skkn một số vấn đề về phương trình đường tròn trong mặt phẳng

Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Người thực hiện: Nguyễn Thị Thu Phương Lĩnh vực nghiên cứu: Toán 10 - Phương pháp d

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thu Phương

Lĩnh vực nghiên cứu: Toán 10

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: 

(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2015- 2016

BM 01-Bia SKKN

2

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

––––––––––––––––––

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Thị Thu Phương

2 Ngày tháng năm sinh: 16/10/1987

8 Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy môn Toán

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Hưng

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân

- Năm nhận bằng: 2011

- Chuyên ngành đào tạo: Giảng dạy môn Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: 5 năm

Số năm có kinh nghiệm: 5 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

BM02-LLKHSKKN

3

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh

hệ thống kiến thức, kỹ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ

Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, đặc biệt là những trường vùng nông thôn như trường THPT Xuân Hưng thì chất lượng học tập môn Toán của học sinh còn thấp, hầu hết các em sợ học môn Toán

Qua 5 năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 10 khi học bài phương trình đường tròn, đặc biệt là phần bài tập v phương trình đường tròn thì các em rất khó tiếp thu và áp dụng Mà bài tập v phương trình đường tròn lại luôn có mặt trong các đ thi học kì, đ thi THPT quốc gia Vì vậy để gi p học sinh khối 10 học tốt phần bài tập phương trình đường tròn tôi đã chọn đ tài ‘‘Một số vấn đ v phương trình đường tròn trong mặt ph ng

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Dựa trên những kiến thức đã được học v phương trình đường tròn trong mặt

ph ng Từ đó hướng dẫn các em vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải bài tập Thông qua các ví dụ đưa ra gi p các em cũng cố lý thuyết và biết vận dụng vào giải một số bài tập tương tự

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Chuyển thể từ kiến thức phức tạp thành thực hành đơn giản, dễ hiểu Giáo viên đưa li u lượng kiến thức vừa phải, thích hợp với năng lực và đi u kiện của học sinh

Giáo viên luôn tạo một môi trường thân thiện giữa thầy và trò Luôn cho học sinh một cảm giác gần gũi, dạy thật, học thật ngay từ đầu Dạy theo đi u kiện thực

tế không quá áp đặt chủ quan

Đưa ra những vấn đ liên quan đến phương trình đường tròn trong mặt

ph ng:

Vấn đề 1: Nhận dạng phương trình đường tròn tìm đi u kiện để một phương trình

là phương trình đường tròn

Vấn đề 2: Lập phương trình đường tròn

Vấn đề 3: Sự tương giao giữa đường th ng và đường tròn

Vấn đề 4: Sự tương giao giữa hai đường tròn

4

Vấn đề 5: Các bài toán liên quan đến họ đường tròn

Vấn đề 6: Một số cách lập khác của phương trình đường tròn

Từ những vấn đ trên mỗi vấn đ đưa ra phương pháp giải một số dạng bài toán cụ thể, một số ví dụ áp dụng từ đơn giản đến phức tạp hơn Sau khi các em đã biết được lý thuyết và ví dụ thì áp dụng giải một số bài tập tương tự

Giải:

a) (1) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0, với a = -1, b = 2, c = 9

Ta có : a2 + b2 - c = (-1)2 + 22 - 9 = -4 < 0

Vậy (1) không phải là phương trình đường tròn

b) (2) có dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với a = 3, b = -2, c = 13

Ta có : a2 + b2 - c = 32 + (-2)2 - 13 = 0

Vậy (2) không phải là phương trình đường tròn

c) (3) có dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0, với a = -2, b = 3 và c = -12

b) Nếu (1) là phương trình đường tròn thì hãy tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn đó theo m

a) Với giá trị nào của m thì (2) là phương trình đường tròn

b) Nếu (2) là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn này

7

* Tìm bán kính của đường tròn (C)

* Viết phương trình (C) theo dạng: (x - a)2 + (y - b2) = R2

Cách 2:

* Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0

* Từ đi u kiện của đ bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a, b, c

Giải hệ phương trình tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C)

Chú ý: Đường tròn (C) đi qua A, B  IA2 = IB2 = R2

Trong dạng này có một bài toán rất hay gặp “viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bài toán này cũng chính là bài toán viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C không th ng hàng cho trước Ta thường giải bài toán này theo cách 2

Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(2; -3) và đi qua M(-2; 3)

b) (C) có đường kính AB với A(1 1) và B(7 5)

Giải:

a) Ta có: IM = (-2 - 2)2 + (3 + 3)2 = 52

Vậy phương trình của (C) là: (x - 2)2

+ (y + 3)2 = 52 b) Tâm của (C) là trung điểm của AB

c = - 20

Vậy phương trình đường tròn có dạng: x2

+ y2 + 4x + y -20 = 0

8

D ng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp x c với đường th ng:

Chú ý:

* Đường tròn (C) tiếp x c với đường th ng  d(I, ) = R

* Đường tròn (C) đi qua A và tiếp x c với đường th ng  tại A

+ (y - 1)2 = 1 hoặc (x - 1)2 + (y - 1)2 = 25

Ví dụ 7: Cho hai đường th ng 1: 4x - 3y + 1 = 0 và 2: 3x + 4y - 4 = 0

Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường th ng : x - y - 1 = 0 và tiếp xúc với 1 và 2

6a = 6 8a = - 4 





a = 1

a = -12

Với a = 1  I(2;1) và R = 6

5 phương trình đường tròn: (x - 2)2

+ (y - 1)2 = 36

25 Với a = -1

2 + 

2 = 81

Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn của (C) tiếp x c với trục hoành tại điểm

A(2 0) và đi qua B(5 1)

10

Giải:

Đường tròn (C) tiếp x c với x tại A(6 0) nên a = 6, | |b = Khi đó:

Đường tròn (C) có tâm (a b), bán kính có phương trình:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2 (1) (1)  (x - 6)2 + (y - b)2 = b2

B(5;1)  (C)  (5 - 2)2 + (1 - b)2 = b2 2b = 10  b = 5  R = 5

Phương trình của (C) là: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25

D ng 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Cách 1:

* Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác

* Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm

* Tính khoảng cách từ tâm đến 1 trong 3 cạnh của tam giác ta được đường tròn nội tiếp

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 2x + y - 5 = 0

BC: x + 2y + 2 = 0; AC: 2x - y + = 0 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

11

Ta có: (-1 + 7 - 1).(-4 + 1 - 1) = -20 < 0

 A, C nằm v hai phía của ( )  đường phân giác trong của góc B là ( )

Gọi , là tâm và bán kính của (C) nội tiếp ABC

 Toạ độ là nghiệm của hệ

Ví dụ 11: Cho ba điểm (0 0), A(8 0) và B(0 6)

a) Viết phương trình ngoại tiếp OAB

b) Viết phương trình nội tiếp OAB

2.8.6 = 24 Cạnh huy n AB = (8 - 0)2

+ (0 - 6)2 = 10 Nửa chu vi: p = 12  r = s

p = 2

Vì đường tròn tiếp x c với hai trục toạ độ (a a) = (2 2)

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp OAB là: (x - 2)2 + (y - 2)2 = 41

2 Một số bài tập ứng dụng

Bài 1) Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm (1 2) và đi qua N(0 -1)

b) (C) có đường kính AB với A(1 ; -1) ; B(5 ; 7)

c) (C) có tâm (-1 1) tiếp x c với đường th ng : 3x + 4y - 1 = 0

Bài 2) Cho ba điểm A(1 ;4), B(-7 ; 4), C(2;5)

a) Lập phương trình đường tròn của (C) ngoại tiếp ABC

b) Tìm tâm và bán kính (C)

Bài 3) Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(-1;2), B(-2 3) và có tâm nằm trên

đường th ng : x + y - 3 = 0

12

trình đường tròn có tâm nằm trên đường th ng d : -2x + y - 1 = 0 tiếp với 1 và 2

Bài 5) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp x c với các trục toạ độ và đi qua

B(9 ;9)

Bài 6) Lập phương trình của đường tròn (C) tiếp x c với đường th ng:

4x - 3y - 1 = 0 tại A(1 1) và đi qua B(3 ;2)

Bài 7) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp x c với đường th ng : 4x - 3y - 1 = 0

tại A(1 1) và đi qua B( ;9)

Bài 8) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết đường th ng

AB là : -x + y - 2 =0 Phương trình BC : -x + y + 2 = 0 và phương trình AC là x + y

- 8 = 0

AB : 3x + y - 6 = 0, phương trình cạnh AC: 4x + 3y - 1 = 0, phương trình cạnh

BC : y = 0

= 0 tại A( 5) và đi qua B(-3 ; -2)

VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Để xét vị trí tương đối của đường th ng và đường tròn ta có hai cách

Cách 1: Xét số giao điểm của  và (C) Số giao điểm của  và (C) là số nghiệm của hệ phương trình:





Ax + By + C = 0

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (*) Nếu hệ (*) vô nghiệm thì  và (C) không có điểm chung  không cắt (C)

Nếu hệ (*) có nghiệm duy nhất thì  và (C) có một điểm chung   tiếp x c với đường tròn

Nếu hệ (*) có hai nghiệm phân biệt thì  và (C) có hai giao điểm   cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt

Cách 2: So sánh khoảng cách từ tâm đến  với bán kính

Bước 1: Tìm toạ độ tâm (a b) và bán kính

Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm đến  m = d(I,) = Ax + By + C

A2 + B2

+ y2 + 2x - 4y - 8 = 0 và đường th ng d: x - 5y - 2 = 0

a) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C)

b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d

Với y = -1 thay vào (1) : x = -3

Vậy giao điểm của (C) và (d) là A(2 ;0) , B(-3 ;-1)

Ví dụ 13: Biện luận theo m vị trí tương đối của:

m có hai điểm chung (C)

Trường hợp 2: |m + 2|

1 + m2 = 2  (m + 2)2 = 4(1 + m2)  3m2 - 4m = 0

b) Viết phương trình đường th ng d đi qua M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho đoạn AB ngắn nhất

Vậy phương trình : x -1 +1(y + 2) = 0  x + y + 1 = 0

b) Gọi H là trung điểm của AB thì H  AB, AB = 2AH = 2 R2 - IH2

Do đó ABmin IHmax

Ta luôn có : IH  IM Vậy IHmax H  M, tức là 

IM = (1;-1) là một vectơ pháp tuyến của đường th ng d cần tìm Từ đó suy ra phương trình của d là:

1(x -2) - 1(y + 3) = 0  x - y -5 = 0

D ng 2 : Vi t phương t nh ti p tuy n với đư ng t n:

Cho đường tròn (C) có tâm I(a ;b), bán kính R

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm

M0(x0 ;y0)  (C)

Giải:

Gọi  là tiếp tuyến với đường tròn (C)

15

Ta có : M0 và vec tơ 

IM0 = (x0 - a ; y0 - b) là vec tơ pháp tuyến của 

Do đó  có phương trình là: (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0 (1)

Bài toán 2 : Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn k từ điểm M(x y) không

thuộc đường tròn

Cách 1:

TH 1: Xét đường tròn  đi qua M và vuông góc với x Khi đó  có phương trình

là x = x0

 là tiếp tuyến của đường tròn  d(I ;) = Từ đ ng thức này sẽ suy ra được 

có phải là tiếp tuyến của đường tròn hay không

TH2 : Xét đường th ng  đi qua M và có hệ số góc k Phương trình của  có dạng :

 là tiếp tuyến với đường tròn (C)  d(I,) = R (*)

Từ đi u kiện (*) tìm mối liên hệ giữa a và b Vì a và b không đồng thời bằng không nên có thể chọn a một giá trị thích hợp rồi suy ra b hoặc ngược lại

Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến có hệ số

góc là k

Giải:

- Phương trình đường th ng  có hệ số góc k có dạng y = kx + m

-  tiếp x c (C)  d(I,) = Giải tìm đi u kiện ta tìm được m

Chú ý: Nếu tiếp tuyến  song song với đường th ng ax + by + c = 0 thì phương trình  sẽ có dạng : ax + by + c’ = 0 ( c ≠ c’)

Nếu tiếp tuyến  vuông góc với đường th ng ax + by + c = 0 thì phương trình  sẽ có dạng : bx - ay + c’ = 0

Ví dụ 15 : Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C):

(x + 2)2 + (y - 1)2 = 25, tại điểm M0(2 ) thuộc đường tròn (C)

Giải:

(C) có tâm I(-2 1) Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0(2 ) có dạng:

(x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0

 (2 + 2)(x - 2) + (4 - 1)(y - 4) = 0

16

 4x + 3y - 20 = 0

+ y2 - 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1 ;3) a) Chứng minh rằng A ở ngoài đường tròn

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) k từ A

Giải:

a) Đường tròn (C) có tâm I(3;-1), bán kính R = 2

IA = (1-3)2 + (3 + 1)2 = 2 5 5 suy ra A nằm ngoài (C)

b) Cách 1:

Đường th ng  đi qua A có phương trình:

a(x -1) + b(y - 3) = 0 hay ax + by - a -3b = 0 (a2 + b2 ≠ 0)

+ 1  k2 + 4k + 4 = k2 + 1  k = -3

4

Ta được tiếp tuyến thứ hai 2: y = -3

4(x - 1) hay 3x + 4 y - 15 = 0

17

+ y2 - 4x + 8y - 5 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến  của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a)  vuông góc với đường th ng d : 3x - 4y + 5 = 0

b)  song song với đường th ng d : x + y - 1 = 0

Giải:

Đường tròn (C) có tâm (2 ;-4), bán kính R = 5

a) Phương trình của đường th ng  vuông góc với d có dạng : 4x + 3y + m = 0

 tiếp x c với (C)  d(I,) = R |4.2 + 3.(-4) + m|

b)  song song với đường th ng có dạng : x + y + m = 0 (m ≠ -1)

 tiếp x c với (C)  d(I,) = R |1.2 + 1.(-4) + m|

+ y2 - 4x - 6y - 3 = 0 a) Viết phương trình đường th ng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn th ng AB

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = 1

Một số bài tập áp dụng:

d: x - 2y + 1 = 0

a) Tìm tâm và bán kính của (C)

b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d

Bài 2) Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - x + 2y - = 0 và đường th ng m : mx - y +

1 = 0 Biện luận theo m vị trí tương đối của (C) và m

 vuông góc với đường th ng d : 3x - y + 20 = 0 và cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB = 6

: x + my - 2m + 3 = 0 Tìm m để  cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác AB lớn nhất

trình tiếp tuyến của (C) k từ M

 của (C) trong các trường hợp sau:

a)  tiếp x c với (C) tại M(2 ;1)

b)  vuông góc với đường th ng d : 3x - 4y + 1 = 0

c)  song song với đường th ng d : 2x + 3y - 4 = 0

Bài 7) Cho đường tròn (C) :(x - 1)2 + (y + 2)2 = Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có hệ số góc k = 3

Bài 8) Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x - 6y + 6 = 0 Gọi T1, T2 là các điểm k từ các tiếp tuyến của (C) đi qua M(-3 1) Viết phương trình đường th ng qua T1, T2

VẤN ĐỀ 4 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

D ng 1 : Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho Hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 2a1x - 2b1y + c1 = 0 (C2): x2 + y2 - 2a1x - 2b1y + c1 = 0

Để xét vị trí tương đối của (C1) và (C2) ta có hai phương pháp sau :

* Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì (C1) và (C2) có hai điểm chung

* Nếu hệ có vô số nghiệm thì (C1) trùng (C2)

* Nếu d = |R1 - R2| thì (C1) và (C2) tiếp x c trong

* Nếu d > R1 + R2 thì (C1) và (C2) ngoài nhau

* d < |R1 - R2| thì (C1) và (C2) chứa trong nhau

Ta thấy: |R1 - R2| < I1I2 < |R1 + R2| hai đường tròn cắt nhau

D ng 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:

Để viết tiếp tuyến chung  của hai đường tròn ta làm như sau:

Kiểm tra xem đường th ng có dạng x = m có phải là tiếp tuyến chung của hai đường tròn không

Xét : y = ax + b Đường th ng  là tiếp tuyến chung của hai đường tròn khoảng cách từ 1 đến 1 bằng 1 và khoảng cách từ 2 đến 2 = R2