15 ĐỀ THI HSG TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN ĐẦY ĐỦ

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀIPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1Năm học 2015 2016Môn thi: Toán Lớp 9Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề)Bài 1: (2,0 điểm)Cho biểu thức: M = a. Tìm điều kiện để biểu thức M có nghĩa; rút gọn Mb. Tính giá trị của M tại x = 1; y = Bài 2: (2 điểm)Giải phương trình:a. b. 2x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + 2 = 0Bài 3: (2 điểm)Cho = 1Tính P = Bài 4: (2 điểm)Cho hình thang ABCD; góc A = góc B = 900 và AB = BC + CDChứng minh rằng: trung điểm của cạnh DC là tâm đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh còn lại của hình thangBài 5: (2điểm)Cho tam giác ABC cân tại A; AB = AC = b; góc A = 2 a. Chứng minh rằng: Diện tích tam giác ABC : S = b. Chứng minh rằng: Sin2 = 2Sin Cos HẾT (Đề thi gồm có … trang)Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................ UBND HUYỆN LƯƠNG TÀIPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHƯỚNG DẪN CHẤMMôn thi: Toán Lớp 9Bài 1: (2điểm)ÝPhầnĐáp ánĐiểma)Điều kiện đúng0,25đRút gọn M = 1,25đb)Tính y = 90,25đThay x; y => M = 20,25đBài 2: (2điểm)ÝPhầnĐáp ánĐiểma)Điều kiện0,25đĐưa về = 00,25đTìm x; kết luận 0,25đb)Chia 2 vế cho x2 ( x2 0)0,25đĐặt t = x + ( 2 t 2)0,25đĐưa về phương trình ẩn t0,25đGiải phương trình được t = hoặc t = 20,25đThay tìm được x = 10,25đBài 3: (2điểm)ÝPhầnĐáp ánĐiểmViết được P + a + b + c = 1đBiến đổi P + a + b + c 0,5đP = 0 và kết luận đúng 0,5đBài 4: (2điểm)ÝPhầnĐáp ánĐiểmVẽ hình vẽ đường các đường vuông góc từ trung điểm DC tới các cạnh 0,75đChứng minh được 3 đoạn bằng nhau0,75đKết luận đúng0,5đBài 5: (2điểm)ÝPhầnĐáp ánĐiểma)Vẽ đường cao từ B hoặc C. Tính được đường cao bằng :B SinA = b Sin 2 0,5đ=> S = b2 Sin 2 0,5đb)Vẽ đường cao từ A => góc A1 = góc A2 = Tính được đường cao từ A là b. cos và BC = b Sin 0,5đ=> S = b2 sin cos Kết hợp S = 0,5đ=> sin2 = 2 sin cos UBND HUYỆN LƯƠNG TÀIPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1Năm học 2015 2016Môn thi: Toán Lớp 9Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)Bài 1: (2,0 điểm)Cho biểu thức .a)Tìm x ñeå P xaùc ñònh, rút gọn P. b)Tính giá trị của P khi .c)Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức .Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình a) b) Bài 3: (2,0 điểm)a) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2015 và thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2015. b) Cho x và y thỏa mãn . Tính x + y.Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD, G là giao điểm của CD và AO. Chứng minh: a) EG AB b) OE CD c) SDAC + SBDO = SABCBài 5: (1,0 điểm)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB < AC). Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuông góc với đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: BM = CN. HẾT (Đề thi gồm có 01 trang)Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................ UBND HUYỆN LƯƠNG TÀIPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHƯỚNG DẪN CHẤMMôn thi: Toán Lớp 9Bài 1: (2 điểm)ÝPhầnĐáp ánĐiểma)0,75 điểm , ĐKXĐ: = = = : = = 0,25 0,25 0,25b)0,5 điểmVới x = ĐKXĐ, x = 4 2 = Nên P = = = .0,250,25c)0,75 điểmĐK: x 4P. = 6 3 . = 6 3 = 6 3 x + 2 + 1 = 6 3 ()Do x > 0; , x 4Nên để () xảy ra thì và x = 4 (TM ĐKXĐ)Kết luận0,250,250,25 Bài 2: (2 điểm)ÝPhầnĐáp ánĐiểma) 1 điểma, (1)ĐK: (1) (x1)(x2) + x+3 = x2 + (x1)(x+3) Đặt: (1) a.b + c = b + a.c a(b c) (b c) = 0 (a 1)(b c) = 0 Với a = 1 x 1 = 1 x = 2 (thoả mãn đk)Với b = c x 2 = x + 3 0x = 5 vô nghiệmVậy phương trình (1) có nghiệm x = 20,250,250,250,25b)1 điểm Đặt (với )Khi đó, ta có: Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là: 0,250,50,25

Trang 1

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1

Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán- Lớp 9

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề)

−

xy

y x x xy

y y

xy

x x

y x

xy y

:

a Tìm điều kiện để biểu thức M có nghĩa; rút gọn M

b Tính giá trị của M tại x = 1; y =

9

8 9

8 8

c a c

b c b

a

+

+ +

+

Tính P =

b a

c a c

b c b

a

+

+ +

2 2

2

Bài 4: (2 điểm)

Cho hình thang ABCD; góc A = góc B = 900 và AB = BC + CD

Chứng minh rằng: trung điểm của cạnh DC là tâm đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh còn lại

của hình thang

Bài 5: (2điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A; AB = AC = b; góc A = 2∝

a Chứng minh rằng: Diện tích tam giác ABC : S∆ABC= 2 ∝

2

1 2

Sin b

b Chứng minh rằng: Sin2∝= 2Sin∝Cos∝

- HẾT -

(Đề thi gồm có … trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh

Trang 2

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp 9 Bài 1: (2điểm)

c b a c

b a c b

a

+ + + + + + +

2 2

Trang 3

Tính được đường cao từ A là b cos∝và

2

1 2

b

0,5đ

=> sin2∝= 2 sin∝cos∝

Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 9

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

c) Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức P x 6 x 3 = − − x 4 −

Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình

Trang 4

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD, G là giao điểm của CD và AO Chứng minh:

a) EG // AB b) OE ⊥ CD

c) SDAC + SBDO =

4

3 SABC

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB < AC) Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuông góc với đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và N Chứng minh: BM = CN

- HẾT -

(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh

Trang 5

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp 9

− + =

x 1 x

0,25 0,25

0,25 b)

0,5

điểm

Với x =

3 2

2 + ∈ ĐKXĐ, x = 4−2 3 = ( )2

0,25

0,25 c)

x 2 − = 0 và x 4 0 − = ⇒x = 4 (TM ĐKXĐ) Kết luận

0,25

Trang 6

02x3x

≥+

0b2x

0a1x

1a

Với a = 1 ⇒ x−1=1 ⇔ x - 1 = 1 ⇔ x = 2 (thoả mãn đk)

1 điểm

( 5) 9 9

y x

y

Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là: x= ± 4

0,250,50,25

Trang 8

Kẻ các đường trung tuyến CM, DN của∆ ADC chúng cắt nhau ở E

Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm ∆

CE ⇒ EG // DM hay EG // AB

0,25

0,25 0,5b)

1 điểm

Chứng minh OE ⊥ CD :

OD ⊥ AB (Đường kính qua trung điểm D của dây AB)

Mà EG // AB nên EG ⊥ OD (1)

∆ ABC cân tại A ⇒OG ⊥ BC, mà BC // DN nên OG ⊥ DN (2)

Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ∆ ODE, do đó OE ⊥ DG

hay OE ⊥ CD

0,5

0,5c)

1 điểm

Chứng minh: SDAC + SBDO =

4

3 SABC:

8 1

2 1

8

1 2

BC OA S

S

BC OA OA

BC OA

OC S

ODC ABC ODC

Vậy S ABC = 4 S ODC hay S ODC =

0,5

Trang 10

Bài 5: (1 điểm)

1 điểm

Vẽ hình chính xác Chứng minh: BM = CN Gọi K là giao điểm của MN và đường phân giác của góc A

Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P

∆ AMN là tam giác cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là đường phân giác) ⇒ AM = AN (1)

BP//MN nên BP ⊥ AK.Tương tự ∆ ABP cân tại A ⇒ AB = AP (2)

BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4) Trong ∆ BCP, D là trung điểm của BC, DN// BP ⇒ N là trung điểm

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1

Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán – Lớp 9

Trang 11

a/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p2 – 1M 24.

b/ Tìm số tự nhiên n sao cho A n= 2 + +n 6 là số chính phương

c/ Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn: y2 + 2xy− − = 3x 2 0

Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M

di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I

a Chứng minh tích OI.OM không đổi

b Tìm vị trí của M để ∆MAB đều

c Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……… ;Số báo danh:………

Trang 12

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán – Lớp 9

Từ giả thiết –2 < x < 2 suy ra

Trang 13

− =

 + − =

Toạ độ điểm G thoả mãn phương trình đường thẳng y = -2x + 1

cố định Chứng tỏ G luôn thuộc đường thẳng y = -2x + 1 cố định

khi m thay đổi

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ do đó p – 1 và p + 1 là

hai số chẵn liên tiếp , suy ra (p – 1)(p + 1) M 8 (1)

Xét ba số tự nhiên liên tiếp p – 1; p; p + 1 ta có (p – 1) p(p + 1) M

Trang 14

VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số

nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0

Chứng minh được ∆OAM =∆OBM từ đó suy ra MA = MB

Lại có OA=OB suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng

AB

⇒ OM⊥AB

⇒ ∆OMB vuông tại B có BI là đường cao

0,25đ0,25đ0,25đ

(d)

K I

Trang 15

⇒ OB2 = OI.OM

⇒ OI.OM = R2 không đổi

b) ∆AMB cân tại M (chứng minh trên)

Để ∆ AMB đều thì góc AMB = 600 ⇔góc BMO = 300

⇔ ∆OBM vuông tại B có OB = 0,5 OM

⇒ OM = 2.OB = 2R

Kết luận

c/ Kẻ OH ⊥d, H ∈ d ⇒ H cố định, OH cắt AB tại K.

Chứng minh ∆OIKvà ∆OHM đồng dạng

⇒ OH.OK = OI OM = R2 không đổi

Mà O, H cố định nên OH không đổi ⇒ OK không đổi, K ∈ OH

cố định

⇒ K cố định

0,5đ0,25đ

0,5đ

0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ

)(

(

))(

)(

(2

))(

)(

(

)(

)()(

x z z y y x

xyz x

z z y y x

x z z y y x

y x z x z y z y x xy z

z zx

y

y yz

x x

++

+

+++

+

=

++

+

++++

+

=+

++

(x y)(y z)(z x) 4 4

+ + + ( vì áp dụng BĐT Côsi cho hai

số dương ta có: (x y)(y z)(z x) 2 xy.2 yz.2 zx 8xyz + + + ≥ = ))Đẳng thức xảy ra x y z 1

………HẾT.………

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1 Năm học 2014 - 2015

Môn thi : Toán - Lớp 9

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1 : (2,0 điểm)

Trang 16

Bài 3 : (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng :

1(d ): y= − +3x 6; (d ): y2 1x 1;

BC cắt tia Ax tại M và cắt AC tại F

1/ Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O;

2/ Biết bán kính của đường tròn là 5cm, dây AC = 8cm Tính MB;

3/ BM cắt nửa đường tròn tại D Chứng minh ∆MDF đồng dạng với ∆MOB

Bài 5 : (1,0 điểm)

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x y z 2+ + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Họ và tên thí sinh : ………; Số báo danh :

………

Trang 17

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi : Toán - Lớp 9 HƯỚNG DẪN CHẤM

108 100 8 21

Trang 18

Từ đó, suy ra cặp nghiệm ( )x;y phù hợp là (30;5 )

Vậy tuổi của thầy giáo là 30 tuổi

0,25đ

0,25đ0,25đ

Trang 20

*) Tìm tọa độ của A, B, C:

+) Theo cách vẽ dễ thấy A trùng với N và Q ⇒A(2;0)

+) Hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình :

3⇒ ∆ =2 3 = 3Vậy diện tích ABC∆ là : 48 16 224 (ñvdt)

5 + 3 = 15

0,25đ0,25đ

Trang 22

3

x y z 2x;y;z 0

Trang 23

-HẾT -UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT I

Năm học 2015 – 2016 Môn thi: Toán - Lớp 9

Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: 2 2

b Cho hàm số: y x= − 2m− 1; với m tham số

Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy

H là hình chiếu của O trên AB Xác định giá trị của m để 2

a, (1 điểm) Cho tam giác ABC Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuông góc với

đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và N.Chứng minh: BM = CN: b,

(2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC Gọi D là

trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD, G là giao điểm của CD và AO

Bài 5: (1 điểm) Cho x> 1; y> 0, chứng minh:

Họ và tên thí sinh……… ; Số báo danh………

Trang 24

ĐK: x≥ 0 Nhận thấy: x= 0không phải là nghiệm của phương

trình, chia cả hai vế cho x ta có:

Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B(0; 2 − m− 1)

Ta có: ∆AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên:

0,5

Trang 25

2 2 2

OH =OA +OB Hay 2 12 12 2 2 2 0

1 (2 1)

A B

m m

VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên

liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0

Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1

Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số Số tự nhiên cần

Gọi K là giao điểm của MN và đường phân giác của góc A

Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P

∆ AMN là tam giác cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là đường

phân giác) ⇒ AM = AN (1)

BP//MN nên BP ⊥ AK.Tương tự ∆ABP cân tại A ⇒ AB = AP

0,25 3.0

Trang 26

a) Chứng minh EG //AB:

Kẻ các đường trung tuyến CM, DN của∆ADC chúng cắt nhau ở E

Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm∆

CE ⇒ EG // DM hay EG // AB

b) Chứng minh OE ⊥ CD :

OD⊥AB (Đường kính qua trung điểm D của dây AB)

Mà EG // AB nên EG⊥OD (1)

∆ABC cân tại A ⇒OG ⊥ BC, mà BC // DN nên OG ⊥ DN (2)

Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ∆ODE, do đó OE ⊥ DG

hay OE ⊥ CD

c) Chứng minh: SDAC + SBDO =

4

3 SABC:

8 1

2 1

8

1 2

BC OA S

S

BC OA OA

BC OA

OC S

0,250,25

0,250,5

0,25

Trang 27

Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC –

4

1 SABC =

4

3 SABC 0,25

Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề)

a.Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 ≤ 0

b Tìm số tự nhiên n sao cho A n= 2 + +n 6 là số chính phương

Bài 3: (2.25 điểm)

Trang 28

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp 9 Bài 1: (2.0 điểm)

Trang 29

Áp dụng BĐT cô si vói hai số dương VT≥ 28 (2) 0.25

Để có (1) thì dấu bằng sảy ra trong (2)Khi

9

2 2

4

1

x x

Trang 30

Từ đó tìm được x=11 và y=5 (thỏa mãn )2 0.25

b)

1 Điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua là A(0; 2) 0.5

2 Điểm cắt trục tung A(0; 2) ⇒ OA 2 =

2 2

D

C

A O

= (sin 2·MBA c+ os 2MBA· ) (sin + 2MCD c· + os 2MCD· ) 0,25

b)

Chứng minh: OK2 = AH R AH(2 − )

Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH 0,25

Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB

Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) 0,25 c) P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R 2 OH.MH(Vì MK = OH)

Trang 31

Thay y2=1 vào tìm được x = 2, x = - 4

Thử lại :… và trả lời Có các nghiệm (2,1) ;(2,-1) ;(- 4,1) ;(- 4,-1) 0,25

(Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1

Trang 32

Bài 3 (2,0đ):

1/ Giải phương trình nghiệm nguyên: x2+xy−2014x−2015y−2016 0= (1đ Khá)

2/ Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng: Tổng của số đó với các chữ số của nó

bằng 2023 (1đ Giỏi)

Bài 4 (3,0đ): Cho đường tròn (O;R) cố định, đường kính AB Lấy điểm I nằm trên tia đối

của BA, kẻ tiếp tuyến IC (C là tiếp điểm) Gọi M là 1 điểm cố định thuộc nửa đườngtròn đường kính AB không chứa điểm C (M khác A;B) Gọi N là giao điểm thứ 2của IM với (O); H là hình chiếu của C trên AB; K là hình chiếu của O trên IM, E làgiao điểm của CH và OK

a/ Chứng minh: IC2 =IA.IB (1đ Khá)

b/ Chứng minh: IH.IO=IM.IN (1đ Giỏi)

c/ Khi I di động trên tia đối của BA, hãy tìm quỹ tích điểm E (1đ SX)

Bài 5 (1,0đ): Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn a2 + + =b2 1 2(ab a b+ + ) Chứng minh a; b là 2

số chính phương liên tiếp (1đ SX)

- Hết UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1

Trang 33

x x

y = x

+ Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng

2 3

y = x +b Vì N thuộc đường thẳng BC tìm ra b = – 6 Vậy phương trình

của đường thẳng BC là 2 – 6

3

y = x

0,25đ

Trang 34

2 – 6 3

Sử dụng công thức tọa độ trung điểm, với P là trung điểm AC nên P là

trung điểm của BD, tìm ra tọa độ điểm D(10;12)

0,25đ0,25đ2/ Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng: Tổng của số đó với các chữ số của

nó bằng 2023

Gọi số cần tìm là abcd ĐK: a b c d N; ; ; ∈ ;1 ≤ ≤a 9;0 ≤b c d; ; ≤ 9

Theo bài ra ta có: abcd a b c d+ + + + = 2023 (1)

Vì abcd a b c d+ + + + = 2023 nên abcd < 3000 và 1 ≤ ≤a 9 nên a=1; 2

Trang 35

Khi I di động trên tia đối của BA, hãy tìm quỹ tích điểm E

+ Chỉ ra: ∆OHE đồng dạng với ∆OKIsuy ra OK.OE=OH.OI (3)

+ ∆OCI vuông tại C, đường cao CH nên OH.OI=OC2= OM2 (4)

+ Từ (3); (4) suy ra: OK.OE=OM2 Chỉ ra ∆OKM đồng dạng với ∆OME

Nên OME OKM· =· = 90 0 suy ra: ME⊥OM.

Vì (O); AB ; M cố định nên đường thẳng đi qua M và vuông góc với OM

cũng cố định tức là đường thẳng ME cố định Nên quỹ tích điểm E là nằm

trên đường thẳng đi qua M và vuông góc với OM

Giới hạn quỹ tích: Phần đường thẳng ME nằm giới hạn giữa 2 đường tiếp

tuyến của đường tròn (O) tại A và B

0,25đ0,25đ0,25đ

0,25đ

Trang 36

Bài 5 (1,0đ): Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn a2 + + =b2 1 2(ab a b+ + ) Chứng minh a; b là 2

số chính phương liên tiếp (1đ SX)

a b− + = a là số chính phương suy ra a là số chính phương

Nên đặt a = x2 (x là số nguyên) Khi đó:

Ta thấy x và (x+1) hoặc (x-1) và x là các số nguyên liên tiếp

Suy ra: x2 và (x+1)2 hoặc (x-1)2 và x2 là các số chính phương liên tiếp

Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp

0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ

Ghi chú: Các cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

ĐỢT 1 Năm học:2015-2016 Môn thi: Toán9

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

a,Tìm m để (d) cắt đường thẳng (d1) y = 2x + 4 tại một điểm trên trục hoành

b,Chứng minh rằng: khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định

Bài 3: (2,0 điểm)

Trang 37

1.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy- 2x + 3y = 21

2.Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R) C là một điểm thay đổi trên đườngtròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H Qua A kẻ đường thẳng xy vuônggóc với AB.Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt đường thẳng xy tại M, MB cắt CH tại K

a) Chứng minh MC ⊥OC

b) Chứng minh K là trung điểm của CH

c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớnnhất đó theo R

-UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trang 38

0,25

2

a) Đường thẳng (d1) y = 2x + 4 cắt trục hoành tại M(-2;0)

Khi đó (d) cắt đường thẳng (d1) tại một điểm trên trục hoành

Trang 39

Vì x,y nguyên dương nên x+3 nguyên dương và x+3≥4

Vì (x+3).(y-2) =21 nên x+3 là Ư(21)

Có Ư(21)={-1 ;-3 ;-7 ;-21 ;1 ;3 ;7 ;21}

Vì x+3≥4 nên x+3 =7 hoặc x+3 =21

 x=4 hoặc x= 18

 y=5 hoặc y= 3Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là (x ;y)=(4 ;5) hoặc

(x ;y)= (18 ;3)

0,250,25

2

A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= §(x + y)(x + 4y)¨ §(x + 2y)(x + 3y)¨ + y4

0,250,25

Trang 40

a - Chứng minh AOM COMˆ = ˆ

- Chứng minh ∆AOM = ∆COM

- Chứng minh MC ⊥ CO

0,250,250,25

b

b) Chứng minh K là trung điểm của CH ( 1 điểm)

∆MAB có KH//MA (cùng ⊥AB) ⇒ (

Đẳng thức xảy ra khi AC = CB ⇔M là điểm chính giữa cung AB.

Suy ra P ACB ≤ 2R 2R 2 2R 1 + = ( + 2) , dấu "=" xảy ra khi M là điểm

Định dạng
Số trang	75
Dung lượng	3,8 MB
File đính kèm	T - 1.rar (1 MB)