Trước hết chúng ta cùng ựến với một số khái niệm cơ bản I Ờ Tam giác nguyên thủy Một tam giác nguyên ựược gọi là nguyên thủy nếu như ngoại trừ các ựỉnh của nó thì không có ựiểm nào nằm t
Trang 1định lý Picard
Lưới nguyên là tập hợp tất cả các ựiểm trên mặt phẳng tọa ựộ đê-các vuông góc với tọa ựộ nguyên Một ựa giác gọi là nguyên nếu như tất cả các ựỉnh của nó ựều thuộc về lưới nguyên Trong bài viết này chúng tôi sẽ ựề cập ựến ựịnh lý Picard cho diện tắch các ựa giác nguyên và một số ứng dụng của nó trong giải toán hình học tổ hợp
Trước hết chúng ta cùng ựến với một số khái niệm cơ bản
I Ờ Tam giác nguyên thủy
Một tam giác nguyên ựược gọi là nguyên thủy nếu như
ngoại trừ các ựỉnh của nó thì không có ựiểm nào nằm
trong và trên cạnh tam giác có tọa ựộ nguyên
Hình 1 là vắ dụ về một số tam giác nguyên thủy
Hình 1
định lý 1 Tam giác nguyên là nguyên thủy khi và chỉ khi có có diện tắch bằng 1
2 Chứng minh
Cho tam giác nguyên thủy , xét hình chữ nhật nguyên nhỏ nhất với các cạnh song song với các trục tọa ựộ, chứa tam giác
Tất cả các trường hợp có thể xảy ra biểu
diễn như trên hình 2
Hình 2
Trang 2Trường hợp a, b rõ ràng tam giác không phải là nguyên thủy vì ñiểm K trên hình vẽ có tọa ñộ nguyên Trường hợp d bao hàm cả trường hợp c nếu như giả sử ñỉnh có thể nằm trên OA, OB (trường hợp ñặc biệt có thể trùng với O Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp d, một cách không mất tính tổng quát, xem O(0;0); D(p;0); A(q;0);
E(0;r); B(0;s)
Kí hiệu I(P) là số các ñiểm nguyên nằm bên trong nhưng không
nằm trên cạnh của ña giác P Khi ñó ta có:
I(OAFB)=(q-1).(s-1)
Vì trong ñoạn AB không chứa ñiểm nguyên nên
I(OAB)= I(OAFB):2=(q-1).(s-1):2
Tương tự ta có: I(ACD)=(q-p-1)(r-1):2
I(CBE)=(s-r-1)(p-1):2
Tam giác ABC không chứa trong nó ñiểm nguyên nào nên
I(OAB)- I(ACD)- I(CBE)=p.r
ở ñây p.r ñúng bằng số ñiểm nguyên nằm trong ODCE, và các ñiểm nguyên nằm trên cạnh
CD, CE trừ ñiểm D và E
Từ ñó suy ra
(q-1).(s-1)- (q-p-1)(r-1)-( s-r-1)(p-1)=2pr
⇔qs – ps – qr = 1
Kí hiệu S(F) là diện tích của hình phẳng F, thế thì
S(ABC)=S(OAB)-S(CBE)-S(CDA)-S(CEOD)
qs
rp
qs−rq+rp− ps+ pr− rp qs−rq− ps
Như vậy ta ñã chứng minh chiều thuận của ñịnh lý Ngược lại, giả sử tồn tại một tam giác nguyên với diện tích bằng 1
2 mà không nguyên thủy Khi ñó ta cần chứng minh rằng tam giác nguyên luôn có thể phân hoạch thành các tam giác nguyên thủy
Trang 3Nếu tam giác nguyên không nguyên thủy
ABC chỉ có các ñiểm nằm trên cạnh là
nguyên Khi ñó tồn tại một cạnh chứa các
ñiểm nguyên, ta nối các ñiểm này với ñỉnh
(hình 3), các ñoạn nối này không chứa
ñiểm nguyên trừ hai ñầu mút nên các tam
giác ñược chia ra, ngoại trừ nhiều nhất hai
tam giác chứa cạnh AB, AC (trong trường
hợp trong các cạnh AB, AC chứa ñiểm
nguyên), ñều là nguyên thủy Kí hiệu hai
tam giác không nguyên thủy này là ABP và
AQC, khi ñó từ P, Q ta nối tương ứng với
các ñiểm nguyên nằm trên cạnh AB, AC Khi
ñó toàn bộ các tam giác ñược chia ra ñều là
nguyên thủy
Hình 3
Nếu tam giác ABC chứa trong nó một số
ñiểm nguyên nào ñó (hình 4) Ta chọn ra
một ñiểm và nối chúng với các ñỉnh ABC,
thu ñược 3 tam giác nhỏ hơn Ta tiếp tục
quá trình chọn và phân hoạch tam giác ñối
với 3 tam giác nhỏ này Vì số ñiểm nguyên
nằm bên trong tam giác ABC là hữu hạn nên
ñến một thời ñiểm thì quá trình này dừng và
thu ñược các tam giác nguyên bên trong
không chứa ñiểm nguyên nào, có thể trên
cạnh có chứa ñiểm nguyên, và ta tiếp tục áp
dụng cách phân hoạch như ñã chỉ ra ở phần
trên ñể thu ñược tất các các tam giác ñược
phân hoạch ñều là nguyên thủy
Hình 4 Như vậy tam giác nguyên không nguyên thủy ABC có thể phân hoạch ít nhất là 2 tam giác nguyên thủy, mà mỗi tam giác này có diện tích là 1
2 như ñã chỉ ra ở phần thuận của ñịnh lý,
từ ñó S(ABC) > 1
2, mâu thuẫn này cho ta chứng minh của phần ñảo
ðịnh lý ñược chứng minh
Qua ñịnh lý 1 ta thấy: một tam giác nguyên bất kỳ luôn có diện tích là một số hữu tỉ và diện tích không nhỏ hơn 1
2
Trang 4Ví dụ: Một tam giác nguyên ABC mà trên các cạnh không có ñiểm nguyên nào ngoài các ñỉnh, bên trong tam giác có ñúng một ñiểm nguyên G Chứng minh ñiểm G là trọng tâm của tam giác
Giải
Theo cách phân chia như trong ñịnh lý 1, tam giác ABC ñược phân chia thành 3 tam giác nguyên thủy ABG; BCG; CAG, do ñó: SABG = SBCG = SCAG = 1
2 ðiều này suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC
II – ðịnh lý Picard
Trong phần này khi nhắc ñến ña giác, chúng ta xem chúng như là ña giác ñơn, nghĩa là ña giác bị chặn và biên của nó là ñường gấp khúc không tự cắt Hình 5 là thí dụ về ña giác không ñơn
Hình 5
ðịnh lý 2 (Picard) Với ña giác nguyên P thì diện tích của nó ñược tính theo công thức
( ) 1
2
n
S P =m+ −
trong ñó m là số ñiểm nguyên nằm trong, và n là số ñiểm nguyên nằm trên cạnh của ña giác (kể cả các ñỉnh của ña giác)
Chứng minh
Bổ ñề: Bất kì một ña giác ñơn có số ñỉnh lớn hơn 4 ñều tồn tại một ñường chéo nằm hoàn toàn trong ña giác ñó
Từ ñó bằng quy nạp dễ dàng chứng minh k-giác có thể phân hoạch thành k-2 tam giác mà các ñỉnh của chúng là các ñỉnh của ña giác ban ñầu Do ñó tổng các góc trong của một k-giác ñơn ñúng bằng (k-2)π
Trang 5Mỗi tam giác nhận ñược từ cách phân hoạch k-giác nguyên P như trên ta có thể tiếp tục chia nhỏ chúng thành các tam giác nguyên thủy như cách ñã trình bày ở ñịnh lý 1 Diện tích của mỗi tam giác nguyên thủy bằng 1
2, do ñó số tam giác nguyên thủy ñược chia ra ñúng bằng
( )
2
N = S P và do ñó không phụ thuộc vào cách chia
Và ñiều ta cần chứng minh tương ñương với: N =2m+ − n 2
Tổng tất cả các góc thuộc các tam giác
nguyên thủy ñược chia ra mà các góc ñó
có ñỉnh là ñỉnh của
k-giác P bằng tổng các góc trong của ña
giác này, và bằng (k-2)π (hình 7a)
Tổng tất cả các góc thuộc các tam giác
nguyên thủy ñược chia ra mà các góc ñó
có ñỉnh nằm trên cạnh và không trùng
với ñỉnh của k-giác P ñúng bằng (n-k)π
(hình 7b)
Hình 7
Tổng tất cả các góc thuộc các tam giác nguyên thủy ñược chia ra mà các góc ñó có ñỉnh nằm bên trong ña giác ñúng bằng 2mπ (hình 7c)
Mặc khác tổng tất cả các góc của tất cả các tam giác nguyên thủy ñược chia ra ñúng bằng Nπ
Do ñó: Nπ =(k-2)π +(n-k)π+ 2mπ ⇔ N=2m+n-2
Suy ra ñiều cần phải chứng minh
Thí dụ: như hình 6, áp dụng công thức
Picard, ta có diện tích ña giác nguyên này là
m= n=
Hình 6
Trang 6Bài tập áp dụng
Bài 1: Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác ñều có các ñỉnh nguyên
Giải
Một tam giác có các ñỉnh nguyên sẽ có diện tích hữu tỉ
Một tam giác ñều cạnh a có diện tích là
2
3 4
a
là số vô tỉ Vì thế không tồn tại một tam giác ñều có các ñỉnh nguyên
Bài 2: Cho hình vuông có cạnh bằng n trong mặt phẳng tọa ñộ Chứng minh rằng nó chỉ chứa nhiều nhất (n+1)2 ñiểm nguyên
Giải
Nhận xét: Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ñiểm nguyên là 1
Chu vi của hình vuông cạnh n là 4n, nên có không quá 4n ñiểm nguyên trên các cạnh của nó Gọi I và J theo thứ tự là số ñiểm nguyên nằm trong và trên cạnh của hình vuông
Theo ñịnh lý Picard ta có: S = I +
2
J
- 1=n2
Suy ra: I + J = n2 +
2
J
2
n
≤ + + = + , ñó là ñiều phải chứng minh
Bài 3: Giả sử một n-giác nguyên lồi sao cho bên trong và cạnh của nó không chứa một ñiểm nguyên nào khác các ñỉnh, chứng tỏ n ≤ 4
Bài 4: Chứng minh rằng với bất kì hai ñiểm nguyên A; B sao cho giữa ñoạn nối chúng không chứa ñiểm nguyên nào khác, tìm ñược ñiểm C sao cho tam giác ABC là nguyên thủy Khoảng cách từ C ñến AB bằng bao nhiêu nếu biết ñộ dài AB = d
Bài 5: Xét n ñiểm nguyên (n ≥ ) sao cho bất kì ba ñiểm nào giữa chúng ñều lập thành ñược 3 tam giác mà các trung tuyến của nó không cắt một ñiểm nguyên nào khác Tìm số n lớn nhất
có thể ñược
Bài 6: Hãy chỉ ra trên mặt phẳng 1000 ñiểm sao cho không có 3 ñiểm nào trong chúng thẳng hàng và khoảng cách giữa hai ñiểm bất kì là một số vô tỉ, còn diện tích của một tam giác bất
kì, mà 3 ñỉnh của nó ñược chọn ra từ các ñiểm nói trên, là một số hữu tỉ
