Kĩ thuật Co-Si nguoc dau Tac gia: boy148 dua lén luc: 16:57:04 Ngay 20-02-2008 Bat dang thire C6-Si là một trong những bất đăng thức kinh điền rất quen thuộc với học sinh THPT Chuyên đê này muôn giới thiệu một phương pháp vận dụng bât đăng thức Cô-
SI đó là kĩ thuật Cô-S1 ngược dâu
Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện atb+c=3.Chứng minh răng:
b2 1i+c211qa32 š
Bài giải:
Ta luôn có :
3(ab+bc+ca) < (a-+b+c)2© ab+bc+ca< 3© -š(@b+bc-+ca) > 3
ab? ab? ab
oa
Theo bat dang thire C6-Si ta c6:1+b2> 2b nen 1+b2~ * 14d?
(1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
_b_ be
+22 P~2 @y
I+a22 “2 q)
Cộng về theo về các bất đăng thức (1),(2) và (3) ta có:
1a b2 T1+c2 T1+a2 > (a+b+o-5(@ab+bc+ca)> 3-5=5
khi va chi khi a=b=c=1
(đpcm).Dấu "=" xảy ra
Trong bài này để sử dụng bất đăng thức I+b2> 2bim ta phải dùng tới biểu thức
ab2 —_ a
1+b2— 914?
Vi du 2)Chung minh về mọi số đương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:
atl bt1 ctl
1Eb2T1+c2T1+a223
3(ab+bc+ca) < (a+b+c)? =9> AM > 0
Ta co:
Trang 2Theo bất đăng thức Cô-Si ta có: 1+b? > 2b nén
b2(a+1) b2+1 “
ber) _ ab+b
1+b?
= (a+1)-
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
ibe
79> b-+1-— 2 (2)
I+a22 CHỈ” 2 q)
Cộng về theo về các bất đăng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:
atl ,b+l c+i a-Fb+c—ab—bc—ca
1+b2 T1+c2 T1+a22 3+ 2
Dâu "=" xảy ra khi và chi khi a=b=c=1
Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dâu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải băng các phương pháp khác sẽ rât dài thậm chí không giải được ,sau đây là một sô bài tập ứng dụng:
Bài I)Chứng minh với mọi SỐ đương a,b,c,d ta luôn có:
S2 1p21c Tan d2122a2 2 2
Bài 2)Chứng minh răng với a,b,c,d là các số thưc dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:
I+bSc L1+c24 11142 11+a2b2 2
Bài 3)Cho 3 số a,b,c > Ova a+b+c=3.Chimeg minh rang:
— auä †b+2c3Tz12a3>