hinh hoc khong gian

Cho hình chóp S ABC... Tính th tích kh i chóp S.ABCD... Tính th tích kh i chóp S.ABC... 1 Ch ng minh r ng SAB vuông góc SBC... Tính th tích kh i chóp S.ABC... Tính theo a th tích kh i c

1 | Trang

A LÝ THUY T

I HÌNH H C PH NG

1/ Các h th c l ng trong tam giác vuông

Cho ABC vuông t i A, AH là đ ng cao, AM là đ ng trung tuy n Ta có:

2/ Các h th c l ng trong tam giác th ng

a/ Di n tích tam giác vuông

 Di n tích tam giác vuông b ng ½ tích 2 c nh

 .(đáy l n + đáy bé) x chi u cao

e/ Di n tích t giác có hai đ ng chéo

vuông góc

 Di n tích t giác có hai đ ng chéo vuông góc

nhau b ng ½ tích hai đ ng chéo

 Hình thoi có hai đ ng chéo vuông góc nhau t i

3 | Trang

II HÌNH H C KHÔNG GIAN

1 Quan H Song Song

a/ Ch ng minh đ ng th ng // ( )d mp  v i d ( )

 Ch ng minh: d // 'd và d'( )

 Ch ng minh: d ( ) và   // ( )

b/ Ch ng minh mp( ) // mp 

 Ch ng minh mp( ) ch a hai đ ng th ng c t nhau song song v i mp 

 Ch ng minh mp( ) và mp  cùng song song v i 1 m t ph ng ho c cùng vuông góc v i 1 đ ng

th ng

c/ Ch ng minh hai đ ng th ng song song: Áp d ng m t trong các đ nh lí sau

 Hai mp( ),   có đi m chung S và l n l t ch a 2 đ ng th ng song song a b, thì

e/ Kho ng cách gi a hai đ ng th ng song song:

 Là kho ng cách t m t đi m trên đ ng th ng (m t ph ng)

này đ n đ ng th ng (m t ph ng) kia

f/ Kho ng cách gi a m t đ ng th ng và m t m t ph ng song song

 Là kho ng cách t m t đi m trên đ ng th ng đ n m t ph ng

g/ Kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau

 Là đ dài đo n vuông góc chung c a 2 đ ng th ng đó

 Là kho ng cách MH t m t đi m M trên d đ n mp 

5 | Trang

M t hình chóp đ c g i là hình chóp đ u n u có đáy là m t đa giác đ u và có chân đ ng cao

trùng v i tâm c a đa giác đáy

 áyABC là tam giác đ u

 Các m t bên là các tam giác cân t iS

 Chi u cao: SO

 Góc gi a c nh bên và m t đáy: SAO SBO SCO

 Góc gi a m t bên và m t đáy: SHO

+ T di n đ u là hình chóp tam giác đ u có c nh bên b ng c nh đáy

 áyABCDlà hình vuông

 Các m t bên là các tam giác cân t iS

 Chi u cao: SO

 Góc gi a c nh bên và m t đáy:SAO SBO SCO SDO

 Góc gi a m t bên và m t đáy: SHO

Chi u cao c a hình chóp là chi u cao c a tam giác

ch a trong m t bên vuông góc v i đáy

Ví d : Hình chópS ABCD có m t bênSAB

vuông góc v i m t đáyABCDthì chi u cao

c a hình chóp là chi u cao c aSAB

c/ Hình chóp có hai m t bên vuông góc v i đáy:

Chi u cao c a hình chóp là giao tuy n c a hai m t

bên cùng vuông góc v i đáy

Ví d : Hình chópS ABCD có hai m t bên

SABvàSADcùng vuông góc v i m t đáy

ABCDthì chi u cao là SA

d/ Hình chóp đ u:

Chi u cao c a hình chóp là đo n th ng n i đ nh và

tâm c a đáy

Ví d : Hình chóp t giác đ uS ABCD có tâm m t ph ng đáy là giao đi m c a hai

đ ng chéo hình vuôngABCDthì có đ ng cao làSO

cho c nh dài hình bình hành, 3 ô cho c nh ng n và 5 ô cho chi u cao SA (ho c SO đ i v i hình chóp đ u)

V hình chóp có c nh bên vuông góc v i đáy

A

C

D M O

O

C D

B A

S

+ T t c các c nh đ u b ng nhau +T t c các m t đ u là các tam giác

đ u + O là tr ng tâm c a tam giác đáy

11 | Trang

Hình chóp đ u

- Tâm m t c u ngo i ti p hình chóp:

+ SO là tr c đ ng tròn ngo i ti p hình vuông đáy

+ M t ph ng trung tr c đo n SA (ho c c nh bên khác) c t SO t i I  I là tâm m t c u c n tìm

12 | Trang

Thí d 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông t i B BAC,  30 ,0 SAAC a và

.sin 30sin 30

23cos 30 .cos 30

a

Thí d 3 Hình chóp S ABC có BC 2a , đáy ABC là tam giác vuông t i C SAB, là tam giác

Thí d 4 Cho hình l ng tr ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác đ u c nh b ng a Hình

DoIH là đ ng trung bình trong đ u AMB, đ ng

th i BM là trung tuy n nên c ng là đ ng cao

 Trong tam giác vuôngABC : AB AC tan 600 a 3

 Trong tam giác vuôngABC ': AC AB.cot 300 a 3 3 3a

 Trong tam giác vuông ACC ':

 G iOlà tâm c a m t đáy thìSO mp ABCD 

nênSOlà đ ng cao c a hình chóp và g iM là trung đi m

M

6 0

16 | Trang

 Th    2 , 3 vào 1 1.4 2 3 4 3 3

ABCD

a

   (đvtt)

C BÀI T P

Bài 1 Cho hình chóp đ u S.ABCD có c nh đáy 2a, góc gi a c nh bên và m t đáy b ng 600 Tính

th tích c a hình chóp

Gi i ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông t i B, BAC= 300 ,SA = AC = a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC).Tính V S.ABC và kho ng cách t A đ n m t ph ng (SBC) Gi i ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

17 | Trang

………

………

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t có AB = a, BC = 2a Hai m t bên (SAB) và (SAD) vuông góc v i đáy, c nh SC h p v i đáy m t góc 600 Tính th tích kh i chóp S.ABCD Gi i ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 4 Cho hình chóp đ u S.ABCD có c nh đáy 2a, góc gi a m t bên và m t đáy b ng 600 Tính th tích c a hình chóp

Gi i ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

18 | Trang

th tích kh i chóp S.ADE

Gi i

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 6 Cho kh i chóp S.ABC có SA vuông góc v i m t đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân t i B, SA= a, SB h p v i đáy m t góc 300 Tính th tích c a kh i chóp S.ABC Gi i ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 7 Cho hình l ng tr ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đ u c nh b ng a Hình chi u vuông góc c a A xu ng m t ph ng (ABC) là trung đi m c a AB M t bên ( AA C C  ) t o v i đáy m t góc b ng 45 Tính th tích c a kh i l ng tr này Gi i ………

………

………

………

………

………

………

………

19 | Trang

………

………

………

………

………

Bài 8 Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC là tam giác vuông t i C, SAB là tam giác vuông cân t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i m t đáy G i I là trung đi m c nh AB 1) Ch ng minh r ng, đ ng th ng SI vuông góc v i m t đáy (ABC)

2) Bi t m t bên (SAC) h p v i đáy (ABC) m t góc 600 Tính th tích kh i chóp S.ABC Gi i ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 9 Cho kh i chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đ u có c nh b ng 2, SAa 3 Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a Gi i ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

20 | Trang

60

C  ng chéo BC' c a m t bên BB'C'C t o v i m t ph ng (AA'C'C) m t góc 30

Tính th tích c a kh i l ng tr theo a

Gi i

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 11 Cho hình chóp đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a, góc gi a c nh bên và m t đáy b ng 600 Tính di n tích xung quanh và th tích c a hình nón có đ nh S và đáy là đ ng tròn ngo i ti p đáy hình chóp đã cho Gi i ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 12 Cho kh i chóp S.ABC có SA vuông góc v i m t đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân t i B, SA= a, SB h p v i đáy m t góc 300 Tính th tích c a kh i chóp S.ABC Gi i ………

………

………

………

………

………

………

21 | Trang

………

………

………

………

………

………

Câu 13 Cho hình chóp tam giác đ u có c nh đáy b ng 6, đ ng cao h = 2 Hãy tính di n tích c a m t c u ngo i ti p hình chóp đó Gi i ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 14 Cho hình l ng tr ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đ u c nh b ng a Hình chi u vuông góc c a A xu ng m t ph ng (ABC) là trung đi m c a AB M t bên ( AA C C  ) t o v i đáy m t góc b ng 45 Tính th tích c a kh i l ng tr này Gi i ………

………

………

………

………

Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B, c nh SA vuông góc v i m t

đáy Góc SCB  600, BC = a, SAa 2 G i M là trung đi m SB

1) Ch ng minh r ng (SAB) vuông góc (SBC) 2) Tính th tích kh i chóp MABC

Câu 16 Cho hình l ng tr đ ng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông t i B, BC = a, m t

(A BC ) t o v i đáy m t góc 300 và tam giác A BC có di n tích b ng a2 3 Tính th tích

kh i l ng tr ABC A B C   

Gi i

Câu 17 Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC là tam giác vuông t i C, SAB là tam giác vuông

cân t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i m t đáy G i I là trung đi m c nh AB

1) Ch ng minh r ng, đ ng th ng SI vuông góc v i m t đáy (ABC)

2) Bi t m t bên (SAC) h p v i đáy (ABC) m t góc 600 Tính th tích kh i chóp S.ABC

Câu 19 Cho m t hình tr có đ dài tr c OO 2 7 ABCD là hình vuông c nh b ng 8 có các

đ nh n m trên hai đ ng tròn đáy sao cho tâm c a hình vuông là trung đi m c a đo n OO Tính

Câu 21 M t hình nón có thi t di n qua tr c là m t tam giác vuông cân có c nh góc vuông b ng a

a) Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình nón b) Tính th tích c a kh i nón t ng ng

Bài 1 ( t t nghi p THPT Qu c Gia 2015)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i m t ph ng

ABCD , góc gi a đ ng th ng  SC và m t ph ng ABCD b ng  450 Tính theo a th tích c a

kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SB, AC

Cho hình l ng tr ABC.A' B' C' có đáy là tam giác đ u c nh a, hình chi u vuông góc c a A' lên

m t ph ng ABC là trung đi m c a c nh AB , góc gi a đ ng th ng  A' C và m t đáy b ng 600

Tính theo a th tích c a kh i l ng tr ABC.A' B' C' và kho ng cách t đi m B đ n m t ph ng

ACC' A' 

Bài gi i

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A , m t bên SBC là tam giác đ u

c nh a và m t ph ng SBC vuông góc v i đáy Tính theo a th tích kh i chóp S.ABC và kho ng

cách gi a hai đ ng th ng SA,BC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i đáy, SC t o v i

đáy m t góc b ng 450 Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách t đi m B đ n

m t ph ng (SCD)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A, ABC 300, SBC là tam giác đ u

c nh a và m t bên SBC vuông góc v i đáy Tính theo a th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a, m t bên SAB là tam giác đ u và n m trong

m t ph ng vuông góc v i m t ph ng đáy Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABCD và kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (SCD)

Cho l ng tr đ u ABC.A'B'C' có AB a và đ ng th ng A'B t o v i đáy m t góc 600 G i M, N

l n l t là trung đi m c a các c nh AC và B'C' Tính theo a th tích kh i l ng tr ABC.A'B'C' và

đ dài đo n th ng MN

Bài gi i

Bài gi i

Cho hình h p đ ng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, tam giác A'AC vuông cân, A' C a

Tính th tích kh i t di n ABB'C' và kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (BCD') theo a

Bài gi i

………

………

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016

Bài 1 Cho hình chĩp S ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng t i B , BC a, c nh bên SA 2a

Tam giác SAC cân t i S và n m trong m t ph ng vuơng gĩc v i đáy Gĩc gi a m t ph ng SBC và đáy

b ng 60 0 Tính theo a th tích kh i chĩp S ABC và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA, BC

AB a ; c nh bên SA vuông góc v i đáy; m t ph ng SBC t o v i đáy góc 45 0 Tính theo a th

tích kh i chóp S ABCD và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SB , AC

Bài 6 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a , tam giác SAC cân t i S và n m

trong m t ph ng vuông góc v i đáy, góc SBC b ng 60 0 Tính theo a th tích kh i chóp S ABC và

Bài 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh a ,  BAD 60 0 Hình chi u vuông góc

c a S xu ng m t ph ng ABCD là đi m H thu c đo n AC th a mãn AC  3AH

46 | Trang

………

………

Bài 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB SAa, ADa 2 Hai

m t ph ng SAB và SAD cùng vuông góc v i đáy G i M , N l n l t là trung đi m AD , SC ; I

là giao đi m c a BM và AC Tính theo a th tích kh i t di n ANIB và kho ng cách t I đ n m t

47 | Trang

………

………

………

Bài 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A , BC a 2 Hình chi u

vuông góc c a S trên m t ph ng ABC trùng v i tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC ; đ ng

th ng SB t o v i m t đáy góc 60 0 Tính theo a th tích kh i chóp S ABC và tan c a góc gi a hai

Bài 11 Cho hình chóp S ABC v i SA SB SC  a, ASB 120 0 , BSC 60 0 , CSA 90 0

Tính theo a th tích kh i chóp S ABC và góc gi a hai m t ph ng SAC và ABC.

HC  HA M t bên ABB A' ' h p v i m t đáy m t góc b ng 60 0 Tính theo a th tích c a kh i l ng

tr ABC A B C ' ' ' và kho ng cách gi a hai đ ng th ng AB và CC'

Bài 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh 2a G i M , N l n l t là trung

đi m AD và DC M t ph ng SMC và SNB cùng vuông góc v i đáy, SB h p v i đáy m t góc

b ng 60 0 Tính theo a th tích kh i chóp S ABNM và kho ng cách gi a hai đ ng th ng MC , SB

Bài 14 Cho hình l ng tr ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD là hình vuông c nh a , c nh bên AA' a

, hình chi u vuông góc c a 'A trên m t ph ng ABCD trùng v i trung đi m I c a AB G i K là

trung đi m c a BC Tính theo a th tích kh i chóp ' A IKD và kho ng cách t I đ n m t ph ng

Bài 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B , BC a, AC  2a; tam giác

SAB đ u Hình chi u vuông góc c a đ nh S trên m t đáy trùng v i trung đi m M c a AC Tính theo

a th tích kh i chóp S ABC và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA, BC

Bài 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t, m t bên SAD là tam giác vuông t i

S Hình chi u vuông góc c a S trên m t đáy là đi m H thu c c nh AD sao cho HA 3HD Bi t

r ng SA 2a 3 và SC t o v i đáy m t góc b ng 30 0 Tính theo a th tích kh i chóp S ABCD và

kho ng cách t trung đi m M c a AB đ n m t ph ng SBC.

Bài 20 Cho hình l ng tr ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông t i A và góc  ABC 30 0

G i M là trung đi m c a AB , tam giác MA C' đ u c nh a và n m trong m t m t ph ng vuông góc v i

m t ph ng đáy hình l ng tr Tính theo a th tích kh i l ng tr ABC A B C ' ' ' và kho ng cách gi a hai

C lên m t ph ng ABC là đi m H thu c c nh BC th a mãn HC  2HB M t ph ng

ACC A' ' t o v i đáy m t góc 60 0 Tính theo a th tích c a kh i l ng tr ABC A B C ' ' ' và tính

Bài 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, c nh bên SA a , tam giác SAB cân

t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy, SC t o v i đáy m t góc  th a tan 3

Bài 28 Cho hình l ng tr ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đ u c nh 3a Hình chi u vuông góc c a ' C

lên m t ph ng ABC là đi m D th a mãn DC   2DB

Bài 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t tâm O , ADa 6 , AB a 3; M

là trung đi m c nh AD , hai m t ph ng SAC và SBM cùng vuông góc v i m t ph ng đáy; SA t o

v i đáy m t góc b ng 60 0 Ch ng minh BM vuông góc v i m t ph ng SAC và tính theo a th tích

69 | Trang

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh a , đ ng chéo AC a, tam giác SAB cân t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy, góc gi a SCD và đáy b ng 45 0 Tính theo a th tích kh i chóp S ABCD và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S ABD. Bài gi i ………

………

………

………

………

………

………

………

………