Luận văn thạc sỹ toán học dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng trong tối ưu hóa Latex

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương 1. Giải tích lồi} trình bày một số khái niệm và kết quả trong tài liệu về các tính chất cơ bản của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, các tính chất liên tục, tính Lipschitz, hàm liên hợp, tính khả dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng trong các bài toán tối ưu lồi vô hướng.\ Chương 2. Dưới vi phân hàm véctơ lồi và ứng dụng} là nội dung chính của luận văn, trình bày những mở rộng cho các tính chất, kết quả của hàm lồi vô hướng cho hàm véctơ lồi theo nón như các khái niệm về nón, điểm hữu hiệu, tính liên tục theo nón, tính lồi, dưới vi phân, hàm liên hợp, các đặc trưng và một số ứng dụng của dưới vi phân vào bài toán tối ưu véctơ lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-VŨ ANH TUẤN

DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI

VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VIỆN TOÁN HỌC

VŨ ANH TUẤN

DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI

VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU HÓA

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH lê Dũng Mưu

Hà Nội – Năm 2015

Mục lục

1.1 Tập lồi 3

1.2 Hàm lồi 6

1.3 Hàm liên hợp 9

1.4 Dưới vi phân 14

1.5 Đặc trưng hàm lồi 19

2 Ứng dụng trong tối ưu hóa 22 2.1 Bài toán lồi không có ràng buộc 26

2.2 Bài toán lồi có ràng buộc đẳng thức 26

2.3 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức 28

2.4 Bài toán trơn - lồi 30

Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37

Lời mở đầu

Rất nhiều bài toán trong thực tế có thể đưa được về dạng: Tìm x ∈ D sao cho

f (x) ≤ f (x), ∀x ∈ D Trong đó, D là tập con của một tập nào đó và f : D → R làhàm số thực Ta kí hiệu bài toán này là

f (x) = min

và gọi nó là bài toán tối ưu Bài toán này đóng vai trò trọng tâm trong lý thuyết tối

ưu và có những bài toán liên quan như bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cânbằng, bài toán minimax, bài toán điểm yên ngựa, Trong trường hợp f là một hàm

số khả vi thì bài toán (1) được gọi là tối ưu khả vi hay tối ưu trơn Trong trường hợpngược lại, bài toán (1) được gọi là tối ưu không trơn Đối với tối ưu trơn ta đã có đượcnhững điều kiện cần và đủ cấp 1 và cấp 2, có phương pháp giải bằng phương phápNewton và nhiều phương pháp khác

Trong mấy chục năm qua rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu,tìm ra những phương pháp giải bài toán tối ưu không trơn Năm 1947, nhà toán họcngười Mỹ, Danzig, đã tìm ra phương pháp đơn hình để giải bài toán quy hoạch tuyếntính: f là hàm tuyến tính, D là một đa diện lồi Năm 1960 đến 1970, nhà toán học Mỹ,Rockafellar, đã đưa ra khái niệm dưới vi phân hàm lồi và từ đó đã hình thành mônGiải tích lồi để giải quy hoạch nói trên Những năm 1980 nhà toán học Mỹ, Clarke,đưa ra khái niệm dưới vi phân của hàm Lipschitz địa phương và xây dựng nên mônGiải tích Lipschitz Nhiều nhà toán học khác như J P Penot, Urruty, Mordukhovich,Nguyễn Văn Hiền, Strodiot, cũng đưa ra những khái niệm về dưới vi phân để giảibài toán (1) trong những trường hợp khác Đặc biệt Đinh Thế Lục và Jeykumar, năm1990-2010, đã đưa ra những khái niệm Jacobian xấp xỉ để giải bài toán trong trườnghợp tổng quát: f là hàm liên tục và D là tập đóng Tiếp theo người ta cần phát triểnbài toán (1) trong trường hợp f từ tập D vào không gian véctơ khác Để phát triểnđược bài toán tối ưu, người ta cần một quan hệ thứ tự, tương đương với điều kiện cómột nón trên không gian Từ thứ tự đó người ta đã phát biểu được các bài toán tối ưukhác nhau như tối ưu lý tưởng, tối ưu Pareto, tối ưu thực sự, tối ưu yếu Từ đó hìnhthành nên môn học mới: Tối ưu véctơ, là công cụ để giải quyết những bài toán tối ưu

véctơ Hơn thế, người ta còn nghiên cứu bài toán trên trong trường hợp f là ánh xạ

đa trị Nội dung của những môn lý thuyết giải bài toán rất phong phú, hấp dẫn và cónhiều ứng dụng trong thực tế Chính vì vậy, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ củamình là: "Dưới vi phân hàm véctơ lồi và ứng dụng."

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồmhai chương:

Chương 1 Giải tích lồi trình bày một số khái niệm và kết quả trong tài liệu [2]

về các tính chất cơ bản của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, các tính chất liên tục,tính Lipschitz, hàm liên hợp, tính khả dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng trong các bàitoán tối ưu lồi vô hướng

Chương 2 Dưới vi phân hàm véctơ lồi và ứng dụng là nội dung chính củaluận văn, trình bày những mở rộng cho các tính chất, kết quả của hàm lồi vô hướngcho hàm véctơ lồi theo nón như các khái niệm về nón, điểm hữu hiệu, tính liên tụctheo nón, tính lồi, dưới vi phân, hàm liên hợp, các đặc trưng và một số ứng dụng củadưới vi phân vào bài toán tối ưu véctơ lồi

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học tự nhiên thuộc Đại họcQuốc gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình của GS TSKH Lê Dũng Mưu Tôi muốngửi tới Thầy lời biết ơn sâu sắc nhất Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới cácThầy, Cô và các cán bộ, nhân viên của Viện Toán Học, đã tạo điều kiện thuận lợi chotôi trong quá trình học cao học và thực hiện bản luận văn này

Hà Nội, ngày 26/08/2015Tác giả luận văn

Vũ Anh Tuấn

Chương 1

Cơ sở giải tích lồi

Chương này dành cho những kiến thức cơ bản của giải tích lồi cần dùng cho cácbài toán tối ưu không trơn Khi muốn xét sự tồn tại nghiệm hay tìm thuật toán để giảibài toán tối ưu, ta phải trang bị cho tập ràng buộc cũng như những hàm số những cấutrúc đại số và tôpô để mô tả những tính chất đặc thù của từng loại bài toán, từ đótìm ra phương pháp giải Ta bắt đầu bằng việc giới thiệu các cấu trúc ấy trên tập hợp

Để khỏi phải nhắc lại nhiều lần, ta giới hạn chỉ trình bày một số kiến thức cơ bản vềgiải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân, Các kết quả về lý thuyết, về thuậttoán, để giải bài toán (1) vẫn đúng cho trường hợp không gian tôpô tuyến tính lồi địaphương Hausdorff Nhưng để cho người đọc thấy trực quan, trong luận văn này ta chỉtrình bày các vấn đề đó trong không gian hữu hạn chiều

1.1 Tập lồi

Ta kí hiệu R = R ∪ {±∞} là tập số thực mở rộng, h., i là tích vô hướng trong Rn.Định nghĩa 1.1.1 Đường thẳng nối hai điểm (hai véctơ) a, b trong Rn là tập tất cảcác véctơ x ∈ Rn có dạng

x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1

Đoạn thẳng nối hai điểm a và b trong Rn là tập

{x ∈ Rn|x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}

Tương tự ta có các kí hiệu [a, b) , (a, b], (a, b)

Định nghĩa 1.1.2 Tập C ⊆ Rn được gọi là một tập lồi, nếu C chứa mọi đoạn thẳng

đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là, C lồi khi và chỉ khi

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C

Dưới đây là một số ví dụ về tập lồi thường gặp

Định nghĩa 1.1.3 Cho f ∈ Rn, α là một số thực cố định

H = {x ∈ Rn: hf, xi = α} được gọi là siêu phẳng,

H+ = {x ∈ Rn : hf, xi ≥ α} được gọi là nửa không gian trên,

H− = {x ∈ Rn : hf, xi ≤ α} được gọi là nửa không gian dưới

Ta dễ dàng thấy H, H+, H− đều là các tập lồi xác định bởi f và α

Tiếp theo, ta nhắc lại một số khái niêm liên quan đến tập lồi

Định nghĩa 1.1.4 Cho A ⊂ Rn

i) Bao lồi của A, kí hiệu là coA, là giao của tất các tập lồi chứa A;

ii) Bao lồi đóng của tập A, kí hiệu, coA, là giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A.Định nghĩa 1.1.5 Tập hợp con C ⊂ Rn được gọi là nón có đỉnh tại gốc, nếu tx ∈ C,với mọi x ∈ C và t ≥ 0 Tập C ⊂ Rn được gọi là nón có đỉnh tại x0, nếu tập C − {x0}

là nón có đỉnh tại gốc

Định nghĩa 1.1.6 i) Nón C được gọi là nón nhọn, nếu l(C) := C ∩ (−C) = {0}.ii) Nón cực của một nón C được định nghĩa là tập

C0 := {ξ ∈ L(Rn, R) : ξ(x) ≥ 0, ∀x ∈ C}

Khái niệm nón cho ta một quan hệ thứ tự mới trên không gian Rn

Định nghĩa 1.1.7 Với nón lồi C cho trước, ta định nghĩa quan hệ thứ tự từngphần C trên Rn như sau:

x, y ∈ Rn, x C y, nếu x − y ∈ C

Nếu không có sự nhầm lẫn, ta có thể viết đơn giản x  y

Cho x, y ∈ Rn, ta kí hiệu x  y, nếu x − y ∈ C \ lC và x  y, nếu x − y ∈ intC

Trong lý thuyết tối ưu ta sẽ thấy có những kết quả liên quan tới việc tách cáctập lồi, chúng làm nền tảng cho những điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm của bàitoán tối ưu có ràng buộc Sau đây, ta đưa ra một số khái niệm liên quan tới tách cáctập lồi.

Định nghĩa 1.1.8 Cho các tập A, B ⊂ Rn Ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục

f 6= 0 tách A và B, nếu tồn tại một số α sao cho

Nếu các bất đẳng thức ở (1.1) là thực sự, tức là, hf, yi < α < hf, xi , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B,thì ta nói f tách chặt A và B

Siêu phẳng H = {x ∈ Rn : hf, xi = α} gọi là siêu phẳng tách A và B Các tập A, B gọi

là tách được

Phần chứng minh của những kết quả sau đây có thể tìm thấy trong [2]

Định lí 1.1.9 (Định lí tách thứ nhất) Cho A và B là các tập lồi trong Rn, A ∩ B = ∅.Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f 6= 0, f ∈ Rn tách A và B

Hệ quả 1.1.10 Cho A, B là các tập lồi trong Rn Khi đó, A, B tách được khi và chỉkhi (intA) ∩ B = ∅

Định lí 1.1.11 Giả sử A là tập lồi đóng trong không gian Rn và x0 ∈ A Khi đó, tồn/tại f ∈ Rn, f 6= 0 tách chặt A và x0

Hệ quả sau đây được suy ra trực tiếp Định lí 1.1.11

Hệ quả 1.1.12 Cho Rn là không gian Hausdorff lồi địa phương A ⊂ X Ta cói) coA trùng với giao của tất cả các nửa không gian chứa A;

ii) Nếu A là tập lồi khi đó A đóng khi và chỉ khi A đóng theo tôpô yếu

Định lí 1.1.13 (Định lí tách thứ hai) Cho A, B là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho

A ∩ B = ∅ Giả sử có ít một trong hai tập là compact Khi đó, hai tập này có thể táchmạnh được bởi một siêu phẳng

được gọi là tập mức của f tại α ∈ R.

Định nghĩa 1.2.2 1) Hàm f được gọi là hàm lồi, nếu epif là tập lồi trong khônggian tích C × R;

2) Hàm f gọi là hàm chính thường nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞, với mọi x ∈ C.Trong luận văn, để khỏi phải nhắc lại nhiều lần, ta luôn giả thiết hàm lồi là chínhthường

Mệnh đề 1.2.3 ([2]) Hàm f : C → R xác định trên tập lồi C ⊆ Rn được gọi là

1 Hàm lồi khi và chỉ khi

4 Hàm lõm (lõm chặt), nếu −f là hàm lồi (lồi chặt);

5 Hàm f lồi, nếu và chỉ nếu

lev (f + g, α) là tập lồi ∀g ∈ R, trong đó (f + g) (x) = f (x) + g (x)

Chú ý 1.2.4 1) Nếu f là hàm lồi thì domf là tập lồi;

2) Nếu f là hàm lồi thì {x : f (x) < α} , {x : f (x) ≤ α} là các tập lồi ∀α ∈ [−∞, +∞]

tự, ta cũng nói như vậy với hàm nửa liên tục trên và hàm liên tục

Các kết quả sau có thể tìm thấy chứng minh trong tài liệu [2]

Định nghĩa 1.2.5 i) Bao đóng của hàm f là một hàm, kí hiệu clf, có trên đồ thị

epi cl f = epif ;ii) Bao lồi đóng của hàm f là một hàm, kí hiệu cof, có trên đồ thị

epi(cof ) = coepif ;

iii) Hàm f được gọi là đóng nếu epif là tập đóng trong Rn× R

Chú ý 1.2.6 Các khẳng định sau đây là đúng

i) Hàm f là lồi thì clf cũng là lồi;

ii) Hàm f là đóng khi và chỉ khi f = clf

Mệnh đề 1.2.7 Hàm f là đóng khi và chỉ khi

lev (f, α) = {x : f (x) ≤ α}

là tập đóng với α ∈ R

Mệnh đề 1.2.8 Hàm f là đóng khi và chỉ khi f là nửa liên tục dưới

Định lí sau cho ta các điều kiện để hàm lồi liên tục

Định lí 1.2.9 ([2]) Cho f là hàm lồi chính thường trên Rn khi đó các khẳng định sau

là tương đương

i) f bị chặn trên tại lân cận của x0 ∈ Rn;

ii) f liên tục tại x0;

L được gọi là hằng số Lipschitz

Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại điểm ¯x ∈ D nếu tồn tại lân cận U của ¯x

để f Lipschitz trên U ∩ D

Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập D ⊂ Rn nếu nó Lipschitz địa phươngtại mọi điểm thuộc D

Định lí 1.2.11 ([2]) Giả sử f là hàm lồi chính thường trên Rn và bị chặn trên trongmột lân cận của một điểm nào đó thuộc một tập mở D ⊂ domf Khi đó, f Lipschitzđịa phương trên tập D.

Hệ quả 1.2.12 ([2]) Giả sử f : D → R là hàm lồi liên tục tại x0 thuộc tập lồi mở

D Khi đó, f Lipschitz địa phương trên D

1.3 Hàm liên hợp

Hàm liên hợp có một vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu, đặc biệt là trong lýthuyết đối ngẫu Trong phần này, trước hết chúng ta sẽ giới thiệu định nghĩa và đưa

ra ví dụ minh họa cho hàm liên hợp Tiếp đến sẽ khảo sát một số tính chất và quy tắc

cơ bản cho việc tính toán với hàm liên hợp

1.3.1 Phép biến đổi Young - Fenchel

Ta có thể cho tương ứng hàm cho trước với một hàm lồi như sau:

Định nghĩa 1.3.1 Phép biến đổi Young - Fenchel của hàm f hay hàm liên hợp với

Theo Định lí tách thứ hai tồn tại (y0∗, β0) sao cho

Suy ra điều cần chứng minh

Định lí 1.3.6 Cho A : Rn → Rm là phép đồng phôi tuyến tính, g là hàm xác địnhtrên Rm Đặt f (x) = λg (Ax + y0) + hx0∗, xi + γ0 Trong đó, y0 ∈ Rm, x0∗ ∈ Rn,

γ0 ∈ R, λ > 0 Khi đó, f∗(x∗) = λg λ−1A−1∗(x∗− x0∗)
− hx∗ − x0∗, A−1y0i > −γ0

Chứng minh f∗(x∗) = sup

x

{hx∗, xi − λg (Ax + y0) − hx0∗, xi − γ0} Đặt y = Ax + y0 ta được

⇒) Giả sử f = f∗∗ theo Mệnh đề 1.3.2, f∗∗ là hàm lồi đóng yếu Vậy, f∗∗ lồi đóng.

⇐) Giả sử f lồi đóng

+) Nếu f (x) = t + ∞ thì hiển nhiên f = f∗∗

+) Nếu f (x) < +∞ theo Mệnh đề 1.3.4 f∗∗ ≤ f

Vì vậy, ta cần chứng minh, nếu f là hàm lồi chính thường, đóng thì f ≤ f∗∗

Thật vậy, giả sử ∃x0 ∈ domf∗∗ sao cho f (x0) > f∗∗(x0) Ta có epif là tập lồi đóng,epif 6= ∅ và (x0, f∗∗(x0)) /∈ epif Theo Định lí tách thứ hai, tồn tại (y∗

, β) ∈ Rn× Rtách chặt (x0, f∗∗(x0)) và epif tức là

sup

(y,α)∈epif

{hy∗, yi + βα} < hy∗, x0i + βf∗∗(x0) (1.6)

Khi đó, β ≤ 0 và nếu β > 0 thì cận trên phải bằng +∞ Mặt khác, theo Định lí 1.3.5,

f∗ là hàm lồi chính thường, như vậy domf∗ 6= ∅

Nếu β = 0, lấy y1∗ ∈ domf∗, với t > 0 ta có

Cho t → +∞, ta suy ra f∗∗(x0) = +∞ và như vậy x0 ∈ domf/ ∗∗

mâu thuẫn với

x0 ∈ domf∗∗ ở trên Từ đó ta có thể kết luận trường hợp β = 0 không xảy ra

Vậy, β < 0 Chia cả hai vế của (1.6) cho |β| và đặt x∗ = |β|−1y∗ ta được

Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức Young - Fenchel Định lí được chứng minh

Hệ quả 1.3.9 Giả sử f là hàm lồi chính thường đóng trên Rn Khi đó,

f (x) = suph (x) : h − affine liên tục, h ≤ f }

Chứng minh Theo Định lí Fenchel - Moreau, f = f∗∗ Do đó, f (x) là lân cận trên củacác hàm affine có dạng

≤ f (x) = suph (x) : h − affine liên tục, h ≤ f } ≤ f (x)

Vì vậy f (x) = suph (x) : h − affine liên tục, h ≤ f }

Hệ quả 1.3.10 Giả sử cof là hàm chính thường Khi đó, f∗∗ = cof

Chứng minh Ta có epif∗∗ là tập lồi đóng Do f ≥ f∗∗ nên epif∗∗ ⊂ epif Do đó,epif ⊆ co (epif ) ⊆ epif f∗∗

Chú ý rằng, nếu f1 ≤ f2 thì f1∗ ≥ f2∗ Vì vậy, f∗ ≤ (cof )∗

Từ (1.8) và (1.9) suy ra f∗∗= cof

Hệ quả 1.3.11 Giả sử cof là hàm chính thường, khi đó f∗ = (cof )∗.

Chứng minh Theo Hệ quả 1.3.10 f∗∗ = cof ⇒ (f∗)∗∗ = (cof )∗ Theo Mệnh đề 1.3.2,

f∗ là hàm lồi đóng nên theo Định lí 1.3.8 thì (f∗)∗∗ = f∗ Vậy ta có f∗ = (cof )∗

Định nghĩa 1.4.1 Đạo hàm của f theo phương d tại x0 ∈ Rn, kí hiệu f0(x0, d), đượcđịnh nghĩa

f0(x0, d) = lim

λ→0

f (x0+ λd) − f (x0)

nếu giới hạn này tồn tại (có thể hữu hạn hoặc bằng ±∞)

Định nghĩa 1.4.2 Cho f : Rn→ R là một hàm lồi Một véctơ g ∈ Rnlà dưới gradientcủa f tại x ∈ Rn nếu

i) f0(x0, ) là hàm thuần nhất dương trên Rn, tức là với mọi

λ > 0, f0(x0, λd) = λf0(x0, d) ;

ii) Với mọi x ∈ domf thì f0(x0, ) là dưới tuyến tính

Mệnh đề 1.4.6 ([2]) Cho hàm f : Rn→ ¯R là hàm lồi chính thường trên Rn Khi đó,

f có đạo hàm theo phương tại mọi điểm x ∈ domf đồng thời

ii) Tập K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh tại 0;

iii) Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu ∀x, y ∈ K, ∀α, β > 0 : αx + βy ∈ K;iv) Nếu K là lồi đóng thì nó được gọi là nón lồi đóng;

v) Giao của tất cả các nón lồi có đỉnh tại 0 chứa tập A và điểm 0 là một nón lồi vàđược gọi là nón lồi sinh bởi A kí hiệu là KA

Mệnh đề 1.4.8 Giả sử f là hàm thuần nhất dương trên Rn, khi đó:

i) Nếu f liên tục tại mọi điểm của U ⊂ Rn thì f liên tục tại mọi điểm của nón KUsinh bởi điểm U có thể trừ điểm 0;

ii) Nếu f liên tục trong một lân cận của 0 thì f liên tục trên Rn

Chứng minh i) Lấy x0 6= 0, x0 ∈ KU, khi đó tồn tại λ > 0 : λx0 ∈ U Do f liên tục tạiđiểm λx0 nên ∀ε > 0, tồn tại lân cận V của λx0 sao cho

|f (x) − f (x0)| < λε ∀x ∈ V ;

Như vậy 1λV là một lân cận của x0 và với mọi x ∈ λ1V , ta có

|f (x) − f (x0)| = 1

λ|f (λx) − f (λx0)| < ε

Vậy f liên tục tại x0

ii) Giả sử f liên tục tại lân cận W của 0, theo i) f liên tục tại mọi điểm của nón

KW sinh bởi tập W (có thể trừ điểm 0) Ta có KW = Rn và tại điểm 0 ta đã giả thiết

f liên tục

Vậy, f liên tục trên Rn

Phần chứng minh của các kết quả dưới đây có thể xem trong [2]

Định lí 1.4.9 Cho f : Rn → ¯R là một hàm lồi chính thường trên Rn liên tục tại cácđiểm của tập U ∈ Rn Khi đó:

i) Nếu tại d0 ∈ Rn thoả mãn x + d0 ∈ U mà f0(x, d0) hữu hạn thì hàm f (x, ) liên tụctại mọi điểm của nón KU −x sinh bởi tập U − x (có thể trừ điểm 0);

ii) Nếu f liên tục tại x thì f0(x, ) hữu hạn và liên tục trên Rn

Mệnh đề 1.4.10 Tại mỗi x ∈ D ta có T (D, x) là một nón lồi

Mệnh đề 1.4.11 Cho f là một hàm lồi từ một tập con lồi không rỗng D ⊆ Rn vào

ii) f0(x, ) là hàm thuần nhất dương, lồi khi domf0(x, ) lồi

Hệ quả 1.4.12 f (x, ) là hàm thuần nhất dương lớn nhất xác định trên domf0(x, )

có tính chất

f (x + λd) − f (x) ≥ f0(x, λd) , ∀d ∈ domf0(x, ) , λ > 0; x + λd ∈ D

Mệnh đề 1.4.13 ([1]) Cho f : Rn → R ∪ {+∞} lồi, chính thường

i) x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi f0(x, y) ≥ hx∗, yi, ∀y

Nếu x ∈ ri(domf ) thì f0(x, y) = sup

x ∗ ∈∂f (x)

hx∗, yi, ∀y

ii) Nếu f là hàm lồi chính thường trên Rn thì với mọi x ∈ dom(∂f ), ta có

∂f1(x) + ∂f2(x) + + ∂fm(x) = ∂f (f1 + f2+ + fm) (x) Mệnh đề 1.4.17 Cho hàm lồi f từ một tập khác rỗng D ⊂ Rn vào ¯R và x ∈ D Nếu

f khả vi dưới vi phân tại x thì domf (x, ) = T (D, x)

Mệnh đề 1.4.18 Cho f là một hàm lồi từ tập con lồi không rỗng D ⊆ Rn vào ¯R và

x ∈ D, ξ ∈ L x, R
Khi đó,

ξ ∈ ∂f (x) ⇔ ξ (d) ≤ f0(x, d) , ∀d ∈ T (D, x)