skkn ỨNG DỤNG TÍNH đơn điệu của hàm số để GIẢI một số bài TOÁN sơ cấp

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong những năm gần đây, trong mỗi đề thi Đại học, Cao đẳng, nay là thi THPT Quốc gia hay đề thi học sinh giỏi thường có một vài câu về nghiệm của phương trình, bất ph

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 3

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI

TOÁN SƠ CẤP

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong những năm gần đây, trong mỗi đề thi Đại học, Cao đẳng, nay là thi THPT Quốc gia hay đề thi học sinh giỏi thường có một vài câu về nghiệm của phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, chứng minh bất đẳng thức, chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất, tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

và hệ bất phương trình có nghiệm Đây là một trong những dạng toán gây khó khăn đối với học sinh, khi gặp những dạng toán này học sinh thường lúng túng, không biết cách giải các bài toán này như thế nào Vì vậy, học sinh thường chán nản, không hứng thú và không quan tâm đến việc học Toán

Trong quá trình trực tiếp giảng dạy, tôi thấy công cụ để giải chúng có thể định lí về dấu của tam thức bậc hai, đặt ẩn phụ, sử dụng tính đơn điệu của hàm số, Trong số các công cụ đó, tôi thấy hiệu quả nhất là sử dụng tính đơn điệu của hàm số Nó vừa ngắn gọn, vừa gần gũi với những vấn đề mà các em học sinh đang học ở năm cuối cấp

Với tinh thần trên, nhằm giúp các em học sinh làm tốt các dạng toán này, đặc biệt

là các học sinh lớp 12 chuẩn bị thi vào THPT quốc gia, tôi quyết định chọn đề tài

nghiên cứu là: “ ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP”

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận

1.1 Các khái niệm về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

a) Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng  a; b

Hàm số y f (x) được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng  a; b nếu

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 4

1.2 Các tính chất về tính đơn điệu

Định lí 1:

Nếu hàm số y  f (x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì phương trình f(x) m (m là số không đổi) có nhiều nhất một nghiệm trên D và f(x)  f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x, y thuộc D

Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x) m có nghiệm x = a, tức là f(a) m Do hàm số y f (x)

đồng biến nên:

 Khi x > a suy ra f(x)  f(a) m nên phương trình f(x) m vô nghiệm

 Khi x < a suy ra f(x)  f(a) m nên phương trình f(x) m vô nghiệm

Tương tự cho trường hợp hàm số y f (x) nghịch biến

Vậy phương trình f(x) m có nhiều nhất là một nghiệm

Định lí 2:

Nếu hàm số y f (x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số yg (x)

luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì phương trình

Tương tự cho trường hợp ngược lại

Vậy, phương trình có nhiều nhất một nghiệm

o Lưu ý:

Nếu hàm số y f (x) đồng biến trên D và f(u) < f(v) thì u < v trên D

Nếu hàm sốy f (x) nghịch biến trên D và f(u) < f(v) thì u > v trên D

2 Cơ sở thực tiễn:

a) Thuận lợi

- Học sinh đã được trang bị kiến thức, các bài tập đã được luyện tập nhiều

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 5

- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu thích môn học

- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề

b) Khó khăn

- Giáo viên mất nhiều thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập

- Nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong đại số giải tích, không nắm vững các kiến thức về hàm số

- Đa số học sinh học yếu

- Sách giáo khoa của học sinh có rất ít bài tập, thậm chí không có bài tập áp dụng cách giải này nên các học sinh không quen hoặc khi sử dụng rất khó khăn

- Phương pháp này chỉ áp dụng được trong các tiết học tự chọn hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi hay áp dụng được cho các học sinh khá giỏi ôn thi THPT quốc gia nên thời gian không có nhiều và rất khó khăn cho các học sinh trung bình và yếu

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

1 Giải pháp 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

Ví dụ 1: Giải phương trình:

2x1 2 4x2 4x4 3x2 9x2 30

Phân tích và tìm lời giải

Đây là bài toán chứa căn thức bậc hai nên đại đa số các học sinh thường bình phương hai vé hoặc đặt ẩn phụ sẽ gặp rất nhiều khó khăn Tuy nhiên, nếu chú ý một chút thì ta chuyển vế và sẽ thấy ngay phương trình có dạng f(u)  f(v) Từ đó,

ta định hướng được cách giải của phương trình theo phương pháp đơn điệu

)('

2

2 2

Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên R Do đó, phương trình (*) trương đương với

 x   f x

f 2 1  3

5

13

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 6

Ví dụ 2: Giải phương trình:

 1 2 1 0

4x3x x x 

Phân tích và tìm lời giải

Đối với bài toán này, học sinh thường chuyển vế rồi bình phương hai vế Tuy nhiên, nếu bình phương thì phương trình trở thành bậc 6 dẫn đến rất khó khăn cho việc tìm nghiệm của phương trình Nếu chuyển vế và không khéo léo trong trường hợp này thì cũng rất khó phát hiện dạng f(u)  f(v)

Giải Điều kiện:

04

12

022

121

22

)

1

x x

x x

x

x x

x x

f x f

4

514

51

00

12

Nhận xét: Qua hai ví dụ trên ta thấy nếu không sử dụng tính đơn điệu của hàm số

vào giải phương trình này thì rất khó khăn trong việc giải phương trình trên Do đó việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số phương trình rất hiệu quả và đơn giản hơn nhiều các phương pháp khác và đây là một phương pháp rất quen thuộc đối với tất cả các học sinh lớp 12

Ví dụ 3: Giải phương trình:

2 2

3

5.281710

2x  x  x  x xx



Giải

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình

Xét x 0, chia cả hai vế của phương trình cho x3, ta được:

3 2 3

x

x

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 7

0 0

6 17 8

0 6 17 8

1 5 1

y

y y

y y y

y y

y y

Với y = 0 (loại)

Với

12

97 17 97 17

16 1

Với

12

97 17 97 17

16 1

Vậy phương trình có hai nghiệm là:

3 2

f Suy ra hàm số f(t) đồng

biến với mọi t ≥ 0

Do đó :

1 4

3 1 0

0 3 4

0 3

2 3 1

x x

x x

x x

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình

2.Giải pháp 2: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 1: Chứng minh phương trình x 3 4 2x 1  4 x3có nghiệm duy nhất

ĐK : x ≥ 21 PT đã cho trở thành : x3 x34 2x140 f(x)0

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 8

Ta có:

1 ,

0 1 2 2

1 3

2

1 3

) (

x x

0 1 2

1 5

1 1 3 2

3 )

x x

biến với mọi x ≥ 21 và f(1) = 0 Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của PT

Ví dụ 3: Giải phương trình : x 2 log2x 3 log3x 2  x 1

log 3

x

2

1 2

log 3

log 3 log

x x

f

3 3

ln 2

1 2

ln 3

1 )

x x

5 5

y x

x x y y y x

) 1 (

5 5

y x

y y y x x x

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 9

3 5 3

5

y x

x y y x

(1)

3 5 3

5

y x

y y x x

Từ (1), t a có : x = y Thế x = y vào PT (2) , ta có :

0 ) ( 0 3 2 3

3 1

2

1 )

1 2y 1 2

3

y x

y x x

ĐK : y21 Đặt      2

1 2

0 1

2

t y

t t

Suy ra :  y  y t3 t

1 2 1 2

2 Thế 2y 1  x vào PT(2) ta được 2y11 y0x1 ( thỏa

ĐK) Vậy HPT đã cho có nghiệm là (x ; y) = (1; 0)

4 Giải pháp 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình

Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 5 x

+ 12 x > 13 x Phân tích và tìm lời giải

Đây là bài toán về bất phương trình mũ, tuy nhiên rất khó để sử dụng được phương pháp giải của bất phương trình mũ để giải.Ta sử dụng phương pháp đơn điệu để giải

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 10

Giải

) 2 ( ) ( 1 13

12 13

5

f x f Bpt

x x

5 ) (

R x x

f

x x

12 13

5 ln 13

Đây là một bất phương trình quen thuộc của học sinh lớp 12 Tuy nhiên, khi ta

sử dụng phương pháp này thì việc giải bất phương trình này đơn giản hơn rất nhiều

x x

Phân tích và tìm lời giải

Đây là bất phương trình lôgarit, hầu như các em học sinh đều đưa về dạng

2 2

2

2

2 3

2

2

x

x x

x

phương trình là S  ;  1  2 ; 

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 11

5 Giải pháp 5: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là tương ứng mỗi bất đẳng thức cần chứng minh, ta cần xây dựng một hàm số, rồi nghiên cứu tính đơn điệu của nó trên các đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng cho thích hợp

Ví dụ 1: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện

Giải

zx yz xy

P 1  1  1   

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có : 3  2 3

3

xyz xyz

Đặt t 3 xyz, ta có:

2

1 3

1

; 0

f( )  32  3 , với mọi  



 2

1

; 0

0

6 3 ) (

t t

Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên  



 2

1

; 0

Do đó, với mọi  



 2

1

; 0

2

27 2

1 3

3 )

a b

a a b

b

a b  a  ln  ln  ln  ln Xét hàm số ( ) ln ; x e.

x

x x

f   

Ta có : '( ) 1 ln2 0; x e.

x

x x

f      Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên [e ; +)

b

b a

a b

f a

f( )  ( )  ln  ln  

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 12

6 Giải pháp 6: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm điều kiện của tham

số sao cho hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một miền cho trước

Để giải bài toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến hoặc

nghịch biến trên một miền D nào đó, ta thường làm như sau :

o Tính f’(x)

o Áp dụng định lí về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

o Biến đổi BPT f’(x)≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0) về dạng g(x) ≥ h(m) hoặc g(x) ≤ h(m)

o Lập bảng biến thiên của hàm số g(x)

o Tìm max g(x); min g(x).

D D

o Từ bảng biến thiên suy ra kết quả của bài toán

3

1 2 3



y Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1 ; 3)

Giải :

Ta có : y' x22mxm2 Hàm số đồng biến trên khoảng (1 ; 3)

) 3

; 1 ( , 0 2 2



1 2

g trên đoạn [1 ; 3] Ta có 2 1 0, (1;3)

4 2 2 ) (

Mặt khác, hàm số g(x) liên tục trên [1 ; 3] Do đó hàm số g(x) đồng biến trên đoạn

11 ) 3 ( ) ( max )

3

; 1 ( ), (

Nếu bài toán này sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai :

Ta có : y'   3x2  6xm Hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; +)

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 13

- Khi '093m0m 3 thì f(x)   3x2  6xm 0 , xR nên hàm số f(x)

nghịch biến trên khoảng (0 ; +)

- Khi '093m0m 3 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; +) khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm x1 < x2 ≤ 0

0 2 0

0

m P

S

(vô lí)

Vậy m  3 thì hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; +)

Nếu sử dụng phương pháp đơn điệu của hàm số

Ta có : y'   3x2  6xm Hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; +)

x x g m

Nếu m ≤ 0 thì y’ ≥ 0, x (0 ; +) Tức là hàm số luôn đồng biến trên (0 ; +) nên nó luôn đồng biến trên khoảng (1; 2)

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 14

Nếu m > 0 thì phương trình y’ = 0 sẽ có ba nghiệm phân biệt là  m ;; 0 m

Hàm số đồng biến trên khoảng (1 ;2)  m 1 m 1 Vậy m ≤ 1

Nếu bài toán này sử dụng phương pháp đơn điệu của hàm số

Hàm số đồng biến trên khoảng (1 ; 2) y'  0 , x ( 1 ; 2 ) y'  0 , x 1 ; 2 ( Do y’ liên tục tại x = 1, x = 2)

 1 ; 2 min ( ) 1

2

; 1



Nhận xét : Qua ví dụ 3 ta thấy, nếu chúng ta sử dụng được phương pháp đơn

điệu của hàm số thì giait đơn giản và hiệu quả hơn nhiều

7 Giải pháp 7: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm điều kiện của tham

số sao cho phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có nghiệm

Đối với các bài toán về nghiệm của phương trình, bất phương trình mà tham số độc lập với ẩn hoặc biến đổi phương trình, bất phương trình, đặt ẩn phụ để được điều đó thì ta có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải

o Từ bảng biến thiên, suy ra kết quả bài toán

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : 4 x2   x m

Giải

Điều kiện : x ≥ 0 Xét hàm số f x  4 x2   x

1 )

( trên [0 ; +), ta có :

1 1

1 lim

1 lim

x

f

x x

x

Bảng biến thiên

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 15

x 0 +)

1 '

x t

1

2 0

2 1

2 2

1

1 1 )

 hàm số f(t) đồng biến trên đoạn [1 ; 2] Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm

thực x  [0 ; 1 + 3] bất phương trình (*) có nghiệm t  [1 ; 2]

2 ) 2 ( ) ( max

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 16

o Bất phương trình f(x) ≥ h(m) có nghiệm đúng với mọi x  D maxD f(x)h(m)

o Bất phương trình f(x) ≤ h(m) có nghiệm đúng với mọi x  D minD f(x)h(m)

x

x x

11) Chứng minh rằng với x dương, ta có bất đẳng thức

2 1

2

x x

e x   

2

1 2 2

a b b b a a

13) Tìm các giá trị của m để hàm số sau : 1 3 2

3

y x mx  m x m đồng biến trên R

14) Cho hàm số : 3 2

y  x x mx gọi là đồ thị ( C) Tìm tất cả các giá trị của tham

số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

15) Tìm các giá trị của m để hàm số 1 3 2

3

y x  m x  m x m đồng biến trên khoảng (1; +∞)

16) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x x x  7 2 x2 7x m

17) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x: m.4x + (m – 1).2x+2+ m – 1 > 0

18) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x:

3cos x 5cos3x 36sin x 15cosx 36 24  a 12a  0

19) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x  1 4  x m

20) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho: (x + 1)(x + 3)(x2 + 4x + 6) ≥ m

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 17

21) Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x : osx + 1 os2x + 1 os3x + m

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12 và luyện thi THPT quốc gia Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin hơn, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Được sự phân công của tổ chuyên môn, tôi phụ trách hai lớp 12B3 và lớp 12B8 Trong đó, lớp 12B3 là lớp chọn nâng cao và tôi tiến hành dạy thực nghiệm cho lớp này Sau khi hoàn thành chuyên đề này và tôi tiến hành kiểm tra lớp 12B3 với một lớp không dạy thực nghiệm 12B15 của thầy Vũ Quốc Hiệu với kết quả như sau:

1 ln 2 9 6 3

3 2

2 3 3

R y x x

y x

y

y

x y

y y x x

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 18

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 19

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 20

Câu 3

Câu 3 : Có 9/39 học sinh thực hiện được câu này chiếm tỉ lệ 23,68% Đây là câu

mà học sinh phải vận dụng rất nhiều kiến thức để suy luận Vì vậy, một số học sinh vẫn còn lúng túng khi gặp một số dạng toán này, lớp 12B15 thì tỉ lệ này quá ít 2/37 chiếm tỉ lệ 5,41% Một vài học sinh làm khá tốt câu này

Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 21

Dựa vào kết quả khảo sát thực nghiệm, ta thấy rằng các học sinh được dạy thực nghiệm một phần nào đã nắm bắt được các dạng toán cơ bản về đơn điệu của hàm số và cũng như các phương pháp giải các dạng toán này Qua đó giúp tôi có niềm tin hơn khi thực hiện đề tài này

V KẾT LUẬN, ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Các dạng toán đơn điệu nói chung rất đa dạng và phong phú Mỗi bài toán

có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học

sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo Để đạt được kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan

Bằng một chút vốn hiểu biết của mình và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài toán để cho học sinh tham khảo và tự giải

Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, song việc tìm ra một lời giải hợp

lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không hề dễ dàng Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản, sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải quyết bài toán tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu

Để cho đề tài này được áp dụng rộng rãi và học sinh trường THPT Sông Ray

sử dụng thành thạo, tôi kiến nghị BGH nhà trường dành thêm thời gian, phụ đạo cho các đối tượng học sinh khá, giỏi có nguyện vọng thi THPT quốc gia đăng kí vào đại học, cao đẳng

Mặc dù rất tập trung và nghiêm túc trong quá trình thực hiện đề tài này, tôi cũng chỉ đưa ra được các ví dụ, các bài toán minh họa và một số bài tập luyện tập Song chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai xót và khiếm khuyết Rất mong sự đóng góp ý kiến của các độc giả và đồng nghiệp để đề tài này ngày càng tốt hơn

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Doãn Minh Cường –

Nguyễn Tiến Tài – Đỗ Mạnh Hùng (2008) Đại số và giải tích 10 (cơ bản), NXB

Giáo dục

[2] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân

Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2008) Đại số và giải tích 10 (nâng cao), NXB Giáo dục

[3] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương –

Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2008) Đại số và giải tích 12 (cơ bản), NXB

Giáo dục