SKKN ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

Mạch toán phương trình, bất phương trình đóng một vai trò hết sức quan trọng và không thể thiếu, xuyên suốt trong các năm học.. Các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương

A Lý do chọn đề tài.

A Lý do chọn đề tài

1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong chương trình Toán học phổ thông Mạch toán phương trình, bất phương trình đóng một vai trò hết sức quan trọng và không thể thiếu, xuyên suốt trong các năm học Các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình giường như không thể thiếu trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh

Đại Học và Cao Đẳng

Đã có rất nhiều phương pháp giải phương trình, bất phương trình cũng như việc khảo sát tính chất của các phương trình Song khi giải một số bài toán

“không mẫu mực” trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc thi tuyển sinh Đại học, học

sinh sẽ gặp khó khăn nếu sử dụng các phương pháp đại số thường gặp vì các phương trình, bất phương trình trong đề thi học sinh giỏi thường có hai vế là các hàm số có tính chất hoàn toàn khác nhau mà việc giải bằng cách biến đổi đại số

sẽ không đi đến được kết quả

Trong các kỳ thi số lượng các phương trình, bất phương trình được giải bằng cách sử dụng định lý đảo của tam thức bậc hai là tương đối nhiều Hiện nay theo chương trình chuẩn thì định lý đảo của tam thức bậc hai không được đề cập nữa Việc không đưa bất phương trình lượng giác, định lý đảo của tam thức bậc hai vào chương trình Toán phổ thông thì phải bỏ đi một lượng lớn các dạng toán về phương trình và bất phương trình Vấn đề đặt ra là các bài toán trên có phương pháp giải khác không?

Khi đó việc nếu áp dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các bài toán này giải pháp hữu hiệu và đến kết quả đẹp và nhanh chóng cách này thiên về khảo sát định tính một phương trình, bất phương trình nên luôn đạt được kết quả

cuối cùng

Trong sách giáo khoa cũng có một số ví dụ giải phương trình, bất phương trình bằng cách ứng dụng sự đơn điệu của hàm số Song các vị dụ này thường

đơn lẻ, học sinh khó tập hợp để thành một phương pháp hoàn chỉnh

2 Kết quả, hậu quả của vấn đề

Để khắc phục khó khăn trên trong quá trình giảng dạy đồng thời hoàn

thiện phương pháp giải giúp cho giáo viên và có học sinh có thêm tài liệu phục

vụ trong việc ôn luyện học sinh giỏi cũng như luyện thi Đại học Cao đẳng, tôi

mạnh dạn đưa ra đề tài: “ứứứứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các bài

toán có liên quan đến phương trình, bất phương trình, hệ phương trình”

Vì nội dung của đề tài là tương đối rộng, lượng ví dụ minh họa và các bài tập đề nghị là lớn Nên phần bài tập đề nghị không có lời giải cụ thể mà chỉ có phần gợi ý cách giải và đáp án Nếu đề tài là giải pháp hữu ích cho các đồng nghiệp, khi áp dụng mong các đồng nghiệp hoàn thiện và bổ sung

3 Mục đích của đề tài

Đề tài này tôi tập trung giải quyết 3 vấn đề lớn bằng cách sử dụng sự biến thiên của hàm số:

1 ứng dụng đối với phương trình

+Các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình

+ Phương pháp giải các phương trình

2 ứng dụng đối vối bất phương trình

+Tìm điều kiện để bất phương trình có nghiệm trên D

+ Tìm điều kiện để bất phương trình luôn thỏa mãn trên D

+ Phương pháp giải các bất phương trình

3 ứng dụng đối với hệ phương trình

+Phương pháp giải hệ phương trình:  =

=



( ) ( ) ( , ) 0

f x f y

g x y

+ Phương pháp giải hệ phương trình:

( ) ( ) ( )

f x y

f y z

f z x







+ Phương pháp giải hệ phương trình:

1

( n) ( )

f x g x

f x g x

f x g x











B nội dung đề tài nội dung đề tài. nội dung đề tài

I Ứng dụng đối với phương trỡnh

1 Cỏc bài toỏn liờn quan đến nghiệm của phương trỡnh

Bài toỏn 1 Tỡm điều kiện để phương trỡnh f(x) = k (1) cú nghiệm

Số nghiệm của (1) là số hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = k

Định lý 1.1.Hàm số y = f(x) liờn tục trờn D và

x D

min ( ), ax ( )

x D

phương trỡnh f(x) = k cú nghiệm khi và chỉ khi m≤k ≤M

Vớ dụ 1.1 Xỏc định m để phương trỡnh (PT) sau cú nghiệm:

(Đề tuyển sinh Đại học khối B năm 2004)

Lời giải TXĐ: D=[-1;1]

Đặt t= 1 +x2 − 1 −x2 vỡ 1 +x2 ≥ 1 −x2 ⇔ ≥t 0 t2= − 2 2 1 −x4 ≤ ⇔ ≤ 2 t 2

1 2

x

t

=



⇔

= ±

=

 Suy ra tập giỏ trị của t là [0; 2]

2

m t

− + +

=

(1.1) cú nghiệm ⇔ (1.1a) cú nghiệm

Xột hàm số ( ) 2 2

2

f t

t

− + +

= + liờn tục trờn [0; 2]

(1.1a) cú nghiệm khi và chỉ khi

m in ( )f t ≤m≤max ( )f t

Vỡ '( ) 2 42 0

( 2)

f t

t

− −

+ với mọi x ∈[0; 2]⇒ hàm số nghịch biến trờn [0; 2]

Do đú,

[0; 2 ]

min ( )f t = f( 2) = 2 1 − ;

[0; 2 ] x ( ) (0) 1

Vậy, giỏ trị cần tỡm của m là: 2 1 − ≤m≤ 1

Vớ dụ 1.2 Cho PT: sin4x + (1- sinx)4 = m (1.2)

Với những giỏ trị nào của m thỡ PT đó cho cú nghiệm?

(Đề học sinh giỏi lớp 12 Thanh húa năm 2001)

Lời giải

f x = t + − t với − ≤ ≤ 1 t 1

Tacó: 3 3

'( ) 4 - 4(1 )

'( ) 4 - 4 12 12 4

2 t

⇔ =

Lập bảng biến thiên ta có:

t -1 ½ 1

f’ - 0 +

f

Từ đó, để PT có nghiệm thì 1 17

8 ≤ m ≤

Bài tập tương tự:

1.Tìm m để PT sau có nghiệm thực: 3 x− + 1 m x+ = 1 2 4 x2 − 1

(Đề thi Đại học khối A năm 2007)

2 Tìm tất cả các giá trị của m để PT 1 x− − x+ x−x2 =m có nghiệm

3 Tìm m để PT sau có nghiệm: log5(5x + 1).log25(5x+1 + 5) = 2m +1

4 Xác định m để PT sau có nghiệm : x2 + + +x 1 x2 − + =x 1 m

(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An 2005)

5 Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, PT sau luôn có hai nghiệm phân biệt: x2 + 2x− = 8 m x( − 2)

(Đề thi Đại học khối B năm 2007)

Gợi ý, đáp án:

1 Với x ≠ ±1 nên PT tương đương với 1 4 1

m

Đặt 4 1

1

x t

x

−

=

+ xét hàm số f(t) = -3t2 + 2t với 0 ≤ ≤t 1 1

1

3

m

− ≤ ≤

2 Xét hàm số f x( ) = 1 − −x x+ x−x2

3 log5(5x + 1).log25(5x+1 + 5) = 2m +1 ⇔ log5(5x + 1)(1+log5(5x + 1) )= 4m +2

Xét hàm số f(t) = t + t2

4 -1 < m < 1

5 Nhận thấy PT có nghiệm x = 2 Chứng minh PT còn có nghiệm trong khoảng (2; +∞)

Bài toán 2 Bài toán liên quan đến số nghiệm của phương trình

1/8

Định lý 1.2 Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì

phương trình f(x) = k có không quá 1 nghiệm trên D

Hệ quả Nếu hàm số y= f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y

Định lý 1.3 Hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến )trên D, hàm số

y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc đồng biến )trên D, thì PT f(x) = g(x) có không quá 1 nghiệm trên D

Định lý 1.4 Hàm số y =f(x) có đạo hàm đến cấp n trên D và PT f (n) (x)= 0 có không quá k nghiệm trên D thì PT f (n-1) (x)=0 có không quá k+1 nghiệm trên D

Định lý 1.5 f(x) là hàm số liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì PT f(x)=0 có

nghiệm thuộc (a;b)

* Nêu vấn đề:

1 Chúng ta thường gặp các bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của PT hoặc xác định điều kiện để PT có k nghiệm

2 Có những PT có hữu hạn số nghiệm, việc giải cụ thể PT là khó khăn Khi đó ta có thể nhẫm các nghiệm đó và chứng minh rằng PT đó không còn nghiệm nào nữa

Ví dụ 1.3 Xác định giá trị của a để PT ax2 + 1 = cosx (1.3)

có đúng một nghiệm (0; )

2

Lời giải Để PT có nghiệm theo yêu cầu thì a ≤ 0

PT đã cho tương đương với

2

2

sin

2 x

2

x c

x

Xét hàm số ( ) sin , (0; )

4

t

t

π

= ∈ ta có '( ) os 2 sin '( ) ost(t-tant)2 0

t

t

−

với (0; )

4

∀ ∈ , suy ra f(t) là hàm nghịch biến

Mà ( ) 2 2

4

f π

π

0

lim ( ) 1

x f t

→ = nên 2 2

π < f(t) < 1

2

2

sin

1 2

x x

π

⇔ <   <

, ∀ (0; )

2

Vậy, để PT đã cho có duy nhất một nghiệm (0; )

2

∈ khi và chỉ khi

8

2a 1

π

⇔ − < < −

Ví dụ 1.4 Giải PT sau: 2003x 2005x 4006 2

x

(Đề học sinh giỏi Nghệ An 2005)

Lời giải

Ta dễ nhẫm được hai nghiệm của PT là x = 0 và x = 1 Vấn đề ở đây là ngoài hai nghiệm trên PT có còn nghiệm nào nữa không? Ta sẽ chứng minh PT không còn nghiệm nào khác hai nghiệm trên

Ta xét hàm số ( ) 2003x 2005x 4006 2

'( ) 2003 ln 2003 2005 ln 2005 4006x x

''( ) 2003 ln 2003 2005 ln 2005 0x x

Vậy, f’’(x) = 0 vô nghiệm

Theo định lý 1.4 ta suy ra PT f’(x) = 0 có không quá 1 nghiệm Và cũng suy ra được PT f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm

Như vậy, (1.4) có hai nghiệm x = 0 và x = 1

Bài tập tương tự:

1.Tìm giá trị của tham số a để PT x6 + 3x5 − 6x4 + ax 3 − 6x2 + 3x+ = 1 0 có đúng hai nghiệm phân biệt (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nam Định năm 2004)

2 CMR PT x5 −x2 − 2x− = 1 0 có đúng một nghiệm (*)

(Đề thi Đại học khối A năm 2004)

3 Tìm m để PT sau có 4 nghiệm: −x2 + 2 4 −x2 + + 5 4 −x2 =m−x2

4 Giải PT: ( 1)x ax+1

a+ = 0 <a≠ 1

5 Giải PT: 3cosx = 2cosx + cosx

6 Giải PT: 3x = + + 1 x log (13 + 2 ) x

Gợi ý, đáp số:

1 x< − 4 v x> 21

2 Chứng minh f(x) là hàm số đồng biến trên [1; +∞) và f(1).f(2) < 0 ⇒ (*)

2

x = k π x =π+ k π, k ∈ Z

6 x = 0; x = 1

2 Giải phương trình

Nêu vấn đề:

Chúng ta cần giải phương trình f(x) = k trên D với f là hàm số đơn điệu trên D hoặc đổi dấu trên D một lần (trong trường hợp f đổi dấu hơn một lần trên D thì

ta xét phương trình trên các tập con của D mà trên đó f đổi dấu một lần)

Giải quyết vấn đề:

Nội dung của phương pháp là sử dụng kết quả của hai định lý 1.2 ; 1.3 và 1.4

Dạng 1 Giải PT: f(x) = k trên tập D

- Trong đó f(x) là một hàm số đơn điệu trên tập D

Phương pháp:

- Chứng minh cho f là hàm số đơn điệu trên D

- Xác định giá trị x0 sao cho f(x0) = k, kết luận x0 là nghiệm duy nhất

Ví dụ 1.5 Giải PT: 4x+ + 1 2x+ 12x+ = 1 6 (1.5) Lời giải ĐK 1

12

x≥ − Xét hàm số f x( ) = 4x+ + 1 2x+ 12x+ 1

6 2

x

f x

+

+

12

x≥ −

Vậy hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến Theo định lý 1.2 ta có PT (1.5)

có không quá một nghiệm

Mặt khác, f(2) = 6 Do đó PT (1.6) có nghiệm duy nhất x = 2

Ví dụ 1.6 Giải PT: 4x− + 1 4x2 − = 1 1 (1.6) Lời giải Điều kiện: 1

2

x≥

* Nhận thấy 1

2

x= là một nghiệm của PT

* Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất của PT

Xét hàm số f(x) = 4x− + 1 4x2 − 1 có

2

x

f x

Vậy f(x) đồng biến với mọi ( ;1 )

2

x∈ +∞ , ⇒ f(x) = 1 có nghiệm duy nhất 1

2

x=

Dạng 2 Giải phương trình dạng f(u) = f(v) với f là một hàm số đơn điệu

Phương pháp

- Chứng minh hàm số y = f(t) là hàm số đơn điệu

- Áp dụng hệ quả của định lý 1.2 đưa ra phương trình u = v

- Giải phương trình u = v và kết luận nghiệm

Ví dụ 1.7 Giải PT sau với x∈(0; 2): 1 2 4 2 2

x

x x

x

(Đề thi HSG lớp12 tỉnh Thanh hóa năm 2001)

Lời giải: ĐK: x ≠ 0

Đặt

1

x





 , (u, v > 0) Ta nhận thấy 4 2 1 3

x

x

Do đó, (1.7) ⇔4v 4u 4( )

Xét hàm số f(t) = 4t + 4t có f’(t) = 4t.ln4 + 4 > 0 ⇒ f(t) là hàm số đồng biến Theo (1.7a)⇔u=v⇔ 2 2 1 1 2 4 2 1 3 0

− + = − + ⇔ − − = ⇔x3− 3x− = 1 0 (1.7b)

Đặt x = 2cosα, ( ; )

2 2

π π

α ∈ − Khi đó (1.7b) ⇔ 8 osc 3 α − 6 os -1=0c α ⇔ 2cos3 -1=0 α

⇔ os3 =1

2

2

2

k

k

α

α







= − +



Ta nhận được hai giá trị 1 , 2

α = − α =

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm: 1 2 os(- ),x2 2 os

Ví dụ 1.8 Giải PT: 3 (2x + 9x2 + 3) (4 + x+ 2)( 1 + +x x2 + 1) 0 = (1.8)

(Đề thi Olimpic 30-4 năm 2000)

Lời giải: TXĐ: D=R

Ta có: (1.8) ⇔ (2x+ 1)( (2x+ 1) 2 + + 3 2) ( 3 )(2 = − x + ( 3 ) − x 2 + 3)

Đặt u= − 3 ,x v= (2x+ 1), ( ,u v> 0)

Ta có (1.8) ⇔v v2 + + 3 2) =u u2 + + 3 2) ⇔ f u( ) = f v( ) với f t( ) =t( t2 + + 3 2),

2

2

'( ) 2

3

t

f x

t

+

= +

+ > 0 ⇒ f là hàm số đồng biến trên tập xác định

Theo hệ quả của định lý 1.2 ta có u = v ⇔ - 3x = 2x + 1 ⇔ 1

5

x= − là nghiệm duy nhất của PT

Dạng 3 Giải PT f(x) = k trên tập D

- Trong đó f(x) là một hàm số không đơn điệu (đổi dấu 1 lần) trên D

Phương pháp

- Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên D

- Từ bảng biến thiên ta kết luận nghiệm của PT

Ví dụ 1.9 Giải phương trình: tan 2x osx=2

2 2

Lời giải.Xét hàm số f x( ) =etan 2x+cosx, ta có:

2

tan

x

−

Vì 2 tan 2x 2 os 3 0

e ≥ ≥c x> nên dấu của f’(x) là dấu

của sinx với ( ; )

2 2

∈ − Ta có f x( ) ≥ f(0) 2 = Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

Bảng biến thiên:

x 0

−

f

* Trong quá trình giải bài tập (1.9) học sinh thường mắc phải sai lầm sau:

Ta thấy (1.9) tan 2x osx = 2 e tan 2x 1 1 osx

e +c ⇔ − = −c (*) Đến đây các em đánh giá rằng vế trái luôn ≥ 0; vế phải luôn ≥ 0 nên từ (1.11) suy ra tan2 1

osx = 1

x c



 ⇔x=k2 π Theo bài ra ta có nghiệm của phương trình là x = 0

* Tuy rằng nghiệm theo cách giải này trùng với đáp án ở trên Nhưng nếu học sinh thực hiện theo cách này với bài toán khác sẽ mắc hai sai lầm

+ Nếu nghiệm của phương trình làm cho hai vế của (*) khác 0 thì theo cách này học sinh sẽ kết luận không có nghiệm

+ Nếu ngoài nghiệm làm cho hai vế của (*) bằng không phương trình còn nghiệm khác thì cách giải sẽ làm mất nghiệm

Dạng 4 - Giải phương trình: f(x) = g(x)

- Trong đó y = f(x) và y = g(x) là các hàm số khác tính đơn điệu

Phương pháp:

- Chứng minh hai hàm số y = f(x) và y =g(x) khác tính đơn điệu

- Tìm một giá trị là nghiệm của phương trình và kết luận đó là nghiệm duy nhất

Ví dụ 1.10 Giải phương trình: 3 1 2 − x+ = + 4 x 5x3 − 1 (1.10)

2

Lời giải ĐK: x 31

5

≥ (1.9) ⇔ 3 1 2 − x− 5x3 − = − 1 x 4 ⇔ f x( ) =g x( )

2

3

3 (1 2 ) 2 5 1

x

f x

−

− − Vậy f là hàm số nghịch biến Mặt khác g(x) = x – 4 là hàm số đồng biến

Theo định lý 1.3 ta có (1.10) có nhiều nhất là một nghiệm

Ta cũng có f(1) = g(1) = - 3 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -3

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

1 x+ + 3 x+ 7x+ 2 = 4 2 x+ + 2 x+ = 1 3 2x2 + + 1 3 2x2

3

+ +

3

2

x

−

5 cos3x + 4sin3x – 3sinx = 0 (Đề HSG tỉnh TT.Huế 2002)

6 Cho PT: cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0

a/ Giải PT khi a = 2

b/ Với giá trị nào của a thì PT có nghiệm

Gợi ý, đáp số:

1 Theo dạng 1 ta được x = 2

2 Đặt u= 3 x+ 1, v= 3 2x2 PT có nghiệm 1; 1

2

3 Đặt u=x2 + +x 3, v=x2 + 3x+ 2 PT có nghiệm x = -1; x = - 2

4 Theo dạng 3 ta có x = 1

5 Do cosx = 0 không thỏa mãn nên nhân hai vế của phương trình cho cos3x

ta được:

* Đặt: tgx = t, PT (1) trở thành: f(t) = t3 – 3t + 1 = 0 (2)

(xem ví dụ 1.7)… x = β1 + kπ, x = β2 + kπ, x = β3 + kπ với tgβi = ti, i = 1,2,3

t1 2cos2 , t2 2cos4 , t3 2 cos8

6 a/

5

4

, k Z

2 1

π









b/ PT luôn có nghiệm với mọi a

II Ứng dụng đối với bất phương trình

1 Tìm điều kiện để bất phương trình có nghiệm

Bài toán 1 Tìm điều kiện để bất phương trình (BPT) f(x) > α (f(x) ≥ α) có

nghiệm trên D.

Định lý 2.1 Bất phương trình f(x) > α (f(x) < α) có nghiệm trên D khi và chỉ khi

max ( )f x

α

>

∈

(min ( ) )

x D f x α

(Với giả thiết f(x) là số liên tục trên D và

x Dax ( ) (min ( ))

x D

∈

Ví dụ 2.1 Tìm m để BPT sau có nghiệm x+ − 2 3 −x<m (2.1) Lời giải TXĐ : − ≤ ≤ 2 x 3 Xét hàm số f x( ) = x+ − 2 3 −x với (− ≤ ≤ 2 x 3)

(2.1) ⇔ ( )

[-2;3]

x

<





∈

f x

+ − >0 với mọi x∈[-2; 3]

Vậy,

[-2;3]

min ( )f x = f( 2) − = − 5⇒ (2.1) có nghiệm ⇔

[-2;3]

min ( )f x <m ⇔ m> − 5

Ví dụ 2.2 Tìm m để BPT sau có nghiệm: mx − x − ≤ 3 m + 1 (2.2) Lời giải:

ĐK x ≥ 3 (2.2) ⇔ 3 1

1

x m

x

− +

≤

−

3 1 XÐt hµm sè f(x)= , víi x 3

1

x x

− +

≥

2

f'(x)= , víi x>3

f x = ⇔ − − x x − = ⇔ = − x

x 3 7−2 3 +∞ f’(t) + 0 -

2 0

Bất phương trình có nghiệm

[3;+ )

3 1 max ( )

4

∞

+

Bài tâp tương tự

1 Tìm m để BPT: 2

m x − x + + + x − x ≤ có nghiệm thuộc [0, 1+ 3]

(Đề dự bị đại học khối A 2007)

4 +