Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Hình học không gian"

Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Hình học không gian"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”

GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

H ình học không gian

Ví dụ 1: Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD có:

a Diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng 2

b Gọi O là tâm của đáy ABCD, ta có:

Gọi M là trung điểm AB, ta lần lợt:

 Trong ∆ABC vuông cân tại B, ta có AB AC 2 2



Nhận xét: Nh vậy, để tính thể tích của các khối chóp tứ giác đều trên

chúng ta đã thực hiện đúng theo bốn bớc đợc nêu trong phần phơng pháp, với lu ý dạng hình chóp này luôn nhận SO làm đ-ờng cao

S

BD

C

A

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho

HA = 2HB Góc giữa đờng thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA và BC theo a

2 Để tính khoảng cách giữa SA và BC, ta thấy:

 Việc tìm đoạn vuông góc chung của SA và BC khả thi nên cần chuyển nó về việc tính khoảng cách giữa B với mặt phẳng (P) chứa SA và song song với BC

Mặt phẳng (P) đợc xác định bằng cách dựng Ax // BC

 Vì A, B, H thẳng hàng nên:

d(B, (SAN)) BAd(H, (SAN)) = HA 3

2

=

Từ đó, bài toán đợc chuyển về việc tính d(H, (P))

 Gọi N và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN Ta có nhận xét:

d(H, (P)) = HK

Để tính AH ta sử dụng công thức đờng cao trong tam giác vuông

lời giải chi tiết:

a 3

4

Gọi D là trung điểm của AB, ta có:

ã

SH HC.tanSCH= = HD2+CD tan g(SC, (ABC))2

2 2

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện

1 Với hình chóp tam giác đều S.ABC, ta có thể:

 Sử dụng tính chất bằng nhau của các tam giác để có đợc SC ⊥ BH

 Sử dụng kết quả của sự vuông góc giữa đờng thẳng với mặt phẳng để có đợc

S.ABH S.ABC

 

−  ÷ 

=

a 15.4

Trong đó, độ dài các đoạn thẳng BC, AB, BB’ đợc xác định bằng việc sử dụng

hệ thức lợng trong tam giác vuông

2 Ta nhận thấy:

d(A, (BCD’)) = d(A, (BCD’A’)) = d(A, A’B) = h

Và h đợc xác định bằng việc sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông

lời giải chi tiết: Bạn đọc tự vẽ hình.

a Tứ diện ABB’C’ đợc coi là hình chóp C.ABB’ nên ta có ngay:

 A’C = a và ∆A’AC vuông cân chỉ có thể tại A nên:

A'CA'A AC

d(A, (BCD’)) = d(A, (BCD’A’)) = d(A, A’B) = h

Trong ∆AA’B vuông tại A, ta đợc:

= h a 6.

6

⇒ =

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân

AB = AC = a Mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy (ABC), hai mặt bên còn lai đều tạo với đáy môt góc 450

a Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S xuống đáy (ABC) là trung điểm cạnh BC

Hạ HM, HN theo thứ tự vuông góc với AB và AC (M, N

theo thứ tự sẽ là trung điểm của AB, AC), ta có:

SM ⊥ AB ⇒ SMH 45ã = 0, SN ⊥ AC ⇒ SNH 45ã = 0

Từ đó, ta đợc:

∆SHM = ∆SHN ⇒ HM = HN ⇒∆BHM = ∆CHN ⇒ HB = HC

Vậy, hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) là trung điểm cạnh BC

b Trong ∆SHM vuông tại H, ta có:

Nhận xét: a Trong lời giải trên chúng ta đã sử dụng kết quả:

"Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ

đờng thẳng a nào thuộc mặt phẳng (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) sẽ vuông góc với mặt phẳng (Q)"

để xác định đờng cao của hình chóp Các em học sinh cần nhớ thêm kết quả:

"Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba"

b Do đặc thù của công thức tính thể tích một khối lăng trụ chúng

ta cụ thể năm bớc trong dạng toán 1 ở phần mở đầu thành các bớc:

Bớc 1: Xác định các yếu tố của giả thiết (nh khoảng cách,

góc giữa đờng thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng ) theo các phơng pháp đã biết

Bớc 2: Thiết lập công thức tính cho thể tích V thông qua

biểu thức chứa những đoạn thẳng phải tính (1)

Bớc 3: Tính những đoạn thẳng ấy bằng cách sử dụng các

hệ thức lợng trong tam giác, tính chất đồng dạng (2)

Bớc 4: Thay (2) vào (1), ta đợc giá trị của V

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB

= BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và SN theo a

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Trớc tiên, chúng ta cần sử dụng giả thiết để thiết lập đợc:

SA ⊥ (ABC) − Tính chất hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

((SBC), (ABC)) SBA 60= = − Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

1 Với khối chóp S.BCNM, ta có ngay:

2 Để tính khoảng cách giữa AB và SN, chúng ta chỉ cần thực hiện:

 Tìm đoạn vuông góc chung của AB và SN, cụ thể với các em học sinh có kiến thức hình học phẳng vững sẽ dễ nhận thấy rằng cần tạo dựng một mặt phẳng (P) chứa SN và song song với AB, từ đó:

d(AB, SN) = d(AB, (P)) = d(A, (P)) = AHvới H là hình chiếu vuông góc của A trên (P)

d(DM, SC) = HK

 Để tính AH ta sử dụng công thức đờng cao trong tam giác vuông

lời giải chi tiết: Từ giả thiết:

M

NDH

1 3a

3 2

b Tính khoảng cách giữa AB và SN: Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đờng thẳng (d) qua

N và song song với AB và hạ AD vuông góc với (d) (D ∈ (d)), từ đó suy ra:

AB // (SND) ⇒ d(AB, SN) = d(AB, (SND)) = d(A, (SND)) = AH

trong đó H là hình chiếu vuông góc của A trên SD

Khi đó, thể tích của khối lập phơng đó là:

Ví dụ 8: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB = a, AD a 3.= Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Trớc tiên, chúng ta cần sử dụng giả thiết để thiết lập đợc:

A1O ⊥ (ABCD) với O là giao điểm của AC và BD

Với E là trung điểm của AD thì

với H là hình chiếu vuông góc của C trên BD

 Để tính CH ta sử dụng công thức đờng cao trong tam giác vuông

lời giải chi tiết: Học sinh tự vẽ hình.

Từ giả thiết ta đợc A1O ⊥ (ABCD) với O là giao điểm của AC và BD

Với E là trung điểm của AD thì:

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và

SA ⊥ (ABC), SB = a Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng α

a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và α

b Hãy tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất

y’ = −2cosα.sinα.sinα + cos2α.cosα = (3cos2α− 2)cosα

y’ = 0 ⇔ (3cos2α− 2)cosα = 0

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

AB = 3a, BC = 4a, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết

SB 2a 3, SBC 30= = Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ

điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

 Giải

S

BC

Đánh giá và định hớng thực hiện: Trớc tiên, các em học sinh hãy phác thảo hình vẽ.

1 Để tính đợc thể tích khối chóp S.ABC ta cần có đờng cao kẻ từ đỉnh S nên thực hiện hạ SH ⊥ BC (H ∈ BC) thì vì (SBC) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Hạ SH ⊥ BC (H ∈ BC) thì vì (SBC) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC) và khi đó trong

a 3

5

 +  ữ Nhận xét rằng:

d(B, (SAC)) BC 4a

4d(H, (SAC)) =HC = a =

3a 7 6a 7d(B, (SAC)) 4d(H, (SAC)) 4

Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi

M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và AC, H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3.= Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đờng thẳng DMvà SC theo a

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Các em học sinh có thể thấy:

1 Với khối chóp S.CDNM, ta có ngay:

Hớng 1: Tách tứ giác CDNM thành các hình cơ bản, thí dụ:

SCDNM = S∆ CDN + S∆ CNM

Hớng 2: Nhúng tứ giác CDNM trong một hình cơ bản, thí dụ:

SCDNM = SABCD− (S∆ AMN + S∆ BCM)Với bài toán này ta sẽ đi chọn hớng 2 bởi các hình cơ sở trong đó là hình vuông, tam giác vuông có độ dài cho trớc

2 Để tính khoảng cách giữa DM và SC, chúng ta chỉ cần thực hiện:

 Tìm đoạn vuông góc chung của DM và SC, cụ thể với các em học sinh có kiến thức hình học phẳng vững sẽ dễ nhận thấy rằng:

DM ⊥ CN ⇒ DM ⊥ (SHC) ⇒ DM ⊥ SCSuy ra, chỉ cần dựng HK vuông góc với SC chúng ta nhận đợc:

d(DM, SC) = HK

 Để tính HK ta sử dụng công thức đờng cao trong ∆SHC vuông tại H, cụ thể:

HK = HS +HCTrong công thức trên, ta cần tính thêm độ dài của CH dựa vào công thức hình chiếu trong ∆CDN vuông tại D

lời giải chi tiết:

⇔ =

+

2 2 2

.5a

a4

192a

a 3

5

 +  ữ 

K

Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Các em học sinh hãy phác thảo hình vẽ (hình bên) rồi xác định góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là A 'HA 60ã = 0

với H là trung điểm của BC

1 Với hình trụ ABC.A’B’C’, ta có ngay:

VABC.A’B’C’ = S∆ ABC.A’A

Trong đó:

 ∆ABC đều cạnh a nên có đợc S∆ABC

 Độ dài A’A đợc tính dựa theo hệ thức lợng trong

∆A’AH vuông tại A

2 Nhận xét rằng tứ diện G.ABC có ∆ABC đều nên để

xác định đợc tâm mặt cầu ngoại tiếp của nó ta chỉ cần

thực hiện:

 Xác định trục đờng tròn x của ∆ABC

 Dựng trung trực y của GA

Khi đó, giao điểm J của x và y là tâm mặt cầu ngoại tiếp GABC

lời giải chi tiết: Gọi H là trung điểm của BC, theo giả thuyết ta có:

A’

A

BC

 Gọi I là hình chiếu vuông góc của G trên (ABC), suy ra I là trọng tâm

∆ABC nên GI là trục đờng tròn của ∆ABC

 Gọi M là trung điểm của GA và trong mặt phẳng (AGH) dựng đờng trung trực Mx của GA Khi đó, Mx cắt GI tại J thì J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC

3a4sin α − a2 =

2

a (3 4sin )4sin

− αα

 Giải

C

BA

C’

B’

A’

I’

Đánh giá và định hớng thực hiện: Các em học sinh hãy phác thảo hình vẽ, rồi

lời giải chi tiết: Bạn đọc tự vẽ hình.

a Chứng minh M là trung điểm của SA: Ta có

Suy ra ∆SCA cân tại C nên M là trung điểm của SA

b Tính thể tích khối chóp tứ diện SMBC: Từ M ta hạ K vuông góc với AC, nên :

Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D,

AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

SI ⊥ (ABCD) S.ABCD ABCD

lời giải chi tiết: Bạn đọc tự vẽ hình.

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên:

SI ⊥ (ABCD) S.ABCD 1 ABCD

3a 15

5

=

Ví dụ 16: Đáy của khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác

đều Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc α và tam giác A’BC có diện tích bằng S Tính thể tích khối lăng trụ

A’C’

B’

E

 Gọi E là trung điểm BC, ta có:

AE ⊥ BC ⇒ A’E ⊥ BC (định lí ba đờng vuông góc) ⇒ ãAEA'= α

Ví dụ 17: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa

đờng thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600, ∆ABC vuông tại C và

B'BG 60= , với G là là trọng tâm ∆ABC

 Để tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a, ta có đánh giá:

1

= =

lời giải chi tiết: Bạn đọc tự vẽ hình.

Gọi D là trung điểm của AC và G là trọng tâm ∆ABC, ta có:

A đến mặt phẳng (IBC).

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Các em học sinh có thể thấy:

 Để tính thể tích khối tứ diện IABC, việc lựa chọn định I là đẽ thấy bởi khi

đó đáy sẽ là ∆ABC và với giả thiết vuông tại B chúng ta tính đợc ngay diện tích của nó Công việc cuối cùng trong phần này chỉ là đờng cao hạ từ đỉnh

I và nó đợc thực hiện dựa trên giải thiết lăng trụ đứng (Hạ IH vuông góc với

AC, H ∈ AC, suy ra IH ⊥ (ABC))

 Để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC), chúng ta chỉ cần thực hiện:Hạ AK ⊥ A’B (K ∈ A’B), ta có:

BC ⊥ (ABB’A’) ⇒ AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ (IBC) ⇒ d(A, (IBC)) = AK

Và để tính AK chúng ta thực hiện thông qua đánh giá:

lời giải chi tiết: Bạn đọc tự vẽ hình.

a Tính thể tích khối tứ diện IABC

Hạ IH ⊥ AC (H ∈ AC), suy ra:

IH ⊥ (ABC) ⇒ I.ABC ABC

BC2 = AC2− AB2 = 4a2 ⇒ BC = 2a,

2 ABC

((A'BD), (ABB ' A')) AHD= = α

Gọi a là cạnh đáy của hình lăng trụ, suy ra:

 Trong ∆HAD, ta có AH = AD.cotα = a.cotα

V = SABCD.AA’ = a2.h = h3(tan2α− 1) (đvtt)

Ví dụ 20: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = h, đáy là hình bình hành và ãBAD= α Các đờng chéo AC’ và DB’ lần lợt tạo với đáy những góc α và β Tính thể tích của khối lăng trụ

CC’H

AC CC '.cot C 'AC h.cot= = α.

 Trong ∆DBB’ ta có BD BB '.cot B 'DB h.cot= ã = β

 áp dụng định lý hàm số cosin, ta có:

BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD.cosα

AC2 = DC2 + AD2 – 2DC.AD.cos(π−α) = AB2 + AD2 + 2AB.AD.cosα.Trừ theo vế hai đẳng thức trên, ta đợc:

4AB.AD.cosα = AC2 – BD2 = h2.cot2α− h2.cot2β

⇔ AB.AD h (cot2 2 cot2 )

 Gọi M là trung điểm của AB, ta có:

∆A’AB vuông cân tại A’ ⇒ A’M = 1

 

 ữ

  =

2 2

DD’

C

BA

C’B’

A’

G

Ví dụ 22: Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình chữ nhật với AB =

a, AD = b và cạnh bên có độ bằng c Hai mặt bên (ABB'A') và (ADD'A') lần lợt tạo với đáy những góc α và β Tnh thể tích khối hộp

xcsin

=

α + β + (đvtt).

CC'

DA

A'

B

H

B'D'

M K