on thi thptgq toan 2017

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x + 3 2x − 1 biết tiếp tuyến song song với đườngphân giác góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ.. CĐ-2010 Cho hình chóp S.ABCD có đ

Mục lục

Chuyên đề 1 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số 5

§1 Các Phép Toán Trên Tập Con Của R 5

§2 Đa Thức 7

§3 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số 8

§4 Cực Trị Của Hàm Số 9

§5 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số 11

§6 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số 12

§7 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số 13

Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số 15

§1 Phương Pháp Tam Thức Bậc Hai 15

§2 Phương Pháp Hàm Số 16

§3 Cực Trị Của Hàm Số 16

§4 Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị 17

§5 Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số 19

§6 Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị 20

§7 Điểm Thuộc Đồ Thị & Các Bài Toán Khác 21

Chuyên đề 3 Hình Học Không Gian 23

§1 Quan Hệ Song Song 23

§2 Quan Hệ Vuông Góc 24

§3 Thể Tích Khối Đa Diện 25

§4 Khối Chóp Và Khối Lăng Trụ 26

§5 Mặt Nón - Mặt Trụ - Mặt Cầu 28

Chuyên đề 4 Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit 31

§1 Lũy Thừa 31

§2 Lôgarit 32

§3 Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit 33

§4 Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ 34

§5 Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit 35

§6 Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit 36

Chuyên đề 5 Nguyên Hàm - Tích Phân 37

§1 Nguyên Hàm 37

§2 Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm 38

§3 Tích Phân 39

§4 Phương Pháp Đổi Biến 40

§5 Tích Phân Hữu Tỉ 41

§6 Tích Phân Vô Tỉ 42

§7 Tích Phân Mũ - Lôgarit 42

§8 Tích Phân Lượng Giác 43

§9 Phương Pháp Tích Phân Từng Phần 44

§10 Ứng Dụng Của Tích Phân 45

Chuyên đề 6 Số Phức 47

§1 Dạng Đại Số Của Số Phức 47

§2 Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức 49

§3 Dạng Lượng Giác Của Số Phức 50

Chuyên đề 7 Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian 51

§1 Tọa Độ Trong Không Gian 51

§2 Phương Trình Mặt Phẳng 53

§3 Phương Trình Đường Thẳng 55

§4 Hình Chiếu 57

§5 Góc Và Khoảng Cách 59

Chuyên đề 8 Phương Trình Lượng Giác 61

§1 Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản 61

§2 Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp 62

§3 Phương Trình Lượng Giác Đưa Về Phương Trình Tích 63

Chuyên đề 9 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số 65

§1 Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức 65

§2 Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Trị Tuyệt Đối 66

§3 Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn 66

§4 Hệ Phương Trình Mẫu Mực 68

§5 Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực 69

Chuyên đề 10 Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng 71

§1 Tọa Độ Trong Mặt Phẳng 71

§2 Phương Trình Đường Thẳng 72

§3 Tam Giác Và Tứ Giác 73

§4 Phương Trình Đường Tròn 75

§5 Phương Trình Elip 76

Chuyên đề 11 Tổ Hợp - Xác Suất 77

§1 Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp 77

§2 Xác Suất 78

§3 Nhị Thức Newton 80

Chuyên đề 12 Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất 83

§1 Bất Đẳng Thức 83

§2 Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất 85

Phụ Lục 1 87

Phụ Lục 2 88

Tài liệu tham khảo 89

3 Tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức f (x).

Tập xác định của hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị của biểu thức f (x)được xác định, ký hiệu là D Vậy D = {x ∈ R| giá trị f (x) được xác định}

B Kỹ Năng Cơ Bản

1 Tìm giao, hợp, hiệu hai tập con A và B của R

• Tìm giao: Biểu diễn A và B trên trục số; A ∩ B là phần không gạch chéo

• Tìm hợp: Gạch chéo A và B trên trục số; A ∪ B là toàn bộ phần gạch chéo

• Tìm hiệu: Biểu diễn A và gạch chéo B trên trục số; A\B là phần không gạch chéo

Lưu ý Các kỹ năng này chỉ làm ở giấy nháp, không làm vào bài thi

2 Tìm tập xác định của hàm số cho bởi công thức y = f (x)

• Tìm điều kiện để giá trị của biểu thức f (x) được xác định Từ đó suy ra tập xác định

Lưu ý Đối với các hàm số đã học ta gặp các trường hợp sau:

x + 1 .

Chuyên đề 1 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

Hệ quả Nếu f (c) = 0 thì đa thức f (x) chia hết cho x − c, ta có phân tích f (x) = (x − c)h(x)

2 Sơ đồ Horner

Khi chia đa thức f (x) = a0xn+ a1xn−1+ + akxn−k+ + an cho x − c ta được thương h(x) =

b0xn−1+ b1xn−2+ + bkxn−k−1+ + bn−1 và dư r(x) = bn Các hệ số của h(x) thỏa mãn sơ đồ Hornersau: a0 a1 ak an

c b0 b1 bk bn , trong đó

(

b0 = a0

bk= cbk−1+ ak (k ≥ 1).

3 Định lý về dấu tam thức bậc hai

Định lý Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2+ bx + c (a 6= 0) có ∆ = b2− 4ac

• Nếu ∆ < 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R

• Nếu ∆ = 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x 6= − b

2a.

• Nếu ∆ > 0 thì f (x) có hai nghiệm x1 và x2 (x1 < x2) Khi đó f (x) trái dấu với hệ số a với mọi xnằm trong khoảng (x1; x2) (tức là với x1 < x < x2), và f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoàiđoạn [x1; x2] (tức là x < x1 hoặc x > x2)

B Kỹ Năng Cơ Bản

1 Chia đa thức

• C1: Thực hiện chia theo sơ đồ sau:

f (x) g(x)h(x)

• Đa thức bậc n có đủ n nghiệm: "Phải cùng, đan dấu"

• Đa thức bậc n có ít hơn n nghiệm: Dấu f (x) trên (xi; xi+1) là dấu f (c), trong đó c ∈ (xi; xi+1)

• Tích thương của các nhị thức và tam thức: Lập bảng xét dấu chung cho các nhị thức, tam thức

Định nghĩa 1.1 Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K.

• Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu ∀x1, x2∈ K, x1< x2 ⇒ f (x1) < f (x2);

• Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu ∀x1, x2∈ K, x1< x2 ⇒ f (x1) > f (x2).Lưu ý

• Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên;

• Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống

Định lý 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng I

• Nếu f0(x) > 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) đồng biến trên I;

• Nếu f0(x) < 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) nghịch biến trên I;

• Nếu f0(x) = 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) không đổi trên I

Lưu ý

• Nếu f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ I và f0(x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f (x) đồng biến trên I

• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số

y = f (x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”

Chuyên đề 1 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

B Kỹ Năng Cơ Bản

1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

• Tìm tập xác định Tính y0 Tìm các điểm tại đó y0 bằng 0 hoặc không xác định

• Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên rút ra kết luận

2 Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến

3− (m + 1)x2+ x − m + 2 luôn đồng biến trên R

1.17 Tìm m để hàm số y = −x3+ (m − 1)x2− (m − 1)x + 9 luôn đồng biến trên R

1.18 Tìm m để hàm số y = mx3+ (2m − 1)x2+ (m − 4)x − 1 luôn nghịch biến trên R

1.19 Tìm m để hàm số y = mx3+ (3 − m)x2+ 2x + 2 luôn đồng biến trên R

Định nghĩa 1.3 Giả sử hàm số f xác định trên tập D và x0 ∈ D

• x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho(a; b) ⊂ D và f (x) < f (x0), ∀x ∈ (a; b)\{x0} Khi đó f (x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f ;

• x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho(a; b) ⊂ D và f (x) > f (x0), ∀x ∈ (a; b)\{x0} Khi đó f (x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu đượcgọi chung là cực trị

Định lý 1.4 Giả sử hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 Khi đó, nếu y = f (x) có đạo hàm tại x0 thì

f0(x0) = 0

Định lý 1.5 Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa x0 và có đạo hàm trên (a; x0),(x0; b) Khi đó:

• Nếu f0(x) < 0, ∀x ∈ (a; x0) và f0(x) > 0, ∀x ∈ (x0; b) thì hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x0;

• Nếu f0(x) > 0, ∀x ∈ (a; x0) và f0(x) < 0, ∀x ∈ (x0; b) thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0

Định lý 1.6 Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại

• Tìm tập xác định Tính y0 Tìm các điểm tại đó y0 bằng 0 hoặc không xác định

• Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên rút ra kết luận

2 Điều kiện để hàm số có cực trị, có k cực trị

• Sử dụng ĐL 1.5 và ĐL 1.6

3 Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0

• Tính y0; hàm số đạt cực trị tại x0 ⇒ y0(x0) = 0 ⇒ m

• Tính y00; thay m và x0 vào y00 để kết luận

Lưu ý Nếu y00(x0) = 0 thì phải kiểm tra dấu của y0 để kết luận

Chuyên đề 1 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

§5 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số

• Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó

• Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

B Kỹ Năng Cơ Bản

1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]

• Tính y0, y0= 0 ⇒ xi∈ [a; b]

• Tính y(a), y(b), y(xi); so sánh và kết luận

2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D

1.35 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x +√2 cos x trên [0;π2] b) y = 2 sin x −4

3sin

3x trên [0; π]

c) y = sin4x − 4 sin2x + 5 d) y = sin4x + cos4x

1.36 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

§6 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số

3

√8x3− 2x + 1

√

x2+ x + 72x − 1 .1.41 Tìm tiệm cận xiên của các hàm số sau:

Chuyên đề 1 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

§7 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

A Kiến Thức Cần Nhớ

1 Điểm uốn

Định nghĩa 1.11 Điểm U (x0; f (x0)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x) nếu tồn tại mộtkhoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tạiđiểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

Mệnh đề 1.12 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa x0, f00(x0) = 0 và f00(x)đổi dấu khi qua điểm x0 thì U (x0; f (x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x)

2 Sơ đồ khảo sát tổng quát

1 Tập xác định

2 Sự biến thiên

• Giới hạn, tiệm cận (nếu có)

• Bảng biến thiên (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tính đơn điệu, cực trị)

a) y = x4− 2x2− 3 b) y = x4+ 2x2− 1 c) y = 12x4+ x2−3

2 d) y = 3 − 2x2− x4.e) y = −x4+ 2x2− 2 f) y = 2x4− 4x2+ 1 g) y = −2x4− 4x2+ 1 h) y = x4− 4x2+ 3

1.49 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

• Đưa phương trình đang xét về phương trình bậc hai.

• Dựa vào định lý Vi-ét và giả thiết để tìm điều kiện thỏa mãn yêu cầu bài toán

§2 Phương Pháp Hàm Số

A Kiến Thức Cần Nhớ

Mệnh đề 2.2 Cho hàm số f liên tục trên D và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D Ta có:

• m = f (x) có nghiệm trên D ⇔ min

• C1: Xét hàm số y = f (x, m) Tính đạo hàm Lập bảng biên thiên ⇒ kết luận

• C2: Từ bài toán biến đổi và rút m theo g(x) Lập bảng biến thiên của g(x) ⇒ kết luận

x2+ mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt

2.21 (B-07) Chứng minh phương trình x2+ 2x − 8 =pm(x − 2) có hai nghiệm phân biệt với mọi m > 0.2.22 (A-07) Tìm m để phương trình 3√

Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số

2.33 Tìm m để hàm số y = x4− 2mx2+ 2m + m4 có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều

2.34 (A-2012) Tìm m để hàm số y = x4− 2 (m + 1) x2+ m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh củamột tam giác vuông

1 Giao điểm của hai đồ thị

• Hoành độ giao điểm của (C1) : y = f (x) và (C2) : y = g(x) là nghiệm của phương trình f (x) = g(x)

• Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm của phương trình f (x) = g(x)

Lưu ý Phương trình f (x) = g(x) gọi là phương trình hoành độ giao điểm

2 Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị

• Đồ thị hai hàm số y = f (x) và y = g(x) tiếp xúc nhau tại M (x0; y0) ⇔



f (x0) = g(x0)

f0(x0) = g0(x0) .

B Bài Tập

2.43 Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x3+ 3x2− 3x − 2 và parabol y = x2− 4x + 2

2.44 (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4− 8x2+ 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9

2.45 Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3− 3(m + 3)x2+ 18mx − 8 tiếp xúc với trục hoành

2.46 Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3− x2− 2x + 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

2.47 (D-06) Gọi d là đường thẳng đi qua A (3; 20) và có hệ số góc m Tìm m để d cắt đồ thị hàm số

y = x3− 3x + 2 tại ba điểm phân biệt

2.48 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + 4x + 4m − 16 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt cóhoành độ dương

2.49 (A-2010) Tìm m để hàm số y = x3− 2x2+ (1 − m) x + m có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phânbiệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x21+ x22+ x23 < 4

2.50 Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số y = −2x3+ 6x2+ 1 tại ba điểm phân biệtA(0; 1), B, C sao cho B là trung điểm AC

2.51 Tìm m để đường thẳng d : y = −2 cắt đồ thị hàm số y = (2 − m)x3− 6mx2+ 9(2 − m)x − 2 tại bađiểm phân biệt A(0; −2), B và C sao cho diện tích tam giác OBC =√13

2.52 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3− 3mx2− 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt

2.53 Tìm a để đồ thị hàm số y = x3+ ax + 3 cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm

2.54 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3+ 3x2+ (3 − m)x + 3 − m cắt đường thẳng y = −14 tại ba điểmphân biệt có hoành độ không nhỏ hơn −9

2.55 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3− 3x2+ 3(1 − m)x + 1 + 3m cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành

độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x1< 1 < x2 < x3

2.56 Tìm m để đồ thị hàm số y = (m − 1)x4− 2x2+ 3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

2.57 Tìm m để đồ thị hàm số y = −x4+ 2mx2− 2m + 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

2.58 (D-09) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x4− (3m + 2) x2+ 3m tại bốn điểm phânbiệt có hoành độ nhỏ hơn 2

2.59 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4− (3m + 4) x2+ m2 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành

Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số

§5 Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

A Kiến Thức Cần Nhớ

• Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (x0; y0) là k = y0(x0)

• Phương trình tiếp tuyến tại M (x0; y0) là y = y0(x0) (x − x0) + y0

B Các Dạng Tiếp Tuyến

1 Tiếp tuyến tại điểm M (x0; y0)

• Tính y0⇒ y0(x0) ⇒ PTTT

Lưu ý

∗ Nếu đề chỉ cho x0 thì gọi điểm tiếp xúc là M (x0; y0) và tính y0 = y(x0)

∗ Nếu đề chỉ cho y0 thì gọi điểm tiếp xúc là M (x0; y0) và giải phương trình y0= y(x0) ⇒ x0

2 Tiếp tuyến biết hệ số góc k

• Gọi điểm tiếp xúc M (x0; y0); Tính y0; Giải phương trình y0(x0) = k ⇒ x0⇒ y0 ⇒ PTTT

Lưu ý

∗ Tiếp tuyến song song ∆ ⇒ kT T = k∆

∗ Tiếp tuyến vuông góc ∆ ⇒ kT T = − 1

k∆

3 Tiếp tuyến qua điểm A(x1; y1)

• Tiếp tuyến qua A(x1; y1) với hệ số góc k bất kỳ có phương trình y = k(x − x1) + y1 (1)

• Tiếp tuyến tiếp xúc đồ thị hàm số y = f (x) nên

2.68 (TN-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3x − 2

x + 1 tại điểm có tung độ bằng −2.2.69 (B-04) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y = 13x3− 2x2+ 3x (C) tại tâm đối xứng

và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

2.70 (DB-08) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1) x + 1 Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

x = −1 đi qua điểm A (1; 2)

2.75 (TN-09) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x + 1

x − 2, biết hệ số góc của tiếp tuyếnbằng −5

2.76 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x + 3

2x − 1 biết tiếp tuyến song song với đườngphân giác góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ

2.77 (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y = 2x + 3

x + 1 , biết d vuông góc với đườngthẳng y = x + 2

2.78 (D-05) Cho hàm số y = 13x3−m

2x2+13 có đồ thị (Cm) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độbằng −1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 0

2.79 (B-06) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2+ x − 1

x + 2 (C) Biết rằng tiếp tuyến

đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)

2.80 (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x

x − 1 sao cho tiếp tuyến và hai tiệmcận cắt nhau tạo thành một tam giác cân

2.81 Tìm m để (Cm) : y = x3+ 3x2+ mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C (0; 1) , D, Esao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau

2.82 (A-2011) Cho hàm số (C) : y = −x + 1

2x − 1 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôncắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C)tại A và B Tìm m để tổng k1+ k2 đạt giá trị lớn nhất

2.83 (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x + 1

2x + 1, biết tiếp tuyến qua giao điểmcủa tiệm cận đứng và trục Ox

2.84 (B-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1, biết tiếp tuyến qua

M (−1; −9)

2.85 (DB-05) Cho hàm số y = x2+ 2x + 2

x + 1 có đồ thị (C) Gọi I là giao hai tiệm cận Chứng minh rằngkhông có tiếp tuyến nào của (C) đi qua I

2.86 Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) : y = x3− 12x + 12

§6 Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị

A Kỹ Năng Cơ Bản

1 Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f (x) = k(m)

• Vẽ đồ thị hàm số (C) : y = f (x) và đường thẳng y = k(m) song song với trục Ox

• Số nghiệm phương trình f (x) = k(m) là số giao điểm của (C) với đường thẳng y = k(m)

• Dựa vào mối tương quan trong hình vẽ để biện luận

2 Vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|)

• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) và bỏ phần đồ thị bên trái Oy

• Đối xứng phần đồ thị bên phải Oy qua Oy

3 Vẽ đồ thị hàm số y = |f (x)|

• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x)

• Đối xứng phần đồ thị dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị dưới Ox

Chuyên đề 2 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số

2.90 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4−4x2+3 Tìm m để phương trình 12x4−2x2+m = 0

có bốn nghiệm phân biệt

2.91 (A-06) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3− 9x2+ 12x − 4 Tìm m để phương trìnhsau có sáu nghiệm phân biệt 2|x|3− 9x2+ 12 |x| = m

2.92 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −2x3+ 3x2− 2 Tìm m để phương trình 2|x|3−3x2+ 2 (m + 1) = 0 có đúng bốn nghiệm

2.93 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3− 3x − 1 Tìm m để phương trình sau có banghiệm phân biệt |x|3− 3|x| + (m − 1)2 = 0

2.94 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3− 3x2+ 4 Tìm m để phương trình sau có bốnnghiệm phân biệt |x − 1|3− 3(x − 1)2− m = 0

2.95 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3− 3x + 1 Tìm m để phương trình

x3− 3x + 1

−2m2+ m = 0 có ba nghiệm phân biệt

2.96 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 4 Biện luận theo m số nghiệm củaphương trình (x + 2)2 = m

|x − 1|.2.97 (B-09) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x4− 4x2 Với các giá trị nào của m, phươngtrình x2 x2− 2

= m có đúng sáu nghiệm thực phân biệt

2.98 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4−4x2+3 Tìm m để phương trình x4− 4x3+ 3