Chuyên đề hệ phương trình đại số hay nhất tuyển tập những bài toán hay

Λ⎮⎠ι νο⎤ι 〉α◊υ Mảng toán hệ phương trình là mảng toán không khó lắm, nhưng nó lại có nhiều dạng và nhiều cách giải khác nhau, thời gian gần đây từ 2002 đến 2010 các đề thi Cao đẳng và Đ

Giáo Viên: Huỳnh Chí Hào

Λ⎮⎠ι νο⎤ι 〉α◊υ

Mảng toán hệ phương trình là mảng toán không khó

lắm, nhưng nó lại có nhiều dạng và nhiều cách giải khác

nhau, thời gian gần đây (từ 2002 đến 2010) các đề thi Cao

đẳng và Đại học thường cho mà đỉnh điểm là năm 2010 ở đề

thi khối A và khối B đề có các câu này, đa số các học sinh

đều bỡ ngỡ vì chưa từng luyện giải loại này

Nay nhóm mình soạn quyển chuyên đề Hệ phương

trình nhằm giúp các bạn có tài liệu tham khảo và ôn tập

Trong cuốn chuyện đề này nhóm mình đã chia ra từng loại

để các bạn sẽ thuận tiện hơn trong việc tham khảo

Trong quyển chuyên đề này các bạn sẽ được gặp một

số cách giải hay, ngắn gọn và chính xác Mặc dù đã cố gắng

khi biên soạn, nhưng không thể tránh khỏi vài thiếu sót,

mong các bạn góp ý và thông cảm để quyển chuyên đề này

được hoàn thiện hơn

& &

Muc Luc

Trang

Phần 1 CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH

THÔNG THƯỜNG

§1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn……… 4

§2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn………9

§3 Hệ phương trình đối xứng loại I……….16

§4 Hệ phương trình đối xứng loại II………24

§5 Hệ phương trình đng cấp bậc hai………30

Phần 2 CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC §1 Hệ phương trình bậc cao hai ẩn……… 36

§2 Hệ phương trình vô tỉ ……… 40

§3 Hệ phương trình không mẫu mực.……… 47

§4 Hệ phương trình dùng phương pháp hình học vectơ 56

§5 Hệ phương trình trong các kì thi……….60

Πηα◊ν 1

Các Hệ Phương Trình

Thông Thường

§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1/ Dạng:

y y

Bước 2: Biện luận:

Nếu D ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất:

Nếu D = 0 và Dx ≠ 0 v Dy≠ 0 thì hệ vô nghiệm

Nếu D = Dx = D y = 0 thì hệ có vô số nghiệm

hoặc vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình:

12

m x m y m

2

™ Khi m = –1 ta được hệ phương trình:

020(VN)2

™ Với z= 0 ta có :

000

x y xy z

x y xy z

x y xy y

xy yz xyz

Giải ( )V : Thay xy= 12vào phương trình thứ bat a được

Vậy hệ ( )III có hai nghiệm: (3; 4;5 , 3; 4; 5 ) (− − − )

2/ Áp dụng hệ thức Viét đối với phương trình bậc ba:

Hệ thức Viét đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau :

x x x x x x

a d

Giải phương trình này ta được : x1=1,x2= −4,x3 =2

Vì hệ phương trình này đối xứng đối với x y z, , nên hệ có 3! 6 = nghiệm sau :

Giải

Biến đổi hệ này thành hệ có dạng ( )I Bình phương hai vế phương trình thứ nhất rồi trừ từng vế với phương trình thứ hai ta được :

2 1 2

x y z

xy yz zx xyz

t + − − =t t hay (t+2)(t2− =1) 0

Phương trình này có nghiệm là : t1= −1,t2 =1,t3= −2

Do đó hệ phương trình có 6 nghiệm là hoán vị của ba số

1,1, 2

− − : ( 1;1; 2),( 1; 2;1),(1; 1; 2),(1; 2; 1),( 2; 1;1),( 2;1; 1) − − − − − − − − − − − −

⎧ + + =

§3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

1/ Dạng tồng quát của hệ đối xứng loại I:

Định nghĩa: Hệ đối xứng loại I là hệ chứa 2 ẩn x,y

mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi

( ) ( )

Phương pháp giải tổng quát:

i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy (với S 2 ≥4P)

Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa S,P

iii) Bước 3: Giải hệ mới tìm S,P Chọn S,P thỏa mãn

ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ:

( ) ( )

2

2 2

2

77

77

Với: S = ⇒ = Khi đó, x và y là nghiệm của phương 3 P 2trình: X2 − 3X + = 2 0

121

1

x y X

2 2

56

Trường hợp 1: u = 2; v = 3

1213

x x y y

x x y y

3/ Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại I có nghiệm:

Phương pháp giải tổng quát:

i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện của

S,P và S 2 ≥4P (*)

iii) Bước 3: Thay x,y bởi S,P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S,P theo m, rồi từ điều kiện (*) tìm m (với m là tham số)

Ví dụ 3: Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm:

( )

13

u v

m uv

Theo đề, hệ (1) có nghiệm⇔ Pt (*) có 2 nghiệm không âm

132

00

3 ≤ ≤m là giá trị cần tìm

Ví dụ 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

1 (1)

m S

§4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

1/ Định nghĩa:

Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình này trở

thành phương trình kia của hệ

*Chú ý: Nếu ( ; )x y0 0 là nghiệm của hệ thì( ; )y x0 0

⎩ (đổi vị trí x và y cho nhau thì

phương trình này trở thành phương trình kia)

Phương pháp giải chung:

Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số

Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ

Ví dụ1:Giải hệ phương trình sau:

Nhận xét: Nếu thay đồng thời x bởi y và y bởi x thì

phương trình thứ nhất sẽ trở thành phương trình thứ hai và ngược lại

Giải hệ (Ia) ta được nghiệm (0;0), (3;3)

Giải hệ (IIa) ta được nghiệm:

Cách giải: Đưa phương trình đối xứng về dạng tích,

giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt (1;1), (–1;–1)

3/ Một số bài tập về phương trình đối xứng loại II :

⎩

4 2

x y

y y x x x y

2 2

32

2 2

22

a

y a

Xét x = 0 thay vào hệ kiểm tra

Với x ≠ 0 ta đặt y = xt thay vào hệ ta có:

Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình

Với x ≠0 ta đặt y = xt Khi đó hệ phương trình trở thành:

Khi t = 1 thế vào hệ ta được (x; y) = (± 2; ± 2)

Khi t = 2 thế vào hệ ta được (x; y)= (1; 2), (–1; –2)

Vậy nghiệm của hệ là: x; y) = (± 2;± 2), (1; 2), (–1; –2)

Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình

Với x ≠0 ta đặt y = xt Thế vào hệ phương trình ta được

1

01

m y

Vậy với m≥1 thì hệ phương trình trên có nghiệm

Khi x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình

Với x ≠ 0 ta đặt y = xt Khi đó hệ phương trình trở thành

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

) ) ( ) )

) )

Πηα◊ν 2

Các Hệ Phương Trình

Khác

§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO HAI ẨN

Hệ phương trình bậc cao hai ẩn là hệ gồm hai phương trình hai ẩn trong đó có ít nhất một phương trình có bậc lớn hơn 1

Phương pháp chung:

Các hệ phương trình bậc cao thường khó giải và không thể nêu ra từng phương pháp cu thể để giải.Do đó phương pháp thường được sử dụng là chuyển chúng về hệ phương trình bậc hai bằng một trong hai phương pháp:

Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp đặt ẩn phụ

Các dạng hệ phương trình thường gặp:

Hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 2

24

xy xy

2

x y xy

1

xy

y x

⇒x,y là nghiệm của phương trình:

2 − t+ =

Vậy hệ có hai cặp nghiệm là (1;3),(3;1)

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải hệ phương trình:

) ) ) )

317

Tìm m để hệ phương trình có đúng hai nghiệm

Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

77

§2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

NHỮNG PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ:

1/ Khử căn thức để đưa hệ đã cho về hệ hữu tỉ:

Một vài định lí khi khử căn thức:

+ +

+ +

n n

n n

2/ Đưa một phương trình trong hệ về dạng tích của các phương trình bậc nhất 2 ẩn:

Ví dụ 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

1 4 0 0 1 0

4

S P

m m m

y x

Thay (x;y) = (1;1) vào hệ, ta thấy thỏa hệ

Vậy nghiệm của hệ (V) là (x;y) = (1;1)

1/ Phương pháp thế:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

( ) ( )

x y

Vậy nghiệm của hệ là: ( )x y; =( ) (1; 2 , 2;5 − ).

II 1

1

01

Vậy nghiệm của hệ là ( )x;y =( )3; 4

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau:

( ) ( )

1 2

2 110

x x

− ++ +

⇔ = ⇒ =

14444444 4244444444 3

Vậy hệ có mộ nghiệm duy nhất: ( )x;y =( )3;3

y b

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau:

2 2 3

4 2

4

6 4 2

2 1 3 1 4

1

x y x

⎪

⎪

=

⎪ + + +

Thay vào phương trình đầu ta được x y z= = =1 (thoả)

Vậy nghiệm của hệ là (x;y z; )=(0;0;0 1;1;1)( )

§4 SỬ DỤNG VÉCTƠ ĐỂ GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Một vài bất đẳng thức vectơ thông dụng:

Trong mặt phẳng hoặc trong không gian cho hai véc tơ ur ura b, ; khi đó ta có:

( )

|a br r+ ≤| | | | | ar + br 1 Dấu " = " xảy ra⇔ ↑↑ ⇔ ∃ ∈ar br k *+:a kb hoặc r = rmột trong hai véc tơ bằng 0 r

( )

|a br r− ≥| | | | | ar − br 2Dấu " = " xảy ra⇔ ↑↓ ⇔ ∃ ∈ar br k *−:a kbhoặc r= rmột trong hai véc tơ bằng 0 r

u v

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

2 2 2

§5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CÁC KÌ THI

5

12

x y x

y

+ = −+ = − ⇒

4

3

x y x

45

4

254

1

12

3

22

x

y xy

x x

x

x x x x

x x

là nghiệm, nên ta chỉ cần xét với x x1, , ,2 x2002 dương

TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B 2002:

Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D 2004:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

01

OLYMPIC 30/4

Olympic 30/4/1998 tại THPT Chuyên

Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh:

Giải hệ phương trình

( ) ( ) ( )

Olympic 30/4/2000 tại THPT Chuyên

Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh:

Giải hệ phương trình

5

425

Hướng dẫn:

Tìm điều kiện, sau đó viết lại thành:

( ) ( )

5 42

Olympic 30/4/2005 tại THPT Chuyên

Lê Quý Đôn – TP Đà Nẵng:

Olympic 30/4/2007 tại Huế:

Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh:

Giải hệ phương trình 2 2 2

7

371

Olympic 30/4/2009 tại THPT Chuyên

Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh:

Kết quả: Hệ có nghiệm duy nhất(x y z; ; ) (= 2; 2; 2)

Olympic 30/4/2010 tại THPT Chuyên

Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh: