Tuyển tập 20 đề thi vào 10 chuyên toán có đáp án

ĐỀ SỐ 01 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI 2016 Môn thi: Toán (dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a P a a a a a a                         với 0 1   a . Chứng minh rằng P  1. Câu 2. (2,5 điểm) Cho Parabol ( ) : P y x   2 và đường thẳng d y mx : 2 1   với m là tham số. a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m=1. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A B , . Gọi y y 1 2 , là tung độ của A B , . Tìm m sao cho: y y 1 2 2 2   3 5 . Câu 3. (1,5 điểm) Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120km. Vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu không đổi, vân tốc trên 1 4 quãng đường AB sau bằng 1 2 vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu lúc đi là 10 km/h. Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A? Câu 4. (3,0 điểm) Cho ba điểm A M B , , phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A B , . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB,dựng hai tam giác đều AMC và BMD . Gọi P là giao điểm của AD và BC . a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh CP CB DP DA AB . .   . c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPC và BMPD cắt PA PB , tương ứng tại E F , . Chứng minh CDFE là hình thang. Câu 5. (1,0 điểm) Cho a b c , , là ba số thực không âm và thỏa mãn a b c   1.Chứng minh rằng: 5 4 5 4 5 4 7 a b c       .[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 2 ĐỀ SỐ 02 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI 2016 Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (1,5 điểm) Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị nguyên dương với mọi giá trị nguyên dương của n: P n n n n n n           2 2 2 2 2 4 ( 1) ( 1) 4 2 2 4 1.  Câu 2. (2,5 điểm) c) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: x y x y 3 3 2 2    95( ) d) Tìm số thực x,y thỏa mãn: x y 2 2 4 4 8 4 1 1  x y  x y         . Câu 3. (2,0 điểm) Cho S là tập hợp các số nguyên dương n có dạng n x y   2 2 3 , trong đó x, y là các số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu a b S ,  thì ab S  . b) Nếu N S  và N chẵn thì N chia hết cho 4 và N 4  S . Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC  . Kẻ đường cao AH.Đường tròn ( ) O đường kính AH cắt các cạnh AB AC , tương ứng tại D và E.Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại S. d) Chứng minh BDEC là tứ giác nội tiếp. e) Chứng minh rằng SB SC SH .  2 . f) Đường thẳng SO cắt AB AC , tương ứng tại M và N, đường thẳng DE cắt HM HN , tương ứng tại P và Q.Chứng minh rằng BP CQ , và AH đồng quy. Câu 5. (1,0 điểm) Giả sử mỗi điểm của một mặt phẳng được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, vàng. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm cùng màu là ba đỉnh của một tam giác cân.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 3 ĐỀ SỐ 03 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên) Câu 1: (2.5 điểm) Cho biểu thức 2 2 2 2 2 1 1 a b 1 b a a b P a b a b b a b a                       với a b a b    0, 0, . a) Chứng minh rằng: P 1 ab  . b) Giả sử a, b thay đổi sao cho 4 1 a b ab    . Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình: 2 4 3 1 x my m mx y m          với tham số m. a) Giải hệ phương trình với m = 2. b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (�0; �0) là một nghiệm. Chứng minh đẳng thức: x y x y 0 0 0 0 2 2      5( ) 10 0. Câu 3: (1.5 điểm) Cho a, b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình a x a b x b      2 2   0 có một nghiệm duy nhất. Chứng minh rằng: a b  . Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn, góc BAC = 60o . Các đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I. a) Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp. b) Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I. Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp. c) Chứng minh AK B C  1 1. Câu 5: (1 điểm) Tìm các số thực không âm a, b thỏa mãn: 2 2 3 3 1 1 2 2 4 4 2 2             a b b a a b              .[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 4 ĐỀ SỐ 04 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2015 (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin) Câu 1: (2.5 điểm) a) Cho a a   0, 1. Rút gọn biểu thức:   3 3 1 6 4 2. 20 14 2 ( 3) 3 1 : 1 2 1 a S a a a a                   . b) Cho x, y thỏa mãn 0 1,0 1, 1 1 1 x y x y x y         . Tìm giá trị của biểu thức: P x y x xy y      2 2 Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng là 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua cái cổng hình Parabol. Biết rằng khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dầy của cổng). a) Trong mặt phẳng Oxy, gọi Parabol (P) y ax  2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a  1. b) Hỏi xe tải có qua cổng không? Tại sao? Câu 3: (1.5 điểm) Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a b ab a b 2 2      1 2( ). Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB 1) thì số k + 1 được viết vào ô (i – 1; j + 1) iii) Nếu số k được viết vào ô (i; j) thì số k + 1 được viết vào ô (j + 1, 1). (xem hình) Khi đó, số 2015 được viết vào ô (m, n). Hãy xác định m và n. 2) Giả sử a, b, c là các sô thực dương thỏa mãn: ab bc ca abc     4. Chứng minh rằng a b c a b c ab bc ca 2 2 2         2( ) 1 3 6 10 … 2 5 9 … … 4 8 … 7 … …[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 8 ĐỀ SỐ 08 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN KHTN ĐHQG HÀ NỘI NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh chuyên Toán - Tin) Thời gian: 150 phút Câu I. (3 điểm) 1) Với a, b, c là các số thực thỏa mãn: (3 3 3 ) 24 (3 ) (3 ) (3 ) a b c a b c b c a c a b             3 3 3 3 Chứng minh rằng: ( 2 )( 2 )( 2 ) 1 a b b c c a     2) Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 2 5 27( ) 7 26 27 9 x y xy x y y x x x             Câu II. (3 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để n + 5 và n + 30 đều là các số chính phương. 2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 1 3      x y x y . 3) Giả sử x, y, z là những số thực lớn hơn 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 4          x y z P y z z x x y . Câu III. (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân (AB < AC). Gọi M là trung điểm đoạn BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đoạn AM. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = 2MH. 1) Chứng minh rằng BN = AC. 2) Gọi Q là điểm đối xứng với A qua N. Đường thẳng AC cắt BQ tại D. Chứng minh bốn điểm B, D, N, C cùng thuộc một đường tròn, gọi đường tròn này là (O). 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt (O) tại G khác D. Chứng minh rằng NG song song với BC. Câu IV. (1 điểm) Kí hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt trên mặt phẳng. Giả sử tất cả các điểm của S không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 9 ĐỀ SỐ 09 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2014 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. Cho biểu thức: 2 4 2 1 1 2 : 3 8 2 1 1 x x x x A x x x x x                           . 1. Rút gọn A. 2. Tìm giá trị của x để A > 1. Câu 2. 1. Giải phương trình x x x x 2 2      2 7 3 ( 1)( 3) . 2. Giải hệ phương trình 2 2 4 4 3 2 x y xy x y           . Câu 3. Cho phương trình ẩn x: x m x m m 2 2       3( 1) 2 5 2 0 . Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x 1 2 ; phân biệt thỏa mãn x x x x 1 2 1 2    2 . Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB, AC. 1. Chứng minh rằng BCQP là tứ giác nội tiếp. 2. Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng: MH MB MC 2  . . 3. Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) tại K (K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCQP. Chứng minh rằng ba điểm I, H, K thẳng hàng. Câu 5. Chứng minh rằng 1 ... 4        2 3 4 2014 2015 2 2 2 2 2 2 3 2013 2014 .[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 10 ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. Cho biểu thức  2 . 2 2 8 2 x x x x A x x x x                      . 1. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. Rút gọn A. 2. Cho x   1 2 3 . Tìm giá trị của biểu thức B x x x      5 4 3 2 2 3x 1942 . Câu 2. 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3x 2 0 1 0 x y y x y x y              . 2. Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số sao cho bình phương của số này là một số có hai chữ số tận cùng của nó bằng 96. Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): y x  2 và đường thẳng (d): y m   x 2 , m là tham số 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 2. Gọi A x y  1 1 ;  , B x y  2 2 ; là các giao điểm của d và (P). Tìm giá trị của m để y y 1 2 2 2  đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một điểm I thay đổi trên cạnh AB (I khác A và B). Đường thẳng qua I vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, BC lần lượt tại E và M. Đường thẳng CI cắt BE tại F. 1. Chứng minh bốn điểm B, F, I, M nằm trên một đường tròn và bốn điểm C, E, F, M cũng nằm trên đường tròn. 2. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Chứng minh rằng D, F, M thẳng hàng. 3. Đường tròn đường kính AM cắt AB và AC tại P và Q (khác A). Chứng minh rằng đường thẳng qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua điểm cố định khi I thay đổi trên AB. Câu 5. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y   3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 28 1 P x y 2 x y    [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 11 ĐỀ SỐ 11 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2016 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (2đ) 1. Rút gọn biểu thức: A x              3 8 5 1 1 x x x x x x x       2 1 2 2 : 1   2. Cho B     3 3 1007 1014048 1007 1014048 Tính giá trị của biểu thức B B 3   3 2 Câu 2. (2.5đ) 1. Giải phương trình: 3 3 3 3 3 3 1 x x x x x            2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 10 7 50 5 x xy y x y           Câu 3. (1.5đ) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) : y m x     1 2  và parabol (P) : y x  2 1. Chứng minh rằng với mọi số thực m d ,  luôn cắt P tại hai điểm phân biệt. 2. Gọi A, B là hai giao điểm của ( ) d vàP . Tìm � để diện tích của tam giác OAB bằng 3. Câu 4. (3đ) Cho đường tròn O R ;  và điểm T nằm ngoài đường tròn. Qua điểm T kẻ hai tiếp tuyến TA và TB đến O R ;  , A và B là các tiếp điểm. Trên đoạn thẳng TA lấy điểm M (M khác T và A). Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AB với MO. Đường thẳng qua E vuông góc với MO cắt đoạn thẳng TB tại N, NO cắt đoạn AB tại F. 1. Chứng minh rằng OAMF và EMNF là các tứ giác nội tiếp. 2. Khi M thay đổi trên đoạn thẳng TA, chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác MON luôn thuộc một đường thẳng cố định. 3. Chứng minh rằng MN tiếp xúc với đường tròn (O;R). Xác định vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất. Câu 5 (1đ) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c    3.Chứng minh rằng 3 1 1 1 2 a b c P bc ac ab       [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 12 ĐỀ SỐ 12 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TP.HỒ CHÍ MINH NĂM 2013 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x 2 3 3 4    2. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: x + y + z = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z P y z x z x y x y z          Câu 2: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: 2 1 9 4 4 x y y x y x y x x             Câu 3: (1,5 điểm) Cho tam giác đều ABC và M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để tam giác MDE có chu vi nhỏ nhất. Câu 4: (2 điểm) 1. Cho x, y là các số thực khác 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 x y x y y x y x    2. Cho a, b là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 3 ( ) a ab b P ab a b     Câu 5: (2 điểm) Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A,B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AB với OM, I là trung điểm của MH. Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm K (K khác A). 1. Chứng minh HK vuông góc với AI. 2. Tính số đo góc MKB. Câu 6: (1 điểm) Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình: 2015 2014 2 1 25  x y xy 2 2       [TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 13 ĐỀ SỐ 13 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TP.HỒ CHÍ MINH NĂM 2014 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Câu 1: (1,5 điểm) Cho a,b thỏa mãn điều kiện ab a b    1, 0. Tính giá trị của biểu thức: 3 3 3 4 2 2 5 1 1 1 3 1 1 6 1 1 ( ) ( ) ( ) P a b a b a b a b a b a b                            Câu 2: (2,5 điểm) 1. Giải phương trình: 2 3 3 3 x x x x 2     2. Chứng minh rằng: abc a b b c c a ( )( )( ) 7 3 3 3 3 3 3    với mọi số nguyên a,b,c. Câu 3: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt đường thẳng qua A vuông góc với BD tại F. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường thẳng trung trực của AC tại E. Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K. Tính tỉ số KE KF . Câu 4: (1 điểm) Cho 2 số dương a, b thỏa mãn điều kiện a b  1. Chứng minh rằng: 2 3 9 4 4 a a a b     Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhon nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O. Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D. Kẻ đường kính AE. Chứng minh rằng: 1. BA.BC=2BD.BE. 2. CD đi qua trung điểm đường cao AH của tam giác ABC. Câu 6: (1 điểm) Mười vận động viên tham gia cuộc thi quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với nhau đúng một trận. Người thứ nhất thắng x1trận và thua y1trận, người thứ hai thắng x2 trận và thua y2 trận, …, người thứ mười thắng x10 trận và thua y10 trận. Biết rằng trong một trận đấu quần vợt không có kết quả hòa. Chứng minh rằng: x x x y y y 1 2 10 1 2 10 2 2 2 2 2 2        ... ...[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 14 ĐỀ SỐ 14 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN ĐHQG TP. HỒ CHÍ MINH NĂM 2013 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Câu 1: Cho phương trình: x mx m m 2 2      4 2 1 0 (1) với m là tham số. 1. Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x x 1 2 ; phân biệt?Chứng minh rằng khi đó x x 1 2 ; không thể trái dấu nhau? 2. Tìm m sao cho: x x 1 2   1. Câu 2: Giải hệ phương trình sau:       2 2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 x y x x y x x y x x y z                    Câu 3: Cho x, y là hai số không âm thoả mãn: x y x y 3 3    1. Chứng minh rằng: y x   1? 2. Chứng minh rằng: x y x y 3 3 2 2    1 Câu 4: Cho M a a    2 3 1 với a là số nguyên dương. 1. Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ? 2. Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với những giá trị nào của a thì M là luỹ thừa của 5? Câu 5: Cho ABC có A ˆ  600 . Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng ID cắt EF tại K và đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N. 1. Chứng minh rằng: các tứ giác IFMK và IMAN nội tiếp? 2. Gọi J là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh 3 điểm A, K, J thẳng hàng? 3. Gọi r là bán kính của đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r và chứng minh IMN 4 S S  ( SIMN là diện tích tam giác IMN). Câu 6: Trong một kỳ thi có 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kỳ thi, người ta nhận thấy rằng với hai thí sinh bất kỳ luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giả được. Chứng minh rằng: 1. Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đểu không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải đựơc? 2. Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được?[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 15 ĐỀ SỐ 15 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2011 Môn thi: Toán (chuyên)-Thời gian: 150 phút Bài 1. (2,0 điểm) 1. Với a b   , giải phương trình a b x a b x a b 4 4 2 3 3 2 2        2 0.   2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 2 . 6            x y xy x y Bài 2. (2.0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n n 2   9 3 chia hết cho n – 11. 2. Với ba số không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: � = �2 + �2 + �2. Bài 3. (3,5 điểm) Trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N sao cho AN = R và M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BN (M không trùng với B, N). Gọi I là giao điểm của AM và BN. Đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với AB tại điểm H cắt tia AN tại điểm C. 1. Chứng minh ba điểm B, M, C thẳng hàng. 2. Xác định vị trí điểm M để chu vi tứ giác ABMN lớn nhất. 3. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O; R). 4. Gọi P là điểm chính giữa cung AB không chứa điểm N của đường tròn (O; R). Đường thẳng MP cắt AB tại điểm D. Chứng minh MD MD MA MB  không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O; R). Bài 4. (1,5 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn xyz x z    2 2 2 Bài 5. (1,0 điểm) Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 17 số mà tổng của chúng chia hết cho 27.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 16 ĐỀ SỐ 16 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2012 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1. 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n n n 5 3   5 6 chia hết cho 30. 2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn n n ( )   1 6không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 2 8 n n 2   không phải là số chính phương. Bài 2. 1. Giải hệ phương trình sau 2 2 2 2 2 1 0 4 4 4 1 0 x y x x xy y x                2. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x y z 2 2 2    2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M xy yz zx    2 . Bài 3. Cho đường tròn (O,R) và dây cung BC cố định ( 2 ) BC R  . Một điểm A di động trên đường tròn (O;R) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi AD là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. 1. Đường thẳng chứa phân giác ngoài góc �� ̂ cắt AB,AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng tam giác AMN cân. 2. Gọi E, F là hình chiếu của D lên BH, CH. Chứng minh rằng OA vuông góc với EF. 3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong góc �� ̂ tại K. Chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4. Tìm x y z Z , ,   thỏa mãn ( ) x y z xyz   1 2 )(   Bài 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R = 2 cm. Chứng minh rằng trong số 17 điểm A1, A2,..., A17 bất kì nằm trong tứ giác ABCD luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 cm.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 17 ĐỀ SỐ 17 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2013 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1. 1. Tìm các số tự nhiên n để 7 3 2013  n có chữ số hàng đơn vị là 8. 2. Cho a, b là các số tự nhiên lớn hơn 2 và p là số tự nhiên thỏa mãn: 1 1 1 2 2 p a b   Chứng minh p là hợp số Bài 2. 1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x y xy x y 2 2       3 2 2 6 8 0 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 2 4 0 3 5 4 12 0 x xy y y x y x             Bài 3. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a b ab a b     4 4 4 2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A a b a b      20 6 2013.  3 3 2 2    Bài 4. Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân. Đường tròn (O) tiếp xúc vói BC, AC, AB lần lượt tại M, N, P. Đường thẳng NP cắt BO, CO lần lượt tại E và F. 1. Chứng minh rằng OEN và OCA bằng nhau hoặc bù nhau 2. Bốn điểm B, C, E, F thuộc 1 đường tròn. 3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp OEF. Chứng minh O, M, K thẳng hàng. Bài 5. Trong mặt phẳng cho 6 điểm A A A 1 2 6 , ,..., trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 3 điểm luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671. Chứng minh rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của 1 tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 18 ĐỀ SỐ 18 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2014 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1. (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x (5 2) 2( 2 1 1) 0 3      2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 (4 1) 2 3 ( 12 ) 4 9 x y y x x y y             Bài 2. (2,5 điểm) 1. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì: 25 7 4 (3 5 ) 65 n n n n n    2. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x y xy x x 2 2      2 3 4 0 3. Tìm các cặp số tự nhiên a a a a 1 2 3 2014 ; ; ;...; thỏa mãn: 2 1 2 3 2014 2 2 2 2 3 1 2 3 2014 ... 2014 ... 2014 1 a a a a a a a a                 Bài 3. (1,5 điểm) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:          x y z Q x x yz y y zx z z xy . Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O), H là trung điểm BC, M là điểm bất kì thuộc đoạn BH (M khác B). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN = BM. Gọi I là trung điểm MN. 1. Chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn. 2. Gọi P là giao điểm OI và AB. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều. 3. Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất. Bài 5. (1 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 3 x n (3 hàng, n cột, n là số tự nhiên lớn hơn 1) được tạo bởi các ô vuông nhỏ kích thước 1 x 1. Mỗi ô vuông nhỏ được tô bởi một trong 2 màu là xanh hoặc đỏ. Tìm số n nhỏ nhất để với mọi cách tô màu như thế luôn tìm được hình chữ nhật tạo bởi các ô vuông nhỏ sao cho 4 ô vuông nhỏ ở 4 góc của hình chữ nhật cùng màu.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 19 ĐỀ SỐ 19 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2015 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1. (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x      8 3 1 0 2. Giải hệ phương trình 2 2 3 3 5 2 10 10 x y x y x y           Bài 2. (2.5 điểm) 1. Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng ( 1) n4  chia hết cho 40. 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2 1 2 ( 2) 1 2 ( 2) p x x p y y          3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x y z nx y z 3 3 3 2 2 2    . Bài 3. (1.5 điểm) Cho 3 số thực dương a b c , , thỏa mãn a b b c c a        1. Chứng minh rằng : 3 4 ab bc ca    . Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm H. Gọi Q là điểm bất kì trên cung nhỏ BC(Q khác B và C). Gọi E, F theo thứ tự là điểm đối xứng của Q qua các đường thẳng AB và AC. 1. Chứng minh MH MA MP MN . .  . 2. Chứng minh E, H, F thẳng hàng. 3. Gọi J là giao điểm của QE và AB, I là giao điểm của QF và AC. Tìm vị trí của điểm Q trên cung nhỏ BC để AB AC QJ QI        nhỏ nhất. Bài 5. (1 điểm) Chứng minh tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho : 1 0 2 3 1000     a b c[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 20 ĐỀ SỐ 20 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2016 Môn thi: Toán (chuyên)_ Thời gian: 150 phút Bài 1. (2 điểm) 1. Giải phương trình: x x x x x 4 3 2      2 2( ) 0. 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 4 2 4 0 4 4 2 4 0 x y x x xy y y              Bài 2. (2 điểm) 1. Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c abc 3 3 3    3 và abc  0. Tính 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca P a b c b c a c a b          2. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn: 2 . 9 6 16 x x y y 2 2    Bài 3. (2 điểm) 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a b c 2 2 2    3. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b b c c a         2. Cho số nguyên dương n thỏa mãn: 2 2 12 1   n2 là số nguyên. Chứng minh 2 2 12 1   n2 là số chính phương Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC  và nội tiếp đường tròn O. Các đường cao BB’ và CC’ cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm BC, tia MH cắt O tại điểm P 1. Chứng minh hai tam giác BPC’ và CPB’ đồng dạng. 2. Các đường phân giác của các góc BPC '''' và CPB '''' lần lượt cắt AB và AC tại các điểm E và F. Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF; K là giao điểm HM và AO’. a. Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp. b. Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn O '''' cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn O. Bài 5. (1 điểm) Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn. Chứng minh tồn tại hai số được viết cạnh nhau trên một đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau.[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 01 ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI 2016 Môn thi: Toán (dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Câu 1. (2,0 điểm) Vì 0 1   a nên ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a P a a a a a a                             2 1 1 1 1 2 . 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a                        1 1 1 1 1 1 2 2  1 1 2 . . 1 1 2 a a a a a a a a a a a                2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a a a . 1 a a a           . (Đpcm) Câu 2. (2,5 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):        x mx x mx 2 2 2 1 2 1 0(*) a) Thay m = 1 và phương (*) ta có: x x 2    2 1 0 . Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt là x    1 2 .[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 2 Đồ thị d cắt (P) tại 2 điểm M x y ( , ) M M và N x y ( , ) N N . Thay x vào ta có: 2 2 2 2 ( 1 2) 3 2 2 ( 1 2) 3 2 2 M M N N y x y x                   Vậy 2 điểm M ( 1 2, 3 2 2)     và N( 1 2, 3 2 2)     . b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm (*) là phương trình bậc 2 có '''' 1.( 1) 1 0        m m m 2 2 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt  (P) và d luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Gọi giao điểm của d và P là A x y B x y ( , ), ( , ) 1 1 2 2 . Theo định lý Vi-et ta có: 1 2 1 2 2 . 1 x x m x x         Vì A, B thuộc A, B thuộc (P) nên 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 4 2 2  2 2   2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 (4 2) y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x m m                        Ta có: 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 4 4 4 4 x x x x x x m x x m 1 2 1 2 1 2 1 2           . 2 2 2 2      y y m m m 1 2 4 (4 2) 1 . Nếu 0 1 2   m thì vế phải nhỏ hơn 3 5 . Nếu 1 2 m  thì vế phải lớn hơn 3 5 . Vậy 1 1 . 2 2 m m     Thử lại thỏa mãn. Câu 3. (1,5 điểm) Gọi vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu tiên đi từ A đến B là: x (km/h, x > 0). Theo bài ra ta có:[TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN] 19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học Trang | 3 Vận tốc trên 1 4 quãng đường AB sau bằng 1 2 vận tốc trên 3 4 quãng đường AB đầu là: 1 2

Trang 1

19006933 Facebook.com/THCS.Tieuhochotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học

( ) :P y x và đường thẳng d y: 2mx1với m là tham số

a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m=1

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A B, Gọi y y1, 2là tung độ của A B, Tìm m sao cho: 2 2

y y 

Câu 3 (1,5 điểm) Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120km

Vận tốc trên 3

4 quãng đường AB đầu không đổi, vân tốc trên 1

4 quãng đường AB sau bằng 1

2vận tốc trên 3

4quãng đường AB đầu Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại

A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên 3

4 quãng đường AB đầu lúc đi là 10 km/h Thời gian

kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A?

Câu 4 (3,0 điểm) Cho ba điểm A M B, , phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A B, Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB,dựng hai tam giác đều AMCvà BMD Gọi P là giao điểm của ADvà BC

a) Chứng minh AMPCvà BMPDlà các tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CP CB  DP DA AB

c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPCvà BMPDcắt

,

PA PBtương ứng tại E F, Chứng minh CDFElà hình thang

Câu 5 (1,0 điểm) Cho a b c, , là ba số thực không âm và thỏa mãn a b c  1.Chứng minh rằng: 5a 4 5b 4 5c 4 7

Trang 2

Trang | 2

ĐỀ SỐ 02

ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI 2016 Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (1,5 điểm) Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị nguyên dương với mọi giá trị

nguyên dương của n:



Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọnABAC. Kẻ đường caoAH.Đường tròn ( )O

đường kínhAHcắt các cạnh AB AC, tương ứng tại Dvà E.Đường thẳng DEcắt đường thẳngBCtại S.

d) Chứng minh BDEClà tứ giác nội tiếp

e) Chứng minh rằng 2

.

SB SCSH f) Đường thẳngSOcắt AB AC, tương ứng tạiM và N, đường thẳngDEcắt HM HN,tương ứng tạiPvà Q.Chứng minh rằng BP CQ, và AHđồng quy

Câu 5 (1,0 điểm) Giả sử mỗi điểm của một mặt phẳng được tô bởi một trong 3 màu

xanh, đỏ, vàng Chứng minh rằng tồn tại ba điểm cùng màu là ba đỉnh của một tam giác cân

Trang 3

b) Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a b  ab 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Câu 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình: 2 4

a) Giải hệ phương trình với m = 2

b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giả sử (𝑥0; 𝑦0) là một

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn, góc BAC = 60o Các đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I

a) Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp

b) Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp

Trang 4

Trang | 4

ĐỀ SỐ 04

ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2015

(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)

Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng là 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua cái

cổng hình Parabol Biết rằng khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dầy của cổng)

a) Trong mặt phẳng Oxy, gọi Parabol (P) 2

yax với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a 1

b) Hỏi xe tải có qua cổng không? Tại sao?

Câu 3: (1.5 điểm) Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a2b2 1 2(ab a b  )

Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) M là trung điểm của cạnh BC O là

tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S Gọi X,Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng BS, AO Chứng minh rằng:

a) MX BF

b) Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng

c) EF BC

FY CD

Câu 5: (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm

nguyên (một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là các

số nguyên) Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên

Trang 5

Trang | 5

ĐỀ SỐ 05

ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN KHTN ĐHQG HÀ NỘI NĂM 2016

Môn thi: Toán (dành cho tất cả các thí sinh)

Câu III (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC Phân

giác của BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại E khác A M là trung điểm của đoạn thẳng AD

Đường thẳng BM cắt (O) tại P khác B Giả sử các đường thẳng EP và AC cắt nhau tại N

1) Chứng minh tứ giác APNM nội tiếp và N là trung điểm của đoan thẳng AC

2) Giả sử đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác EMN cắt đường thẳng AC tại Q khác

N Chứng minh rằng B và Q đối xứng nhau qua AE

3) Giả sử (K) cắt đường thẳng BM tại R khác M Chứng minh rằng RA RC

Câu IV (1 điểm)

Số nguyên a được gọi là “đẹp” nếu với mọi cách sắp xếp theo thứ tự tùy ý của

100 số 1, 2, , 100 luôn tồn tồn tại 10 số hạng liên tiếp có tổng lớn hơn hoặc bằng a Tìm

số “đẹp” lớn nhất

Trang 6

Trang | 6

ĐỀ SỐ 06

Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh chuyên Toán - Tin)

Câu III (3 điểm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) P là điểm thuộc

cung nhỏ AD của đường tròn (O) và P khác A, D Các đường thẳng PB, PC lần lượt cắt đường thẳng AD tại M, N Đường trung trực của AM cắt các đường thẳng AC, PB lần lượt tại E, K Đường trung trực của DN cắt các đường thẳng BD, PC lần lượt tại F, L 1) Chứng minh ba điểm K, O, L thẳng hàng

2) Chứng minh đường thẳng PO đi qua trung điểm EF

3) Giả sử đường thẳng EK cắt đường thẳng BD tại S, các đường thẳng FL và AC cắt nhau tại T, đường thẳng ST cắt các đường thẳng PC, PB lần lượt tại U, V Chứng minh rằng bốn điểm K, L, U, V cùng thuộc một đường tròn

Trang 7

Trang | 7

ĐỀ SỐ 07

Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh – 120 phút)

Câu I (3 điểm)

1) Giả sử a, b là hai số thực phân biệt thỏa mãn: 2 2

a  ab  ba) Chứng minh rằng a + b = -3

Câu II (3 điểm)

1) Tìm các số nguyên x, y không nhỏ hơn 2 sao cho xy – 1 chia hết cho (x – 1)(y – 1) 2) Với x, y thỏa mãn 2 2

Câu III (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là I Đường thẳng AI cắt

BC tại D Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC, IB

1) Chứng minh rằng EF song song với BC

2) Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE, DF, EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A Chứng minh bốn điểm M, P, N, J cùng thuộc một đường tròn

3) Chứng minh ba điểm A, J, P thẳng hàng

1) Cho bảng ô vuông 2015 x 2015 Kí hiệu ô (i;j) là ô ở hàng thứ i, cột thứ j ta viết các

số nguyên dương từ 1 đến 2015 vào các ô của bảng theo quy tắc:

i) Số 1 được viết vào ô (1;1)

ii) Nếu số k được viết vào ô (i; j), (i > 1) thì số k + 1 được

viết vào ô (i – 1; j + 1)

iii) Nếu số k được viết vào ô (i; j) thì số k + 1 được viết vào

ô (j + 1, 1) (xem hình)

Khi đó, số 2015 được viết vào ô (m, n) Hãy xác định m và n

2) Giả sử a, b, c là các sô thực dương thỏa mãn:

Trang 8

Trang | 8

ĐỀ SỐ 08

Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh chuyên Toán - Tin)

Thời gian: 150 phút Câu I (3 điểm)

Câu II (3 điểm)

1) Tìm số tự nhiên n để n + 5 và n + 30 đều là các số chính phương

Câu III (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC không cân (AB < AC) Gọi M là trung điểm đoạn BC Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đoạn AM Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho

Kí hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt trên mặt phẳng Giả sử tất cả các điểm của

S không cùng nằm trên một đường thẳng Chứng minh rằng ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S

Trang 9

Trang | 9

ĐỀ SỐ 09

ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2014 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)

Câu 1 Cho biểu thức: 2 4 2 1 : 3 1 2

Câu 4 Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao AH

của tam giác ABC Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB,

AC

1 Chứng minh rằng BCQP là tứ giác nội tiếp

2 Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M Chứng minh rằng: 2

Trang 10

Trang | 10

ĐỀ SỐ 10

ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NGỮ NĂM 2015 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)

Câu 1 Cho biểu thức  2

1 Tìm điều kiện của x để A có nghĩa Rút gọn A

2 Cho x 1 32 Tìm giá trị của biểu thức Bx52x4x33x21942

Câu 4 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Một điểm I thay đổi trên cạnh AB (I khác A

và B) Đường thẳng qua I vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, BC lần lượt tại E

và M Đường thẳng CI cắt BE tại F

1 Chứng minh bốn điểm B, F, I, M nằm trên một đường tròn và bốn điểm C, E, F, M cũng nằm trên đường tròn

2 Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC Chứng minh rằng D, F, M thẳng hàng

3 Đường tròn đường kính AM cắt AB và AC tại P và Q (khác A) Chứng minh rằng đường thẳng qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua điểm cố định khi I thay đổi trên

Trang 11

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) : ym1x2 và parabol (P) : yx2

1 Chứng minh rằng với mọi số thực m d, luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt

2 Gọi A, B là hai giao điểm của ( )d và P Tìm 𝑚 để diện tích của tam giác OAB bằng 3

Câu 4 (3đ)

Cho đường tròn O R; và điểm T nằm ngoài đường tròn Qua điểm T kẻ hai tiếp tuyến

TA và TB đến O R; , A và B là các tiếp điểm Trên đoạn thẳng TA lấy điểm M (M khác

T và A) Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AB với MO Đường thẳng qua E vuông góc với MO cắt đoạn thẳng TB tại N, NO cắt đoạn AB tại F

1 Chứng minh rằng OAMF và EMNF là các tứ giác nội tiếp

2 Khi M thay đổi trên đoạn thẳng TA, chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác MON luôn thuộc một đường thẳng cố định

3 Chứng minh rằng MN tiếp xúc với đường tròn (O;R) Xác định vị trí của điểm M

Trang 12

Trang | 12

ĐỀ SỐ 12

ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TP.HỒ CHÍ MINH NĂM 2013

Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút

1 Chứng minh HK vuông góc với AI

2 Tính số đo góc MKB

Câu 6: (1 điểm)

Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình:  2 2  

2015 x y  2014 2xy  1 25

Trang 13

Trang | 13

ĐỀ SỐ 13

ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN TP.HỒ CHÍ MINH NĂM 2014

Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút

Cho hình bình hành ABCD Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt đường thẳng qua

A vuông góc với BD tại F Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường thẳng trung

trực của AC tại E Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K Tính tỉ số KE

x x  x  y y  y

Trang 14

Trang | 14

ĐỀ SỐ 14

ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN ĐHQG TP HỒ CHÍ MINH NĂM 2013

Môn thi: Toán (chuyên)

Câu 4: Cho M a23a1 với a là số nguyên dương

1 Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ?

2 Tìm a sao cho M chia hết cho 5 Với những giá trị nào của a thì M là luỹ thừa của 5?

Câu 5: Cho ABC có Aˆ 60 0 Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với

các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Đường thẳng ID cắt EF tại K và đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N

1 Chứng minh rằng: các tứ giác IFMK và IMAN nội tiếp?

2 Gọi J là trung điểm của cạnh BC Chứng minh 3 điểm A, K, J thẳng hàng?

3 Gọi r là bán kính của đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF Tính S theo r

và chứng minh

4

IMN

S

S  (S IMN là diện tích tam giác IMN)

Câu 6: Trong một kỳ thi có 60 thí sinh phải giải 3 bài toán Khi kết thúc kỳ thi, người ta

nhận thấy rằng với hai thí sinh bất kỳ luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giả được

Trang 15

Trang | 15

ĐỀ SỐ 15

ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2011

Môn thi: Toán (chuyên)-Thời gian: 150 phút

2 Xác định vị trí điểm M để chu vi tứ giác ABMN lớn nhất

3 Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH luôn thuộc một đường

thẳng cố định khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O; R)

4 Gọi P là điểm chính giữa cung AB không chứa điểm N của đường tròn (O; R)

Đường thẳng MP cắt AB tại điểm D Chứng minh MD MD

MA MB không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O; R)

Bài 4 (1,5 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn

Trang 16

Trang | 16

ĐỀ SỐ 16

Cho đường tròn (O,R) và dây cung BC cố định (BC 2 )R Một điểm A di động trên

đường tròn (O;R) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn Gọi AD là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC

1 Đường thẳng chứa phân giác ngoài góc 𝐵𝐻𝐶̂ cắt AB,AC lần lượt tại M và N

Chứng minh rằng tam giác AMN cân

2 Gọi E, F là hình chiếu của D lên BH, CH Chứng minh rằng OA vuông góc với

EF

3 Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong góc 𝐵𝐴𝐶 ̂ tại K Chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định

Bài 4 Tìmx y z, , Z thỏa mãn (x 1 )(y z) xyz 2

Bài 5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R = 2 cm Chứng minh

rằng trong số 17 điểm A1, A2, , A17 bất kì nằm trong tứ giác ABCD luôn tìm được 2

điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 cm

Trang 17

Trang | 17

ĐỀ SỐ 17

 3 3  2 2

A a b  a b 

Bài 4 Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân Đường tròn (O) tiếp xúc vói BC,

AC, AB lần lượt tại M, N, P Đường thẳng NP cắt BO, CO lần lượt tại E và F

1 Chứng minh rằng OEN và OCA bằng nhau hoặc bù nhau

2 Bốn điểm B, C, E, F thuộc 1 đường tròn

3 Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp OEF Chứng minh O, M, K thẳng hàng

Bài 5 Trong mặt phẳng cho 6 điểm A A1, 2, ,A6 trong đó không có 3 điểm nào thẳng

hàng và trong 3 điểm luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671 Chứng minh rằng

trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của 1 tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013

Trang 18

Trang | 18

ĐỀ SỐ 18

Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O), H là trung điểm BC, M là điểm bất

kì thuộc đoạn BH (M khác B) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN = BM Gọi

I là trung điểm MN

1 Chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn

2 Gọi P là giao điểm OI và AB Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều

3 Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất

Bài 5 (1 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 3 x n (3 hàng, n cột, n là số tự nhiên lớn

hơn 1) được tạo bởi các ô vuông nhỏ kích thước 1 x 1 Mỗi ô vuông nhỏ được tô bởi một trong 2 màu là xanh hoặc đỏ Tìm số n nhỏ nhất để với mọi cách tô màu như thế luôn tìm được hình chữ nhật tạo bởi các ô vuông nhỏ sao cho 4 ô vuông nhỏ ở 4 góc của hình chữ nhật cùng màu

Trang 19

Trang | 19

ĐỀ SỐ 19

Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Các đường

cao AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm H Gọi Q là điểm bất kì trên cung nhỏ BC(Q khác B và C) Gọi E, F theo thứ tự là điểm đối xứng của Q qua các đường

thẳng AB và AC

1 Chứng minh MH MA MP MN

2 Chứng minh E, H, F thẳng hàng

3 Gọi J là giao điểm của QE và AB, I là giao điểm của QF và AC Tìm vị trí của

điểm Q trên cung nhỏ BC để AB AC

Trang 20

Trang | 20

ĐỀ SỐ 20

Môn thi: Toán (chuyên)_ Thời gian: 150 phút Bài 1 (2 điểm)

1 Chứng minh hai tam giác BPC’ và CPB’ đồng dạng

2 Các đường phân giác của các góc BPC'và CPB'lần lượt cắt AB và AC tại các điểm E và F Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF; K là giao điểm

HM và AO’

a Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp

b Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn  O' cắt nhau tại một

điểm nằm trên đường tròn  O

Bài 5 (1 điểm)

Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn Chứng minh tồn tại hai

số được viết cạnh nhau trên một đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau

Trang 21

Trang 22

'm   1.( 1) m   1 0 m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

(P) và d luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

Gọi giao điểm của d và P làA x y( ,1 1), ( ,B x y2 2) Theo định lý Vi-et ta có: 1 2

Trang 23

Vận tốc khi người đó đi từ B về A lớn hơn vận tốc trên 3

4 quãng đường AB đầu lúc đi là

10 km/h là: x + 10 (km/h)

Từ đây ta có:

Thời gian đi trên 3

4 quãng đường AB đầu tiên đi từ A đến B là: 90

x (giờ)

Thời gian đi trên 1

4 quãng đường AB sau là: 30 60

12

x x

 (giờ)

Thời gian nghỉ tại B là 30 phút = 0,5 (giờ)

Thời gian đi từ B về A là: 120

Trang 24

Chứng minh tương tự tứ giác BMPD nội tiếp

Cách 2 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác (AMC) và (BMD) cắt nhau tại P’

Trang 25

Trang | 5

Vì tứ giác AMPC nội tiếp nên AMCAPC CAM 60o

Xét CAPvà CBAcó ACPchung ; APC CAM

Ta có EF là đường nối tâm của 2 đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPC và BMPC có PM

là dây chung EF là trung trực PM EP EM

Trang 26

Ta cần tìm hai số m, n sao cho 5a 4 man

Thay dấu bằng tại a = 0; a = 1 vào ta có 2

n m

Vậy 5a  4 5b  4 5c              4 2 a 2 b 2 c 6 (a b c) 6 1 7

Dấu “=” xảy ra khi (a,b,c) là hoán vị của bộ (1,0,0)

Cách 2: Mục tiêu làm xuất hiện tổng a+b+c trong căn để đánh giá Vì thế ta xuất phát từ

Trang 27

a) Trước tiên ta chứng minh 2 2

(x xyy )chia hết cho 5 khi và chỉ khi x và y cùng chia hết cho 5 Thật vậy:

Nếu x và y cùng chia hết cho 5 thì hiển nhiên(x2xyy2) 5

(x xyy ) 5(x y ) 5

Xét số dư của 3

x cho 5 với x có dạng5 , 5k k 1, 5k 2, 5k 3, 5k 4 (kN)ta được các

dư tương ứng là 0, 1, 3, 2, 4 đôi một khác nhau nên

Vậy nhận xét được chứng minh

Quay trở lại bài toán 3 3 2 2

Trang 28

( 1 1)( 1 1)

y x

 và S(đpcm)

Câu 4 (3,0 điểm)

Trang 29

 là tứ giác nội tiếp (Tổng 2 góc đối bằng 180o) (đpcm)

b) Ta có O là tâm đường tròn đường kính AH nên O là trung điểm AH

Vì AH vuông góc với SH tại H nên SH là tiếp tuyến của đường tròn tâm O Khi đó

SHDDEH(góc giữa tiếp tuyến với dây cung và góc nôi tiếp cùng chắn cung DH ) Xét: SDHvà SHEcó DSHchung và SHDDEHnên SDH SHE g g( )

c) Gọi K là giao điểm của BP và CQ

Áp dụng định lý Menelauyt cho các tam giác ta có:

Trang 30

Trang | 10

Áp dụng Menelauyt đảo vào BPM với 3 điểm A, K, H ta được A, K, H thẳng hàng

(đpcm)

Câu 5 (1,0 điểm)

Giả sử không tồn tại tam giác cân nào có 3 điểm cùng màu

Dễ thấy trên mặt phẳng tồn tại ít nhất 2 điểm cùng màu Giả sử là 2 điểm A, B màu xanh Dựng tam giác ABC đều thì C không thể màu xanh nên không mất tính tổng quát ta giả

sử rằng C màu đỏ Dựng đường tròn tâm C đi qua A, B như sau:

Trên đường tròn xét 4 điểm X, Y, Z, T là điểm chính giữa cung nhỏ, cung lớn AB và

điểm chính giữa 2 cung XY

Dễ thấy các tam giác ABX, ABY, ABZ, ABT đều là những tam giác cân Do đó X, Y, Z,

T đều không thể có màu xanh Mặt khác nếu trong 4 điểm đó có 2 điểm màu đỏ thì cùng với C tạo thành tam giác cân, vô lý Vậy nhiều nhất chỉ có 1 điểm màu đỏ và điểm còn lại

là ít nhất 3 điểm vàng 3 điểm đó tạo thành tam giác cân, trái với giả sử Vậy điều giả sử

là sai, ta có điều phải chứng minh

Trang 31

Vì m2 + 1 khác 0 với mọi m nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất

Vì (x0; y0) là nghiệm của phương trình nên

Trang 32

a) Ta chứng minh được: B IC1 1BIC120o BACB IC1 1180o

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác AB1IC1 nội tiếp (đpcm)

b) Tứ giác BC1IK nội tiếp nên BIC1BKC160o(góc nội tiếp cùng chắn cung BC1) và

1

BIK BC K(góc nội tiếp cùng chắn cung BK)

Xét tam giác ABC: KCB1180o BACABC180o60oABC120oABC

Xét tam giác BC1K: BIKBC K1 180oBKC1ABC180o60oABC120oABC Suy ra KCB1 BIK  Tứ giác CKIB1 nội tiếp (đpcm)

c) Vì BIC1BAC60o Tứ giác ACKC1 nội tiếpKAC1 KCC1(cùng chắn cung KC1)

và

AKC ACC (cùng chắn cung AC1) Mà ACC1KCC1(giả thiết)

Trang 33

Trang | 13

Suy ra KAC1 AKC1Tam giác C1AK cân tại C1 C1A=C1K (1)

Chứng minh tương tự: B1A=B1K (2)

Từ (1) và (2) suy ra B1C1 là đường trung trực của AK nên AK B C1 1

Câu 5: (1 điểm)

Phân tích:

Cả đề không xuất hiện câu Bất đẳng thức, và để bài cho a, b không âm nên 90%

sử dụng phương pháp đánh giá để tìm a, b Cụ thể ta sẽ chứng minh 𝑉𝑇 ≥ 𝑉𝑃, từ đó phải xảy ra dấu bằng

VT có bậc trong ngoặc là 2, VP có bậc là 1 nên ta tìm cách hạ bậc VT

Dự đoán điểm rơi: 1

Trang 34

Trang | 14

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 2015

(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)

Trang 35

b) Thay x = 1,2 ta có |y| = 1,44 Khoảng cách còn lại là 4-1,44 = 2,56 (m)

Vậy xe tải đi qua được cổng

Trang 36

Trang | 16

90o

BFCBEC Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

 ACBXFBFBX (góc trong bằng góc ngoài đối diện, cùng chắn cung AB)

Tam giác BXF cân tại XXF = XB

Mặt khác M là trung điểm của BC nên FM là trung tuyến suy ra FM = MB

Vậy XM là trung trực BF hay MX BF(đpcm)

b) AFC ADC90o Tứ giác ACDF nội tiếp đường tròn đường kính AC

Xét hai tam giác FHD và tam giác XMS có:

Vậy hai tam giác SMX và DHF đồng dạng (đpcm)

c) Dễ thấy hai tam giác AEF và ABC đồng dạng  EF AF

BC  AC(1) Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)Ax AO xAC,  ABC(cùng chắn cung AC)

Mặt khác tứ giác EFBC nội tiếpFEA ABCxAC FE/ /AxFEAOtại Y

Xét hai tam giác AYF và ADC có:AYFADC90o, AFY ACD(tứ giác BFEC nội tiếp)

Tam giác AYF đồng dạng với tam giác ADC FY AF

CD  AC(2)

Từ (1) và (2) ta có EF BC

FY CD(đpcm)

Câu 5: (1 điểm)

Trang 37

Trang 38

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (1; 1)

2) Giải phương trình : Điều kiện 2

x 57

Trang 39

5



x4

 không là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là 3

Bài này nhiều học sinh không thử lại sẽ kết luận có ba nghiệm x Do phép biến đổi là suy

ra, nên sẽ xuất hiện nghiệm ngoại lai, khi giải xong ta cần thử lại

Trang 40

 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) nguyên

2) Dễ dàng dự đoán được Max P đạt được khi 2 1

x y xy y PMAX 22 Xét y 0 x 0 P 0

Xét y 0, từ giả thiết dễ thấy 3

2

Từ đó suy ra: (2x 3)(y 2) 0 2xy 4x 3y 6

Kết hợp với giả thiết, suy ra:2x y 4x 3y 6 x y 3

Công việc còn lại của ta là giải quyết bài toán gốc đối xứng sau:

Định dạng
Số trang	109
Dung lượng	2,97 MB
File đính kèm	pdfjoiner (3).rar (2 MB)