Hướng dẫn Bài này rất cơ bản, chỉ là dạng toán 2 căn mà anh đã dạy.. Vậy thì thử một vài giá trị ta thấy :... Chỉ có CASIO mới giải đáp nhanh chóng cho ta được vấn đề này chứ thực chất
Trang 1(Bùi Thế Việt – Giảng viên VTED.VN)
Luyện Thi THPT Quốc Gia 2016
Bài toán 25 Giải phương trình :
x 12x 38x 12x 67 x 1 7 x 0
(Portgas D Ace – Đề thi thử lần 2 – Vĩnh Phúc – 2016)
(Long Nguyễn) (Until You)
Lời giải
Ta có :
2
x 12x 38x 12x 67 x 1 7 x
x 1 7 x 4 x 1 7 x x 3
x 1 2 7 x 2 x 1 7 x x 3 0
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc
Hướng dẫn
Bài này rất cơ bản, chỉ là dạng toán 2 căn mà anh đã dạy
Các bước rất đơn giản :
Bước 1 : Tìm nghiệm :
Phương trình x412x338x2 12x 67 x 1 7 x 0 có nghiệm x 3
Bước 2 : Kiểm tra nghiệm bội :
Ta có :
x 3
2
x 3
x 12x 38x 12x 67 x 1 7 x
x 3
x 12x 38x 12x 67 x 1 7 x
x 3
Vậy bài toán chứa nghiệm bội kép
Bước 3 : Tìm nhân tử :
Nhân tử x 1 a 7 x b chứa nghiệm bội kép x 3
Đạo hàm hai vế ta và làm tương tự như anh đã dạy ta được nhân tử là :
x 1 7 x 4
Bước 4 : Chia biểu thức :
Sử dụng công thức U, V, T, W của anh ta được :
2 x 12x 38x 12x 67 x 1 7 x
x 1 7 x 4
x 17x 59x 77 x 1 x x 37x 35 7 x 4x 24x 28 x 1 7 x 16x 96x 114
Biểu thức này xấu quá ! Vậy ta phải chơi kiểu khác …
Nhìn thấy nghiệm kép là nghĩ tới BĐT Vậy thì thử một vài giá trị ta thấy :
Trang 24 3 2
x 1 7 x 4 0
x 1;7
x 12x 38x 12x 67 x 1 7 x 0
Vậy ta chỉ cần xem xem x4 12x3 38x2 12x 67 4 nó thế nào …
Ta luôn có :
2
x 12x 38x 12x 67 4
x 1 x 7 x 3 0
Vậy là ta được :
2
x 12x 38x 12x 67 x 1 7 x
x 1 x 7 x 3 x 1 7 x 4 0
Cái chúng ta cần đơn giản chỉ là chứng minh x 1 7 x 4 0
Ta có thể dùng BĐT Cauchy nè, hoặc kể cả Bunhiacopski Nhưng anh thích dùng S.O.S hơn …
Nhân tử chứa nghiệm bội kép của x 1 và 7 x là 2
x 1 2 và 2
7 x 2 Kết hợp lại ta được :
Từ đó ta được lời giải đẹp như sau :
x 12x 38x 12x 67 x 1 7 x
x 1 2 7 x 2 x 1 7 x x 3 0
Quan trọng ở đây là tại sao nghĩ tới nghiệm kép và nhân tử x 1 7 x 4 Chỉ có CASIO mới giải đáp nhanh chóng cho ta được vấn đề này chứ thực chất bài này chẳng có
gì khó cả !
Bài toán 28 Giải phương trình :
2 2 3
x 3 x 1 x x 4 2 23 x x 2x
(Tuan Quoc Ngo)
Lời giải
Cách 1 : Ta có :
2
Cách 2 : Ta có :
2 2
x 3 x 1 x x 4 2 2 3 x x 2x
2 2 3 x 4 2 2 x 1 x 1 x 1 2 0
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc
Hướng dẫn
Coi như đây là bài toán một căn thức cơ bản ax b đi
Chúng ta có nhiều hướng đi cho bài toán này
Trang 3Đặt t ax b ta được :
x 3 x 1 x x 4 2 2 3 x x 2x
t 2 t t t 4 2 2 3 t 4t 3t
Tìm nghiệm phương trình ta thấy nó có nghiệm kép t 2
Khi đó ta có nhân tử 2
t 2 Thực hiện phép chia nào :
2
t 2 t t t 4 2 2 3 t 4t 3t
t 2
Cách chia như nào ??? Ý tưởng rất đơn giản : Đổi dấu trước căn !
2
t 2 t t t 4 2 2 3 t 4t 3t
U V 2
t 2
CALC cho t = 1000, lưu biểu thức vào A
Đổi dấu 2 , lưu biểu thức vào B
Kết quả : U A B
2
2 2
Tóm lại ta được :
2
t 2 t t t 4 2 2 3 t 4t 3t
t 2 3t 8t 7t t 2 2 2 t 3t 2t t
Ta luôn có
3t 8t 7t t 2 0
t 3t 2t t 0
Vậy đơn giản lời giải của chúng ta chỉ là :
2 2
x 3 x 1 x x 4 2 2 3 x x 2x
3x 13x 12 8x 9 x 1 2 2 x 1 x 3 x 1 3x 4 x 2 0
Ta cũng có thể biến đổi x 1 ra một bên, ta được :
2
3x 13x 12 8x 9 x 1 2 2 x 1 x 3 x 1 3x 4
2 2 3 x 3 x 4 2 2 1 2 2 8 6 2 x 1 x 1
Nói chung là cả 2 cách này đều không ổn Vừa dài vừa xấu Lại nói về nghiệm kép, tại sao chúng ta không dùng BĐT nhỉ ?
2 2
Suy ra :
x 3 x 1 x 2 x 4 2 23 x 2 x3 2x ngược dấu mất tiêu rồi ! Kiếm cách khác Không lấy nhân tử của x 1 nữa, chơi hẳn x 3 x 1 ax b đi Đạo hàm ta được nhân tử là :
x 3 x 1 2 2x 2 2
Trang 4Thành thử ta thấy x 3 x 1 2 2x 2 2 0 Đúng với mục tiêu của chúng ta rồi Thử xem phần còn lại thế nào :
x 3 x 1 x x 4 2 2 3 x x 2x
2 2x 2 2 x x 4 2 2 3 x x 2x
Vì có nghiệm kép x 1 nên phân tích nhân tử tương tự như trên, ta được :
2
2 2x 2 2 x x 4 2 2 3 x x 2x
3x 4 2 2 x 1 0
x 1
Còn một vấn đề cần giải quyết nữa là chúng minh x 3 x 1 2 2x 2 2 0 Đơn giản thôi :
x 3 x 1 2 2x 2 2 x 1 x 1 2 0 Tóm lại ta được :
2
2 2
x 3 x 1 x x 4 2 2 3 x x 2x 3x 4 2 2 x 1 x 1 x 1 2
2 2 3 x 4 2 2 x 1 x 1 x 1 2 0
Các em muốn viết theo cách nào cũng được