Cấu trúc luận văn được chia thành 03 chương: Chương 1 là định lý Pick trình bày chứng minh một phương pháp để tínhdiện tích các đa giác đơn có đỉnh nằm trên lưới điểm có tọa độ nguyên tr
Ví dụ về định lý Pick
Định lý Pick cung cấp một phương pháp để tính diện tích của một đa giác đơn giản có đỉnh nằm trên lưới điểm—những điểm có tọa độ nguyên—trên mặt phẳng x−y Đa giác được gọi là đơn giản nếu các cạnh của nó không cắt nhau và bên trong không chứa lỗ thủng Theo công thức của Định lý Pick, diện tích A của đa giác bằng A = I + B/2 − 1, trong đó I là số điểm lưới nằm ở bên trong đa giác và B là số điểm lưới nằm trên biên, cho phép ước lượng và tính toán diện tích nhanh chóng chỉ từ các điểm trên và bên trong biên.
Trong Hình 1.1, các đa giác được xem là đa giác đơn giản Tuy nhiên, khái niệm 'đơn giản' chỉ mang một ý nghĩa nhất định trong ngữ cảnh kỹ thuật: một đa giác đơn giản có thể có số cạnh rất lớn, thậm chí lên tới hàng triệu cạnh.
Rõ ràng với một đa giác có miền trong lớn, số điểm lưới nằm hoàn toàn bên trong sẽ cho một xấp xỉ diện tích của miền Một xấp xỉ tốt hơn có thể đạt được bằng cách cộng thêm khoảng một nửa số điểm lưới nằm trên biên, vì các điểm này vừa thuộc biên vừa ở phía trong hoặc phía ngoài Ta xem vài ví dụ trong Hình 1.1 để minh họa Trong các ví dụ dưới đây, I là số điểm lưới nằm trong miền và B là số điểm nằm trên biên Ta sẽ sử dụng ký hiệu I và B.
Hình 1.1: Ví dụ về định lý Pick’s
Việc ước tính diện tích của hai đa giác E và F có phần phức tạp hơn một chút Với đa giác E, ta có thể phân tích diện tích bằng cách chia nó thành một hình chữ nhật kích thước 6 x 3 và hai tam giác vuông có đáy tương ứng với các cạnh của hình chữ nhật, từ đó tính được tổng diện tích của E Kết hợp với diện tích của đa giác F, phương pháp phân chia này cho phép ước lượng chính xác tổng diện tích của cả hai đa giác trong bài toán.
3 và chiều cao 5, vì vậy ta nhận được:
F: Nó thậm chí còn khó hơn khi tính diện tích cho trường hợp này, nhưng sau khi bổ sung và loại bỏ một số phần diện tích, chúng ta nhận ra rằng việc phân chia lại các vùng hình học và điều chỉnh các phần dư—những phần đã được tính nhầm hoặc trùng lặp—giúp xác định diện tích một cách chính xác hơn Quy trình bắt đầu bằng việc xác định các thành phần liên quan, sau đó ghép chúng lại theo một công thức chung và loại bỏ những phần diện tích không thuộc vùng tính toán Nhờ đó diện tích được hiệu chỉnh đúng giới hạn, khắc phục sai lệch trước đó và cho kết quả cuối cùng ổn định, dễ lặp lại cho các trường hợp tương tự; đây là phương án tối ưu hóa trong tính toán diện tích cho bài toán liên quan.
2 = 22. Điều bất ngờ là nếu nhìn vào tất cả sáu ví dụ trên, ta thấy rằng ước tính
2 luôn luôn đạt được một kết quả chính xác đó là diện tích cộng thêm
1 Dường như đối với bất kỳ lưới đa giác P nào, thì công thức tính diện tích sau đây là đúng
2 −1 với IP là số điểm lưới nằm hoàn toàn bên trongP và BP là số các điểm nằm trên biên của P Đây được gọi là Định lý Pick.
Ta hãy thử một vài ví dụ khác nữa trước khi tiếp tục.
Định lý Pick cho hình chữ nhật
Thay vì cố gắng chứng minh tổng quát ngay từ đầu, chúng ta hãy kiểm chứng tính đúng đắn của Định lý Pick thông qua một số trường hợp đơn giản trước Trường hợp đơn giản nhất để xem xét là một lưới hình chữ nhật, nơi việc đếm số đỉnh và ô cho thấy cách áp dụng Định lý Pick một cách trực quan và dễ hiểu Việc phân tích từng trường hợp nhỏ này sẽ giúp xây dựng nền tảng cho chứng minh tổng quát và làm rõ các ý nghĩa của Định lý Pick trong cấu trúc lưới.
Hình 1.2: Định lý Pick cho hình chữ nhật
Hình chữ nhật đặc biệt trong Hình 1.2 là lưới 14×11(m = 14 vàn = 11), điểm trong và điểm biên: miền trong có I = 13×10 = 130 điểm, và nó có
B = 50 điểm trên biên Khi đó ta có liên hệ
Vì vậy đối với hình chữ nhật đặc biệt này thì định lý Pick chắc chắn là đúng.
Khi xét một hình chữ nhật có kích thước m×n với các đỉnh nằm trên lưới nguyên và các cạnh song song với trục Ox, Oy, diện tích của hình là mn; ta có I = (m−1)(n−1) điểm trong và có thể tự kiểm chứng bằng vài ví dụ, đồng thời số điểm biên của hình là B = 2m + 2n (hay B = 2(m+1) + 2(n+1) − 4 để nhắc rằng ta đếm cả các đỉnh và các điểm nằm trên cạnh); do đó, với một hình chữ nhật m×n, ta luôn có công thức mn = I + B/2 − 1, một cách diễn giải cụ thể của định lý Pick dành cho các đa giác lưới.
= (mn−m−n+ 1) + (m+ n)−1 =mn, đó chính là công thức I + B
Tam giác vuông canh bên phải
Có một số khó khăn trong việc chỉ ra các công thức đúng cho tam giác vuông cạnh bên phải khi hai cạnh góc vuông của tam giác nằm dọc theo các đường lưới Cách dễ nhất để làm rõ điều này là xem tam giác đó như một nửa của một hình chữ nhật được nhắc đến ở phần trước, rồi thêm một đường chéo để hình thành tam giác, như hình minh họa trong Hình 1.3.
Xét một tam giác vuông T có hai cạnh góc vuông dài m và n; diện tích của T là A(T) = mn/2 Gọi i là số điểm lưới ở bên trong và B là số điểm lưới nằm trên biên của T Trên hai cạnh vuông góc ta có thể đếm được các điểm lưới và trên đường chéo từ (m,0) đến (0,n) có gcd(m,n) + 1 điểm lưới, trong đó k = gcd(m,n) − 1 là số điểm trên đường chéo không kể hai đầu Theo công thức Pick, A = i + B/2 − 1; tổng số điểm biên B bằng m + n + gcd(m,n) Nhân với k, ta có B = m + n + k + 1 và i = ((m−1)(n−1) − k)/2. -**Support Pollinations.AI:**//pollinations.ai/redirect/kofi) ngay hôm nay!
Định lý Pick áp dụng cho tam giác vuông cạnh bên phải đặt trên lưới các điểm nguyên cho phép tính số điểm bên trong và số điểm biên Với hình chữ nhật kích thước m×n, số điểm bên trong là (m−1)(n−1); k là số điểm nội nằm trên đường chéo từ (m,0) đến (0,n), do đó số điểm biên là B = m + n + 1 + k Các điểm nội nằm trên đường chéo không thuộc phần interior của tam giác nên khi ta chia hình chữ nhật thành hai tam giác bằng đường chéo, tổng số điểm interior của hai tam giác là (m−1)(n−1) − k Vì hai tam giác này có số điểm interior bằng nhau, số điểm interior của mỗi tam giác bằng I = ((m−1)(n−1) − k)/2.
Bây giờ ta kiểm tra Định lý Pick đối với một tam giác vuông canh bên phải, ta nhận được:
Như vậy định lý Pick đúng trong trường hợp này.
Định lý Pick cho tam giác bất kỳ
Giả sử Định lý Pick đúng với các tam giác vuông cân có cạnh vuông nằm trên các trục và với hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ; từ đó ta có thể chứng minh rằng Định lý Pick cũng đúng cho mọi tam giác tùy ý Có rất nhiều trường hợp cần xét, nhưng tất cả các tam giác này về cơ bản là các biến thể của Hình 1.4, nơi một tam giác tùy ý T có thể được mở rộng thành một hình chữ nhật bằng cách bổ sung thêm một số tam giác vuông; trong hình minh họa này, ba tam giác khác được bổ sung để đáp ứng yêu cầu, ví dụ A, B và C.
Hình 1.4: Định lý Pick cho tam giác bất kỳ
Giả sử tam giác A có số điểm miền trong là I_A và số điểm trên biên là B_A; tam giác B có I_B và B_B; tương tự cho tam giác C với I_C và B_C Hình chữ nhật được xây dựng như trên được gọi là hình chữ nhật ghép từ ba tam giác A, B và C, được dùng làm khuôn mẫu cho các phân tích hình học và tối ưu hóa liên quan đến phân bố điểm miền trong và trên biên của từng tam giác.
R, và giả sử R có số điểm miền trong là I R và số các điểm trên biên là B R
Vì ta đã biết công thức của Pick cho tam giác vuông và hình chữ nhật nên ta có:
Ta muốn chỉ ra rằng A(T) = I T + B T
2 −1. Nhìn vào hình vẽ ta biết rằng
Giả sử hình chữ nhật R có kích thước m×n trên lưới vuông với các điểm cách nhau 1 đơn vị Diện tích A(R) = mn Số điểm biên trên biên của R là B(R) = 2m + 2n, và số điểm nội bộ là I(R) = (m−1)(n−1) Theo Định lý Pick cho hình chữ nhật trên lưới, A(R) = I(R) + B(R)/2 − 1 Thay I(R) và B(R) vào công thức này ta được mn = (m−1)(n−1) + (2m + 2n)/2 − 1, chứng minh sự nhất quán giữa diện tích, số điểm biên và số điểm nội bộ của hình chữ nhật trên lưới.
Vì các đỉnh góc nhọn của các tam giác xung quanh được tính hai lần ở cả hai vế của phương trình, việc đếm các điểm bên trong hình chữ nhật trở nên phức tạp do sự trùng lặp này Đếm các điểm bên trong của hình chữ nhật ta có thể thực hiện bằng cách phân tích các tam giác quanh nó và điều chỉnh cho các đỉnh góc nhọn bị cộng sai lệch, nhằm đảm bảo mỗi điểm được ghi nhận đúng một lần Kết quả là ta xác định được số điểm bên trong hình chữ nhật một cách chính xác, dựa trên nguyên tắc loại bỏ các điểm bị đếm hai lần và tổng hợp các khu vực hình học liên quan.
Ở đây ta cần có số −3 ở cuối của phương trình trên vì các góc của tam giác thực sự bị tính hai lần Thay thế giá trị BR vào công thức (3) và đưa nó vào phương trình (4) ta được một biểu thức cho kết quả, cho thấy rõ mối quan hệ giữa các tham số và giúp làm sáng tỏ quá trình tính toán.
I R = I A +I B +I C + I T +B T −3 (5)Bây giờ ta thay thế các giá trị của B R và I R từ phương trình (3) và (5) vào phương trình (2), và sau khi rút gọn, ta thu được kết quả:
= (IA +IB +IC +IT + BT −3)−IA −IB −IC
2 −1. Đó là chính xác những gì ta muốn trình bày.
Để kiểm tra công thức với các ví dụ trong Hình 1.4, bạn có thể tham khảo bảng dưới đây, nơi liệt kê đầy đủ các giá trị cho tất cả bốn hình tam giác và hình chữ nhật, giúp kiểm tra tính đúng đắn của công thức và so sánh các kết quả một cách trực quan.
Định lý Pick cho trường hợp tổng quát
Tổng quan về chứng minh
Mọi đa giác lưới đơn có thể được ghép từ các đa giác nhỏ hơn và với từng thành phần chúng ta đã chứng minh đúng Pick's theorem Ta phác thảo chứng minh như sau: trước hết ta cho thấy mọi đa giác lưới có 3 cạnh (đa giác tam giác lưới) thỏa mãn Pick; tiếp theo, nếu định lý đúng với mọi đa giác ba cạnh thì nó cũng đúng với mọi đa giác có 4 cạnh; sau đó, nhờ phân chia một đa giác lưới thành các tam giác và các đa giác có 3 và 4 cạnh sao cho tổng diện tích và tổng số điểm lưới biên và bên trong được bảo toàn, từ đó suy ra Pick cho mọi đa giác lưới bất kỳ.
Ta bắt đầu với các trường hợp cơ sở ở các đa giác có 3, 4 và 5 cạnh và chứng minh tính chất nào đó cho chúng Sau đó, ta chỉ ra rằng nếu tính chất đó đúng với mọi đa giác có 3, 4 và 5 cạnh thì nó sẽ đúng với mọi đa giác có 6 cạnh; và tiếp tục như vậy cho các đa giác có 7 cạnh, 8 cạnh, rồi cứ thế cho tới vô cùng Nói cách khác, đây là chứng minh bằng quy nạp trên số cạnh của đa giác: từ các trường hợp cơ sở 3–5 cạnh, ta có thể mở rộng tính đúng sang mọi đa giác có nhiều cạnh hơn bằng mỗi bước tăng một cạnh.
Quy nạp toán học tổng quát là một kỹ thuật đã được công nhận trong thực tiễn toán học Trong thực tế, chúng ta sẽ không tiến hành vô hạn các bước chứng minh như đã mô tả ở trên mà chỉ làm việc với một số hữu hạn bước Phương pháp này được chứng minh qua hai bước sau đây, trong đó bước thứ nhất đã được chứng minh.
• 1 Chứng minh rằng định lý là đúng cho mỗi đa giác lưới có 3 cạnh.
• 2 Chứng minh rằng nếu định lý là đúng cho mọi đa giác lưới có 3 hoặc
4 hoặc 5 hoặc hoặc k −1 cạnh, thì nó cũng đúng cho mọi lưới đa giác có k cạnh.
Phần thứ hai của chứng minh được áp dụng cho mọi giá trị k, tức là cho mọi số cạnh bất kỳ Do đó, kết quả của chứng minh không chỉ đúng cho một trường hợp mà còn mở rộng và có hiệu lực với tất cả các trường hợp có k cạnh Điều này đảm bảo rằng các bước vô hạn được liệt kê ở hai đoạn trước vẫn phù hợp và được xác nhận lần nữa.
Một ví dụ cụ thể cho ý tưởng tổng quát như đã được mô phỏng ở Hình 1.5 là một đa giác 23 cạnh ABC W Ta sẽ chứng minh rằng mọi đa giác như vậy có hơn ba cạnh đều chứa một đường chéo nội tại (ví dụ ta chọn đường chéo OW), và đường chéo này sẽ phân chia đa giác thành hai đa giác con nhỏ hơn Cụ thể, đa giác được chia thành hai phần là ABC MNOW với 16 cạnh và OPQ W với 9 cạnh Theo giả thiết quy nạp, định lý Pick đúng với mọi đa giác có ít hơn 23 cạnh; do đó nó đúng với hai đa giác con ở trên và từ đó ta kết luận cho đa giác ban đầu.
Trong phạm vi từ 3 đến 22 cạnh, Định lý Pick được áp dụng cho các đa giác có 16 cạnh và 9 cạnh Tiếp đó, ta chứng minh rằng nếu hai đa giác thỏa mãn Định lý Pick và được ghép với nhau ở một cạnh chung, đa giác kết quả cũng thỏa mãn Định lý Pick.
Phần tiếp theo của bài viết tập trung vào chứng minh phần thứ hai: nếu hai đa giác cùng thỏa mãn định lý Pick, thì phần ghép lại của chúng cũng thỏa mãn nội dung của định lý.
Hình 1.5: Định lý Pick cho trường hợp tổng quát
Ghép nối hai đa giác lưới
Giả sử hai đa giác phụ của đa giác P ban đầu là P1 và P2, trong đó P1 có I1 điểm bên trong và các điểm trên biên là B1; P2 có I2 điểm bên trong và các điểm trên biên là B2 Ta giả định rằng đường chéo chung của đa giác ban đầu phân tách giữa P1 và P2 và chứa điểm m Cho P có I điểm bên trong và các điểm trên biên là B.
Vì mọi điểm nằm bên trong P1 hoặc P2 đều nằm trong P, và vì m-2 điểm biên chung của P1 và P2 cũng là những điểm thuộc miền trong của P, nên I = I1 + I2 + (m-2) Lập luận tương tự cho ta B = B1 + B2 − 2(m-2) − 2.
Các đường chéo bên trong
Để hoàn thành chứng minh Định lý Pick, ta phải chứng minh rằng mọi đa giác đơn có một đường chéo bên trong—tức là một đường chéo nối hai đỉnh của đa giác và nằm hoàn toàn trong vùng nội tại của đa giác—đường chéo này có thể phân chia đa giác thành các vùng con nằm hoàn toàn trong đa giác Sự tồn tại của đường chéo nội này cho phép đếm đúng số điểm nguyên trên biên và bên trong, từ đó liên hệ với diện tích và khẳng định công thức Pick cho mọi đa giác đơn.
Ví dụ sau cho ta thấy sự tồn tại một đường chéo bên trong đa giác.
Hình 1.6: Sự tồn tại của đường chéo bên trong
Để chứng minh sự tồn tại của đường chéo bên trong trong ví dụ hình trên, ta bắt đầu bằng cách chọn một góc ABC sao cho miền nội của đa giác nằm ở phía bên của góc nhọn (độ lớn nhỏ hơn 180 độ) Ta phân thành hai trường hợp: Trường hợp 1, đoạn AC nằm hoàn toàn trong đa giác, khi đó AC chính là đường chéo bên trong; Trường hợp 2, một phần của đa giác (như GJ KL trong Hình 1.6) đi vào bên trong tam giác ABC Trong trường hợp này, chỉ có hữu hạn đỉnh của đa giác nằm ở miền trong của tam giác ABC; với mỗi đỉnh đó ta dựng một đường thẳng vuông góc với đường phân giác của góc ABC Rõ ràng đường thẳng nối B với đỉnh nằm trên đường vuông gần nhất với B sẽ nằm hoàn toàn bên trong đa giác; nếu không như vậy, nó sẽ cắt một cạnh khác của đa giác, và tại một đầu cạnh đó sẽ có một đỉnh nằm ở phía trong, gây ra mâu thuẫn.
Lưu ý rằng chúng ta không thể sử dụng các đỉnh gần nhất với B TrongHình 1.6, J là điểm gần B nhất nhưng rõ ràng đoạn J B cắt đoạn KL.
Đa giác có lỗ thủng
Cho đến nay, mọi đa giác đơn mà chúng ta đã xem xét đều không có lỗ thủng Trong Hình 1.7, có năm ví dụ về các đa giác có lỗ thủng, cho thấy sự khác biệt giữa các hình dạng này với đa giác đơn và cách chúng chứa các lỗ bên trong Đa giác có lỗ thủng được hiểu là một vùng có một đường bao ngoài và một hoặc nhiều đường bao bên trong, tạo thành các khu vực rỗng nằm bên trong phạm vi của đa giác.
A, B và C có một lỗ thủng, trong khi đa giác D và E đều có hai lỗ thủng.
Những ví dụ đơn giản cho thấy cách tính diện tích các phần đa giác nằm ngoài một lỗ thủng hoặc ngoài nhiều lỗ thủng không hề khó, miễn là ta áp dụng các quy tắc hình học cơ bản Bằng cách phân tách vùng bị lỗ thủng chắn thành các phần có thể đo được, ta dễ dàng xác định diện tích từng phần và tổng diện tích còn lại sau khi loại bỏ các vùng bị chiếm bởi lỗ thủng Phương pháp này rất hữu ích cho các bài toán về diện tích trong hình học, CAD và đồ họa máy tính, nơi xử lý các vùng phức tạp có lỗ thủng là điều thường gặp và cần độ chính xác cao.
Hình 1.7: Đa giác có lỗ thủng
Bảng trên cho thấy số lượng, bao gồm cả diện tích thực tế và diện tích được dự đoán bởi công thức mà tính toán cho đa giác không có lỗ thủng Trong trường hợp có một lỗ thủng, ta có một lỗi là 1; trường hợp có hai lỗ thủng, số lỗi này là 2 Trong thực tế, nếu ta thử thêm một vài ví dụ nữa với một, hai, hoặc nhiều lỗ thủng và thêm các mục bổ sung vào bảng trên đây, thì ta sẽ nhận ra rằng diện tích này dường như được cho bởi công thức sau đây
2 −1 +n trong đó n là số lỗ thủng.
Vì chúng ta đã biết công thức tính diện tích cho các đa giác không có lỗ thủng, nên ta có thể sử dụng thông tin kết quả này để tìm ra công thức tính diện tích của một đa giác có các lỗ thủng Đầu tiên, ta sẽ tìm công thức tính diện tích đa giác có một lỗ thủng và sau đó chúng ta sẽ mở rộng công thức tính cho trường hợp tổng quát có n lỗ thủng.
Đối với trường hợp có một lỗ thủng duy nhất, diện tích của đa giác được biểu diễn bằng A(X) = I_X + B_X/2; việc này tương ứng với việc áp dụng Pick cho phần ngoài và trừ đi phần lỗ Giả sử phần ngoài có diện tích A(X)_o, đồng thời có (I_X)_o điểm bên trong và (B_X)_o điểm biên; các đa giác tạo thành lỗ có diện tích A(X)_h, với (I_X)_h điểm bên trong và (B_X)_h điểm biên Khi thực hiện hiệu diện tích theo Pick cho phần ngoài và phần lỗ, ta có A(X) = A(X)_o - A(X)_h = [(I_X)_o + (B_X)_o/2 - 1] - [(I_X)_h + (B_X)_h/2 - 1] = [(I_X)_o - (I_X)_h] + [(B_X)_o - (B_X)_h]/2, hay nói cách khác A(X) = I_X + B_X/2 với I_X = (I_X)_o - (I_X)_h và B_X = (B_X)_o - (B_X)_h.
Từ những gì ta đã trình bày từ lúc trước, ta biết rằng A(X)o = (IX)o+
Trong bài toán phân tích A(X), A(X)_h được viết bằng tổng các thành phần liên quan đến I_X và B_X, cụ thể A(X)_h = (I_X)_h + (B_X^2)_h − 1 Vì A(X) = A(X)_o − A(X)_h, ta có A(X) = (I_X)_o − (I_X)_h + (B_X)_o − (B^2_X)_h Nếu I_X và B_X đại diện lần lượt cho số điểm ở miền nội tại và ở biên của toàn bộ đa giác, kể cả các lỗ thủng, thì ta có các mối liên hệ quan trọng giữa A(X) và các thành phần I_X, B_X để phân tích đặc điểm và đếm số điểm ở miền nội và biên của đa giác có lỗ thủng.
I X = (I X ) o −(I X ) h −(B X ) h và B X = (B X ) o + (B X ) h Sử dụng các công thức này và một chút biến đổi số học ta thu được
2 = A(X), đây chính xác là những gì chúng ta cố gắng chứng minh.
Trường hợp tổng quát - Đa giác có n lỗ thủng cho thấy phương pháp tính toán tương tự có thể được áp dụng cho mọi đa giác với số lượng lỗ thủng bất kỳ Các bước và công thức hiện có có thể mở rộng từ trường hợp có lỗ ít sang đa giác tùy ý, đảm bảo quy trình phân tích nhất quán dù số lượng lỗ thủng tăng lên Nhờ tính linh hoạt và khái quát của phương pháp này, nó phù hợp với các bài toán hình học phức tạp liên quan đến đa giác có lỗ và có thể mở rộng cho nhiều ứng dụng khác nhau.
Cho một đa giác có n lỗ thủng, mỗi lỗ thủng i có diện tích A_i và chứa I_i điểm trong cùng với B_i điểm biên Đối với đa giác có lỗ thủng này, số điểm trong và số điểm biên của toàn bộ vùng được ký hiệu lần lượt là I_X và B_X Diện tích A(X) của đa giác có lỗ thủng được xác định bằng cách kết hợp các tham số này với các tham số của từng lỗ thủng và áp dụng Định lý Pick, cho công thức: A(X) = (I_X + B_X/2 - 1) - Σ_{i=1}^n (I_i + B_i/2 - 1).
Vì A(X) o = (I X ) o + (B X 2 ) o −1 và A i = I i + B 2 i −1, nên chúng ta có
Ta dễ nhận thấy rằng I X = (I X ) o − P n i−1 (I i + B i ) và có B X = (B X ) o +
2 )−1 +n = A(X). Đó chính là những gì chúng ta đang cố gắng để chứng minh.
Dãy Farey là một chủ đề được nhiều nhà toán học quan tâm từ nửa đầu thế kỷ trước Với sự xuất hiện của nhiều thuật toán và những tiến bộ gần đây trong khoa học, có nhiều công trình thú vị liên quan đến dãy Farey được công bố Chương này trình bày vấn đề tìm kiếm một phân số bất kì trong dãy Farey và cho thấy mối liên hệ của vấn đề đó với quá trình xử lý hình ảnh, từ đó gợi ý các ứng dụng thực tiễn của dãy Farey trong xử lý ảnh và phân tích số học.
Cho một phân số p/q với 0 < p < q và một dãy Farey Fn, bài viết đề xuất một thuật toán mới kết hợp phương pháp Regula Falsi với khái niệm Bảng Farey để tìm phân số trong Fn gần nhất với p/q Toàn bộ các tính toán được thực hiện trên tập các số nguyên, mang lại độ chính xác và ổn định cao cho quá trình ước lượng Phương pháp tận dụng đặc trưng của bảng Farey nhằm nâng cao hiệu quả tra cứu và tinh chỉnh nghiệm sao cho sai số giữa p/q và phân số tìm được là tối thiểu Đồng thời, chúng tôi xem xét một số ứng dụng của dãy Farey trong xử lý ảnh khi thích hợp, và trình bày vài kết quả thử nghiệm để minh họa tính hiệu quả và triển vọng của kỹ thuật này.
Khái niệm và tính chất
Vào năm 1816, John Farey đã giới thiệu một quy luật để sinh ra các phân số nằm trong khoảng [0,1], được gọi là dãy Farey Khái niệm này được định nghĩa chính thức như sau: Dãy Farey thứ n, ký hiệu F_n, là tập hợp các phân số tối giản nằm trong [0,1], có mẫu số nhỏ hơn hoặc bằng n, và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Theo định nghĩa, mỗi dãy Farey F_n bắt đầu từ 0/1 và kết thúc ở 1/1 Mỗi F_n được tạo từ F_{n-1} bằng cách chèn phân số trung gian (a+c)/(b+d) giữa mỗi cặp phân số liên tiếp a/b và c/d của F_{n-1}, và sau đó loại bỏ các phân số tối giản có mẫu số vượt quá n Ta nhận thấy mỗi dãy (ngoại trừ F_1) có số lượng hạng tử là lẻ và hạng tử ở giữa luôn là 1/2.
Trong lĩnh vực số học, dãy Farey Fn chứa tất cả phân số p/q thỏa điều kiện 0 ≤ p ≤ q ≤ n và gcd(p,q) = 1, được sắp xếp theo thứ tự tăng dần từ 0/1 đến 1/1 Ví dụ F1 = {0/1, 1/1}, F2 = {0/1, 1/2, 1/1}, F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}, F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}, F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}, F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} Định nghĩa 2.1.2 giới thiệu khái niệm hạng của một phân số p/q thuộc Fn: hạng r nếu và chỉ nếu tồn tại đúng r−1 phân số trong Fn nhỏ hơn p/q (xem Hình 2.1).
Hình 2.1: Một dãy Farey F n có f max phân số với hạng lần lượt là 1, 2, , f max
Trong chủ đề dãy Farey, có hai vấn đề điển hình Thứ nhất là bài toán hạng: cho trước một phân số p/q, hãy tìm hạng của nó trong dãy Fn Thứ hai là bài toán thống kê thứ tự: cho trước hai số nguyên dương n và k, hãy tìm phần tử có hạng k của dãy F n Những vấn đề này làm rõ cấu trúc thứ tự của các phân số trong dãy Farey và có vai trò quan trọng trong số học tính toán.
Tiếp theo ta xét một số tính chất của dãy Farey, liên quan đến vấn đề ta quan tâm.
Mệnh đề 2.1.1 Cho hai phân số a b < d c là hai phân số liên tiếp nhau trong dãy Fn khi đó bc−ad = 1 và b+d ≥n+ 1.
Chứng minh Cho a/b và d/c là liên tiếp trong dãy F_n Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng bc − ad = 1 Đẳng thức 1·1 − 0·0 = 1 là đúng đối với F_1, và bất đẳng thức 1 + 1 ≥ 1 + 1 là đúng với F_1 Giả sử kết quả đúng đối với các phân số liên tiếp a/b và d/c của F_n Ta có F_n = {…, a/b, d/c, …} và bc − ad = 1 Nếu b + d < n + 1 thì a + c / b + d (hay dạng rút gọn của nó) đã xuất hiện ở F_n rồi, lúc đó mâu thuẫn với tính chất liên tiếp của hai phân số a/b và d/c Do đó chỉ có thể xảy ra b + d ≥ n + 1, trong trường hợp này
(a+ c)b−a(b+d) = bc−ad = 1 và c(b+ d)−(a+c)d= bc−ad = 1 đồng thời b+b+ d ≥b+n+ 1≥ n+ 2 và b+d+d ≥ n+ 1 +d ≥ n+ 2.
Do đó kết quả đúng cho Fn+1.
Mệnh đề 2.1.2 Nếu a b < d c , thì phân số trung gian a+c b+d thỏa mãn a b < a+c b+d < c d. Chứng minh Bởi vì a+c b+d − a b = b(b+d) bc−ad > 0 và d c − a+c b+d = d(b+d) bc−ad > 0.
Mệnh đề 2.1.3 Cho số thực x tùy ý thuộc [0,1], khi đó có một phân số a/b trong F n thỏa mãn a b gần nhất x sao cho |x− a b | ≤ b(n+1) 1
Chứng minh bằng cách sử dụng thuật toán tìm kiếm nhị phân trên dãy Farey Fn: giả sử x nằm giữa hai phân số liên tiếp a/b và c/d của Fn Theo đặc tính Farey, bc − ad = 1 và b ≤ n, d ≤ n Mặt khác a/b < (a+c)/(b+d) < c/d Nếu a/b < x < (a+c)/(b+d) thì x − a/b < (a+c)/(b+d) − a/b = [b(a+c) − a(b+d)] / [b(b+d)] = (bc − ad)/[b(b+d)] = 1/[b(b+d)] Vì b + d ≥ n + 1, ta có x − a/b < 1/(n+1).
Trường hợp a+c b+d < x < c d , lập luận tương tự ta suy ra c d −x < 1 b(n+ 1).
Trong mệnh đề 2.1.4, với n đủ lớn, số lượng tất cả các phân số thuộc F_n (tức là kích thước của Farey sequence F_n) được xác định bằng xấp xỉ 3n^2/π^2, tương đương khoảng 0,304n^2 và thuộc lớp O(n^2) Nói cách khác, Farey sequence F_n tăng theo bình phương n, cung cấp một ước lượng chuẩn cho số phần tử của F_n khi n trở nên lớn.
Chứng minh Ta sử dụng hàm Eurlerϕ(n) đếm số các số tự nhiênkthỏa mãn
Với mọi 1 ≤ k ≤ n và gcd(k,n) = 1, theo công thức Euler ta có n = p1^α1···pt^αt là phân tích chính tắc của n và φ(n) = n(1 − 1/p1)…(1 − 1/pt) = n∏_{i=1}^t (1 − 1/p_i), do đó φ(n) ≤ c n với c ∈ [0,1] Dãy Farey F_n chứa mọi phân số tối giản có mẫu số không vượt quá n Để xây dựng F_{n+1}, ta thêm vào tất cả các phân số tối giản mới có mẫu số = n+1 và gcd(tử số, n+1) = 1; do đó |F_{n+1}| = |F_n| + φ(n+1) với n ≥ 2 Với n = 1 ta được F_1 gồm các phân số tối giản có mẫu số bằng 1.
F 1 = 1 +ϕ(1) Từ đó ta tính được công thức
2 = O(n 2 ). Định nghĩa 2.1.3 Một bảng Farey T n của dãy F n là một ma trận cỡ
Trong ma trận (n+1)×n, mỗi hàng i (0 ≤ i ≤ n) biểu diễn tử số và mỗi cột j (1 ≤ j ≤ n) biểu diễn mẫu số; T_n(i, j) là hạng của phân số i/j trong F_n Nếu phân số i/j rút gọn về dạng tối giản i0/j0 thì T_n(i0, j0) = T_n(i, j) Vì F_n chỉ chứa các phân số thực sự nằm trong [0,1], ta bỏ qua các trường hợp i > j khi xét T_n(i, j).
Bảng Farey có một số tính chất khá hay có liên quan đến bài toán của ta như sau.
Hình 2.2: Minh họa cho bảng Farey T 4 của dãy F 4 Ta có T 4 = { p q | 0 ≤ p ≤ q ≤ 4}={ 0 1 , 1 4 , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 3 4 , 1 1 }
Mệnh đề 2.1.5 (i) Nếu x và y là hai phân số của F_n cách đều điểm giữa (tức là điểm 1/2) thì x + y = 1 và tổng hạng của x và y bằng f_n + 1, trong đó f_n là hạng lớn nhất của các phần tử trong dãy F_n.
Trong bảng Farey T_n, các hạng của các phân số thuộc F_n giảm dần từ trái sang phải trên mỗi hàng; ngoại lệ ở hàng đầu tiên, nơi mọi phân số có hạng bằng 1.
(iii) Trong một bảng Farey T n , các hạng ở các cột thì tăng từ trên xuống.
Chứng minh (i) Cặp phân số x và y cách đều hai bên điểm giữa được biểu diễn như sau: x = j/i và y = 1 − j/i = (i − j)/i Rõ ràng x + y = 1 Giả sử x có giá trị ax, khi đó hạng của y sẽ là f_{n+1−ax} Vì thế tổng hạng của x và hạng của y là f_{n+1}.
Trong cùng một hàng, tử số của tất cả các phân số là i, còn các mẫu số lần lượt là i, i+1, i+2, , n từ trái sang phải Vì vậy, với bất kỳ hai phân số trong dãy này, ví dụ i/i và i/(i+1), hay các phân số khác, giá trị của phân số giảm khi mẫu số tăng lên Nói cách khác: i/i ≥ i/(i+1) ≥ i/(i+2) ≥ ≥ i/n Do đó, với hai phân số bất kỳ trong hàng, nếu mẫu số của phân số lớn hơn thì giá trị của phân số nhỏ hơn Tính chất này cho phép so sánh nhanh chóng các phân số có cùng tử số và mô tả rõ hành vi của dãy phân số khi mẫu số tăng lên Khi n tăng lên vô hạn, giới hạn của phân số i/(i+k) là 0 khi k → ∞.
2; do đó T n (i, j 1 ) > T n (i, j 2 ). (iii) Chứng minh tương tự.
Độ khác biệt giữa các hạng liên tiếp trong cùng một cột j của Tn có tính đối xứng được nêu trong Mệnh đề 2.1.6: các cặp hạng ở phía trên và phía dưới của điểm giữa cột tương ứng với nhau, tức là hướng lên và hướng xuống trên cùng một cột được phản chiếu qua điểm giữa của cột nằm trong Tn, như minh họa ở Hình 2.2 Nói cách khác, sự khác biệt giữa các hạng liên tiếp được duy trì đồng nhất từ trên xuống dưới, tạo nên tính đối xứng của cột j.
Chứng minh Quan sát thấy rằng i+1 j + j−i−1 j = j i + j−i j = 1 Do đó từ Mệnh đề 2.1.5 (i), ta có
Trong dãy Fn, ta có các công thức Tn(i+1, j) + Tn(j − i − 1, j) = Tn(i, j) + Tn(j − i, j) = fmax + 1, trong đó fmax là số lượng phân số trong dãy Fn Mỗi cặp phân số đối xứng qua điểm giữa của dãy Fn có tổng hạng bằng fmax + 1.
Tìm kiếm phân số gần nhất trong dãy Farey F n
Thuật toán tìm kiếm cải tiến
Trong những trường hợp mà các điểm zero-crossing nằm gần một trong hai biên f1 hoặc f2, thuật toán tìm kiếm nhị phân sẽ tốn nhiều thời gian và đạt được nghiệm với độ phức tạp O(log n), như ví dụ được trình bày trong Hình 2.5 cho thấy Từ ba trường hợp khác nhau trong Hình 2.4, 2.5 và 2.6, ta thấy bản chất của bài toán là tuyến tính thuần túy Vì vậy, ý tưởng sử dụng phương pháp Regula Falsi để tìm nghiệm của một hàm liên tục được xem là lựa chọn tốt hơn trong ngữ cảnh này.
Bởi tính chất tuyến tính của đường cong (ví dụ như ba đường ở Hình 2.4, 2.5, 2.6), điểm giao nhau tìm được ở mọi trường hợp đều rất gần nghiệm của hàm số; vì vậy thuật toán mới (xem Hình 2.7) cho thấy khả năng tìm nghiệm nhanh hơn Ví dụ: n = 55, phân số chìa khóa p/q = 341/556; khi đó thuật toán tìm được phân số gần nhất là 27/44 và hạng của phân số 27/44 trong F_55 là f = 577.
Phân tích hiệu suất
Để so sánh hiệu suất của hai thuật toán, chúng ta chọn ngẫu nhiên một tập các phân số thực trong đoạn [0,1] và đo số lần tính toán lặp lại cần thiết cho từng thuật toán với cùng tập phân số đã chọn, thực hiện trên nhiều dãy Fn (với 50 < n < 400) Ví dụ được minh họa ở Hình 2.8 cho thấy kết quả thực nghiệm: thuật toán cải tiến FindClosestFast cho hiệu quả tốt hơn đáng kể so với phương pháp tìm kiếm nhị phân như trước Đặc biệt, hiệu suất của FindClosestFast còn tăng lên khi n tăng và khoảng cách giữa hai đường cong mở rộng xa hơn.
Một số ứng dụng có liên quan đến hình ảnh
Đa giác mô phỏng gần đúng
Để mô tả đường biên của một hình, ta dùng một chuỗi các đoạn thẳng, giúp biểu diễn các đa giác một cách thuận tiện cho xử lý máy tính Đối với một mô phỏng hiệu quả và gần đúng, các cạnh liên tiếp nên có độ dài nhỏ và đồng đều để giảm sai lệch giữa biên thực tế và biên xấp xỉ Việc mô tả đường biên bằng chuỗi các đoạn thẳng cho phép chuyển đổi sang đại diện lưới hoặc đa giác dễ xử lý trong các thuật toán đồ họa, mô phỏng vật lý và xử lý hình học Tuy nhiên, số lượng đoạn thẳng càng nhiều thì độ chính xác càng cao nhưng chi phí tính toán cũng tăng, do đó cần cân nhắc giữa độ phân giải của lưới và hiệu suất thực thi.
Thuật toán cải tiến tìm phân số p/q (0 < p < q) trong dãy F_n được thiết kế để nhận diện các đoạn thẳng có hướng gần như thẳng hàng và có thể được sáp nhập thành một khối biểu diễn chung Trong mặt phẳng kỹ thuật số, mỗi điểm đại diện cho một điểm ảnh và hai đầu mút của một đoạn thẳng có tọa độ nguyên, nên độ dốc của đoạn thẳng được xác định bởi Δy/Δx, với Δy là hiệu số nguyên giữa các tung độ y và Δx là hiệu số nguyên giữa các hoành độ x của hai đầu mút Việc tận dụng đặc tính này giúp thuật toán nhận diện và ghép các phân số p/q một cách hiệu quả hơn, tối ưu hoá quá trình xử lý dữ liệu hình ảnh và tăng tốc tìm kiếm trong dãy F_n.
Vì vậy, khi độ chênh lệch giữa các hạng (độ dốc của hai đường thẳng) nhỏ hơn một ngưỡng Δf nào đó, ngưỡng này phụ thuộc vào bậc n của dãy F_n, thì hệ sẽ có sự ổn định về mặt sai số và hội tụ dần dần Điều này cho thấy rằng với Δf đủ nhỏ, các hạng kế tiếp của dãy F_n bị giới hạn và hiệu ứng lệch chuẩn giữa hai mô hình tuyến tính được thu hẹp về 0 Khi điều kiện này được thỏa mãn, ta có thể rút ra được giới hạn sai số và tốc độ hội tụ, từ đó tối ưu hóa việc ước lượng và phân tích các đặc trưng của dãy Nhờ đó, độ dốc hai đường thẳng trở nên gần như trùng khớp, đảm bảo tính nhất quán của mô hình và độ tin cậy của kết quả. -**Support Pollinations.AI:**🌸 **Quảng cáo** 🌸Đồng hành cùng Pollinations.AI, nâng cao chất lượng nội dung và tối ưu SEO cho bài viết của bạn! [Ủng hộ chúng tôi](https://pollinations.ai/redirect/kofi) để AI luôn phục vụ cộng đồng.
Hình 2.8: So sánh 2 thuật toán dựa trên số lần lặp lại trung bình v s trong dãy F n
Đoạn AC sẽ tiếp tục được xem xét cho việc sáp nhập lần tiếp theo với cạnh kế tiếp Khi ta tăng ngưỡng ∆f, mô phỏng hình xấp xỉ này sẽ trở nên kém chính xác hơn, xem Hình 2.9.
Hình 2.9: Hình mô phỏng xấp xỉ ứng với các giá trị khác nhau của ngưỡng 4f với n = 200.
Rõ ràng hình ứng với 4f = 200 giống hình thật hơn so với hình ứng với 4f = 800 Để xét độ dốc của tất cả các hướng có thể trong bảng Farey T_n bậc n, ta chỉ xem xét các phân số thực sự và dương Ví dụ với n = 10, bảng khởi đầu của T_n chứa các hạng của các độ dốc đã nêu hoặc các phân số thuộc tập hợp đang xem xét.
Trong bài viết này, ta phân tích một số phép đối xứng trong bảng T_n (tương ứng với 1/1) và tiến hành đổi chỗ tử số và mẫu số để được tập hợp { p/q | −n ≤ p, q ≤ n } Quá trình biến đổi này giúp liên kết các phân số với các chỉ số của chúng, được xác định từ dãy phân số F_n Cụ thể, các phần tử của tập hợp nói trên được nhận diện thông qua các phân số thuộc dãy F_n, từ đó ta có thể hiểu rõ mối quan hệ giữa p và q trong phạm vi −n đến n và xác định vị trí của từng phần tử trong cấu trúc tổng thể.
Ta thu được một ma trận mới cỡ (2n+ 1)×(2n+ 1) (các phần tử của chúng được xác định theo công thức trên).
Phân tích hình ảnh
Mô tả hình ảnh của một đối tượng là vấn đề đã được nghiên cứu nhiều nhưng vẫn đầy khó khăn Nhiều phương pháp mô tả hình dạng và sự kết hợp của các kỹ thuật khác nhau đã được công bố rộng rãi và đóng vai trò quan trọng trong nhận dạng tự động các đối tượng kỹ thuật số và mẫu vật Hình dạng có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi số, vì các chuỗi số dễ biểu diễn và phân tích Chuỗi này có thể được xây dựng từ các góc nằm ở biên của đa giác và từ các độ lệch của độ dốc của các đường thẳng liên tiếp Nó có tính bất biến khi xoay và giúp giảm thời gian xử lý hình ảnh nhờ không cần các phép tính số thực Chỉ sử dụng bộ nhớ truy cập và phép trừ cho phép trình bày mô tả sao cho một số thuật toán liên quan đến hình dạng có thể được áp dụng một cách hiệu quả.
Hình 2.10 cho thấy các phần cấu thành ở các góc đỉnh của đa giác mô phỏng gần đúng Khi đối tượng trong hình xám quay, đa giác mô phỏng lệch đi với một lượng rất nhỏ, cho thấy tính ổn định của mô hình Các phần ở các góc, sau khi được tính toán lại từ đa giác mô phỏng mới trong hình ảnh quay, được sắp xếp theo hạng của dãy Farey và thể hiện mức độ sai khác khi nắm bắt các đặc tính hình dạng Ví dụ, giá trị f_1^0 ở một trường hợp ban đầu là 24650 và sau tính toán lại là 24739 Khi n = 200, ta có 97.856 phần tử trong ma trận T_n Do đó, f_1^0 = 24650 tương ứng với một vị trí đặc trưng trong cấu trúc phân tích hình dạng được mô tả bởi ma trận T_n.
97856 ×360 o = 90,68 o và f 1 0 = 24739 với 24739 97856 ×360 o = 90,01 o ; tổng số lỗi là ít hơn 0,50 o , đó là một con số khá nhỏ.
Hình 2.10: Bất biến của đặc điểm hình dạng (độ sai khác của các hạng trong T n ) qua phép quay
Chương này cho thấy hạng của các phân số trong dãy Farey có thể được dùng để ước lượng một cách hữu ích các giá trị tương đối của chúng; việc tìm một phân số trong dãy Farey được cải thiện nhờ bảng Farey, và các thuật toán tìm phân số gần nhất với một phân số bất kỳ trong một dãy Farey cho trước được trình bày mà không cần sử dụng các thao tác với số thực, nhằm tiết kiệm thời gian cho các phép tính cơ bản Bảng Farey có thể có nhiều ứng dụng trong xử lý hình ảnh kỹ thuật số và phân tích hình dạng như đã chỉ ra ở các phần trên Nó cũng nêu ra một số vấn đề quan trọng, chẳng hạn như bài toán nén bảng bằng cách loại bỏ một số cột để giảm thiểu độ lệch hạng lớn nhất giữa các cột được giảm thiểu Những kết quả này vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu trong tương lai gần bởi tác giả của bài báo.
Vòng tròn Ford và liên hệ với định lý Pick, dãy Farey
Lester R Ford là một nhà toán học người Mỹ, sinh năm 1886 Ford nhận bằng tiến sĩ toán học từ Đại học Harvard vào năm 1917 Ông nêu khái niệm về các vòng tròn Ford trong một bài báo năm 1938 mang tên "Phân số" Ông từng làm biên tập viên của tạp chí The American Mathematical Monthly từ năm 1942 đến năm 1946 và là Chủ tịch của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ từ năm 1947 đến năm 1948 Năm 1964, Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ thiết lập giải thưởng Lester R Ford để tôn vinh các tác giả công bố kết quả toán học trong tạp chí The American Mathematical Monthly.
Giới thiệu vòng tròn Ford
Vòng tròn Ford là một hình học thể hiện các phân số Ford muốn minh họa các phân số, như a b và c d , bởi các vòng tròn Ford cho thấy rằng bạn có thể tìm thấy một phân số giữa các phân số a b và d c bằng cách tìm phân số trung gian của chúng, đó là một phân số mới a+b c+d , như thể hiện trong sơ đồ dưới đây: Để biểu diễn hình học các phân số này, chúng ta sẽ vẽ các điểm trên một đường thẳng trục Ox của một mặt phẳng tọa độ xOy Ở đây x = a b với a và b là các số nguyên, và phân số ở dạng tối giản Cho x = a b , ta xây dựng một vòng tròn với bán kính bằng 2b 1 2 Bây giờ ta có vòng tròn tâm tại điểm a b và có bán kính 2b 1 2 tiếp xúc với trục Ox nằm trong góc phần tư thứ nhất trên mặt phẳng tọa độ Xét ví dụ: x = a b y = 2b 1 2
Vòng tròn L 1 2 1 8 Vòng tròn M 2 3 18 1 Vòng tròn N 3 4 32 1 Vòng tròn O 4 3 18 1
Việc các phân số biểu diễn như các vòng tròn cho phép Ford phát biểu lại định lý đầu tiên của mình liên quan đến những phân số này. Định lý 3.1.1 (Ford, 1938) Các vòng tròn đại diện của hai phân số riêng biệt đều là tiếp xúc nhau hoặc hoàn toàn nằm bên ngoài lẫn nhau.
Để chứng minh định lý, ta xét khoảng cách giữa tâm của hai vòng tròn được sinh ra bởi hai phân số a/b và c/d (đều ở dạng tối giản) Khoảng cách này là đoạn thẳng PQ nối hai điểm có tung độ lần lượt bằng 2b − 1/2 và 2d − 1/2 trên mặt phẳng, tương ứng với hai vòng tròn Mỗi phân số được liên hệ với một điểm trên bố cục hình học sao cho ta có một đường thẳng PR song song với trục Ox; từ đó, hai đường thẳng này tạo nên khuôn khổ trực quan để so sánh vị trí của hai tâm và sự thay đổi của khoảng cách PQ Qua việc phân tích tính chất của phân số tối giản và sự liên hệ hình học giữa các vòng tròn, ta rút ra được mối liên hệ giữa a/b và c/d để xác định độ dài PQ, từ đó chứng minh được điều kiện cần và đủ cho định lý được đề cập.
P Q và P R sẽ tạo thành một tam giác vuông với cạnh góc vuông QR có độ dài là | 2d 1 2 − 2b 1 2|.
Sử dụng định lý Pitago ta được:
Qua phương trình này, ta có thể kết luận: nếu |bc−ad| > 1 thì PQ > PS+TQ và hai vòng tròn nằm ở phía ngoài nhau; nếu |bc−ad| = 1 thì PQ = PS+TQ và hai vòng tròn tiếp xúc nhau; Tuy nhiên, nếu |bc−ad| < 1, thì PQ < PS+TQ, và hai vòng tròn có thể giao nhau tại hai điểm hoặc một vòng tròn nằm hoàn toàn bên trong vòng tròn kia, tùy thuộc vào các tham số khác.
|bc−ad| = 0 (vì là số nguyên) nên a b = c d điều này là không thể; vậy không thể xảy ra trường hợp |bc−ad| < 1|.
Trong trường hợp |bc − ad| = 1, ta có PQ = PS + TQ và hai vòng tròn là tiếp xúc với nhau Từ mối quan hệ giữa hai vòng tròn tiếp xúc này, ta có thể dựng một vòng tròn nhỏ hơn sao cho nó tiếp xúc với cả hai vòng tròn ban đầu và tiếp xúc với trục Ox.
Vòng tròn Ford đặc biệt
Trong hình ảnh hai vòng tròn tiếp xúc như đang xét, ta có thể xác định mối quan hệ giữa vòng tròn lớn và vòng tròn nhỏ bằng cách dựa vào bán kính và tâm của mỗi vòng Khi hai vòng tròn tiếp xúc ngoài nhau, khoảng cách giữa tâm hai vòng bằng tổng bán kính, tức d = R + r với R là bán kính vòng tròn lớn và r là bán kính vòng tròn nhỏ, và đường thẳng nối hai tâm đi qua điểm tiếp xúc Nếu vòng tròn lớn có bán kính R và vòng tròn nhỏ có bán kính r với R > r, thì hai tâm nằm trên một đường thẳng và điểm tiếp xúc nằm trên đường này ở vị trí cách mỗi tâm đúng bằng bán kính tương ứng Việc phân tích mối quan hệ này cho phép xác định tọa độ tâm vòng tròn, bán kính từng vòng và các tham số hình học liên quan, từ đó tính diện tích, chu vi và các đại lượng liên quan của cả hai vòng, đồng thời tối ưu các bài toán về vị trí và kích thước của hai vòng tròn tiếp xúc.
Trong bài toán hình học này, bán kính của vòng tròn lớn bằng 1/2 và bán kính của vòng tròn nhỏ bằng 1/8 Vì bán kính nhỏ bằng một phần tư bán kính lớn, ta thấy tỷ lệ giữa hai vòng tròn hiện có là 1/4 Ta tự hỏi liệu tỷ số của bán kính vòng tròn tiếp xúc khác cũng bằng 1/4 hay không Để làm sáng tỏ, ta sẽ tìm một vòng tròn nhỏ thứ hai tiếp xúc với các vòng tròn hiện có và từ đó xác định bán kính của vòng tiếp xúc mới.
Ta có thể tìm một vòng tròn nhỏ hơn tiếp xúc với cả hai vòng tròn ban đầu và nằm trên trục Ox Bằng cách lấy phân số trung gian giữa hai bán kính hiện tại là 1/2 và 1/1, ta được phân số mới 2/3, ứng với bán kính của vòng tròn mới Vòng tròn mới có tâm nằm trên trục Ox tại hoành độ x = 2/3 và có bán kính bằng 2/3 Để xác định tung độ y của tâm vòng tròn mới, ta áp dụng công thức liên quan và thu được giá trị cụ thể cho y.
Trong bài toán với ba vòng tròn kết nối, ta quan sát và phân tích mối quan hệ bán kính giữa vòng tròn mới và hai vòng tròn hiện có Mục tiêu là xem xét liệu bán kính của vòng tròn mới có bằng 1/4 bán kính của một trong hai vòng tròn được cho hay không, từ đó xác định điều kiện để các vòng tròn liên kết với nhau một cách nhất quán Việc kiểm tra tỷ lệ này giúp mô tả chính xác cách vòng tròn mới tương thích với hai vòng tròn gốc và tối ưu hóa bố cục hình học của hệ vòng tròn.
Vong tron moi tai (23, 181) co ban kinh bang 19 lan ban kinh cua vong tron lon nhat, va bang 49 lan ban kinh cua vong tron thu hai Vi the 14 khong phai la mot hang so ti le.
Bằng cách tìm các phân số trung gian cho một số hạng tiếp theo, chúng ta sẽ tạo ra các phân số liền kề mới và có thể thử tìm một mô hình liên hệ giữa các tỉ lệ của các vòng tròn Bảng cho ta thấy các vòng tròn được tạo ra từ các phân số liền kề và cho phép so sánh tỉ lệ giữa bán kính của chúng, từ đó làm sáng tỏ mối quan hệ hình học giữa các vòng tròn và các phân số liên quan.
Trường hợp x, y( a b , 2b 1 2) của vòng tròn mới
Trên thực tế, khi quan sát bảng dữ liệu, ta nhận thấy bán kính của các phân số trung gian bắt đầu từ cặp vòng tròn tại (1/1, 1/2) và (1/2, 1/8) Ta tiến hành phân tích một nhóm dữ liệu về tỷ lệ giữa bán kính của chúng nhằm làm rõ các xu hướng và quy luật liên quan đến cấu trúc của hệ phân số trung gian.
Trong bài toán này, tỉ lệ giữa bán kính vòng tròn lớn nhất và bán kính vòng tròn mới nhất luôn là một số chính phương hoàn hảo, điển hình là 4/1, 9/1, 16/1, 25/1, và n^2/1 Khi xây dựng một bảng nhãn vòng tròn theo hạng mục, ta nhận thấy các số chính phương liên tiếp liên quan đến hạng mục hoặc số vòng tròn mới được thêm vào bảng Đối với vòng tròn thứ n được cho trước, tỉ lệ giữa vòng tròn lớn ban đầu và vòng tròn thứ n bằng với n^2.
Chúng ta thậm chí có thể viết một công thức để vẽ ra vòng tròn thứ n này, biết rằng nó sẽ được đặt tại ( n−1 n , 2(n 1 2 )).
Có một vòng tròn Ford liên kết với mọi số hữu tỉ Hơn nữa, đường thẳng y = 1 có thể được coi là một vòng tròn Ford.
Vòng tròn Ford là công cụ hình học do L R Ford giới thiệu để biểu diễn trực quan các phân số trên trục số Mỗi phân số p/q tối giản được gán một vòng tròn Ford có tâm tại (p/q, 1/(2q^2)) và bán kính bằng 1/(2q^2); vòng tròn này chạm trục x tại điểm p/q và cho thấy mối liên hệ giữa giá trị phân số và kích thước bán kính Nhờ cách biểu diễn này, ta có thể hình dung khái niệm phân số trung gian (mediants) và các mẫu liên kết với các phân số Farey: hai phân số kề nhau trong dãy Farey có mối liên hệ đặc biệt với vòng tròn Ford của chúng, và phân số trung gian (p+r)/(q+s) nằm giữa chúng thường có vòng tròn Ford liên kết với hai vòng tròn Ford tương ứng, phản ánh cấu trúc Farey một cách trực quan và có thứ tự.
Mối liên hệ giữa định lý Pick và dãy Farey
Có một mối quan hệ giữa định lý Pick và ý tưởng toán học của dãy Farey.
Dãy Farey cấp N là dãy tăng dần các phân số tối giản m/n thuộc đoạn [0,1] sao cho mẫu số n không vượt quá N Một phân số tối giản m/n thuộc về F_N nếu và chỉ khi 0 ≤ m ≤ n ≤ N và gcd(m,n) = 1 Dãy này gồm tất cả các phân số trong [0,1] có mẫu số tối đa là N và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, là công cụ hữu ích trong các bài toán số học liên quan tới phân số và xấp xỉ số thực.
Mối quan hệ giữa Định lý Pick và dãy Farey rất đơn giản: từ một dãy Farey, ta chọn hai phân số liên tiếp và coi tử số, mẫu số của chúng là một cặp (m, n), sau đó nối với gốc (0,0) trên lưới Tam giác sinh ra có diện tích bằng 1/2, vì các đỉnh nằm trên lưới và không có điểm nguyên nào nằm ở bên trong tam giác Áp dụng công thức Pick, diện tích A được tính bằng A = I + B/2 − 1; với I = 0 và B = 3, ta có A = 0 + 3/2 − 1 = 1/2 Điều này có thể xem như một minh chứng thay thế cho mối liên hệ giữa Định lý Pick và dãy Farey Các ví dụ minh họa được mô tả ở phần tiếp theo.
Mối liên hệ giữa dãy Farey và vòng tròn Ford
Hai vòng tròn Ford C1 và C2 có tâm là hai phân số Farey liên tiếp, do đó chúng tiếp xúc với nhau Để kiểm chứng sự tiếp xúc, ta cần nêu rõ lý do tổng quát: với các tâm của C1 và C2 lần lượt là hai phân số Farey liền kề a/b và c/d (ví dụ a/b < c/d), ta có tính chất bd − ac = 1 Do đó tâm của vòng tròn C1 là a/b với bán kính bằng 1, còn tâm vòng tròn C2 là c/d với bán kính bằng 1.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com⇔
Rõ ràng đẳng thức cuối cùng đúng do giả thiết c d và a b là các phân số Farey liên tiếp Vì vậy đẳng thức ban đầu đúng, tức PQ bằng tổng hai bán kính của C1 và C2, từ đó C1 tiếp xúc với C2.
Vì vậy, các vòng tròn Ford có tâm được chỉ ra bởi các phân số Farey liên tiếp là các đường tròn tiếp xúc nhau.
Kết luận: Trong luận văn này, chúng ta đã khảo sát định lý Pick, phân số Farey và vòng tròn Ford ở nhiều lĩnh vực Trong lý thuyết toán học về fractal và hỗn loạn, các phân số Farey thậm chí được ứng dụng để thiết kế thiết bị âm thanh nổi, cho thấy tính ứng dụng của các khái niệm hình học số học Những kết quả này nhấn mạnh sự kết nối giữa toán học và thực tiễn ngay từ khi các khái niệm này ra đời và mở ra triển vọng ứng dụng rộng rãi của định lý Pick, phân số Farey và vòng tròn Ford trong các lĩnh vực thực tiễn.
Trong luận văn này, ta tin rằng các chủ đề này có thể kết nối ý tưởng từ trực giác hình học sang bản chất trừu tượng của đại số Việc sử dụng định lý Pick khởi nguồn từ cấp cơ sở và đưa vào suy luận toán học ở mức cao hơn thông qua dãy Farey và vòng tròn Ford Trong nhiều chương trình đào tạo, các chủ đề này thường được khám phá riêng rẽ, nhưng luận văn đã phát hiện ra nhiều mối liên hệ giữa các khái niệm Những kết nối này rất quan trọng để hiểu sâu hơn về toán học, và mong rằng học sinh học toán cũng như vậy.
Luận văn trình bày được các vấn đề sau đây:
1 Định lý Pick về tính diện tích 1 đa giác đơn.
2 Dãy Farey, vòng tròn Ford.
3 Mối liên hệ giữa các kiến thức trên.