Chinh phục hệ phương trình tổng ôn thi THPT Quốc gia

Tài liệu được biên soạn gồm các ví dụ chọn lọc minh họa cho các kỹ thuật giải HPT trong thi đại học phổ biến nhất:(1) Kỹ thuật rút thế(2) Kỹ thuật nhóm nhân tử chung(3) Kỹ thuật dùng hàm số và đạo hàm(4) Kỹ thuật dùng BĐT vec tơ(5) Kỹ thuật dùng số phức(6) Kỹ thuật nhân liên hợp và đánh giá(7) Kỹ thuật lượng giác hóaHy vọng đây là tài liệu bổ ích cho các hs trước kỳ thi THPT Quốc gia.

CHINH PHUïC HHHHỆ PHƯƠNG TRÌNH

Luyện thi THPT Quốc gia

(full)

Bài 1: Giải hệ phương trình ( )

Hướng dẫn tìm lời giải

+ Quan sát hệ ta thấy (1) có thể cô lập được x và y sang từng vế, hơn nữa x có mũ 3, y nằm trong biểu thức chứa căn bậc 2 - đây là loại toán phổ biến - ta sẽ nghĩ ngay đến việc

+ Đến đây thì ổn rồi, coi như là có lối thoát, ta xét hàm f (t) t = 3 − 3t

+ Các bạn chú ý tìm điều kiện của t căn cứ vào ĐK của x và y nhé, cụ thể như thế này:

+ Bạn lấy máy tính bấm ta thấy pt (*) có nghiệm y = 1, vậy ta sẽ dùng cách thêm bớt rồi nhân liên hợp để xuất hiện nhân tử chung là y - 1 như sau:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;1)

Bài 2: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn tìm lời giải

Nhận xét: Đối với pt (1) vế trái là đẳng cấp bậc 2, mà vế phải bậc 1, như vậy dạng toán này ta thường nghĩ đến việc khử ẩn bậc 1 nằm ở vế phải như sau:

+ Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên chia 2 vế của (1) cho y 0 ≠ được phương trình : x2 1 x y 4

y++ + = (*)

+ Ở phương trình (*) đã xuất hiện đại lượng x2 1

Bài 3: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn tìm lời giải

+ Trước hết, ta thấy mỗi pt của hệ đều có thể cô lập được x, y nên ta biến đổi như sau:

  thay vào (2) …(bạn tự làm đoạn cuối vì nó không khó)

+ Ta thấy ở phương trình (1) ⇒ x 2 − x(8 3y) 2y − + 2 − 8y 0 (*) =

+ Ta coi (*) là phương trình bậc 2 với ẩn x, tính ∆ =(8 3y− )2−4.1 2y 8y ( 2− )= =(y 8− )2≥0,

từ đây tìm được 2 nghiệm x 8 2y x 2y 8 0

(như vậy ta đã dùng cách đánh giá kết hợp với đk để có x = 2 ; y = 3, nếu bạn không biết

kỹ thuật đặc biệt này thì từ x 2y 8 + = ⇔ x 8 2y = − thay vào (2) giải sẽ rất dài dòng)

Bây giờ thay x = 2; y = 3 vào (2) ta thấy không thỏa mãn Vậy loại bỏ trường hợp này ! + Với y = − x thay vào (2) và biến đổi ta được : 4 2 x − + 3 x + = x 2 + 5 (**)

Gặp dang phương trình (**), ta dùng máy tính để bấm nghiệm và thấy phương trình có 1 nghiệm là x = 1, như vậy ta sẽ nghĩ đến dùng PP “nhân lên hợp” để xuất hiện nhân tử chung là (x 1) − Thật vậy, từ (**)

Bài 5: Giải hệ phương trình

2

2x 11x 2y 9 0 22x 21 y 3y y (2x 1) 2x 1

2 2

Hướng dẫn tìm lời giải

+ Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ nên sẽ biến đổi như sau:

Ta có 4+y− y > y− y =0 do đó từ phương trình (1) suy ra x>0; y>0

2 2

⇒ y =12 8 2 − Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1 + 2;12 8 2 − )

Bài 8: Giải hệ phương trình

Bài 9: Giải hệ phương trình:

5 5

k t

k k

x c t

t l y

ππ

π

ππ

là nghiệm của hệ phương trình

Bài 12: Giải hệ phương trình:

2

2 1

Bài 13: Giải hệ phương trình:

Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R Từ (*) ta có: f (x) f (2y 1) = − ⇒ x 2y 1 = −

Thế x = 2y - 1 vào (2) giải ra được y = 1 hoặc y = 6 thoả mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1), (11;6)

Bài 14: Giải hệ phương trình

2 2

Bài 15: Giải hệ phương trình

Hơn nữa g(6) = 0 nên (*) có duy nhất 1 nghiệm là y = 6

778

Bài 17: Giải hệ phương trình

Nhận xét x≥1,y=1 không là nghiệm của hệ Xét y >1 thì pt (1) của hệ (I)

3

2 2

2

1 8y

Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x y =; ) (2;3)

Bài 20: Giải hệ phương trình

12

y 3x 12

Bài 22: Giải hệ phương trình

Ta có: f '( )t =3t2 + >1 0,∀ ∈ − +∞t [ 2; ) Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên [− +∞2; )

Do đó: x= y− 1.Thay y=x+ 1 và phương trình (2) ta được: x3 − = 3 2 x+ 2 1 +

Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x y =; ) (2;3)

Bài 24: Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn tìm lời giải

Điều kiện: x2y≥ − 2 Gọi hai phương trình lần lượt là (1) và (2)

y x

110

)11(

0112

⇔

=

−+

⇔

=++

2(2

01

11

1

2 2

2 2

2

x

x x x

x y

x

y y x

x y x y

1 (

0 )

1 ( 0 1 3

2

5 1

=

x hoặc

2

5 1+

5

=

⇒ +

−

x

Vậy hệ đã cho có nghiệm 

; 2

5 1 )

; 2

5 1 )

Kết luận: hệ có hai nghiệm (x;y) là (1;0), (3;8)

Bài 26: Giải hệ phương trình :

= + +

−

− +

2 3

2 2

2 3

2 1

3

2 1

3

y xy x

y yx y

x xy y

x xy x

Hướng dẫn tìm lời giải

Từ (1) và (2) ta có x3 − 3xy2 −x− 1 − (y3 − 3yx2 +y+ 1 )i= y2 + 2xy−x2 − (x2 + 2xy−y2 )i

) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 3

3

i x i xy y

i i

yi x i y i xy yi x

x + + + − + − − = + + − − +

⇔

) 2

)(

1 ( 1 ) ( )

x i xyi y

i i

yi x yi

Hướng dẫn tìm lời giải

Biến đổi pt ban đầu về dạng

TH 1: Với y = 2 thay vào pt (2) : 8x2 + 3x+ 6 0 = vô nghiệm

TH 2: Với y = - 2 thay vào (2): 3x+ 6 0 = ⇒ = −x 2 suy ra nghiệm (x; y) =(-2;-2)

TH 3: Với y=x− 1 thay vào (2): 4 2 1 2 1 2 5

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R Từ (*) suy ra: f x( ) = f( 2 ) − y ⇒ = −x 2y

Thay vào phương trình (2) ta được:

= −

 Vậy hệ có hai nghiệm là ( 1; ); (0;0)1

2

Bài 31: Giải hệ phương trình

- Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm x, y

- Khi đó phương trình (3) có nghiệm 1 1 1 8 1 1 0 xy 8 0 xy 8

x+ y⇒ + x y ≥ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ −

- Khi đó ta có x2+y2 ≥2 xy ≥16 Đặt t= x+y+2 ⇒ ≤ <0 t 2

- Từ pt (1) ta có t+t2 − 2 32 ≥ ⇔t2 + −t 34 0 ≥ điều này vô lí

Vậy TH1 hệ phương trình vô nghiệm

8 TH2: x + y >0

- Từ (2) suy ra xy > 0, do đó x và y đều dương

Từ đó suy ra: t = 2⇒ + =x y 2, thay vào hpt ta có xy=1⇒ = =x y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 1

1

x y

* Do x = 0 không phải nghiệm nên x > 0 ⇒ +x x2+ >1 0

Từ pt (2) ⇒ y(2 2 4 + y2 + 1) 0 > Chia hai vế pt (2) cho 2

= + + + > ∀ > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)(6)

Từ (5) và (6) ⇒ =x 1 là nghiệm duy nhất của pt (5)

*x= ⇒ 1 y= 2 Vậy nghiệm của hệ : 1;1

Hướng dẫn tìm lời giải

Do đó hệ đã cho tương đương với :

0

)4(1)

2(2

01

11

1

2 2

2 2

2

x

x x x

x y

x

y y x

x y x y

y x

y x

0 ) 1 )(

1 (

0 )

1 ( 0 1 3

2

5 1

=

x hoặc

2

5 1+

5

=

⇒ +

; 2

5 1 )

; 2

5 1 )

2 2

Hướng dẫn tìm lời giải

Điều kiện x y >, 0 Khi đó (1) ⇔(3x y2 +3 ) (2x − xy2 +2 ) (4 4 ) 0y − + xy =

x

Với x = 2 ⇒ y =1 , suy ra hệ phương trình có một nghiệm (2;1)

Bài 37: Giải hệ phương trình:

2

21

Hướng dẫn tìm lời giải

Vậy nghiệm (x; y) của hệ là 4 13;1 13 , 4 13;1 13 ,( 2; 1 )

Hướng dẫn tìm lời giải

Từ phương trình (2) ta có (x− 2)4 =y− ⇒ 1 y− = 1 (x− 2)2 thay vào phương trình

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x y; ) (= 3 2; )

Bài 41: Giải hệ phương trình

x b

Hướng dẫn tìm lời giải

Nhận xét y ≠0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được: (3 )xy 3 − 7(3 )xy 2 + 14(3 ) 8 0xy − =

Từ đó tìm được hoặc 3xy =1 hoặc 3xy =2 hoặc 3xy =4

- Với 3xy =1, thay vào phương trình thứ nhất, được y =1 do đó 1

3

x =

- Với 3xy =2, thay vào phương trình thứ nhất, được y =0 (Loại)

- Với 3xy =4, thay vào phương trình thứ nhất, được y = −2 do đó 2

3

x = −

Bài 43: Giải hệ phương trình : 2 5 3 6 2 7 4 0

Hướng dẫn tìm lời giải

Phương trình thứ (2)⇔ y2+ (2 −x y) − 3x− = 3 0 được xem là phương trình bậc hai theo ẩn

y có ∆ = (x+ 4) 2 Phương trình có hai nghiệm:

3 2

1 2

x x y

Thay y= -3 vào pt thứ nhất ta được pt vô nghiệm

Thay y = x+ 1 vào pt thứ nhất ta được: x2 −5x−2 6+ x2 −5x+5 0= (3)

Giải (3): đặt x2−5x+5= t, điều kiện t≥0 Từ( ) 2 1 ( )

Bài 44: Giải hệ phương trình :