Định lý KKM - FAN, các kết quả tương đương và áp dụng5_2

Luận văn thạc sĩ toán học: Định lý KKM - FAN, các kết quả tương đương và áp dụng

Ap dụng của định lý KKM-Fan

Định lý điểm bất động của Tarafdar năm 1987 (Định lý 2.3.1) có thể được phát biểu dưới dạng khác như sau

Định lý 3.1 Cho X là không gian vector tôpô Hausdorff, 0 # A4 C X, A lôi và ánh

xa yg: A~ Acé gid tri Idi, khác rỗng Giả sử:

(i) el (y) mé trong A, Vy € A;

() tôn tại Xo thỏa Ú # Xe C Xị C A, với Xị là tập con lổi compact, sao cho A\ U yo! (y) la compact hoac réng

yeXo

Khi đó, tồn tại # € A sao cho # € ¿(#)

3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân (VI)

Cho X và Y là các không gian Banach thực, Ú # K C X, K lỗi, compact Ánh xạ

T : K ~ L(X,Y) théa T(x) 4 0, T compact và guhc trong K Ánh xạ Œ: K ~ Y

có ảnh là nón lỗi đóng, phần trong khác rỗng, C(z) A Y va Anh xa W: K ~~ Y xác định bởi W(z) = Y\(—intC(#)) có grW đóng yếu trong X x Y Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau:

(VI) Tìm # € K sao cho Vz € K, 3 € T(#) : (t,x — Z) ¢ —intC(z)

Năm 1997, bằng cách sử dụng tính giả đơn điệu và tính nửa liên tục theo hướng, Lin-Yang-Yao đã đạt được kết quả về sự tổn tại nghiệm của bài toán (VI) như sau

30

Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 31 Định lý 3.1.1 Nếu 7 là C-giả đơn điệu yếu trên K thì bài toán (VI) có nghiệm

Chứng minh Ta xét các ánh xạ ì, F>: K ~+ K xác định bởi

Fi(y) = {a € K |As € Tx: (s,y— +) ý —intC(z)}, Vụ € K, Fo(y) = {a € K |at € Ty: (t,y— x) £ —intC(z)}, Vụ € K

Nhận thấy Ƒ;() 4 0 (vi Vy € K,y € Fi(y)) Khi do,

1) #¿ là ánh xa KKM That vay, trudc hét ta chttng minh F; 1a 4nh xa KKM Gia

sử phản chứng "+ không là ánh xạ KKM, nghĩa là 3ê = Som € U Filys) i=l ¿1

(- >0,Vi = TR A= 1) Khi d6 @ ¢ Fi(y),¥i = Tom Tite là Vs € T(2):

1

(5,44 — ) € —intC(&), Vi = Tym Do —infC(2) là nón lỗi nên 3) Àj(s,w — Ê) €

set

—intŒ(#) Vì s tuyến tính liên tục nên

3 `Ài(s,Uị — 8) = (sx — ») =(s,ê— #) =0€ —intC(3)

Suy ra C(#) = Y (tái giả thiét) Do T la C-gid don digu y€u nén Fy(y) C

Fy(y), Wy € K Vi vay, Fy cling [a ánh xạ KKM

2) F›(u) đóng yếu và suy ra F2(w) compact yếu, Vụ € ý Thật vậy, với € K,

ta lay {va} C F5(u),za # € K Ta cần chứng minh £ € #;(w) Với mỗi œ,

Zo € Fo(y), nghia là 3„ € Ty : (ta, T— za) £ —intC(za) Mà Tự là compact trong tôpô chuẩn L(X,Y) nén {ta} c6 day con hdi tu dén t* € Ty Khong mat tính tổng quát, ta giả sti tg — £* (ở đây f* liên tục từ tôpô yếu trên X vào tôpô yếu trên Y) Do đó, (t*,y— 2a) — (,— #) yếu trong Y Mặt khác,

Ita -#*,9 = tally < [Ite — tll ecx,yy- lly — #allx -

Do |lfa — f?|[zx,y —> 0 và lly = zal|y bị chặn nên

(ta — t*, y — Za) — 0 trong Y

Từ đó suy ra, (ta, y — Za) > (t*,y — &) yéu trong Y Do dé, (2a, (ta, y — La)) > (@, (t*,y — &)) yéu trong X x Y Ma gr(W) déng yếu nên suy ra (t*,y— @) €

W (a) Suy ra (t*,y — #) € —intC(@), titc la @ € Fy(y) Do K 1a compact yếu nên Fy(y) cing compact yéu, Vy € K

Từ 1) và 2), áp dụng Bổ đề 2.2.1, ta được

8 Fry) #0

yeK Khi đó, 3z € Ƒ;(w),Vụ € K Ta định nghĩa ánh xạ Ƒ: |0, 1] ~› Y xác định bởi

F(a) = (T(œw +(1— œ)#),u— #), Vụ € K

Do 7 là guhc, có giá trị compact, khác rỗng nên # là usc và #'([0, 1]) là compact trong tôpô chuẩn Y Lấy {a„} C [0,1],œ„ — 0 Vì Va„,3# € Fš(azy + (1— o„)#) nên đưa € Tan + (1— ứn)#) : (try ng + (1 — aa)# — #) £ —intC(2#) Tức là, (fa, ý — #) ¢

—intC(z) Mà {(f„, — #)} C Ƒ'(Í0,1]) compact, không mất tính tổng quát ta giả sử (try -%) > w €Y Do F Ila usc nên w € Ƒ(0) Do đó, 3ý € 7# : = (t, — #) Kết hợp với giả thiết ør(W”) đóng, ta được (†, — #) ý —intŒ(#) Điều này có nghĩa Z là

Phần tiếp theo ta xét đến một dạng khác của bài toán bất đẳng thức biến phân (VI),

đó là bài toán tựa bất đẳng thức biến phân (QVI) Bài toán này khác với bài toán (VI) ở chổ: với bài toán (V]), việc tìm nghiệm giới hạn trên một tập cố định W; còn với bài toán (QVI), nghiệm phụ thuộc vào ảnh của một ánh xạ đa trị

3.2 Bài toán tựa bất đẳng thức biến phân (QVI)

Cho X va Y là hai không gian vector tôpô Hausdorff, £ AC X và A lôi đóng Ánh

xạ Œ: A ~> Y có ảnh là nón lỗi đóng và phần trong khác rỗng, 7: A ~› L(X,Y), K:A~ X và ánh xạ g: A — A đơn trị liên tục Ta xem xét hai bài toán tựa bất đẳng thức biến phân sau đây:

(QVI;) Tìm # € AnelK(#) sao cho Vz € K(#), 3i € T(#) : (f,# — g(#)) € Y\ — intC(#) (QVI;) Tìm # € AneclK(#) sao cho Vz € K(#), Ví € T(#) : (t,# — g(Z)) € Y\ — intC(#) Đặt E:= {z€ A:z cclK(ø)}

Nam 2004, Khánh-Lưu đã đạt được một số kết quả về sự tổn tại nghiệm cho hai bài toán trên như sau

Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 33 Định lý 3.2.1 Giả sử A compact và

() An K(z) lồi, khác rỗng, Vz € 4; K~!(0) mở trong 4, Vụ € 4; clK() là usc;

(2) nếu #¿ — #,1a — ,fa € T(z„) thì tổn tai t € 7(),#s, a.fa € T(za) sao cho

(ta, ya) —> (t,0);

(iti) Y\—intC(.) déng va Va € A, 3 € T(z) : (t,x — g(x)) € Y\—intC(z)

Khi do, bai todn (QVL) c6 nghiém

Chứng minh Với z, € A, dat:

“he spy z— g(x)) C —intC(x)},

P(x) nếu z€ E

Q(y) = A\®

Khi đó,

1) @ là anh xa KKM That vay, gid st? Q khéng la ánh xạ KKM, nghĩa là 32 =

Yaw ¢ U Q(yi) ({o1 ssn) CA,œ¡>0,i =TH Say = 1) Khi đó 2 £

i=l Ql), Vi = Tin n Nghĩa là ¡ € ®(2),Vi = 1,n Nếu £ € E:¡ € K(£)n P(â)

Suy ra (T(?),¡ — g(2)) C —imtC(#), Vi = 1n Do đó

(T(#),@ — g(#)) -Ím (2) b3 sức~o en) = Yratr (2) (£)) C—intC(2)

(mâu thuẩn giả thiết ()) Nếu £ € A\E:¡ € An K(ê),Vi = 1,n Theo giả thiết (¿) suy ra @ € K(#) C elK(ê), tức là ¿ € E (mâu thuẩn)

Do đó,

Q0) = A\ [K~”(w)n (P10) 0 (A))]

= [A\K”10ø)]0[4\0P'0)0(4\9)]

=[A\K-10)]0[(4/-10))nZ]

Theo giả thiết ta được 4\~}{g) đóng Như vậy để Q(y) dong, ta cin chứng

minh # đóng và A\P-'(y) đóng Trước hết ta chúng minh đóng Theo

giả thiết (2), clK(.) là usc và có giá trị đóng nên clK(.) đóng Khi đó, lấy 2a € E,za — #o thì øo € eLK(#o), nghĩa là zo € E Do vậy đóng Tiếp theo

ta chứng minh 4\P~!{) đóng Ta có,

A\P-1{u) = {z A: 3t c T(e), (tụ — g(œ)) €Y\ — intC(s)}

Lấy z„ € A\PT!(u),z„ — zo Cần chứng minh zo € A\P-!(w) Ta có, za €

A\P-'(u), nghĩa là 3a € T(#a), (fa, — 9(%a)) € Y\ — intC (x) Theo gia thiét

(ii), tén tai to € T(xo) va day con zøz,f¿ € 7(z¿) sao cho (tz,— g(zs)) — (to, y — ø(zo)) Kết hợp với giả thiết (27) suy ra (to, — Ø(2o)) € YẦ\ — intC(zo)

Khi đó, 3z € J Q(y) = ñ (A\®~14ø)) = A\ (v #20) Tức là, ý Đ(Z), Vụ €

A Suy ra ®(Z) = 0 Nếu # € A\E: An K(#) = ñ (mâu thuẩn với giả thiết (9) Như vậy # € , nghĩa là @ € clK(z), khi dé K(z)M P(Z) = 0 Nghia la

Ve € K(#),a P(#) Tức là tổn tại f € 7T(#) sao cho (#,z — g(#)) € Y\ — intC(#) Điều này có nghĩa # là nghiệm của bài toán (QV];) n Nhận xét 3.2.1

(¿) Giả thiết compact của 4 trong định lý trên có thể được thay thế bởi một trong hai giả thiết sau đây:

Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 35

(a) Tồn tại ÿ € A sao cho A\K~!(g) compact va tén tai B C A, B compact sao cho Wx € A\B,(T(x),9— x) C —intC(z)

(b) Tén tai y € A sao cho A\K~!(g) compact va E compact

That vậy, tính compact của 4 trong định lý trên được dùng để chứng minh “tồn tại € A sao cho (2) compact” Với (a), để chứng minh Q(ÿ) compact, ta cần chứng minh (A\P~!{ø))E compact Như trong chứng minh định lý trên được

E " Theo (a) ta duge Vx € A\B,x € Gọi Do đó, A\B C P71(g) Suy ra

A\P-1(0) CB Do B compact nên 4\P~!(ÿ) compact Với (b), để chứng minh

Q() compact, ta chỉ cần chứng minh ki (0) đóng Điều này được thực hiện

giống như trong chứng minh định lý trên

Giả thiết (2) trong định lý trên sẽ hiển nhiên thỏa mãn nếu, X và Y là các không gian Banach, 7 là usc trong 4 và có giá trị compact

Thật vậy, với za — #, 4 — Do 7 là usc nên Ve > 0, 3/() sao cho

T(N(x)) C B(T(a),¢) := {t€ L(X,Y) : 3# € T(z), ||U — t|| < e}

Ta giả sử z„ € N(z) Khi d6, Vtg € T(xa), Sta € T(z) : |Ita — tall < ¢ Do T(x) compact nên 3 € T(z), đi; — † Mặt khác,

lứa — 4] < [to — #2||+ lứa — f| < e + lứa — a)

Cho e — 0, ta được ¿¿ — ỉ Do đó, (fs,¿) — (£,) Tức là giả thiết (22) thỏa Định lý 3.2.2 Gia st A compact, g(x) =x va

() An K(z) lồi, khác rỗng, Vz € 4; K~!(w) mở trong 4, Vụ € 4; clK() là usc; (ii) Va € E,Wy € K(x), VA € [0,1]: Ay + (1— À)+ € K(x);

(itt) T la glhc va C-gid don diéu trén A;

(iv) Y\ — intC(.) đóng

Khi đó, bài toán (QVI;) có nghiệm.

Chứng minh Với z,€ A,¿ = 1,2, đặt:

P(z):={ze€ A: (T(),z— z) C —intC(z)}, meinen wera ,(t,z— x) € —intC(z)},

2) Qa(u) đóng, Vụ € A Thật vậy, tương tự trong chứng minh Định lý 3.2.1 ta được

Qa(y) = [AI 30)] 0 [(AVP10)) n#]

Chứng minh Q; đóng tương tự như chứng minh Q() đóng trong Định lý 3.2.1, chỉ khác ở chứng minh wis (y) dong Lay ta € A\Pz !{w), >„ — zo, cần chứng minh zo € A\Pÿ}{(ø) Ta có, véi méi a, ra € A\P;'(y), nghĩa là £ P›(za), tức là Ví € T() : ae — Za) € Y\ —intC(zq) Theo gid thiét (iv) ta suy ra (t,y — ao) € Y\ — intC(ao) Tite lA xp € A\ Pz (y)

3) Do A compact, Q2(y) déng, Qo(y) C A nén Qo(y) compact

Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 37

nghĩa là # € cK(z), khi đó K(#)n P(#) = 0 Nghĩa là Vụ € K(Z),y £ P;(z) Với

€ K(z), ta định nghĩa ánh xạ Z : [0,1] ~ Y xác định bởi

2) = (Toy + 1 —)2),9 — 2)

Theo (i) thi T la glhc tại #, do đó Z là lsc tại 0*, nghĩa là Vz € Z(0),V+„ —› 0†, 3z„ € Z(qn) : 2n 7 2 Theo (it), Zn = ry + (1 — +„)# € K(#), do đó #„ £ Pa(Z), tức là (T (Zn), En — 2) C Y\ —intC(Z) Do dé, véi zn € Z(yn), tn tai tn € T(En) sao cho

Giả thiết compact của 4 trong định lý trên có thể được thay thế bởi một trong hai giả thiết sau đây:

(a) Tén tai y € A sao cho A\K~!(y) compact va tén tai B C A, B compact sao cho Vz€ A\Đ, 3 c T(0) : (,ð— 2 € -intC(z)

(b) Tôn tại ÿ € A sao cho 4\K~!(ÿ) compact và E compact

Năm 2005, Khánh-Lưu, hai tác giả của hai định lý trên, đã mở rộng hai kết quả trên bằng cách thêm vào hàm ƒ: 4x 4 —¬ Y thỏa ƒ(z,z) € C(x) N —C(z),Vz € A Lúc này bài toán tựa bất đẳng thức biến phân là như sau

Cho X và Y là hai không gian Banach thực, # 4C X và 4 lỗi đóng Ánh xạ Œ:

A ~ Y có ảnh là nón lỗi đóng, phần trong khác rỗng và C(z) # Y;7': A ~ L(X,Y); K:A> X có giá trị lỗi khác rỗng và Y\ — intC(.) là ánh xạ đóng yếu (tức là đồ thị của nó đóng trong X x Y với các tôpô yếu của X và Y) Ta xem xét hai bài toán tựa bất đẳng thức biến phân sau đây:

(QVI,) Tìm # € AfnclK(#) sao cho Vz € K(Z), Jt € T(z),

(,#~ #) + ƒ(z,#) € Y\ — intC(#)

(QVI/) Tim z € AN clK(Z) sao cho Vz € K(Z), Vt € T(2),

(ii) (T ƒ) là C-giả đơn điệu yếu trên 4; Vz € A, f(., x) là Œ(z)-lỗi trên 4;

() Vz,€ A,Vz¿ — # yếu, 3zs là dãy con của xạ, Ju € —C(x)+ f(y, 2), f(y, ta) >

Chứng minh Với z, € A,¿ = 1,2, đặt:

Đị(ø):= {z € A: (T(ø),z — #) + ƒ(,#) C —intC(+)}, ạ(z) := {z€ A:(TŒ),z— #) + ƒ(z,z) C —intC(z)}, site K(x) N P,(x) in z„eE,

Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 30

1) Qo la Anh xa KKM Thật vậy, trước hết ta chứng minh Q¡ là ánh xạ KKM Giá

sử phản chứng Q¡ không là ánh xạ KKM, nghĩa là 3£ = » d7; É U Q10):

Khi đó ê ý Qi(0;).Vj = I.n Tức là ; € #;(Ê),Vj = 1m Nếu £ € Á\P:

ụ 6 An K(2),Vj =T1yn Do K() lỗi nên ô = Sai € K(&) ¢ clK (8), nghĩa =

là @ © E (mau thudn) Néu @ € E: y; € K(#)n P(2),Vj = 1,n, nghĩa là (T(2).; — 8) + ƒ(w;,8#) C —intC(2) Khi đó,

i0) = [A\K”10w)] 0 [(AV 0) nEÌ

“Trước hết ta chứng minh E đóng yếu Theo (0), Vz € A\D,3z € Xefn K(z),

nghĩa là z € Xo,z € K-4(z) Do dé, A\D Cc K!(z) C A, suy ra

z€Xo

A\ U K-\(z) c D Do D compact yếu nên 4\ J K~}{z) compact yếu

Áp dụng Định lý 3.1 ta được 3z € A : # € K(#) Suy ra E # Ú Hon

nữa, do clK(.) đóng yếu nên E cũng đóng yếu Tiếp theo ta chứng minh A\Py*(y) đóng yếu Lấy z„ € A\P'{),za — z € A yếu Cần chứng minh z € A\Pÿ'{(w) Ta có za € A\Pz'(w), do đó y £ (z4), nghĩa là Ata € T(y) : (tary — Za) + f(y, ta) € Y\ — intC(z_) Do T(y) compact nén cd day con tg va t € T(y) dé tg — t Ma (ts,y — 23) = (ta —t,y — xg) +(t,y — x)

và f liên tục nên (f,— #s) — (ft, — z) yếu Ta lại có,

lứa — t,y — 25) || < |lta — tl lly — zal]

-Vì lliz — £|| — 0 và |l¿¿ — £|| bị chặn nên suy ra (2z, — #¿) — (f,— z) yếu Theo (iii), có day con x, ctia zg va u € —C(x) + f(y, x) sao cho ƒ(,#+„) — tu yéu Két hop véi tinh déng ctia Y\ —intC(.), ta được (f,—+)-+u € Y\—intC(z)

Suy ra

(t.y—2) + fly,z) =(Lu—z)+u+ ƒ(u,z) —w € Y\ — intC(z) + C(z)

Do dé t(y — x) + ƒ(9,+) € Y\ — intC(z) Tức là z € A\ Py (y)-

3) Theo (v), Va € A\D, az € Xo N K(z), (T(2),z — #) + ƒ(,#) C —intC(z), nghĩa

là z € Ø¿(z), do đó z €6 U #1) Suy ra A\D CỤ 91) Vi vay,

fñ\ @(z)= ñ\ (A\;1)) =4\ U Ø2!) CĐ

Tw 1), 2),3), 4p dung Dinh ly KKM-Fan (Dinh ly 2.2.1) ta được

(z0) #9

yeA

Khi d6, 3% € Qo(y), Vy € A, tite lA y ¢ ®a¿(Z),Vụ € A Suy ra ®;(#) = Ú Nếu

& € A\E: AN K(z) = O (mau thudn véi gid thiét (iv)) Nhu vậy z € E, khi

dé K(zZ)M P:(z) = 0 Nghia la Vy € K(z),y ¢ P,(Z), tie la 3t € T(y), (Ey —

#) + f(y,t) € Y\ — intC(z) Gid st Z khong 1a nghiém cia (QVI}), nghĩa là 3ÿ € K(#),Vs € T(?), (s,ỹ — #) + ƒ(Ø,#) € —intC(#) Do 7 là guhc nên với À > 0 đủ nhỏ, (T (Ag+ (1 = A)z),9 — £) + f(g, B) C —intC(z) Mat khac,

(E,ø—#) + (8.8) = 2 [,Að+ (L—A)# — 8) + f (AV + (1 — À)#, 8)]

Ta có thể tránh gid thiét T(x) compact, Vr € X (cũng như việc làm nhẹ giả thiết (0)

và mạnh giả thiết (/)) như sau

Định lý 3.2.4 Ta thay các giả thiết (2), (), (0) của định lý trên bằng các giả thiết

sau đây:

Chương 3 Ap dụng của định lý KKM-Fan 41 () 7 là guhc trên A;

(') (7, /) là C-giả đơn điệu trên 4; Vz € A, ƒ(.,z) là Œ(z)-lồi trên 4;

(v') ID c A,D 490, D compact y&u va Xo chứa trong tập con lỗi compact yếu của 4 sao cho Vz € A\D, 3z € Xo NK(z), (T(z), 2-2) + f(z, x)) M (—intC(2)) F 0

Khi đó, bài toán (QVI) có nghiệm

Chứng minh Ta định nghĩa P;,®;,Q;,2 = 1,2 như trong chứng minh Định lý 3.2.3

và định nghĩa thêm, với z, € A,

Khi đó, bài toán (QVI,) có nghiệm

Ching minh Nhận thấy rằng, nếu # € n Qi(y) thi z la nghiệm của bài toán (QVI) Muốn vậy ta cần chứng minh 8 Only ) # @ bang cach sit dung Dinh ly KKM-Fan (Dinh lý 2.2.1) Chứng minh tông tự như trong Định lý 3.2.3, chỉ khác

ở bước chứng minh tính đóng yếu của Q¡ Lấy bất kỳ € A,za¿ # € Á,za €

A\PZ'{ø), nghĩa là St € T(ta) : (f4, — #a) + ƒ(,za) € Y\ — intC(za) Do 7 là usc nên Ve > 0,3W(z),7(N(z)) C B(T(z),e) Ta có thể xem z„ € N(x) Khi đó,

3t, € T(z), |ta — f2|| < e Vì T(z) compact nén tổn tại t € T(z) va day con ty >t

Do đó, ||¿ — |] > 0 Ly luan tuong ty như trong chứng minh Dinh ly 3.2.3 ta được

Sau đây là kết quả về sự tồn tại nghiệm cho bài toán (QVI¿)

Định lý 3.2.6 Giả sử các giả thiết của Định lý 3.2.4 thỏa mãn với giả thiết (#) được

thay thế bởi:

() 7 là glhc trên A

Khi đó, bài toán (QVI/) có nghiệm

Chứng minh Chứng minh tương tự như trong chứng minh Định lý 3.2.4 ta được 3z € ƒ1 Qa(w) Bây giờ ta đi chứng minh # là nghiệm của (QVI;) Ta có

yeA

ze f0) = f1 (410) = A\ LJ #10

Tức là ý ®¿(Z),Vụ € A Suy ra ®(#) = Ú Nếu # € A\E: An K() = ñ (mâu thuần) Như vậy z € E, khi đó X(#)n Pa(#) = ƒ Nghĩa là Vụ € K(Z),y ý P;(z) Tức

là (T(0),u— #) + ƒ(.#) CY\ — intC(#) Với mỗi y € K(#), ta định nghĩa ánh xạ G(A) «= (T(Ay+(1—À)Z),u— #) Theo giả thiết (), Vợ € G(0),VÀ¿ — Ú†, đạy € GOn):9n > g- Do gn € G(An) nén Ath € T(Yn), Yn = Any + (1 — An)E € K(Z) sao cho

Gn = (tn, y — £) Suy ra, (tn Yn — B) + f(Yn, @) € Y\ — intC(z) Khi đó,

3.3 Bài toán cân bằng

3.3.1 Bài toán cân bằng vô hướng (EP)

Bài toán cân bằng vô hướng được Chadli, Chbani và Riahi giới thiệu trong [5] vào năm 2000 như sau

Chương 3 Áp dụng của định lý KKM-Fan 4 Cho X là khơng gian vector tơpơ thực, X* là khơng gian vector đối ngẫu của X,

0# KC X,ƒ: Kx K ¬R và ƒ(z,z) > 0,Vz € K Khi đĩ,

(EP) Tim ø € K sao cho ƒ(+,ÿ) < 0,V+€ K

Dựa vào kiểu đơn điệu của ƒ, chúng ta cũng cĩ bài tốn cân bằng sau

(EP') Tìm # € K sao cho ƒ(#,) > 0,Vụ € K

Sau đây là kết quả về sự tồn tại nghiệm cho bài tốn (EP)

Trước khi phát biểu định lý ta nhắc lại bổ đề sau

Bo dé 3.3.1.1 (Bổ đề về compact) Giả sử E là một khơng gian tơpơ compact, {H:¡ec1}

là họ các tập con đĩng của Nếu mọi họ hữu hạn tập con của {Ƒ;}, „ giao nhau khác rỗng thì ƒ1 ”¡ # 0

ier

Định lý 3.3.1.1 Cho X là khơng gian vector tơpơ Hausdorff, # K C X va K léi đĩng Giả sử hai hàm ¿,: K x K — IR thỏa:

(i) Vz, € K, nếu ú(z,) < 0 thi g(a, y) < 0;

() với z cố định, z € X, ¿(z,.) nửa liên tục dưới trên mọi tập compact của K; () mọi tập con hữu han A của #4, ta cĩ sup (min(z,)) <0;

€coA #€Ậ

(¿ø) tổn tại Ở C _W, Ở lỗi compaet sao cho một trong hai điều sau thỏa mãn:

(a) Vy € K\C, Ax € C sao cho ¢(z,y) > 0

(b) dao € C sao cho Vy EK\C, (xo, y) > 0

Khi đĩ, tổn tại ý € Ở sao cho g(z,ÿ) < 0,Vz € K Hơn nữa tập các nghiệm là compact

Chứng minh Đặt A = {zị, ,z„} C W, B = co(AUC) C K, rõ ràng P là tập

compact Xét anh xa S: ~› xác định bởi S(z) = {u€ B:0(z,w) <0} Với

{a, zm} CC Ta được co{zi, ,z„} CÚ 9(z) Thật vậy, giả sử tổn tại

y € co{z, ,2m} sao cho y ¢ 6(z¡), Ví = 1,m, tchrã là j(z¡,) > 0, V2 = 1,mm (mâu thuẩn với ()) Do giả thiết (2) và B compact nén Va € X,a € S(x) Do dé, eLS(z) khác rdng, compact Ap dung Dinh ly KKM-Fan (Định lý 2.2.1) ta được:

(| lS(a) 40

reB