Chuyên đề hệ phương trình cực chất

VD 4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi thì hệ phương trình sau có nghiệm 21... Bài 14: Tìm tất cả các cặp số nguyên a;b sao cho hệ phương trình sau có nghiệm: 2/ Định m nguyên để h

I.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN 4

I.HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 16

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 17

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 29

A.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

c c

a c



+ Nếu D  0: hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất:

x y

D x D D y D

D  hay Dy  0 : hệ phương trình vô nghiệm

Dx = Dy = 0 : hệ phương trình có vô số nghiệm:   x R, được tính theo x

y x

y

D D D

Vậy hệ có vô số nghiệm khi m= -2

VD 4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi thì hệ phương trình sau có nghiệm

21

D a b a b D

2 2

4 1

0 1

a/ tìm m đễ hệ có nghiệm duy nhất Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập với m

b/ Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Bài 5: Cho hệ phương trình: 3 0

Bài 6: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên

1/

2 ( 1) ( 1) 1

Bài 10: Một ca nô chạy trên dòng sông trong 8 giờ, xuôi dòng 135 km và ngược dòng 63

km Một lần khác, ca nô cũng chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng

84 km Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc của ca nô( biết rằng vận tốc thật của ca nô

và vận tốc dòng nước chảy trong cả hai lần là bằng nhau và không đổi)

Bài 11 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p ( mét) Nếu mở rộng miếng đất đó bằng

cách tăng một cạnh thêm 3 mét và cạnh kia thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 246 m2 Tính các kích thước của miếng đất đó ( biện luận theo p)

Bài 12 : Giải và biện luận các hệ phương trình:

Bài 14: Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:

2/ Định m nguyên để hệ nghiệm nguyên có nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên

Bài 20: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên:

Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x.y lớn nhất

Bài 24: Cho hệ phương trình : . 2 2

đồng thời x = 1, y = 3 là một nghiệm trong các nghiệm đó

Bài 27: Cho hệ phương trình: ( 1) ( 1)

2/ Tìm nghiệm gần đúng của hệ, chính xáx đến hàng phần nghìn khi m

Bài 28: Cho hệ phương trình: 3 0

B HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN:

1 Phương pháp:

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng :

khongbocuoc.com

2 2 2

234

x y yz

y z zx

C.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN:

I Hệ phương trình gốm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai:

Từ phương trình bậc nhất, ta tính y theo x ( hay x theo y) và thế vào phương trình bậc hai

để được phương trình bậc hai theo 1 ẩn x ( hay ẩn y)

Ngoài ra, ta cũng có thể đặt ẩn phụ thì hệ phương trình mới có dạng đối xứng, nhưng khi đó

ta cần lưu ý đến điều kiện

* Chú ý: Tính chất của nghiệm đối xứng :

- Nếu ( xo ; y0) là một nghiệm thì ( x0 ; y0) cũng là một nghiệm của hệ Do đó, nếu hệ có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0) thì nghiệm đó cũng là ( y0 ; x0), suy ra x0 = y0

 

321221

S P SP S P

l S

x y xy

Giải:

1/Với m=5, ta có:

khongbocuoc.com

2 2

55

S P S P

2

X X

Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình:

khongbocuoc.com

  là biểu thức hàm bậc hai có hoành độ đỉnh cực tiểu nhỏ nhất tại a= 1 2

2-2Vậy xy đạt giá trị nhỏ nhất tại a=2- 2

S P S P

S P

X2 - 5

2X + 1= 0 

212

X X

22

x

x y

=0 (1) Phương trình có nghiệm khi 2

2 2

a a a X

a a  a

và P=

2

12 322

x y

Bài 5/Giải hệ phương trình:

khongbocuoc.com

2 2

5 )

7

x y a

42

xy b

5

x x y y d

42

a

 , X’= -1  a khi a>0 ,nên để chỉ còn 2 nghiệm a thì a=0 , lúc đó X=x = y=1, X’=x=y= -1 Vậy hệ phương trình có đúng 2 nghiệm là (1:1) , (-1:-1) khi a=0

Bài 9:Cho hệ phương trình 2 2

 giải va biện luận theo m

HD: 1/ Nếu m=-1 Hệ vô nghiệm

khongbocuoc.com

m x

m

m m y

HD:

1/ Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P 0 ta được kết quả x=y=1 2/x,y là nghiệm của phương trình bậc hai X2

– SX + P =0 từ đó ta suy ra giá trị của m đệ hệ

có ít nhất một nghiệm thỏa x>0, y>0 ĐS: m  0;1 hay m 2

x

x y

33

Bài 14: Giải các hệ phương trình sau đây:

1/

104

x y xy

14425

x y xy

x y xy

42

x

x y x

27/

48137

Bài 15 : Tính hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền thì 185m, biết

rằng nếu giảm mỗi cạnh góc vuông đi 4 m thì diện tích giảm 506 m2

Bài 16: Tính các cạnh của một tam giác vuông biết rằng tổng hai cạnh góc vuông là 70m và

tổng cạnh huyền với đường cao tương ứng với nó là 74 m

Bài 17: Xác định m để các hệ phương trình sau có nghiệm:

Định a để hệ có ít nhất 1 nghiệm(x;y) thỏa điều kiện x > 0 và y > 0

Bài 20 : Cho hệ phương trình: x2 y 26

a/ Hệ phương trình vô nghiệm

b/ Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

c/ Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 21: Giả sử x; y là nghiệm của hệ phương trình 2 22 21

Bài 21: Cho hệ phương trình :

2 2

22

a

x y

y a

32

x xy

x y x

Bài 28: Cho hệ phương trình : 2 2

Bài 29: Giả sử (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

Trong đó F(x;y) là biểu thức đối xứng của x,y

Chú ý: i) Có thể ta phải đặt ẩn phụ thì hpt mới có dạng đối xứng, nhưng khi đó ta cần lưu ý

đến điều kiện của ẩn phụ

ii) Nếu các ẩn x,y có cùng một điều kiện thì thay vì giữ nguyên phương trình (2) ta nên cộng hai phương trình lại với nhau để đưa hệ hai về dạng đối xứng loại 1

x x

TH2: y =

1 3 3

Khi đó hệ có nghiệm x = y =

2

42

m m   và x = y =

2

42

m m   (*) TH2: y = -x – m

)

x x y a

Bài 2/ Giải hệ phương trình sau:

3 3

2)

2

x x y a

Bài 3/ Giải hệ phương trình sau:

2

2

1

0 (1) 4

)

1

0 (2) 4

x y a

x y a

23

23

y y x x x y

2 2

22

22

2 2

22

22

2020

32

12

33

x x y

44

Chứng minh rằng hệ có nghiệm duy nhất với mọi a

Bài14 : Giải và biện luận theo m của hệ phương trình:

2 2

22

Xét xem x =0 (hay y=0) có thể là nghiệm của hpt không?

Với x0(hay y0) Đặt y=tx(hay x=ty), ta có:

Chia hai vế của 2 pt ta được 1 pt bậc hai theo ẩn t, từ đó tính x và suy ra y

Chú ý: Đối với hệ pt đẳng cấp bậc ba ta cũng thực hiện tương tự

2 2

2 2

( 1) 1(1) (2 3 4) 3(2)

k k

(3 5 4 ) 38 (1) (5 9 3 ) 15 (1)

2 2

1 2

1 3 2

3

t

x x x x

1 3

Bài 4 : Giải và biện luận hpt theo a:

2 2

Bài 5: Giải hệ phương trình

Bài 9 : Giải hệ phương trình sau:

Đối với hệ phương trình vô tỉ ta còn có một số cách đặt trưng như sau:

a Phương pháp biến đổi tương đương:

khongbocuoc.com

B1:Đặt điều kiện cho các biểu thức có nghĩa

B2:Sử dụng các phép thế nhận được từ hệ một phương trình theo ẩn x hoặc y (đôi

khi có thể là theo cả hai ẩn x, y)

B3: Giải phương trình nhận được bằng các phương pháp đã biết đối với phướng

)1(

3 3

y x y x

y x y x

y x

)1(

)()()

y x

y x y

x y x y

x y

x      y y x

(5) Thay (5) vào (4) :

Nhận xét: Với ý tưởng tạo ra 1 phương trình hệ quả từ hệ và liên tục sử dụng phép thế ta tìm được nghiệm của hệ ban đầu

1 2

2

2

4 9 4

4

x y u

2 2

y x

xy y

x

Giải Điều kiện :x0,y0

Hệ đã cho tương đương với hệ:

164

2

xy y

x

xy y

y x y x

y x

xy y

x y x

khongbocuoc.com

y x

y x

11 11

m x

x x

x

x x





Vậy, với m=49 hệ có nghiệm x=y=11

b Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

Vậy,với m  7 hệ có nghiệm duy nhất

1.Phương pháp:

Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để giải các hệ chứa căn thức là việc sử dụng các ẩn phụ Tuỳ theo dạng của hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn thích hợp

B1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa

B2: Lựa chọn đặt ẩn để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đã biết cách giải

(hệ đối xứng loại I, II và hệ đẵng cấp bậc 2)

B3: Giải hệ B4: Kết luận

Điều kiện:

00

x y

44

4

x y S

Chú ý: Nhiều hệ ở dạng ban đầu chưa thấy sự xuất hiện ẩn phụ, trong trường hợp này ta cần

sử dụng một vài phép biến đổi phù hợp

VD2: Giải hệ phương trình:

khongbocuoc.com

2 2

4128

u v uv

u v uv

80

0

8

84

4

x y u

x y

x y v

x

y v

Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (8,8) (8,-8)

Chú ý: Khi đặt điều kiện để các biểu thức của phương rình, bất phương trình và hẽ có nghĩa

là ta suy ra được cho ẩn từ đó có thể dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ bằng phương pháp lượng giác hóa mà chúng ta đã biết

khongbocuoc.com

sin sin

x y

x y y x

Giải Điều kiện :x 0 ; y 0

x u

3 3

v u

v u uv

Đặt S=u+v ,P=uv ta có:

30

3

PS S

Vậy u, v là nghiệm không âm của phương trình:

2

v

u v

4

y

x y

3)(2

3 3

3 2

y x

xy y x y

v u

v u uv v

(

v u

v u uv uv v

u v u

v u

uv uv

2

v

u v

u

khongbocuoc.com

Vậy hệ có 2 nghiệm là ( 8; 64 ),( 64 ; 8 ) VD6: Giải và biện luận hệ:

22





 và

1 1

v m





Vì điều kiện ,u v0 nên ta có :

2 0 1

1 1

0 1

m m

m m

( 1) 1

c.Phương pháp sử dụng hàm số:

1 Phương pháp:

B1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa

B 2: từ hệ ban đầu chúng ta xáx định được một phương trình hẽ quả theo 1 ẩn hoặc 2

ẩn, giải phương trình này bằng phương pháp hàm số đã biết

Sau đây chúng tôi sẽ đưa ra 1 ví dụ để làm rõ phương pháp trên Đối với một số bạn

muốn tìm hiểu rõ về pp nay thì có thể đọc phần tự học ở cuối sách

VD1:Giải hệ phương trình:

3 4

d.Phương pháp sử dụng đố thị:

khongbocuoc.com

1 Phương pháp:

B1: Bằng các phép biến đổi tương đương, hoặc bằng phép đặt ẩn phụ, ta biến đổi hệ

ban đầu về dạng đa thức, giả sử có hệ: ( , , ) 0

và (C2) : ( , , )g x y m 0

B3: Vận dụng các kiế thức về vị trí tương đối của các đối tượng ta tìm được giá trị

của tham số thoả mãn điểu kiện K

2.Ví dụ:

e.Phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ:

1.Phương pháp:

Phương pháp điều kiện cần và đủ thường tỏ ra khá hiệu qua cho lớp dạng toán:

Tìm điều kiện tham số để:

Dạng 1: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Dạng 2: Hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số

Dạng 3: Hệ phương trình nghiệm đúng với mọi xD

Dạng 4: Hệ phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương trình

khác

Khi đó ta thực hiện theo các bước sau:

B 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của hệ phương trònh có nghĩa

B 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ

B 3: KIểm tra điều kiện đủ, trong bước này cần có được một số kĩ năng cơ bản

Giả sử hệ có nghiệm ( ,x y0 0)(y02,x02) cũng là nghiệm của hệ phương trình Vậy hệ

có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0  y02

VD3: Xác định các giá trị của m để hệ sau có nghiệm:

Giả sử hệ có nghiệm (x y suy ra: 0, 0)

0

0

11

x y

x y

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:

2 2

0

30

)1(

3 3

y x y

x

y x y

y x

(1) ( x  y )6  (3 x y)6

khongbocuoc.com

)()()

y x

y x y

x y x y

x y

x

Thay x=-y vào phương trình (2),ta được : y = -2 x = 2

x y y x

x u

(

3 3

v u

v u uv

Đặt S=u+v ,P=uv ta có:

Tính S ,P rồi suy ra u,v.Tính x,y theo u,v ( so sánh với đk)

3)(

2

3 3

3 2

y x

xy y

x y

v u

v u uv v

6

2 2 2

z y x

z y x

z y x

xyz

zx yz xy

z y x

Hệ có các nghiệm (1 ;4 ; 1 ); (1;1;4); (4;1;1)

Bài 5:

khongbocuoc.com

2 2 2

2

y x y x

y y x y

y x

Bình phương hai vế của pt (1)… thay (2) vào (1)

2 2

y x y x

y x y x

0

y x

y x

Đặt u= x y 0 v= 3x2y 0

1

2 2

u v u

v u

Giải hệ tìm u,v rồi suy ra x,y

x y

x dk y

55

5

1355

.35

5

1355

y y

x x

y y x

x y

y x x

y y x

x

Đặt

)5,(5

x x u

khongbocuoc.com

v u

v u

24713

23

24713

23

24713

23

24713

.36513

v

u

v

u uv

v u

Hệ đã cho vô nghiệm vì

.52

3

24713

722

y x

y x y x

;31

;21

y x y

y x x

Hệ

131222

72249

)13)(

12(2232

.49)22)(

(2232

y x

y x y x

x x

y x y x

y x y x y

x y

x

y x y x y

13

722

1322

12

722

y y

x

y y

x

y x y x

y y

x

x y

x

y x y x

743121

7221

y x

x y

x y

y x y x

x y

khongbocuoc.com

12

y x

y y

y x

22

1

y x

y x

(1) Giải:

()11

(

22

1

x y

y x

y x

Ta thấy (x;y)=(-1;-1) và (x;y)=(2;2) không là nghiệm

11

22

1

x y

x

y x y

x

y x

y x

151

2

1512

151

027

4)2)(

1(23

22

1

2

y

x y

x

x x

y x

x x

y x

y x

y x

Hai nghiệm trên đếi không thỏa điều kiện

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

1

24

y x

y x

(1) Giải:

điều kiện :x0,y0khongbocuoc.com

4

x y

x y

1(2121

10

x x

x y

x

phương trình cuối

4 4

4

2

1)1(2

35

5

4

y x

y x

0,51

4 4

v y v

u x u

15115

16511

22

114

3

4

x y

x v

u v

u v

u

v u

3

y

x y

212

22

12

y x

x

y y

y

x

Đặt

.112

20

2

12

k x

y k

122

12

1212

12

32

y

x y

x

y x

khongbocuoc.com

Vậy hệ đã cho có nghiệm ( 5 ; 7 )

Bài 13: Giải hệ phương trình:

11

1992

199319921

11

1992 2

1

1992 2

1

x x

x

x x

)1

1)(

1

11()1

1(19921993

1992 1

1992 1

2 1992 1

x x

x x

x x

2 1992

1(1992

1

1

1

.1

1

.1

.1

)]

(1992[1992

1992 1

1992 1

1 1

1992 1

1992 1

1992 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

n n

Bài 14:

khongbocuoc.com

2.19971996

.19971998

.1997

)1

1()1

1(

)1

1

;1

1(

.21997

.2

.1997, ,2,1

)1

;1(

.1997

199619971

11

1997

199819971

11

1

1997

1 1997

1

1997

1

2 1997 1

2 1997 1

1997

1

1997 1

1997 1

1

1997 3

2 1

a

x x

x x

a

x x

x x

a a a i

x x

a

x x

x

x x

x x

i i

i i

i

i i

i i

i i

i i i

i i

11

1 1997

11

2 2

y x

y x x

y y

1.1

.22

11

x v u

y x x

y y x v u

Từ kết quả trên hệ đã cho có dạng:

khongbocuoc.com

11

.112

1),cos(

.2

y

ky x

kx y

v k u

u

v u v

u v u u

0))(

2 3 2

3y x x  yx x xyy xy 

y

Dox2 xy y2 xy

>0 nên y-x=0

Từ phương trình (2) của hệ ,ta có : +2x2 4x 2

Do x > 0 nên nghiệm của hệ : x = y = 2

21

12

1

x y y

x y x

Đặt  1x a0; 2yx b0; 12y c0

b a

2

33

10

3

y x y x

y x y x

1010

2

3 3

y x v y

x v

y x u

y x u

2 3 2

x x v u

v u

3

2 3

v x

2

3  v  v

Với v=3-u,thay vào phương trình (3): 5u312u265u1220u2v1.

Vậy nghiệm của hệ : (1;2)

Bài 18:

khongbocuoc.com

15

31

2 2

y x y x

y y

y x

x x

a x

3

3

; Thay vào phương trình (1) của hệ ,ta được:

22

15570

197

y x

x x

;2

557

Bài 19:Giải hệ:

2164

y x y x

y x y x

Giải: Đặt x-y = a ; x+y = b

y x

68

4

40

)2164(

)2164()

2164(

4 9

4

6 9 2

3

2 3

y

x y

x

y x

a a

a

a

b a a

b

b a

Bài 20:

.4121

.21

x

xy z

Giải :Ta co

4

11

012

1.21

4121

2141

2 2

2 2

xy

xy x z

xy yz

x

xy z

01

1141

41

012

1.21

4121

.2141

2 2

2 2

2 2

y x z x

z xy

xy x z

xy yz

x

xy z

xy

Nghiệm của hệ:

)0

;4

1

;1(),0

;4

1

;1

a y x xy

)1()1(

)1)(

1(

Giải : Đặt u xy 0;v (1x)(1y).

.)(1

2

xy y x

u    



Bình phương phương trình thứ hai của hệ:( ) 1 .

2 2

b v

1)

a v u

2

1 b v

2

2 2

2 2

2

12

11

21

2121

b a

b a

y x

b a

xy

b a

v

b a

u

Do đó x,y là nghiệm của pt:

khongbocuoc.com

1)

11(

2 2 2

55

)1(33

2 2

2

x x y

y x

Thay vào (2),ta thấy thoả

Vậy nghiệm của hệ là : (0;0)

(11

)21(2

3

2 2

4 2 2

4 2 2

2 4 2

xy x

x x y

x

y x x

y x y x

221

)(1

)1.(

2)

1(4

2 3 4 2 6 2

4 2 4 2 2

y x x x x y

x

x x y y x

Cộng (1) và (2) theo từng vế ,ta được :

)3.(

1)(

)(1)1(4

12

)(1)1(4

2 2 3 2 2

2

4 2 3 6 2 2

x

y y x x y x y

)(1

2)1(4

2 2 3 2

2 2

y x y x

y x

Nên (3) xảy ra

10

1

11)(

1)(1

.2)1(4

2 3 2

2 2 3

2

2 2

y x

y x

y x

y x

y x

121

2 2

2 2

x x y

y y

x

y x y

x y

x y

x

y x y

x

y x y x y

x

y x y

x

y x y x

y x y x

y x

x x y y

y x

1

121

21)

(

0))(

(11

2121

))(

(

01

121

21

11

2121

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

khongbocuoc.com

Vậy hệ đã cho tương đương

1

2

x x

x

y x

)

2)(

2(1

25

21

4

41

15

21)

1(

2

2 2

x x

x x

.20

521

11

)2(11

1)2(

1(

11

y x

x y y x

ĐK:1 x;y1.

Đặt x = cost ; y = cosz với 0t;z1.

cos1(

1)sin(

2)cos1)(

cos1(

1sin.cossin

.cos

z t

z t z

t

t z z

2

t t t t

2cos

1cos.sin

2

w t

t  

Thay vào phương trình thứ hai của hệ , giải ra ta được : w=1(loại nghiệm w=-3)

Kết hợp với điều kiện:

0

;2

1

)1.(

1

2 2

2 2

2 2

2 2

b y x

y x x y

a y x

y x y x

Đk: 1x2 y2 0

Cộng (1),(2) và trừ (1),(2) theo từng vế,ta được:

(1

)1

)(

(

)3).(

(1

)1

)(

(

2 2 2

2

2 2 2

2

b a y x y

x y

x

b a y x y

x y

x

khongbocuoc.com

(3).(4):

)5.(

))(

1()1

)(

(

2 2 2

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

b a y

x

b a y x b

a y x y

x y

.1

1

1)(1

1)(

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

b a

b a a b y

b a

b a b a x

b a

b a b

a y x

b a

b a b

a y x

)1.(

725

y x

y x

Từ hệ suy ra x5 y2  x2 y5(x5)(y2)(x2)(y5)x y

Thay vào (1): x5 x2 7

Đặt a x5;b x2.

Ta có hệ:

.114

1

77

b a

b a b

a

b a

1

3 3

3 3

y x

y x

Từ hệ trên

1)

1)(

1(

)11

(1)(

1(3)(

31

3 3 3

x xy

y x

y x y

x xy y

x y x

Thay vào pt(1):

01

1

3 3

y

x x

1

)1.(

3

xyz

x

z z

y y x

Từ (1)suy ra :x,y ,z cùng dấu và từ (2) suy ra x,y,z > 0 Bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ,ta có:

.3

y y

x x

z z

y y x

khongbocuoc.com