Chuyên đề phuong trinh bat phuong trinh he phuong trinh

Chủ đề 10 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRỌNG TÂM KIẾN THỨC CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1 Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng a Chuyển vế một b

Chủ đề 10 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRỌNG TÂM KIẾN THỨC CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng

a) Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu của biểu thức)

b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một hằng số (khác 0) hoặc với một biểu thức

(khác không)

c) Thay thế một biểu thức bởi một biểu thức khác bằng với biểu thức đó

Lưu ý:

+ Chia hai vế của phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phòng mất nghiệm

+ Bình phương hai vế của phương trình đề phòng dư nghiệm

2) Các bước giải một phương trình

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải

Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)

Bước 4: Kết luận

3 Các phương pháp giải phương trình đại số thường sử dụng

a) Phương pháp 1: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đã biết cách giải

b) Phương pháp 2: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số : A.B = 0; A.B.C = 0

0 0 0

soáaån :x

2 Giải và biện luận:

* Nếu b  0 thì phương trình (1) vô nghiệm

* Nếu b = 0 thì phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x

 a = 0 và b  0 : phương trình (1) vô nghiệm

 a = 0 và b = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x

3 Điều kiện về nghiệm số của phương trình:

0

b a

 (1) nghiệm đúng với mọi x 

0

b a

II Giải và biện luận phương trình bậc hai:

sốẩn :x

2 Giải và biện luận phương trình :

Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Nếu a 0 thì (1) là phương trình bậc nhất : bx + c = 0

 b  0 : phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất

b

c

x

 b = 0 và c  0 : phương trình (1) vơ nghiệm

 b = 0 và c = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x

Trường hợp 2: Nếu a  0 thì (1) là phương trình bậc hai cĩ

Biệt số  b24ac ( hoặc ' '2 với b'

c b

c b

4 Định lý VIÉT đối với phương trình bậc hai:

 Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax2bx c  ( 0 a 0) có hai nghiệm x1, x2 thì

a

b x x S

2 1

2 1

 Định lý đảo : Nếu có hai số x y, mà x y S và x y  P ( 2 4 )

P

S  thì x y, là nghiệm của phương trình

X2S.XP 0

 Ý nghĩa của định lý VIÉT:

Cho phép tính giá trị các biểu thức đối xứng của các nghiệm ( tức là biểu thức chứa x1, x2 và không thay đổi giá trị khi ta thay đổi vai trò x1,x2 cho nhau Ví dụ: 2

2 2 1 2 1

2 2 2

x x x x

x x

A    ) mà không cần giải pt tìm x1, x2 , tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng,

5 Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai:

Dựa vào định lý Viét ta có thể suy ra định lý sau:

II Phương trình trùng phương:

1.Dạng : ax4bx2 c 0 ( a  0 ) (1)

2.Cách giải:

 Đặt ẩn phụ : x2= t (t0) Ta được phương trình: at2 btc0 (2) Giải pt (2) tìm t Thay t tìm được vào x2= t để tìm x

Tùy theo số nghiệm của phương trình (2) mà ta suy ra được số nghiệm của phương trình (1)

2 Cách giải: Áp dụng khi biết được một nghiệm của phương trình (1)

Bước 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình (1) Giả sử nghiệm là x = x0

Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân

IV PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN QUY VỀ BẬC HAI BẰNG PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ



B BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Nhắc lại:

Các phép biến đổi tương đương bất phương trình thường sử dụng:

1) Chuyển vế một biểu thức của bpt từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu biểu thức)

2) Nhân hoặc chia hai vế của bpt với một hằng số hoặc một biểu thức khác 0

 Nếu a0 thì (2) trở thành : 0.xb

* b0 thì bpt vô nghiệm

* b0 thì bpt nghiệm đúng với mọi x

II Dấu của nhị thức bậc nhất:

III Dấu của tam thức bậc hai:

3 Điều kiện không đổi dấu của tam thức:

Định lý: Cho tam thức bậc hai: f(x)ax2bxc (a 0)

0 Rx 0)

(x f

0 Rx 0)

(x f

0 Rx 0)

(x f

0 Rx 0)

(x f

IV Bất phương trình bậc hai:

III Các phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối cơ bản & cách giải:

Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI bằng định nghĩa hoặc nâng lũy thừa

* Dạng 1 : 2 2

B A B

A    , A  B  AB

B B

B B

B A A B

A

0

0

B A A B

A

00

B A B

B B

0A neáu

III Các phương trình và bất phương trình căn thức cơ bản & cách giải :

Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ CĂN THỨC bằng pháp nâng lũy thừa

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRỌNG TÂM KIẾN THỨC CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

1 1

b a b a b a

b a

D   (gọi là định thức của hệ)

2 2

1 1

b c b c b c

b c

D x    (gọi là định thức của x)

2 2

1 1

c a c a c a

c a

D y    (gọi là định thức của y)

Bước 2: Biện luận

 Nếu D0 thì hệ có nghiệm duy nhất

D x

y x

 Nếu D = 0 và D x 0 hoặc D y 0 thì hệ vô nghiệm

 Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm

Cách giải: Sử dụng phép cộng để khử một ẩn đưa về hệ bậc nhất hai ẩn, sử dụng MTBT

II Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:

1 Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn:

Cách giải: Giải bằng pháp thế

2 Hệ phương trình đối xứng :

1 Hệ phương trình đối xứng loại I:

a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau

thì hệ phương trình không thay đổi

b.Cách giải:

Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với S2 4Pta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P

Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S2 4P

Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình :

2

0

X SX P  ( định lý Viét đảo )

Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ

2 Hệ phương trình đối xứng loại II:

a Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau

thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ

b Cách giải:

 Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số

 Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ

x  Giả sử ta chọn cách đặt

x t

y 

Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau:

Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ?

PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH

 



  

 Tập nghiệm của phương trình (1) là S 1 2;1 2;3 

2 Một số bài toán tự luyện

Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn đối với x và y:

(*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với x và y

Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn

 2 2

12

118

9x 6x 5 3x5 8) 2

4x 4x 3 2x5 9) 2

2x   x 3 2x

§ 4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC BẰNG KỸ THUẬT NHẨM NGHIỆM VÀ PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ

Phương pháp chung

Bước 1: Đặt điều kiện cho hai vế của phương trình có nghĩa và dựa vào điều kiện để nhẩm nghiệm

Giả sử phương trình có một nghiệm là xx0

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình về dạng

Chú ý: Đối với phương trình vô tỷ ta thường sử dụng biến đổi

+ Nhân lượng liên hợp

+ Tách thành các biểu thức liên hợp

Bước 3: Giải phương trình f x   0

Chú ý: Nếu phương trình có hai nghiệm xx1 và xx2 thì ta định hướng biến đổi về dạng

Ta có: (1)   2    2

2x     x 3 x 1 3x 1 21x17 x 3x  2 0  2  2 

2 2

5) 3x 1 x   3 x 5 0 6) 3x 1 6 x 3x214x 8 0

Bài 2: Giải các phương trình sau

1) 2x24x 9 5x 6 7x110 2) 2x29x 3 3x27x 1 3x 2 0

3) 3x2  x 3 3x 1 5x4 4) 33x 4x 1 9x4

§ 5. ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH

I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Các định lý

 Cho hàm số yf (x) có đạo hàm trên khoảng a b; 

a) Nếu f ' x 0 với mọi xa; bthì hàm số f (x) đồng biến trên a b; 

b) Nếu f ' x 0 với mọi xa; bthì hàm số f (x) nghịch biến trên a b; 

 Nếu hàm số liên tục trên đoạn a; b và có đạo hàm f '(x) trên khoảng 0 a; bthì hàm số f đồng biến

trên đoạn a; b

 Nếu hàm số liên tục trên đoạn đọan a; b và có đạo hàm f '(x) trên khoảng 0 a; bthì hàm số f

nghịch biến trên đoạn a; b

2 Các tính chất

 Tính chất 1: Giả hàm số yf x  đồng biến (nghịch biến) trên khoảng a; b và u; va; bkhi đó:

f u f v uv

 Tính chất 2: Nếu hàm số yf x  đồng biến trên a; b và yg x  làm hàm hằng hoặc là một hàm

số nghịch biến trên a; b thì phương trình f x g x  có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng a; b

Dựa vào tính chất trên ta suy ra:

Nếu có x0a; b sao cho f x 0 g x 0 thì phương trình f x g x  có nghiệm duy nhất x 0

Suy ra:  2   2 2

3 x   x 9 3 33xx x 4x9 Dấu “=” xảy ra khi:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI

Thực hành kỹ năng giải toán

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

§ 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Yêu cầu:

Học sinh đã thành thạo việc giải các hệ cơ bản: bậc nhất hai ẩn, đối xứng loại 1, đối xứng loại 2, đẳng cấp Các

phương trình một ẩn: bậc nhất, bậc hai, bậc ba, các bậc bốn đặc biệt, Thành thạo các phép biến đổi tương

đương một phương trình: chuyển vế, nhân chia hai vế, thay thế biểu thức, bình phương hai vế,

Có thể: Cộng vế với vế, trừ vế với vế hoặc nhân cho một hằng số thích hợp rồi cộng hoặc trừ vế với vế

mục đích để tạo ra một phương trình mới có thể hỗ trợ cho việc giải hệ đã cho như: pt một ẩn, pt bậc nhất

hai ẩn, phương trình tích số,

Kỹ thuật 1: Tạo ra pt một ẩn

Kỹ thuật 2: Tạo ra pt bậc nhất hai ẩn

Kỹ thuật 3: Nhân hệ số thích hợp và cộng hoặc trừ vế với vế để tạo ra pt bậc nhất hai ẩn

Kỹ thuật: Biến đổi mỗi hệ sao cho có hai biểu thức giống nhau

Chú ý: Các phép biến đổi tương đương một phương trình: chuyển vế, nhân chia hai vế, thay thế biểu

thức,

4 Phương pháp biến đổi về pt TÍCH SỐ

Chú ý: Các phép biến đổi: tạo các biểu thức có nhân tử giống nhau, phân tích tam thức bậc hai

thành thừa số, bình phương,

Kỹ thuật 1: Biến đổi một pt của hệ thành tích số

Kỹ thuật 2: Cộng hoặc trừ vế với vế để biến đổi về pt tích số

5 Phương pháp HÀM SỐ

Kỹ thuật 1: Sử dụng tính đơn điệu kết hợp nhẩm nghiệm

Kỹ thuật 2: Tìm hàm đặc trưng và sử dụng tính chất f(u) = f(v)

6 KẾT HỢP các phương pháp

I PHƯƠNG PHÁP TÍCH SỐ

(PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Biến đổi một phương trình của hệ về dạng phương trình tích số để được các hệ thức đơn giản chứa x,y Các kỹ thuật thường sử dụng:

+ Nhóm nhân tử chung

+ Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

+ Nhẩm nghiệm + nhân liên hợp

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn)

(các hệ thức đơn giản chứa x, y)

♥ Thế y  , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn: x 1

♣ Do phương trình (4) có hai nghiệm x 0 nên ta định hướng phân tích (4) thành dạng x f x    0

(biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp)

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y; là  0;1 và  1; 2 

(Xem lại phần kỹ thuật nhân liên hợp)

Bài giải

♥ Điều kiện :

02

♥ Thế y  , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn: 1 93x  0 x 3 [thỏa (*)]

♥ Thế y  , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn: x 1 2

2x   x 3 2x (3) Điều kiện: 1  x 2

Khi đó: (3)

2

2 2

2

1 5272

x x

x x

♥ Với 2 x  2y ≤ 0 mà y ≥ 0  y = 0 và x = 2 Thử lại ta có x = 2, y = 0 là nghiệm

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệmx y; là  ; , 30 2 17;

tam thức bậc hai thành nhân tử Ta được:

♦ Với x 5  y  3 (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệmx y; là 5 3; 

II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số

+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)

+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y)

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn)

 Thay yx 1 vào phương trình (2) ta được phương trình

♦ Với x 5  y  (thỏa điều kiện (*)) 1

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;   5;1 

♦ x3y317x32y6x29y224  3 2 3 2

x  x  x y  y  y [Tại sao ?]   3    3  

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

    2

x x  x x x  x (5) ♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x 5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp

♦ Với x 5  y  (thỏa điều kiện (*)) 6

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;   5; 6 

Ví dụ 9 Giải hệ phương trình

 

4 4

3

3 0

00

x y

x x

y y

2y  y 2 1x 1 x 1 (3) x

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ đối xứng loại II

 Phương trình (5) viết lại thành:  2

2x3 2 4x  5 11 Điều kiện

So với điều kiện của x và t ta chọn x 2 3 [không thỏa (*)]

+ Khi x     t 2 0 t 2 x, thay vào (7) ta được:

III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp đánh giá

Thường là sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: Cô-si, bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối,

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn)

1212

21212

♥ Vậy hệ phương trình có một nghiệm x y; là  3;3 

Vì x ≥ 0 nên (*) vô nghiệm Do đó (3)  x = 0 hay x = 1

♠ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( , )x y  0; 0 , 1;1   

IV PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Biến đổi hai phương trình của hệ sao cho có hai biểu thức giống nhau

Bước 3: Thay hai biểu thức đó bởi hai biến mới u, v, chuyển sang hệ mới và giải tìm u, v

Bước 4: Với u, v tìm được ta sẽ tìm được x, y

♥ Biến đổi sao cho hai phương trình của hệ xuất hiện hai biểu thức giống nhau

Do y  không thỏa mãn hệ trên nên 0

x

x y y

x u y

u u v

84

298