Chinh phục bất phương trình

Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ Trong các bài toán về bất phương trình nói riêng và dạng toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission

PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ

Trong các bài toán về bất phương trình nói riêng và dạng toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình nói chung, phương pháp ẩn phụ là một phương pháp quen thuộc

và rất hiệu quả Với phạm vi phổ thông, chúng ta thường tìm hiểu về các bài toán liên quan đến dạng toán đặt ẩn phụ hoàn toàn, tức là đặt ẩn phụ nhằm chuyển đổi hoàn toàn một bất phương trình từ ẩn này sang ẩn khác Điều này giúp ta có được một bất phương trình mới “gọn gàng” hơn về hình thức, dễ dàng hơn trong định hướng và trình bày lời giải

Tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu và biên soạn quyển sách này, cũng như tham khảo trong hệ thống

đề thi thử kì thi trung học phổ thông quốc gia các năm vừa qua, tôi nhận thấy phương pháp ẩn phụ được

sử dụng rộng rãi với nhiều hình thức khác nhau, không chỉ dừng lại ở dạng toán đặt ẩn phụ hoàn toàn,

mà còn xuất hiện với nhiều dạng toán khác như đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình về hệ bất phương trình, đặt nhiều ẩn phụ, đặt ẩn phụ dạng lượng giác (phương pháp lượng giác hóa), đặt ẩn phụ dạng vector,…

Trong phạm vi quyển sách này, tôi xin trình bày chi tiết từng dạng toán đã nêu về phương pháp ẩn phụ để giải các bài toán về bất phương trình trong đề thi trung học phổ thông quốc gia

Dạng 1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn

Trong chương trình trung học phổ thông, chắc hẳn các bạn học sinh đã ít nhiều được làm quen với dạng toán đặt ẩn phụ hoàn toàn Dạng toán này dùng để xử lí các bài toán mang hình thức cồng kềnh, khó nhìn và khó định hướng giải Như đã trình bày phía trên, sau khi đặt ẩn phụ hoặc biến đổi sơ bộ rồi đặt ẩn phụ, các bạn có thể chuyển bất phương trình đã cho từ ẩn này sang ẩn khác và dễ dàng tìm được lời giải hoàn thiện Để mở đầu dạng toán này, mời các bạn cùng đến với hai ví dụ sau đây:

Ví dụ 1 Giải bất phương trình x4 2 x2  3 0

Lời giải 1: (không sử dụng phương pháp ẩn phụ)

Bất phương trình đã cho tương đương với

 2  2 

x  x   (*)

Vì x2 3 0,  x nên từ (*) suy ra

1

x

x







Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

 ; 1   1; 

S     

Lời giải 2: (sử dụng phương pháp ẩn phụ)

Đặt t  x2 (với t  0 ), bất phương trình đã cho trở

thành

3

t

t







Kết hợp điều kiện t  0 ta suy ra t  1

x

x





    

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

 ; 1   1; 

S     

Ví dụ 2 Giải bất phương trình

2

x

Lời giải:

Điều kiện x   2

6 x  2 x  4  2 x  2

2 2

x x

x

Do đó bất phương trình đã cho trở thành

2 x 2 2  6 x 2x4 2 x2

        1 Nhận xét x   2 không là nghiệm của bất phương trình.Khi x   2 , chia hai vế bất phương trình   1 cho x   2 0 , ta được:

2 2

Đặt

2

x t x



 , bất phương trình trở thành

Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission

2

2

1

2

t t

t

 



 

 

Với t  2 thì 2

2

x

x 

 2

0

x

x x





 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

2 2 3

S  

Nhận xét:Sau hai ví dụ mở đầu, chắc hẳn các bạn

cũng đã phần nào nắm được tư tưởng chính của

dạng toán này Với các bài toán đơn giản như ví dụ

1, khi các bạn giải trực tiếp hoặc sử dụng phương

pháp ẩn phụ đều đạt được kết quả tương tự nhau về

đáp số bài toán, thời gian định hướng giải và trình

bày lời giải Tuy nhiên với các bài toán khó hơn,

phức tạp hơn như ví dụ 2, khi các bạn không sử

dụng phương pháp ẩn phụ, chắc chắn các bạn sẽ

vướng phải những khó khăn nhất định trong định

hướng giải và trình bày lời giải, dẫn đến việc các

bạn sẽ mất khá nhiều thời gian, điều mà chúng ta

không hề mong đợi trong các kì thi lớn

Vì thế, trong nhiều trường hợp, khi gặp các bài

toán cồng kềnh và khó định hướng giải, các bạn

nên biến đổi sơ bộ, tách ghép và thêm bớt các hạng

tử sao cho chúng ta có thể nhìn nhận ra được các

yếu tố giống nhau đang ẩn chứa trong sự cồng

kềnh ấy Và cuối cùng chỉ việc đặt ẩn phụ và hoàn

thiện lời giải thật nhanh chóng, chính xác

Một lưu ý nhỏ cho dạng toán này, cũng như một sai

lầm thường gặp trong khi giải toán, chính là điều

kiện của ẩn phụ Khi các bạn gặp một bất phương

trình có dạng g f x   0, trước hết các bạn phải

đặt điều kiện cho bất phương trình xác định, tiếp

theo là đặt ẩn phụ t f x  và nhớ “đừng bao giờ

quên” điều kiện của ẩn phụ t , sau đó chúng ta sẽ

giải bất phương trình g t 0, khi tìm được t , ta

suy ra f x , tiếp theo là giải tìm x , cuối cùng là so  

điều kiện và kết luận

Với quy trình như vậy, chúng ta sẽ “tấn công” hàng loạt

các ví dụ sau đây:

Ví dụ 3 Giải bất phương trình

2

18 x  18 x x  17 x  8 x   2 0

Nhận xét:

Nếu tinh ý ta có thể dễ dàng nhận thấy bất phương trình đã cho có dạng bất phương trình bậc 4 đầy đủ

theo ẩn x

Do đó, sau công đoạn quan trọng đầu tiên là đặt điều kiện xác định cho bất phương trình, ta có thể

nghĩ ngay đến bước tiếp theo là đặt ẩn phụ y x

và dễ dàng suy ra điều kiện của ẩn phụ là y0

Đến đây ta có được bất phương trình mới theo ẩn y

như sau:

18y 18y 17y 8y 2 0

Rõ ràng đây chính là bất phương trình bậc 4 dạng đầy đủ và các hệ số khá lệch nhau nên ta không thể

xử lí theo dạng bất phương trình đẳng cấp bậc 4 Điều này khiến ta nghĩ đến việc nhẩm nghiệm của phương trình

18y 18y 17y 8y 2 0 hoặc phân tích vế trái của bất phương trình mới (ẩn

y) thành nhân tử, sau đó tiến hành giải bất phương trình tích theo công thức hoặc bảng xét dấu quen thuộc

Tuy nhiên với bài toán này, việc phân tích thành nhân tử đòi hỏi một quá trình thêm bớt, tách ghép hạng tử khá phức tạp

Đây là một định hướng khá quan trọng trong giải các bài toán lien quan đến phương trình cũng như bất phương trình bậc cao, do đó các bạn học sinh cần luyện tập kĩ thuật này nhiều hơn!

Lời giải:

Điều kiện x  0 Đặt y x (với y  0 ), bất phương trình đã cho trở thành

Vì 6y22y 1 0,  y nên

2

3

3

y

y













So điều kiện y  0 và nhận thấy 2 10 0

3



 ta

suy ra 2 10

3

y 

Do đó 14 4 10

9

Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

14 4 10

; 9

Ví dụ 4 Giải bất phương trình

2

2x 4x 4x2

Nhận xét: Đây là một bài toán khá đơn giản,

chúng ta chỉ cần biến đổi sơ bộ, đặt ẩn phụ và xử lí

bất phương trình thu được để đi đến kết luận

Lời giải:

Bất phương trình đã cho tương đương với

 2

2x  1 1 2x1 1

Đặt t2x1 (với t ), bất phương trình đã cho

trở thành

2

2 2

0

t







2

x     x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

1

;

2

S   



 

Ví dụ 5 Giải bất phương trình

3

x  x    x  x 

Lời giải:

Ta có

2

Mặt khác

x  x   x    x x   x

Bất phương trình đã cho tương đương với

3

3

3

(vì x2   x 1 0 , với mọi x )

Nhận xét:

Đến đây ta dễ dàng nhận thấy được ẩn phụ

2

2

1 1

x x

y

x x

 



  , nhưng nếu chúng ta không chú ý

đến việc tìm điều kiện của ẩn phụ, mà đặt điều kiện

đơn giản nhất cho ẩn phụ là y0, thì chúng ta sẽ

vấp phải một sai lầm không hề nhỏ và ảnh hưởng đến kết quả bài toán

Nếu đây là một bài phương trình, thì điều kiện 0

y cũng không ảnh hưởng gì đến kết quả bài toán Tuy nhiên, với một bài toán bất phương trình thì điều kiện ấy ảnh hưởng rất nhiều!

Để tìm điều kiện của ẩn phụ, ta sẽ tìm miền giá trị của biểu thức dưới căn Với một biểu thức có dạng

phân thức đồng bậc, chẳng hạn là

2 2

1 1

x x

x x

 

  Ta sẽ

có những phương pháp tìm miền giá trị sau đây:

Dùng phương pháp khảo sát hàm số:

Xét hàm số   22

1 , 1

x x

x x

 

Ta tính được  

2 2 2

'

1

x

f x

x x





 

1

x

x







3

x f x x f x

min

3

f x  và max f x 3

3  y

Dùng phương pháp miền giá trị:

Đặt

2 2

1 1

x x k

x x

 



  Khi đó

2

Nhận thấy đây là phương trình bậc hai ẩn x Ta tính

được biệt thức x theo công thức

 2  2

2

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  x 0

3

Do đó

2 2

3

x x

x x

 

3

3

3  y

Dùng biến đổi tương đương và bất đẳng thức cổ điển để đánh giá:

Khi ta dự đoán được

2 2

3

x x

x x

 

  và dấu đẳng

thức xảy ra lần lượt tại x1, x 1, ta có thể dễ dàng chứng minh bằng phép biến đổi tương đương hoặc dùng bất đẳng thức AM - GM để đánh giá

Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission

Trong quá trình giải toán, bạn đọc nên luyện tập cả

ba phương pháp nêu trên và chọn một phương pháp

tối ưu nhất để sử dụng trong phòng thi

Trở lại bài toán:

1

x x

y

x x

 



  (với

3

3

3   y ), bất phương trình đã cho trở thành

2

2

3

3

So điều kiện 3 3

3   y ta suy ra 3

3

y 

Do đó

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

  1

S 

Nhận xét:

Ngoài cách giải trên, ta có thể xử lí bài toán này

theo định hướng sau:

Bất phương trình đã cho tương đương với

3

3

a x  x b x  x (với ,a b0),

3

a  ab b 

0

      

Vì b x2  x 1 0 nên 3 0 3

3 b   2 b

Do đó từ bất phương trình ta suy ra

3

  (vì a x2  x 1 0)

suy ra

3

3 1

3

1

x

 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

 1

S Với định hướng tự nhiên này, ta có thể bỏ qua quá

trình đặt điều kiện cho ẩn phụ 22 1

1

x x y

x x

 



  -

một quá trình khá phức tạp và mất không ít thời gian Điều này giúp ta tiết kiệm được nhiều thời gian hơn trong quá trình giải toán cũng như trong phòng thi

Tóm lại, các bạn cần luyện tập tất cả các phương pháp mà anh đã trình bày ở đây một cách nhuần nhuyễn, sau đó chọn cho mình phương pháp thích hợp và hiệu quả nhất để sử dụng trong những kì thi quan trọng sắp tới!

Ví dụ 6 Giải bất phương trình

2 2

Nhận xét:

Điểm quan trọng cần chú ý trong bài toán này chính là hai biểu thức bậc nhất trong căn (x1 và

3 x ) có hệ số của x là hai số đối nhau (1 và 1

), điều này giúp ta rút gọn được hạng tử chứa x

khi bình phương đại lượng x 1 3x Mặt khác khi bình phương đại lượng

x  x còn giúp ta tạo ra biểu thức mới

x1 3 x đúng bằng đại lượng

2

32xx ở vế phải của bất phương trình đã cho

Đến đây sau khi đặt ẩn phụ t x 1 3x ta

có thể dễ dàng xử lí phần còn lại của bài toán và đưa ra kết luận

Lời giải:

Điều kiện

1 0

x

  







Đặt t  x   1 3  x , suy ra

2

2

2

2

t

x x



Bất phương trình đã cho trở thành

2

2

t t





3

t t

Vì t2   2 t 2 0 với mọi t nên suy ra t  2 Hay x 1 3 x 2

Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission

1

3

x

x

 





Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

 1;3 

S  

Nhận xét:Với một bài toán bất phương trình, ta có

thể tiếp cận, xử lí đơn thuần bằng một phương

pháp (như phương pháp tương đương, phương

pháp ẩn phụ, phương pháp lien hợp, phương pháp

hàm số, phương pháp đánh giá,…) với nhiều lời

giải khác nhau Tuy nhiên, với một số bài toán hay

và khó, mức độ phức tạp được nâng lên thì với một

phương pháp đơn thuần ta không thể giải quyết

trọn vẹn mà chúng ta cần phối hợp khéo léo nhiều

phương pháp với nhau để có được một định hướng

ngắn gọn, chính xác và hiệu quả nhất

Sau đây xin giới thiệu cùng bạn đọc những bài toán

bất phương trình được giải bằng sự phối hợp linh

hoạt của nhiều phương pháp mà trọng tâm là

phương pháp ẩn phụ

Ví dụ 7 Giải bất phương trình

Nhận xét:

Với bài toán này, chúng ta có thể nhìn thấy vẻ ngoài

của bài toán khá cồng kềnh và phức tạp, không

những vế trái chứa hai lớp căn thức, mà vế phải còn

có dạng bậc cao, nhưng hãy chú ý rằng các đại

lượng thường liên quan đến biểu thức  2

1

x , tức

là dễ dàng thêm bớt, tách ghép để đưa về biểu thức

 2

1

x Từ đó ta có thể định hướng đặt ẩn phụ

 2

1

t x

Tuy nhiên, sau khi đặt  2

1

t x , bất phương trình

đã cho trở thành

1 1 t 1 1 t 2t 2t 1

Thoạt nhìn, ta thấy bất phương trình thu được có vẻ

ngoài dễ nhìn hơn đôi chút, nhưng vấn đề hai lớp

căn và bậc cao vẫn chưa được giải quyết

Do đó ta sẽ linh hoạt thay đổi cách đặt ẩn phụ sao

cho khử được một lớp căn thức Tức là ta sẽ đặt

2

2

y xx và sau đó tiến hành xử lí bất phương

trình thu được

Mặt khác để giải bài toán bất phương trình này,

ngoài phương pháp đặt ẩn phụ, chúng ta cần kết hợp

khéo léo với phương pháp đánh giá Thật vậy, bạn

đọc cần chú ý đến hai đánh giá quen thuộc sau đây

để có thể giải quyết trọn vẹn bài toán:

- Với a 1 b ta luôn có a b  1 ab;

- Với 0 c 1 ta luôn có 2

cc Phần chứng minh hai bổ đề quen thuộc trên khá đơn giản (chỉ cần sử dụng phương pháp tương đương) xin dành lại cho bạn đọc

Lời giải:

Điều kiện

2

2

2

x x

x x







y xx   x , suy ra

y

 







Ta được

 2 2 2

1   y 1   y 2 1  y 1 2  y

Mặt khác

1 y 1  y 1 1y  2 y

Từ đó suy ra

2 1  y 1 2  y   2 y

z y , ta được 0 z 1

và   2 

2 1z 1 2 z  2 z

(vì 4 z2 10 z   7 0 )

Do đó z0suy ra y  0

2

x

x x

x





 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

  0; 2

S 

Nhận xét:

Phương pháp tương đương là một trong những phương pháp rất quan trọng Không chỉ có thể sử dụng một cách độc lập để giải các bài toán về bất phương trình mà hơn hết chính là sự hiệu quả của

nó trong sự kết hợp với các phương pháp khác Phương pháp tương đương đã được trình bày rất chi tiết trong phần khác của quyển sách này, trong phần này anh sẽ không nhắc lại toàn bộ phương pháp mà chỉ gợi nhớ một vài công thức quan trọng thôi!

1 f x   g x   g x     0  

f x g x









Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission

2 f x   g x   g x     0  

f x g x









3    

 

 

0 0

f x

f x g x





  



4    

 

 

0 0

f x

f x g x





  



5    

 

 

 

0 0 0

g x

f x

f x g x

g x

f x g x

  

















  





6    

 

 

 

0 0 0

g x

f x

f x g x

g x

f x g x

  

















  





7 f x    g x    h x  

 

 

 

0 0 0

f x

g x

h x















Ví dụ 8 Giải bất phương trình

1

x

x





Nhận xét:

Với bài toán này, lỗi sai thường gặp nhất chính là sự

chủ quan về điều kiện xác định của bất phương

trình Do đó các bạn học sinh thường hay biến đổi

tương đương bất phương trình đã cho thành dạng

x1x2  x1x2 2 0

và sau đó là đặt ẩn phụ t x1x2 để giải

bất phương trình

Điều này ảnh hưởng rất lớn đến kết quả bài toán, vì

điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi x1, nhưng điều

kiện xác định của bất phương trình đã cho là x1

hoặc x 2, như thế ta vô tình đã làm mất đi

trường hợp x 2

Để xử lí vấn đề đó, ta có thể đặt ẩn phụ như sau

1 1

x

t x

x



t  x x , bất phương trình đã cho vẫn có thể được chuyển về

dạng bất phương trình bậc 2 quen thuộc theo ẩn t Sau khi giải tìm giá trị t , ta hoàn toàn có thể xử lí

nốt phần còn lại của bài toán bằng những công thức quen thuộc theo phương pháp tương đương

Lời giải:

Điều kiện

2

1 0

1

2 1

x

x x

x x





 



1

1

x

t x

x



 , suy ra 2   

t  x x Bất phương trình đã cho trở thành

2

t        t t

hay

1

x x

x





2

1 2

1

x x

x x x

x



 





1

x x

x



 tương đương với

1 1

1 1

2

1

1 2

x x

x x

x

x

x x

x









   







 



 











 Xét   2

1

x x

x



 tương đương với





           



        

 

  và x  1

Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission

Kết hợp điều kiện 1

2

x x





  

 ta suy ra

1 13

2 2

x x





 



Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

 

; 2 1; 2 2

S   

Ví dụ 9 Giải bất phương trình

10 x  3 x    1 1 6 x x  3

Lời giải:

Bất phương trình đã cho tương đương với

9x 6x x  3 x  3 3x x   3 2 0

t x x  , bất phương trình đã cho trở

thành t2       t 2 0 2 t 1

hay

2

2

2 2

2

2

2

2 2

3 0

3 0

x x

x

x x

  

  













    

  

     

 2

3

4

4

4

3

1

3

1

1 4

1 4

x

x

x

x x x

x

x

x

  



























 











   







 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

;1 4

S    

Nhận xét:

Ngoài cách giải trên, ta có thể xử lí bài toán này theo định hướng sau (phương pháp gọi số hạng vắng – một phần của dạng đặt nhiều ẩn phụ, sẽ được tìm hiểu chi tiết hơn trong dạng sau của phương pháp ẩn phụ này

Đặt a x2 3 0, b6x1

Ta cần tìm các hệ số , ,m n p sao cho

m x  n x  x  p x  x

Đồng nhất hệ số ta được hệ phương trình

1

1

4

9 4

m

m n p

p



 



  



Suy ra

Bất phương trình đã cho tương đương với

Bất phương trình đã cho trở thành

2

b

b a

    

hay

2 2

2

3

x x



Đến đây ta thực hiện phép biến đổi tương đương hoàn toàn tương tự như lời giải trên

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

;1 4

S   

  

Ví dụ 10 Giải bất phương trình

x   x x 

Lời giải:

tx x  , suy ra 2  4 2

t  x  x , bất phương trình đã cho trở thành

Chinh Phục Bất Phương Trình Your dreams – Our mission

2

1 5

2

t

t

       t2 2 t 8 0   4 t 2

hay  4 x 2x2 4 2

2 2

x x

x x



 



   tương đương với

0

0 0

2

x

x x

x x

x









  

    



  

x x   tương đương với

4 2

2

0 0

0 0

0 0

0

x x

x x x

x

x x

x

x x

x x















  

         











  



        







 

   



   

Do đó  2   x 1 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

S   