2

3 2

1



















 trong hai cách tính trên ta được:

C =

2

1 50

50 C 25 3

48 50 C 24 3

46 50 C 23 3

4 50 C 2 3

2 50 3C

0 50

C 50 2

Ví dụ 3:

20 C

18 20 3C

16 20 C 2 3

6 20 C 7 3

4 20 C 8 3

2 20 C 9 3

0 20 C 10

Giải:

Xét khai triển:

20 C

19 20 C 3 i

18 20 C 2 ) 3 (

2 20 C 18 ) 3 (

1 20 C 19 ) 3 i(

0 20 C 20 ) 3 (

20 i

20 C

18 20 3C

16 20 C 2 3

6 20 C 7 3

4 20 C 8 2 20 C 9 0 20 C 10









20 C 3

17 20 C 3 ) 3 (

3 20 C 17 ) 3 (

1 20 C 19 ) 3 (

Mặt khác:







































6

20π isin 6

20π cos 20 2

20 6

π isin 6

π cos 20 2

20 2

1 i 2

3 20 2

20 i 3

i 3 19 2 19 2 i 2

3 2

1 20 2 3

4π isin 3

4π cos 20

























khongbocuoc.com

So sánh phần thực của  20

i

3  trong hai cách tính trên ta có:

20 C

18 20 3C

16 20 C 2 3

6 20 C 7 3

4 20 C 8 3

2 20 C 9 3

0 20 C 10

Dạng 2: Khai triển (1 + x) n , đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những

số phức thích hợp

Ví dụ 1:

30 29C

27 30 27C

25 30 25C

7 30 7C

5 30 5C

3 30 3C

1 30

30 30C

28 30 28C

26 30 26C

8 30 8C

6 30 6C

4 30 4C

2 30

Giải:

30 C 30 x

29 30 C 29 x

28 30 C 28 x

3 30 C 3 x

2 30 C 2 x

1 30 xC

0 30

Đạo hàm hai vế ta có:

30 C 29 x 30

29 30 C 28 x 29

28 30 C 27 x 28

3 30 C 2 x 3

2 30 xC 2

1 30

Cho x = i ta có:

30 29C

27 30 27C

25 30 25C

7 30 7C

5 30 5C

3 30 3C

1 30

30 30C

28 30 28C

26 30 26C

8 30 8C

6 30 6C

4 30 4C

2 30

Mặt khác:























4

29π isin 4

29π cos

29 2 30

29 4

π isin 4

π cos

29 2 30

  i 15.215 15.215i

2

2 2

2 29

2













So sánh phần thực và ảo của 30(1 + i)29 trong hai cách tính trên ta có:

30 29C

27 30 27C

25 30 25C

7 30 7C

5 30 5C

3 30 3C

1 30

khongbocuoc.com

E = 30

30 30C

28 30 28C

26 30 26C

8 30 8C

6 30 6C

4 30 4C

2 30

Ví dụ 2:

20 C 10 20.3

18 20 C 9 18.3

6 20 C 3 6.3

4 20 C 2 4.3

2 20

Giải:

Xét khai triển:

(1 + 3x)20 =

20 C 20 x) 3 (

19 20 C 19 x) 3 (

3 20 C 3 x) 3 (

2 20 C 2 x) 3 (

1 20 x)C 3 (

0 20

Đạo hàm hai vế ta có:

20 3(1 3x)19 =

20 C 19 x 10 3 20

19 20 C 18 x 19 ) 3 (

19

3 20 C 2 x 3 ) 3 (

3

2 20 xC 3 2

1 20 C

Cho x = i ta có: 20 3(1 3i)19=









20 C

19 3 19

17 20 C

17 3 17

5 20 C

5 3 5

3 20 C

3 3 3

1 20 C 3

i

20 20 C 10 20.3

18 20 C 9 18.3

6 20 C 3 6.3

4 20 C 2 4.3

2 20

































3

π isin 3

π cos 19 2 3 20

19 i 2

3 2

1 19 2 3 20

i 19 30.2 19

.2 3 10

i 2

3 2

1 19 2 3 20

3

19π isin 3

19π cos 19 2 3

























So sánh phần ảo của 20 3(1 3i)19trong hai cách tính trên ta có:

20 C 10 20.3

18 20 C 9 18.3

6 20 C 3 6.3

4 20 C 2 4.3

2 20

Ví dụ 3:

khongbocuoc.com

Tính các tổng sau: M = 14

15 15C

12 15 13C

6 15 7C

4 15 5C

2 15 3C

0 15

15 16C

13 15 14C

7 15 8C

5 15 6C

3 15 4C

1 15

Giải:

Xét khai triển:

(1 + x)15 = C150 xC115x2C152 x3C153  x13C1315x14C1415x15C1515

Nhân hai vế với x ta có:

15 C 16 x

14 15 C 15 x

13 15 C 14 x

3 15 C 4 x

2 15 C 3 x

1 15 C 2 x

0 15

Đạo hàm hai vế ta có:

(1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =

15 15 C 15 x 16

14 15 C 14 x 15

13 15 C 13 x 14

3 15 C 3 x 4

2 15 C 2 x 3

1 15 xC 2

0 15 C



Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =









15 15C

12 15 13C

6 15 7C

4 15 5C

2 15 3C

0 15









15 16C

13 15 14C

7 15 8C

5 15 6C

3 15 4C

1 15

Mặt khác:

(1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =         





















4

π isin 4

π cos

14 2 15i

15 4

π isin 4

π cos

15 2



































15.2 i

2

2 2

2 15 2 4

14π isin 4

14π cos i 7 15.2 4

15π isin 4

15π cos

15 2

i 7 2 8 7.2 i 7 2 7 14.2 7

15.2 i

7 2 7





So sánh phần thực và ảo của (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 trong hai cách tính trên ta có:

15 13C

6 15 7C

4 15 5C

2 15 3C

0 15

khongbocuoc.com

N = 15

15 16C

13 15 14C

7 15 8C

5 15 6C

3 15 4C

1 15

Dạng 3: Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị

Để tiện cho việc theo dõi sự biến đổi và các phép tính tôi đưa lại các vấn đề về căn bậc

ba của đơn vị (đã trình bày trong phần I của đề tài):

Giải phương trình: x3 – 1 = 0

Ta được các nghiệm là x1 = 1; i

2

3 2

1 2

2

3 2

1 3

x   Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1

2

3 2

1

2

3 2

1 2

ε  

 và ε có các tính chất sau:

1) ε + 2ε = -1

2) ε  3 1

3) ε3k  1

4) ε3k1ε

5) ε3k2 ε2

(k – nguyên)

Sử dụng các tính chất trên của ε ta có thể tính được các tổng sau:

Ví dụ 1:

20 C

15 20 C

3k 20 C

6 20 C

3 20 C

0 20

Giải:

Xét khai triển:

20 C 19 x

18 20 C 18 x

3 20 C 3 x

2 20 C 2 x

1 20 xC

0 20

Cho x = 1 ta có:

khongbocuoc.com

220 = 20

20 C

19 20 C

18 20 C

3 20 C

2 20 C

1 20 C

0 20

Cho x = ε ta có:

20 C 2 ε

19 20 εC

18 20 C

3 20 C

2 20 C 2 ε

1 20 εC

0 20

Cho x = 2ε ta có:

20 εC

19 20 C 2 ε

18 20 C

3 20 C

2 20 εC

1 20 C 2 ε

0 20

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:

220 + (1 + ε )20 +(1 + 2ε )20 = 3S

Mặt khác: (1ε)20 (ε2)20 ε40 ε; (1ε2)20 (ε)20 ε20 ε2

Do vậy: 3S = 220 – 1 Hay S =

3 1 20

2 

Ví dụ 2:

20 C

16 20 C

1 3k 20 C

7 20 C

4 20 C

1 20

Giải:

Xét khai triển:

20 C 20 x

19 20 C 19 x

18 20 C 18 x

3 20 C 3 x

2 20 C 2 x

1 20 xC

0 20

Nhân hai vế với x2 ta có:

20 C 22 x

19 20 C 21 x

18 20 C 20 x

3 20 C 5 x

2 20 C 4 x

1 20 C 3 x

0 20 C 2

Cho x = 1 ta có:

20 C

19 20 C

18 20 C

3 20 C

2 20 C

1 20 C

0 20

Cho x = ε ta có:

2

20 C

18 20 C 2 ε

4 20 C

3 20 C 2 ε

2 20 εC

1 20 C

0 20

Cho x = 2ε ta có:

khongbocuoc.com

ε (1 + 2ε )20 = ε 20

20 C 2 ε

19 20 C

18 20 εC

3 20 εC

2 20 C 2 ε

1 20 C

0 20

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta có:

220 + 2ε (1 + ε )20 +ε (1 + 2ε )20 = 3T

Mặt khác: 2ε (1 + ε )20 = ε42  ; ε (1 + 21 ε )20 = ε21 1

Do vậy: 3T = 220 + 2 Hay: T =

3 2 20

2 

Ví dụ 3:

20 18C

15 20 15C

3k 20 3kC

6 20 6C

3 20 3C

0 20

Giải:

Xét khai triển:

20 C 20 x

19 20 C 19 x

18 20 C 18 x

3 20 C 3 x

2 20 C 2 x

1 20 xC

0 20

Đạo hàm hai vế ta có:

20 C 19 x 20

19 20 C 18 x 19

18 20 C 17 x 18

3 20 C 2 x 3

2 20 xC 2

1 20

Nhân hai vế (*) với x ta có:

20 C 20 x 20

19 20 C 19 x 19

18 20 C 18 x 18

3 20 C 3 x 3

2 20 C 2 x 2

1 20

Cho x = 1 ta được:

20 C 20

19 20 C 19

18 20 C 18

4 20 C 4

3 20 C 3

2 20 C 2

1 20

Cho x = ε ta có:

20 C 2 ε 20

19 20 εC 19

18 20 C 8 1

4 20 εC 4

3 20 3C

2 20 C 2 ε 2

1 20

Cho x = 2ε ta có:

20 εC 20

19 20 C 2 ε 19

18 20 C 8 1

4 20 C 2 ε 4

3 20 3C

2 20 εC 2

1 20 C 2

khongbocuoc.com

Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có:

20[219 + ε (1 + ε )19 + ε2(1 + ε2)19 ] = 3P - 0

20 C Mặt khác: ε (1 + ε )19 = ε(ε2)19 ε39 1

ε2(1 +ε2)19 = ε2(ε)19 ε211

Vậy 3P = 1 + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 Suy ra P = 13

3

20 10.2 

III- MỘT SỐ BÀI TẬP:

1- Tính các tổng sau:

30 C

29 3 29

27 30 C

27 3 27

5 30 C

5 3 5

3 30 C

3 3 3

1 30 C 3 1

30 30 C 15 30.3

28 30 C 14 28.3

6 30 C 3 6.3

4 30 C 2 4.3

2 30

2.3C 2

Hướng dẫn: Xét khai triển:  30

x 3 1 Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực, phần ảo của hai số phức

ĐS: A1 = 15 3.229; A2 = - 45.229

2- Tính các tổng sau:

24 25 23.24C

22 25 21.22C

8 25 7.8C

6 25 5.6C

4 25 3.4C

2 25 2C

0 25

C 1

25 25 24.25C

23 25 22.23C

9 25 8.9C

7 25 6.7C

5 25 4.5C

3 25 2.3C

1 25

C 2

Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i So sánh phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau

ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214)

3- Tính các tổng sau:

20 20 21C

18 20 19C

16 20 17C

6 20 7C

4 20 5C

2 20 3C

0 20

C 1

khongbocuoc.com

19 20 20C

17 20 18C

15 20 16C

7 20 8C

5 20 6C

3 20 4C

1 20 C 2 2

Hướng dẫn: Xét khai triển: ( 1 + x)20 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Cho x = i

ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210

4- Tính các tổng sau:

99 100 C 2 99

97 100 C 2 97

95 100 C 2 95

7 100 C 2 7

5 100 C 2 5

3 100 C 2 3

1 100 C

2 1

100 100 C 2 100

98 100 C 2 98

96 100 C 2 96

8 100 C 2 8

6 100 C 2 6

4 100 C 2 4

2 100 C 2 2 2

Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250

5- Tính tổng sau:

25 23C

20 25 20C

8 25 8C

5 25 5C

2 25

Hướng dẫn: Xét khai triển của (1 + x)25 Đạo hàm hai vế Sau đó nhân hai vế với x2 Cho

x lần lượt bằng 1, ε,ε2(ba căn bậc ba của 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được ta tìm được E

ĐS: E =

3 1) 24 25(2 

6 – Tính các tổng sau:

40 40 C 2 40

37 40 C 2 37

10 40 C 2 10

7 40 C 2 7

4 40 C 2 4

1 40

C 1

38 40 C 2 38

35 40 C 2 35

11 40 C 2 11

8 40 C 2 8

5 40 C 2 5

2 40 C 2 2 2

39 40 C 2 39

36 40 C 2 36

9 40 C 2 9

6 40 C 2 6

3 40 C 2 3

0 40

C 3

Hướng dẫn: Xét khai triển của ( 1+ x)40 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế

Để có F1 ta cho x lần lượt là 1, ε,ε2(ba căn bậc ba của 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được

khongbocuoc.com