mot so pp giai pt nghiem nguyen

--- Trang 1 --- MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BẤT đẲNG THỨC Một ựiều rất quan trọng khi giải phương trình nghiệm nguyên là chúng ta biết ựược

- Trang 1 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

NGHIỆM NGUYÊN

PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BẤT đẲNG THỨC

Một ựiều rất quan trọng khi giải phương trình nghiệm nguyên là chúng ta biết ựược các nghiệm thuộc tập ℤ là một tập rời rạc, có nghĩa nếu x∈[ ]a b; thì ta hoàn toàn có thể liệt

kê tất cả các giá trị của x Vậy ựi tìm nghiệm của phương trình nghiệm nguyên có thể ựi ựánh giá miền của mỗi nghiệm hoặc ựánh giá các nghiệm với nhau

Dạng 1: đánh giá trực tiếp ựược miền của mỗi nghiệm

Trong các phương trình nghiệm nguyên mà vai trò của các biến như nhau, ta có thể sắp thứ tự các biến, từ ựó có thể ựánh giá ựược cận trên của giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, từ ựó sẽ biết ựược các giá trị của biến ựó, ta sẽ có cơ sở ựể ựánh giá các biến còn lại

Vắ dụ 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x y, ) thỏa mãn phương trình:

( )2

x + y = x+ y

Giải

0

Thấy ựược mọi cặp (k,−k), k∈ℤ ựều là nghiệm của phương trình

Nếu x+ ≠ , phương trình tương ựương: y 0

( ) (2 ) (2 )2

Suy ra ( )2

y − ≤ , suy ra ,x y là các số nguyên nhận giá trị trong ựoạn:

[ ]0, 2 Từ ựó ựược các nghiệm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,1 , 1,0 , 1, 2 , 2,1 , 2, 2

Vắ dụ 2: (Romanian Mathematical Olympiad): Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

5

x + + = y z Giải

- Trang 2 -

Nhận thấy các số x, y, z lớn hơn 1

Do vai trò x, y, z như nhau, không mất tổng quát giả sử: 2≤ ≤ ≤ x y z

5 = + + ≤ ⇒ ≤ x y z x x

• Với x= suy ra 2 1 1 1 {11,12, , 20}

y + =z ⇒ ∈

Suy ra: 10 100 100 ( 10) {11,12,14,15, 20}

10

y

Hay các nghiệm là: (2,11,110 , 2,12,60 , 2,14,35 , 2,15,30 , 2, 20, 20 ) ( ) ( ) ( ) ( )

• Với x= suy ra 3 1 1 4 {3, 4,5,6,7}

15 y

y + =z ⇒ ∈ Thay vào phương trình ta ñược các nghiệm: (3, 4,60 , 3,5,15 , 3,6,10 ) ( ) ( )

• Với x = suy ra 4 1 1 7 { }4,5

20 y

y + =z ⇒ ∈ Thay vào phương trình ta ñược nghiệm: (4, 4,10 )

• Với x= suy ra 5 1 1 2 5

y + = ⇒ = = , suy ra nghiệm là z (5,5,5 )

Ví dụ 3: (United Kingdom Mathematical Olympiad): Tìm tất cả các bộ số nguyên dương

(x y z sao cho: , , ) 1 1 1 1 1 1 2

Ví dụ 4 (Putnam MO): Tìm tất cả các số nguyên dương n, k k1; ; ;2 k thỏa mãn: n

1

1

1 1

n i i n

i i

k

=

=











∑

∑

- Trang 3 -

Ví dụ 5:Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 3(xy+ yz+zx)=4xyz

Ví dụ 6: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:

2

xy+ yz+zx−xyz=

Ví dụ 7: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:

3

x y+ y z+z x= xyz

Ví dụ 8 (Polish MO): Tìm tất cả các bộ các số nguyên (a b c x y z thỏa mãn: , , , , , )

a b c xyz

x y z abc

+ + =



 Với a≥ ≥ ≥b c 1, x≥ ≥ ≥ y z 1

Ví dụ 9: Cho , , , ,x y z u v là các số nguyên dương thỏa mãn: xyzuv= + + + +x y z u v Tìm giá trị lớn nhất của max{x y z u v, , , , }

Tổng quát của ví dụ 9: Tìm max{x x1, 2, ,xn} với x x1, 2, ,x ∈n ℕ* thỏa mãn:

1 1

i i

=

=

∏

Ví dụ 10: Tìm các số nguyên dương phân biệt x y z t, , , thỏa mãn:

3

x + y +z =t = x+ + + y z t

Ví dụ 11: Tìm các số nguyên dương , , ,x y z t thỏa mãn:

n

 + =





Ví dụ 12: Tìm tất cả các cặp só nguyên dương (x y thỏa mãn: , ) xy = yx

Ví dụ 13: Tìm tất cả các cặp só nguyên dương (x y thỏa mãn: , ) xy + =y yx + x

- Trang 4 -

Hướng dẫn, lời giải, ựáp số

Vắ dụ 3: Giả sử x≥ ≥ ≥ , ta có: y z 2

3

= +  +  +  ≤ + 

suy ra: z ≤ 3

Vắ dụ 4: Áp dụng BDT Cauchy Ờ Schwarz:

n

Suy ra 5n− ≥4 n2 ⇒ ≤ n 4

Vắ dụ 5: Phương trình tương ựương: 1 1 1 4

3

x + + = y z Tương tự như vắ dụ 2

Vắ dụ 6: để ựưa về cùng dạng như trên, ta ựặt u = −x 1;v= −y 1;t= − z 1

Vắ dụ 7: Tương tự như trên, chia cả hai vế cho xyz

Vắ dụ 8 đánh giá ựược bc hoặc yz có số nhỏ hơn 3

Vắ dụ 9: Giả sử x≤ ≤ ≤ ≤ , ta tắnh giá trị lớn nhất của z y z u v

đánh giá ựược: v< + + + + <x y z u v 5v

- Trang 5 -

Dạng 2: đánh giá các ẩn với nhau

Vắ dụ 1 (Titu Andreescu): Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x y z t thỏa mãn: , , , )

( ) ( )

x + y +z + xy+ x z− + y z+ = t Giải

Do vế phải là một bình phương, ta ựánh giá vế trái bằng cách chặn nó bới hai số chắnh phương, càng gần nhau càng tốt

Ta có:

( ) ( )

x + y +z + xy+ x z− + y z+ = x + y +z + xy+ xz− x+ yz+ y

x+ +y z − x+ y > x+ +y z − x+ +y z + + z− > x+ + −y z

x +y +z + xy+ x z− + y z + < x+ + +y z

x+ + −y z < <t x+ + +y z Suy ra: t = + + x y z

Thay vào hai ựiều kiện trên ta ựược x= , suy ra y t =2x+ z

Vậy nghiệm của phương trình là: ( ) *

, , , 2 , ,

k k n k +n k n∈ℕ Một số vắ dụ áp dụng

Vắ dụ 2 (Hungari MO): Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:

( ) (3 )3 ( )3

x + x+ + x+ + + x+ = y

Vắ dụ 3 (Rumania MO): Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:

x+ y + x+ + =y z

Vắ dụ 4 (Australian MO): Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

( ) (4 )4 3

x+ − x− = y

- Trang 6 -

Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình: 6 4 2 3

x +ax +bx + =c y Với a∈{3, 4,5 ,} b∈{4,5, ,12 ,} c∈{1, 2, ,8}, không có nghiệm nguyên dương

Ví dụ 6 (Russian MO): Giải phương trình nghiệm nguyên: ( 2 2)2

1 16

Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên a thỏa mãn phương trình: a+a2 +a3 =20092010

Ví dụ 8: Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không phải là số chính phương

- Trang 7 -

PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT đỒNG DƯ

Thường sử dụng với các bài toán chứng minh phương trình vô nghiệm nguyên: đánh giá ựồng dư của hai vế, thấy không bằng nhau

Bài 1 (Hungari MO): Chứng minh rằng phương trình:

( ) (2 )2 ( )2

Không có nghiệm nguyên x, y, z với z >1

Giải

1

i

=

∑

Suy ra y⋮3⇒ yz⋮32

Mà vế phải không chia hết cho 9, nên phương trình vô nghiệm nguyên

Bài 2 (Titu): Tìm tất cả các cặp số nguyên dương: (x y thỏa mãn: ; ) x2 − y! 2001=

Hướng dẫn:

Ta có: x2 − y! 2001= ⇔ x2 = +y! 2001

Nếu y> ⇒5 y! 9⋮ ⇒2001+ y! 3 mod 9≡ ( ), hay 2001+ y! không là số chắnh phương, suy

ra phương trình vô nghiệm

Vậy y ≤ , xét các trường hợp, suy ra nghiệm của phương trình 5

Bài 3 (Bulgaria MO): Tìm bộ ba số nguyên không âm thỏa mãn: 5 7x y + =4 3z

Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 + y4 = 7

Xét ựồng dư mod13, với chú ý: x3 +y4 ≡7 mod13 ( )

Bài 5: Tìm tất các các cặp số nguyên dương (x y thỏa mãn: 3; ) x −2y = 7

Với y ≥ , xét mod8 thấy vô lắ, vậy 3 y < 3

Bài 6: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x y thỏa mãn: ; ) x3−4xy+y3 = − 1

- Trang 8 -

Cách 1: Sử dụng ñẳng thức:

3

a +b +c − abc= a+ +b c a +b +c −ab bc− −ca Phương trình tương ñương: 27x3+27y3+43−4.27xy=37= − 1

Cách 2: ðặt x y S

xy P

+ =





=

 , ñưa phương trình ẩn S, P

Tính ñược:

3

1

S P S

+

= + , tìm ñiều kiện của S ñể P nguyên

Bài 7 (IMO 37th): Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x y thỏa mãn: ; ) xy2 = yx

Bài 8: Chứng minh rằng phương trình: 2

4xy− − = không có nghiệm nguyên dương x y z Bài 9: Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương (a n thỏa mãn: ; )

( )

1

1 n 2001

n

a + − a+ =

Bài 10: Chứng minh rằng hệ phương trình:

6 6





 không có nghiệm nguyên

- Trang 9 -

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG QUY NẠP TOÁN HỌC Phương pháp quy nạp toán học

Chứng minh mệnh ñề P ñúng với mọi n n≥n0

Có 3 loại quy nạp cơ bản:

Loại 1: Chứng minh

0

n

P ñúng Giả sửP , chứng minh k Pk+1

Loại 2: Chứng minh

0; 0 1; ; 0

P P + P + ñúng Giả sử P ñúng, chứng minh k Pk m+ +1 ñúng

Loại 3: Quy nạp kiểu Cosi

Bài 1 (Bulgarian MO): Chứng minh rằng với mọi số nguyên n≥3, tồn tại các số

nguyên dương lẻ ,x y thỏa mãn: 7x2 + y2 =2n

Giải

Ta chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương lẻ x y thỏa mãn: n; n

7xn + yn = 2 ,n ∀ ≥n 3

Với n=3, ta có: x3 = y3 =1 thỏa mãn

Giải sử với n≥3 tồn tại các số nguyên dương lẻ x y thỏa mãn: n; n 7xn2 + yn2 =2n

Ta cần chứng minh tồn tại các số nguyên dương lẻ xn+1;yn+1 thỏa mãn:

7xn+ + yn+ =2n+

n

±

∓

Do một trong hai số ;

là lẻ, ta xét hai trường hợp:

- Trang 10 -

Nếu

2

x + y

n

x

= + là số lẻ

Nếu

2

x −y

là lẻ thì 7 3

n

x

= + là số lẻ

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, phương trình: 2 2 2

59n

x +y +z = luôn có nghiệm nguyên dương

Với n = , phương trình có nghiệm là: 1 (x y z =1; ;1 1) (1;3;7)

Với n = , phương trình có nghiệm là: 2 (x y z2; 2; 2) (= 14;39; 42)

Giả sử với n ∈ℕ*, phương trình luôn có nghiệm là (x y zn; n; n)

Xét (xn+2;yn+2;zn+2) với: xn+2 =59 ;x yn n+2 =59y zn; n+2 =59zn

Ta thấy: xn2+2 + yn2+2+zn2+2 =59n+2, hay (xn+2;yn+2;zn+2) là nghiệm khi n + 2

Theo quy nạp ta có ñiều phải chứng minh

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n≥3;n∈ℕ, phương trình:

n

x + x + + x =

Có nghiệm nguyên phân biệt

Giải

Với n = , ta có nghiệm: 3 (x x x1; 2; 3) (= 2;3;6)

Giả sử ñúng với n= , nghĩa là tồn tại các số nguyên dương phân biệt: k (x x1; 2; ;xk) thỏa mãn:

k

x + x + + x =

- Trang 11 -

Suy ra:

2x +2x + + 2xk = ⇔ +2 2 2x + 2x + + 2xk =

Chọn k + số: 1 2;2 ;2 ; ;2x1 x2 x là các số nguyên dương phân biệt thỏa mãn phương k trình

Vậy bài toán ñược chứng minh

Bài 4 (Mathematical Reflections): Chứng minh rằng phương trình:

n

+

Có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi n ≥ 3

Hướng dẫn

Với n =1;2, dễ dàng thấy ñược phương trình vô nghiệm nguyên dương

Với n = phương trình có nghiệm 3 (3;4;5 )

Dễ dàng chứng minh ñược bằng quy nạp với mọi n ≥ phương trình có nghiệm nguyên 3 dương, với chú ý: 2 2 2

x + x + x +

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n ≥412 thì tồn tại các số nguyên dương x x1; 2; ;xn

n

x + x + + x =

Bài 6 (Titu): Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥2 tồn tại các số nguyên lẻ ;x y thỏa mãn: x2 −17y2 =4n

Bài 7 (Dorin Andrica): Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n tồn tại các số nguyên ;x y thỏa mãn: x2 +xy+y2 =7n

Bài 8 (Titu): Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n tồn tại các số nguyên

; ; ; ;

x y u v w thỏa mãn: ( 2 2)( 2 2 2)

2009n

x + y u +v +w =

- Trang 12 -

Bài 9 (Romanian MO): Nếu a a1; 2; là một dãy các số nguyên dương phân biệt thì với tất cá các số n ≥1 ta có bất ñẳng thức:

3

n

Bài 10: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương phân biệt của phương trình:

x +x + + x = x +x + +x