100 bai toan BDT có lời giải

100 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, GTNN, GTLN TỪ MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ Sưu tầm Trần Quang Thạnh I.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ... Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức... Tìm gi

100 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, GTNN, GTLN TỪ MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ

Sưu tầm Trần Quang Thạnh

I MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:

1 Với mọi √ ( ) Đẳng thức xảy ra khi

2 Với mọi √ ( ) Đẳng thức xảy ra khi

3 Với mọi ( ) ( )( ) Đẳng thức xảy ra khi hai bộ số ( ) và ( ) tỷ lệ với nhau 4 BĐT cộng mẫu số : với ta có ( )

Các BĐT từ (5) đến (10) được viết với điều kiện và CM được bằng cách biến đổi tương đương hoặc dùng các BĐT từ (1) đến (4) 5

6 ( )( )( )

7 ( ) ( ) ( )

8 ( )( ) ( )

9 ( )

10 ( ) ( ) ( )

Một số BĐT 2 biến thường dùng: 11 Với ( ) ( )

12 Bốn bất đẳng thức sau đây CM được bằng pp biến đổi tương đương và có thể kết hợp BĐT AM-GM:

( ) ( )

√ √ √

13 ĐẲNG THỨC tuyệt với sau đây luôn phải nhớ : ( ) ( )

II 100 BÀI TOÁN BĐT, GTNN VÀ GTLN TỪ MỘT SỐ ĐỂ THI THỬ:

Bài 1 (THPT – Nam Đàn – Nghệ An - 2015) Cho x là số thực thuộc đoạn [ 1, ] 5

4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của    

5 4 1

5 4 2 1 6

P

Bài 2 (THPT – Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - 2015) Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa mãn

2 2 2

3

a b c Chứng minh rằng         

2

Bài 3 (THPT – Nguyễn Huệ - Quảng Nam - 2015) Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn a b ab  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   

P

Bài 4 (THPT – Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 2 - 2016) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi

bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức



4

P

Bài 5 Cho x, y, z là các số thực dương thoả   2 2

P=x x +3 +2y 4y +3

Bài 8 (THPT- Lê Hồng Phong – Phú Yên-2015) Cho 3 số thực dương x y z, , thỏa mãn x y  1 z Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

4

a b

c ab bc ca

Bài 15 (THPT –Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần 2 - 2015) Cho ,x y là hai số thỏa mãn x y, 1 và 3(x y ) 4 xy

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  

Bài 20 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 

Bài 36 (THPT – Triệu Sơn 5 – lần 2 - 2015) Cho , ,a b c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn (11)(11)(1 1) 1

Tìm GTNN của biểu thức P = 2 2 2

a b c

Bài 37 (THPT – Như Xuân – Thanh Hoá - 2015) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   

2

.44

P

Bài 50 Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn điều kiện x2 y2 6z24z x y Tìm giá trị nhỏ nhất của   

Bài 56 Cho các số thực x y, thoả mãn 2  2

4x 2xy y 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Bài 64 (THPT- Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 - 2015) Cho , , a b c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 67 Cho ba số thực x y z, , 0, chứng minh rằngx3  y3 z3 3xyz x y z 2   y z x2   z x y 2  

Bài 68 Cho ba số thực dương , ,a b c thoả mãn a b c  1 Chứng minh rằng   

Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c b abc  

Bài 71 (THPT – Hậu Lộc 2 – Thanh Hoá – Lần 1 -2016) Cho , ,a b c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất

xy

Bài 77 (THPT – Thiệu Hoá – Thanh Hoá - 2016) Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa mãn a b c  3 Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 85 (THPT – Nguyễn Thượng Hiền - 2015) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a3 +b3 = c3 Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x y x y P

x y

Bài 88 (THPT – An Lão - 2015) Cho x,y,z là các số thực dương Chứng minh rằng

P = 3 3 3 3 3 3 3 3 3   

2 2 24(x y ) 4(y z ) 4(z x ) 2(x y z)

Bài 91 (THPT – Vân Canh - 2015) Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ nhất

Bài 96 (THPT – Lý Tự Trọng - 2015) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   

Bài 98 (THPT – Quy Nhơn - 2015) Cho , ,a b c là ba số thực dương Chứng minh rằng

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 Đặt a 5 4 , x b 1x thì 2 2

2

2 6 3sin 3cos 6 2sin 2cos 4

a b P

2 2

)1

( ) ( ) ( )

( )

Cộng theo vế các BDDT trên, ta được ( )

Bài 5 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) √( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) Lập BBT, suy ra

11

Bài 8 Gt ta có x yz yz z y      1 z 1y  1 x y y 1

Ttự y zx  x y x 1 ; z xy  x 1y1 Nên

22

Theo giả thiết và chứng minh trên thì 0 2 a b  2c 10 16 , P 1

Khi a1,b2,c1 thì P1 Vậy Pmin1

x y xy Nên P = (x + y)

2 + 2 - 1

xy = (x + y)

2 +1 +

yz y z y z y z  18yz - 5(y2 + z2)  2(y + z)2

Do đó 5x2 - 9x(y + z)  2(y + z)2 [x - 2(y + z)](5x + y + z)  0 x  2(y + z)

y z x

4 4

t

t t , f’(t)    

2 2 2

4 2

1 4

t t

> 0 với mọi t thuộc [1;4]

Hàm số f(t) đồng biến trên *1;4+ nên f(t) đạt GTNN bằng 1

6 khi t = 1 Dấu bằng xảy ra khi a = b ; a b

c = 1, a,b,c thuộc [1;2] a =b = 1 và c =2 Vậy MinP = 1

( ( ) ( )) [ ] Suy ra P đồng biến trên [3 ;4] và ( ) ( )

t t

Xét hàm  

2(1 6 )( )

13

t

t

Dựa vào BBT suy ra P1

4 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 4a = b = c = 1

Bài 23 Nhìn biểu thức của P ta thấy có sự xuất hiện của cả ba biến số , , a b c mà ta không thể quy trực tiếp

về một biến số ngay nếu chỉ sử dụng giả thiết Nhưng ta lại thấy P là biểu thức có đối xứng với , a b , do đó ta

dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi hai biến ,a b bằng nhau Ta chứng minh và sử dụng bất đẳng thức

Thật vậy, ta có    2

(*) ( ab 1)( a b) 0 luôn đúng do a, b dương và ab1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1

Áp dụng (*) với x, y thuộc đoạn [1; 4] và x y x z ta có  ,      

2

2 3 1

t P

Xét hàm    

2 2

f’(t) 12t2 – 18t – 12, f’(t) 0  t = 1

2 hay t = 2 Min f(t) = 23

4 khi t =

52

Bài 27 Từ điều kiện ta có ( ) Theo BĐT Cauchy, ta có

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) Lập BBT, suy ra ( ) ( ) dấu bằng xảy ra khi √

Khi a b c  1 thì P=324 nên giá trị nhỏ nhất của P là 324

Bài 30 Theo giả thiết ta có 2 2 2       2     

Lập bảng biến thiên của f t với t>0 ta có minP=f(1)=1     

Đặt t  x y xy t, 0;5 , Pf t( ) 2 t 24 23 t6

Ta có         

2 3

Suy ra 2P = 2MI + 2MB  2IB = 14 dấu đẳng thức xảy ra  M là giao điểm của (C) và đoạn IB Tìm được M(1, 3) Vậy minP = 7  (x;y) = (1; 3)

a b c

Bài 52 Với mọi số thực x, y ta luôn có  2

(x y) 4xy, nên từ điều kiện suy ra

Lập BBT, suy ra ( ) ( )

Bài 57 Ta có ( ) ( ) Từ giả thiết ta có ( ) ( ) Bằng biến đổi tương đương, ta cm được

( )

( ) ( )

√( ) ( ) ( ] ( )

√( ) ( ] ( ) ( )

     

2

 

2

2 2 2

6

6

P

a b c

Đặt t  a b c với  t0;3 Ta có  

  

2 2

6

9 36

t

f t

2

2 2

8

9 36

t

Vậy P1 hay Min P1 dấu bằng xảy ra khi a b c  1

Bài 59 Từ giả thiết ta có

( ) √ ( ) ( ) √ ( ) √

√ √

( ) √ √

( ) √ √

( ) ( ) ( ) ( )

( ) √ √

( ) √ ( ) √

( ) ( )( )

Lập BBT, suy ra ( )

Bài 60 Ta tìm m sao cho ( ) ( ) ( )

Đặt ( ) ( ) ( ) ( )

Giải hệ ( ) ( ) ( )

Lúc đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) luôn đúng, suy ra đpcm

Bài 61 Từ giả thiết ta suy ra ln(x y  1) 3(x y  1) ln(3 ) 3.3xy  xy Xét hs g t( ) ln t3t trên (0;), ta

có g t'( )  1 3 0

t với  t 0, suy ra g t( ) đbiến trên (0;), từ đó g x y(   1) g xy(3 )   x y 1 3xy, suy

ra 3xy   1 x y 2 xy Đặt txy 3t 2 t   1 0 t 1

2

3 3 3 ( 1) 3 ( 1) 36 27 3

 12  12   22 22  (3 1)22 2  36 2 322 4

4

Theo Cô si  



2 2

x y xy (4) Từ (2), (3), (4) ta có



5 21 1

t M

t Xét hàm số



5 21

( ) 4

t

f t

t trên [1;+ )

Ta có  2      

5.4 (5 1)8 2 5

t t , suy ra f t( ) nghịch biến trên [1;+ ) , bởi vậy



max [1; )

3

2

Bài 62 Với mọi số thực không âm x, y, z Ta có

( 2 )( 2 ) ( ) ( 2 )( 2 ) ( )

Bài 65 Nhìn biểu thức của P ta thấy có sự xuất hiện của cả ba biến số , , a b c mà ta không thể quy trực tiếp

về một biến số ngay nếu chỉ sử dụng giả thiết Nhưng ta lại thấy P là biểu thức có đối xứng với , a b , do đó ta

dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi hai biến ,a b bằng nhau Ta chứng minh và sử dụng bất đẳng thức

Ta có g c' 3c26c3, g c'     0 c1 1 2, c2   1 2 Lập bảng biến thiên của hàm số

2 Vì vậy, Tf c   f 1 13 Đồng thời T 13 c 1 Với giả thiết 0 a b c và a + b + c = 3 và (3) suy ra a = b = 1, tức là tam giác   

ABC đều

Bài 66 Bài toán hoàn toàn đối xứng với ba biến số, nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x y z  0, coi

x là biến số và coi y z, là tham số trong hàm số f x x3x y z2   3xyz xy 2xz2y z z y y2  2  3 z 3

Xét hàm số   2 2 , 0;1

91

Từ giả thiết suy ra  

b P

2

d

t t t

0

1 0

P /

P

x

Khảo sát hàm số t theo biến x với 3 5 x 2; ta tìm được 

3 2

1

1

43

t

t

t t

4 2

4 1

Bài 87.Từ giả thiết ta có x2y2 2 3 x2y2   2 x2 3x y2 2

Bài 88 Ta có 4(x3+y3)(x+y)3 , với x,y>0

Thật vậy 4(x3+y3)(x+y)3 4(x2-xy+y2)(x+y)2 (vì x+y>0) 3x2+3y2-6xy0 (x-y)20 luôn đúng Tương tự 4(x3+z3)(x+z)3; 4(y3+z3)(y+z)3 3 4(x3y3)3 4(x3z3)3 4(y3z3) 2( x y z  ) 63 xyz

Mặt khác    3

2 2 2

12( x y z ) 6

xyz Vậy P12, dấu ‘ ’ xảy ra x = y = z =1

Bài 89 Áp dụng BĐT TBC-TBN cho hai số dương, ta có

Bài 91 Đặt t=ab+bc+ca ( t0 ),ta cóa2+b2+c2 ab+bc+ca

=>1=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) 3(ab+bc+ca)=3t=> a2+b2+c2=1-2t với 1

+ Theo cô – si có 2   3   

2 2b 2c 3 2a b c 6 Tương tự … + Vậy M3 29 Dấu bằng xảy ra khi a b c  1

Đẳng thức xảy khi và chỉ khi x = 8 max ( ) 12 2 4 7f x   khi x= 8

Vậy min ( ) 2f x  khi x= 2 và max ( ) 12 2 4 7f x   khi x= 8

 

 4     2 2 103

4 2

4

1316