Phương pháp vecto giải phương trình I... Qua bài tập thứ nhất, chúng ta có thể thấy cách sáng tác các bài tập thuộc dạng này là rất ñơn giản.. Chúng ta chỉ cần lấy hai vecto ban ñầu thỏa
Trang 1Phương pháp vecto giải phương trình
I Lí thuyết
Sử dụng một số bất ñẳng thức ñơn giản:
u +u + +u ≤ u + u + + u = ⇔ ↑↑u
" "
0
u v u v
v
↑↓
=
u v ≤ u v = ⇔u v
( )2
0
u ≥
II Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải phương trình: x2 −2x+ +5 x2 +2x+10 = 29
ðiều kiện:
2 2
2 5 0
2 10 0
luôn ñúng
Nhận xét ñược: 29 = 4 + 25 = 22 + 52
Vì thế ta chọn hai vecto u v;
sao cho: u = x2 −2x+5
, v = x2 +2x+10
và u+ =v 29
ở ñây việc chọn hai vecto u
và v
có chứa x, nhưng tổng của hai vecto này không còn x, như thế
hệ số của x trong hai vecto là ñối nhau
Từ những nhận xét ñó, ta có cách chọn các vecto:
(1 ;2)
u= − x
và v=(x+1;3)
thì ta có: u = x2 −2x+5
; v = x2 +2x+10
; u+ =v ( )2;5
x
x
−
+
Vậy phương tình có nghiệm duy nhất: 1
5
x =
Trang 2Qua bài tập thứ nhất, chúng ta có thể thấy cách sáng tác các bài tập thuộc dạng này là rất ñơn giản Chúng ta chỉ cần lấy hai vecto ban ñầu thỏa mãn tổng của hai vecto không chứa x, ñưa ra phương trình dựa vào ñộ dài của mỗi vecto ñó
Một số ví dụ:
1 4x2 −4x+ +2 4x2 −12x+13= 13
2 5x2 +12x+ +9 5x2 −12x+ =8 29
Bài 2: Giải phương trình:
2x −2x+ +1 2x − 3 1− x+ +1 2x + 3 1+ x+ =1 3
Ta thấy ñộ khó ñã tăng lên nhiều so với những bài trên Trước hết, muốn dùng cách trên thì phải chọn tới 3 vecto, nhưng ñiều ñó không quan trọng, vấn ñề là chọn vecto nào?
Do chúng ta sử dụng ñến hằng ñẳng thức: ( )2 2 2
2
a+b =a + ab+b , vì vậy cần có hệ số 2 cho hạng tử a.b, nếu ñể hệ số là: 3 1;− 3 1+ thì việc thêm bớt ñể ra hằng ñẳng thức là khó khăn
Vì vậy tư tưởng ñơn giản là chúng ta nhân cả hai vế với 2
Phương trình tương ñương:
ðến ñây chúng ta ñã nhận thấy việc ñặt các vecto:
(1;1 2 ); (1 3 ; 1 ; w) (1 3 ; 1)
Phương trình tương ñương:
0
0
0
0
x x
x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 0
Một bài toán với cách ñặt các vecto tương ñối phức tạp
Chúng ta cùng ñến với bài tập tiếp theo:
Trang 3Bài 3: Giải phương trình: 9x3−18x2 + 36x2 −9x3 = +9 x2
ðiều kiện: 9 32 18 23 0 9 18 0 2 [ ]2;4
x
Với bài tập này, ở cả hai vế ñều chứa x, trong ñó vế phải x không trong căn, vì vậy vế phải có thể thấy ñược không phải là ñộ dài của một vecto Ta quan tâm ñến vế trái của phương trình: Nếu mỗi căn bình phương cộng với nhau ta sẽ ñược: 18x2, ñó có thể là ñộ dài của một vecto, vecto ñó là: ( 3 2 2 3)
, nhận thấy ngay vecto còn lại là: v =( )1;1
Khi ñó ta có: u v. = 9x3 −18x2 + 36x2 −9x3
2
Từ phương trình có: 2 ( )2
9+x =u v.≤ u v. =6x⇔ x−3 ≤ ⇔ =0 x 3 Thử lại thấy x =3 là nghiệm của phương trình
Ví dụ 4: Tìm m ñể phương trình có nghiệm
ñiều kiện: mọi x
Dạng bài tập này, chúng ta cần tìm khoảng giá trị của vế trái, từ ñó pt có nghiệm khi m thuộc khoảng ñó
Nhận thấy dạng phương trình tương tự như bài tập 3, có khác là vế trái có hiệu hai căn, vì thế có thế nghĩ ñến bất ñẳng thức: u+ ≥v u − v
Biến ñổi phương trình tương ñương:
ðặt: 1; 3 ; 1 ; 3
(chú ý ñến ñiều kiện xảy ra dấu = của bất ñẳng thức là hai vecto ngược hướng, vì vậy cần chọn tung ñộ mang dấu ñối nhau)
Trang 4Từ phương trình ta có: 2 2
m = x + + −x x − + =x u − v ≤ + =u v + = Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: hoặc có một vecto bằng 0
, hoặc hai vecto ngược hướng
u v= −x − = − − <x
nên hai vecto ngược hướng
Nếu hai vecto ngược hướng, có nghĩa: 1 1 1 1
(vô lí), hay hai vecto không
ngược hướng
Vậy phương trình có nghiệm khi: m ∈ −( 1;1)
Qua một số ví dụ trên, chúng ta ñã có một số bài tập vận dụng các bất ñẳng thức ñã nêu ở phần ñầu Việc nhận dạng ñược bất ñẳng thức cần dùng chủ yếu dựa vào dạng của phương trình ñã cho, và ñây là công việc then chốt ñể tìm ra lời giải cho bài toán
Một số bài tập vận dụng
2 10 3− x−x2 + 18 7− x−x2 = 77