UNG DUNG SO PHUC PTTH LOAI KHA

ĐẶT VẤN ĐỀ : Trong quá trình giảng dạy toán việc hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau là rất quan trọng và cần thiết.. Đặc biệt mỗi khi học sinh tiếp cận

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC

ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A ĐẶT VẤN ĐỀ :

Trong quá trình giảng dạy toán việc hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau là rất quan trọng và cần thiết Đặc biệt mỗi khi học sinh tiếp cận với một lý thuyết mới, người thầy phải khai thác các ứng dụng quan trọng và ưu việt của nó để trang bị cho học sinh, có như thế học sinh mới hứng thú, năng động và sáng tạo trong việc học của mình

Trong chương trình toán phổ thông trung học số phức vừa được đưa vào giảng dạy đại trà được 2 năm Ứng dụng của số phức được giới thiệu ở sách giáo khoa rất ít, các tài liệu viết về ứng dụng số phức rất hiếm Do đó với thời lượng thời gian cũng như lý thuyết

mà các em được học ở trường người thầy phải nghiên cứu và bố trí dạy cho các em một

số ứng dụng quan trọng và nổi bật nhất cho các em Bản thân tôi nhiều năm được phân công giảng dạy các lớp năng khiếu nên điều kiện tiếp xúc với các ứng dụng của lý thuyết

số phức để giải toán khá nhiều vì vậy khi trực tiếp giảng dạy phần số phức ở chương trình toán phổ thông tôi đã trang bị cho học sinh một số ứng dụng mà sách giáo khoa không đề cập đến và dĩ nhiên dạy ứng dụng đó ở thời điểm nào, dạy như thế nào thì sau đây tôi xin

chia sẻ với các đồng nghiệp một bài dạy “Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ

phương trình” nhằm trang bị thêm cho học sinh một công cụ hữu hiệu để giải hệ phương

trình nhằm giúp các em thành công trong các kỳ thi vì đây là một loại toán thường gặp ở các kỳ thi Đại học và học sinh giỏi các cấp

B QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN:

Để học sinh hiểu một cách sâu sắc và có cơ sở lý luận tôi đã dẫn dắt học sinh vào vấn đề đơn giản như sau :

Tìm căn bậc hai của số phức z = a + bi

Ta gọi w = x + iy là một căn bậc hai của z

Ta có : w2 = ⇔z x2 −y2 + 2xyi a bi= +

Vậy ta có hệ :

2 2

2

xy b



Như thế, một hệ phương trình có thể “xuất xứ” từ các phương trình nghiệm phức

Bằng cách đi ngược lại quá trình từ phương trình suy ra hệ phương trình Ta sẽ được quá trình hệ phương trình  phương trình Giải hệ phương trình, so sánh phần thực và phần

ảo, ta được nghiệm của hệ phương trình

I Bước chuẩn bị

1/ Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết số phức, tìm ra những ứng dụng cần thiết nhất từ đó xây dựng chương trình để đưa vào truyền đạt cho học sinh

2/ Chọn bài tập mẫu

Chọn một số bài tập mẫu tiêu biểu phù hợp được các đối tượng : Trung bình, khá

và giỏi để đưa vào giảng dạy nhằm củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, rèn luyện được kỹ thuật ứng dụng của lý thuyết số phức

3/ Phân phối thời gian

Cần phân bố thời gian hợp lý, có phương án đối phó với những tình huống không trả lời được của học sinh

4/ Bước chuẩn bị của thầy và trò

4.1- Chuẩn bị của trò :

* Các kiến thức cơ bản

a) Định nghĩa

* ĐN1 Một số phức là một biểu thức dạng :

a + bi

a, b ∈ ¡ , số i thỏa mãn : i2 = − 1

i : đơn vị ảo

a : phần thực

b : phần ảo

* ĐN2 Hai số phức : z = a + bi với a, b ∈ ¡

z' = a’ + b’i với a’, b’ ∈ ¡

Ta có :

z = z’ '

'

a a

b b

=



⇔  =



b) Phép toán về số phức

(b1) phép cộng (Định nghĩa và tính chất)

(b2) phép trừ (b3) phép nhân (Định nghĩa và tính chất)

(b4) phép chia

• Số phức liên hợp

4.2- Chuẩn bị của thầy :

Giáo án và các dụng cụ dạy học có liên quan

Chuẩn bị bài tập chu đáo

Tìm một số đề thi để giới thiệu

(1) Bài tập mẫu dạy tại lớp :

* Bài 1- Giải hệ :

xy y

* Bài 2 : Giải hệ :

x y y





− = −



* Bài 3 : Giải hệ

2 2

2 2

3

3 3 0

x y x

y

−





* Bài 4- Giải hệ :

1

1

x

x y y

x y





* Bài 5- Giải hệ :

12

3 12

3

x

x y y

x y





* Bài 1- Dụng ý : Để học sinh sử dụng phương pháp khác gặp rất nhiều trắc trở.

Khai thác phương pháp sử dụng số phức dễ dàng hơn

Mặt khác để dẫn dắt học sinh đi đến áp dụng số phức bằng cách cho học sinh bình phương 2

(x yi+ ) = ?

* Bài 2, 3- Rèn luyện kỹ năng áp dụng dạng giống bài 1.

* Bài 4- Dụng ý : Rèn kỹ năng áp dụng bằng thay biến phụ.

* Bài 5- Dụng ý : Rèn kỹ năng thêm trên cơ sở đã hiểu bài 4.

(2) Bài tập tự rèn luyện ở nhà :

* Bài 1

* Bài 2

2

3

2

2 2 12

2

xy y







*Bài 3

4

x y

xy y y



* Bài 4

4

x y





(3)Đồ dùng dạy học



a ) Định nghĩa

* ĐN1 Một số phức là một biểu thức dạng : a + bi

a, b ∈ ¡ , số i thỏa mãn : i2 = − 1 i : đơn vị ảo

a : phần thực

b : phần ảo

* ĐN2.Hai số phức : z = a + bi với a, b ∈ ¡

z' = a’ + b’i với a’, b’ ∈¡

Ta có :

z = z’ ⇔ b b a a== ''



b) Phép toán về số phức

(b1) phép cộng (Định nghĩa và tính chất)

(b2) phép trừ (b3) phép nhân (Định nghĩa và tính chất)

(b4) phép chia

• Số phức liên hợp

• Số phức nghịch đảo

• Phép chia

c) Khai căn bậc hai của số phức

* ĐN : Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa z2 =w được gọi là một căn bậc hai của w

* Cách tìm căn bậc hai của số phức z

d) Dạng lượng của số phức

ĐỒ DÙNG 2 – Bảng trình chiếu

 Bài tập 1 : Giải hệ phương trình





ĐỒ DÙNG 3 - Bảng trình chiếu

 Bài tập 2 : Giải hệ phương trình :

x xy

x y y









ĐỒ DÙNG 4 - Bảng trình chiếu

 Bài tập 3 : Giải hệ phương trình :

2 2

3

3 3

0

x

y















−

+ +

+

 ĐỒ DÙNG 5 – Bảng trình chiếu

 Bài tập 4 : Giải hệ phương trình :

1

1

x

x y

y

x y







ĐỒ DÙNG 6 - Bảng trình chiếu

 Bài tập 5 : Giải hệ phương trình :

12

3 12

3

x

x y

y

x y

  + ÷



  + 





ĐỒ DÙNG 7 - Bảng trình chiếu

BÀI TẬP VỀ NHÀ

 Bài 1

xy y



 Bài 2 2 3 2 8 6 2 2 12 2 x x y x xy y  − − =   − + = −   Bài 3 2 2 3 4 log ( 5) 3 log (2 55) 4 x y x x y x xy y y  + − + − =   + + − = 

 Bài 4 3 2 2 4 log ( 5( 1) 3 log ( 2 5 7) 4 x y x x x y y xy y   + + − −  =     + + − = 

II Bước soạn giảng * Ngày soạn :

* Tiết PPCT : Tên bài : ỨNG DỤNG SỐ PHỨC

(Chuyên đề tự chọn 12 – Nâng cao)

Dạy bồi dưỡng học sinh giỏi

A- Mục đích bài dạy :

1 Kiến thức : Nắm vững kiến thức lý thuyết về Số phức - Ứng dụng số phức.

2 Kĩ năng : Vận dụng số phức vào việc giải hệ phương trình

3 Tư duy : Tư duy logic – tư duy so sánh

Mối quan hệ giữa sự vật và trừu tượng

B- Đồ dùng dạy học :

Bảng trình chiếu : Các đề bài tập

Bảng tóm tắt : Kiến thức cơ bản về số phức

Đề bài tập về nhà

C- Hoạt động dạy và học :

1 Kiểm tra bài cũ : Sẽ hỏi trong quá trình dạy

2 Hoạt động trên lớp:

Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung ghi bảng

* Hoạt động 1 (5 phút)

GV: Trình chiếu kiến thức cơ bản về số phức

GV: Thuyết trình

* Hoạt động 2 (8 phút)

GV: Trình chiếu Bài tập 1

Giải hệ :

xy y

 GV: Em nào giải hệ trên ?

HS: Lúng túng và gặp khó trong việc giải hệ này

GV: Hướng dẫn học sinh sử dụng số phức bằng

cách dùng :

z = a + bi với a, b ∈ ¡

z' = a’ + b’i với a’, b’ ∈ ¡

z = z’ '

'

a a

b b

=



⇔  =

 GV: Gợi mở từ (x yi+ ) 2 = ?

x2 + −x y2 = 5 (1)

2xy y+ = 55 (2)

Nhân 2 vế của (2) với i sau đó cộng vào (1) ta

có :

* Bài tập 1-

xy y

 Bài giải

x2 + −x y2 = 5 (1)

2xy y+ = 55 (2)

Nhân 2 vế của (2) với I sau đó cộng vào (1) ta có :

2

(x yi+ ) + + = +x yi 5 55i

Đặt z = x + yi ta có pt :

z2 + z – 5 – 55i = 0 5 5

6 5

= +



⇔  = − −

 Vậy

5

5 5

6

6 5

5

x

y

= =

 + = +









GV: Trình chiếu Bài tập 2.

2 2

2 2

3

3 3

0

x y

x

y

−





GV : Nếu giải phương pháp thông thường sẽ rất

khó

GV : Thuyết trình

Đk : x2 +y2 ≠ 0

Nhân 2 vế của (2) cho i, ta được

2 2

3

0

+

Cộng vế với vế của (1) và (3) ta được :

3

3

3

3

x y x y

x yi i

x y x y

x yi y xi

x yi

x y

x yi y xi

x yi

x y x y

x yi x yi

x yi

x y x y i

− +

+ + − =

+ +

− − −

⇔ + + =

+

− − −

⇔ + + + =

+ +

− −

⇔ + + + =

+ +

Đặt z = x + yi ta có :

.

GV: (*) => z

Ta có nghiệm (x,y)

* Hoạt động 4 (8 phút)

GV: Trình chiếu Bài tập 3 Giải hệ phương trình

x y y





− = −



GV: Hỏi học sinh giải

HS: Trình bày lời giải

[Nếu không được GV sẽ gợi ý : Nhân 2 vế của

(2) với i rồi cộng vào (1)] Ta có :

3

HS: Viết 1- 3i dưới dạng lũy thừa với số mũ 3.

GV: Gợi ý chuyển về dạng lượng giác

HS: (tiếp tục biến đổi)

2 2

2 2

3

3 3 0

x y x

y

−



 Giải Nhân 2 vế của (2) cho i, ta được

2 2

3 0

+

Cộng vế với vế của (1) và (3) ta được :

2 2

3

3

3

3

x yi

x yi

x yi

+

Đặt z = x + yi ta có :

.

GV: (*) => z

Ta có nghiệm (x,y)

* Bài tập 3: Giải hệ phương trình





− = −



Giải Nhân 2 vế của (2) với i rồi cộng vào (1) Ta có :

3

3

3

3 3

Vậy

3

3

2 cos

9

2 sin 9

x

y

π π

 =





 = −



* Hoạt động 5 (7 phút)

GV: Trình chiếu Bài tập 4 Giải hệ phương trình

1

3 1 2

1

7 1 4 2

x

x y

y

x y

  + =

  + ÷

  



 

 − =

 ÷

  + 



Với x, y ∈ ¡ ;x≥ 0,y≥ 0,x y+ ≠ 0

GV: Đặt ẩn số phụ Chuyển về dạng các bài tập

trên

HS: Đặt 0

0

y

υ





 ta có hệ phương trình :

2 2

2 2

2 2

2 2

1

3 1 2

1

7 1 4 2

2 (1) 3

4 2 (2) 7

u

u

u

u u

u

u

υ

υ υ

υ υ

υ υ









Nhân 2 vế của (2) với i sau đó cộng với (1) ta có :

2 2

u

υ

+

Đặt z = + ⇒u υi u2 + υ 2 =zz Ta có phương trình :

3

3

3

3 3

Vậy

3

3

2 cos 9

2 sin 9

x y

π π

 =





 = −



* Bài tập 4: Giải hệ phương trình

1

1

x

x y y

x y



 Với x, y ∈ ¡

0

y

υ





 ta có hệ phương trình

2 2

2 2

2 2

2 2

1

1

2 (1) 3

4 2(2) 7

u u u u u u u

υ

υ υ υ

υ







⇔



Nhân 2 vế của (2) với I sau đó cộng với

* Hoạt động 6 (6 phút)

GV: Trình chiếu Bài tập 5 Giải hệ phương trình

12

3 12

3

x

x y y

x y



 GV: Học sinh giải

Đk

0

0

x

y

x y

≥



 ≥



 + ≠



Hệ phương đã cho viết lại :

12

3

12

3

x

x y

y

x y





Đặt u 3x

y

υ

 =





=

 Đk:

0 0

u

υ

≥



 ≥



Ta có hệ

2 2

2 2

12

12

u

u u

υ υ

υ





Học sinh về nhà tự giải

2

.

1 0

zz

z

⇔ − + ÷÷ + =

HS: Từ đó tìm z => x,y

* Bài tập 5 : Giải hệ phương trình

12

3 12

3

x

x y y

x y





Đk : x≥ 0,y≥ 0,3x y+ ≠ 0

Hệ phương đã cho viết lại :

12

3 12

3

x

x y y

x y





Đặt u 3x

y

υ

 =





=

 Đk: 3

y

υ

 =





=



Ta có hệ

2 2

2 2

12

12

u u u

υ υ

υ





3 Củng cố dặn dò ( 3 phút):

* Củng cố phương pháp giải hệ phương trình bằng số phức

* Phát hiện các bài toán hệ phương trình mà giải được bằng bằng lý thuyết số phức

* Sưu tập các đề thi tuyển sinh và đề thi học sinh giỏi giải được bằng lý thuyết số phức

* Dạy bài tập về nhà

D- Đánh giá hiệu quả :

Sau khi tiếp thu tiết học này đại đa số học sinh rất là hưng phấn, hiểu bài và say mê hơn với việc tìm ra phương pháp mới để giải quyết các bài toán Khoảng một thời gian sau tôi kiểm tra và đánh giá xem thì kết quả rất khả quan và thu được kết quả như sau :

* Giải hệ phương trình :

2 2



* Giải hệ phương trình :

2 2

xy y





+ =



Lớp 11 - Toán 2

• Giải hệ phương trình :

2 4 2 2 1 1

xy y

 − =



C KẾT LUẬN :

Thực tế việc dạy toán ở trường phổ thông đặc biệt giảng dạy ở các lớp khá giỏi việc tìm tòi nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán là rất quan trọng, phân tích được những ưu khuyết của mỗi phương pháp là rất cần thiết Những việc làm đó mang lại sự hứng thú say mê học môn toán

Bản thân tôi đã nhiều năm giảng dạy toán ở trường phổ thông Điều mà tôi thấy khi thành công trong việc dạy là luôn luôn tìm ra phương pháp mới cho môn dạy toán

Trần Văn Trung

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

SỞ GIÁO ĐỤC – ĐÀO TẠO NINH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN



Đề tài

Giáo viên : TRẦN VĂN TRUNG

Chức vụ : Giáo viên Trường:THPT Chuyên Lê Quí Đôn

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO NINH THUẬN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN



Đề tài

ỨNG DỤNG

Giáo viên : TRẦN VĂN TRUNG

Chức vụ : Giáo viên Trường THPT Chuyên LÊ QUÍ ĐÔN

 Bài tập 1 :  Bài tập 2 :  Bài tập 3 :  Bài tập

4 :

 Bài tập 5 :

 Bài tập 1 :  Bài tập 2 :  Bài tập 3 :  Bài tập

4 :

 Bài tập 5 :