Bài toán quỹ tích trong đề thi HSG được giải quyết theo hướng tọa độ hóa. Có một số quỹ tích không là đường thẳng hoặc đường tròn thì giải phải này là hiệu quả hơn hẳn. Xin gửi đến thầy cô và các em học sinh chuyên đề
Trang 1y
I G
A
H
Sử dụng phương pháp tọa độ giải các bài tốn quỹ tích Các bài tốn quỹ tích luơn là các bài tốn khơng đơn giản Việc tìm quỹ tích của một điểm thường phải dự đốn được quỹ tích, sau đĩ chứng minh điểm luơn thuộc quỹ tích Với các bài tốn sử dụng phương pháp hình học tổng hợp, chủ yếu chúng ta hay gặp các bài tốn
mà quỹ tích là đường thẳng hoặc đường trịn, nếu quỹ tích là đường khác (chẳng hạn elip, hypebol, parabol hay một số đường đặc biệt…) việc dùng phương pháp hình học tổ hợp là khĩ khăn Chúng ta cĩ thể nghĩ đến phương pháp tọa độ
ðể thấy được hiệu quả của phương pháp, chúng ta cùng xét ví dụ đơn giản thứ nhất
Ví dụ 1 (Việt Nam 2007): Trong mặt phẳng cho tam giác ABC cĩ B, C cố định, A thay đổi Gọi G và H theo thứ tự là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC Tìm quỹ tích đỉnh A, biết rằng trung điểm của GH nằm trên BC
Giải
Các bạn cĩ thể nghĩ đến việc sử dụng phương
pháp hình học tổng hợp Nhưng như thế gặp phải
khĩ khăn khi tìm quỹ tích của điểm A mà điểm A
sinh ra các điểm G, H, điều kiện của bài tốn lại
liên quan đến điểm G, H ðiều kiện trung điểm
của GH thuộc BC rất khĩ đưa ra một điều kiện
để tìm điều kiện của điểm A
Chúng ta cùng xem xét phương pháp tọa độ để
giải bài tốn Việc gắn tọa độ phải theo các điểm
cố định, cụ thể ở đây là B và C
Chọn hệ trục Bxy sao cho tia Bx trùng tia BC, tia By vuơng gĩc Bx
Trong hệ Bxy, ta cĩ: B(0;0); C(c;0); A(x y0; 0) trong đĩ y ≠ Suy ra G0 0 0 ; 0
Do AH vuơng gĩc BC nên tọa độ H cĩ dạng H(x y0; H) thỏa mãn:
0
y
−
Trang 2
Suy ra trung ñiểm I của GH có tọa ñộ: I ( ) 2
0
0
3 4
;
y
0
3
0 6
y
=
( )
2
Tọa ñộ ñiểm A thỏa mãn phương trình (*), ñây là phương trình Hyperbol
Nếu theo phương pháp hình học tổng hợp thì thật quá khó khăn… Và ñến bây giờ vẫn chưa thấy có lời giải nào
Qua ví dụ 1, chúng ta thấy ñược hiệu quả của phương pháp tọa ñộ trong việc giải các bài toán về quỹ tích ðể thấy ñược rõ hơn sức mạnh của phương pháp, ta xét ví dụ tiếp theo
Một số ví dụ áp dụng
Bài 2 : Cho ABC△ , M là ñiểm di ñộng trên cạnh BC Hạ MN, MQ tương ứng vuông góc
và song song với AB ( N∈AB, Q∈BC ) Gọi P là hình chiếu của Q trên AB, I là tâm của hình chữ nhật MNPQ Tìm quỹ tích tâm I khi M chạy trên cạnh AB
Bài 3 : Cho ñường tròn ( C ) có ñường kính AB không ñổi, một ñiểm M di ñộng trên ( C ) Gọi H là hình chiếu của M trên AB Tìm quỹ tích trung ñiểm I của MH
Bài 4 : Cho ABC△ , M là ñiểm di ñộng trên cạnh BC Hạ MN, MQ tương ứng vuông góc
và song song với AB ( N∈AB, Q∈BC ) Gọi P là hình chiếu của Q trên AB, I là tâm của hình chữ nhật MNPQ
Tìm quỹ tích tâm I khi M chạy trên cạnh AB
Giải :
Hướng dẫn :
- Gọi O là chân ñường cao hạ từ C xuống AB
- Chọn hệ trục toạ ñộ Oxy sao cho A∈ox, oy qua BC
- Tìm toạ ñộ của N, Q, I theo toạ ñộ của ñiểm A, B, C, M
- Tìm mối liên hệ tung ñộ và hoành ñộ của ñiểm I chú y ñiều kiện của ñiểm M
Trang 3Lời giải :
- Gọi O là chân ñường cao hạ từ C
xuống AB
- Chọn hệ trục toạ ñộ Oxy ( như
hình vẽ )
Giả sử toạ ñộ các ñỉnh A, B, C là :
A ( a;0 ), B ( b;0 ), C ( 0; h ) , h > 0
Phương trình ñường thẳng AB theo
ñoạn chắn :
a ++++ h ====
Phương trình ñường thẳng BC theo ñoạn chắn :
b ++++ h ==== Giả sử MQ có phương trình y = m ( 0≤ ≤m h) Toạ ñộ của ñiểm Q là nghiệm của hệ phương trình
a
h
Tương tự ta có : M( b(h m m); )
h −−−−
Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD Suy ra I là trung diẻm của MP
Khi ñó
1 1
a b h m
h
m
==== ++++ ====
==== ++++ ====
(*)
a b
++++
(2) suy ra m = 2yI Vì 0 m h≤ ≤ nên ≤ ≤
Trang 4
0
2
I I
a b
c y
−−−−
≤≤≤≤ −−−− ≤≤≤≤ ≤≤≤≤ ≤≤≤≤
⇔
≤≤≤≤ ≤≤≤≤ ≤≤≤≤ ≤≤≤≤
(**)
Từ (*) và (**) suy ra quỹ tích tâm I của hình chữ nhật MNPQ là ñoạn KH, ở ñây K, H lần lượt là trung ñiểm của OC và AB (ñpcm)
Chú ý : Mọi lập luận ở ñây không phụ thuộc vào hình dáng của ABC△
Bài 5 : Cho ñường tròn ( C ) có ñường kính AB không ñổi, một ñiểm M di ñộng trên ( C ) Gọi H là hình chiếu của M trên AB Tìm quỹ tích trung ñiểm I của
MH
Giải :
Hướng dẫn :
- ðể phương trình của ñường tròn ñơn giản ta chọn hệ trục toạ ñộ có gốc O trùng với tâm O của ñường tròn
- Trục Ox ñi qua AB
- Tìm toạ ñộ trung ñiểm I của MH theo toạ ñộ ñiểm M
- Tìn mối liên hệ giữa tung ñộ và hoành ñộ của ñiểm I
Lời giải :
- Chọn hệ trục toạ ñộ Oxy ( như
hình vẽ )
- ðặt R =
2
AB
, R là không ñổi ðường tròn ( C ) có phương trình :
x2 ++++ y2 ==== R2
Xét ñiểm M ( x0; y0 ) ∈ ( C )
Trang 5H là hình chiếu của M trên AB ⇒⇒⇒ H ( x0; 0 )
I là trung ñiểm của MH
0
0 0
0
( ; )
2
I
I I I
I x y
y
====
====
⇒ ⇒ ⇒
====
====
Thay vào (1) ⇒⇒⇒⇒ xI2 ++++ 4yI2 ==== R2 hay
(2 )
Chứng tỏ quỹ tích I là elip (E) :
(2 )
R ++++ R ==== ñộ dài trục lớn là 2R, trục bé
là R
