tiếp tuyến và các bài toán liên quan

TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Tài liệu Tổng Ôn Môn Toán Năm 2016... Suy ra phương trình tiếp tuyến với  C tại M là:... Điều kiện tồn tại tiếp tuyến A.. Nói cách khác qua I khô

Tóm tắt lý thuyết

Cho y f x   C

1 Tiếp tuyến tại một điểm

Tiếp tuyến với  C tại M x f x 0;  0  là đường thẳng

:y f ' x0 x x 0   f x0

Ta cũng nói rằng  tiếp xúc với  C hay  C tiếp xúc ,

hoặc  và  C tiếp xúc nhau

Chú ý Khi nói đến tiếp tuyến của  C tại M , ta phải hiểu rằng M thuộc  C và M là nơi xảy ra

sự tiếp xúc

2 Tiếp tuyến qua một điểm

Tiếp tuyến qua M của  C là tiếp tuyến với  C tại một điểm N nào đó Điểm M có thể thuộc

 C hoặc không, trong trường hợp thuộc  C thì M lại có thể là tiếp điểm hoặc không (xem các hình vẽ ở dưới)

TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Tài liệu Tổng Ôn Môn Toán Năm 2016

Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến qua M x y 1; 1 của  C

Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của  C :

 0 0  0

B2  đi qua M khi và chỉ khi y1 f ' x0 x1x0   f x0 Giải phương trình này để tìm x0

B3 Thay mỗi x0 tìm được ở bước 2 vào phương trình , ta được một tiếp tuyến qua M của  C

A Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho

2 2

1

x x y

y  Suy ra phương trình tiếp tuyến với  C tại M là:

 



  

Suy ra  C có hai giao điểm với trục hoành là M12;0 và M21;0

Từ y ' 3  x2  8 x 5 suy ra y' 2  1, y'  1 0 Do đó phương trình tiếp tuyến với  C tại các điểm M1, M2 lần lượt là:

x x

0

15'

4916

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết rằng:

1)  C là đồ thị hàm số y   x4 2 x2 3 và hoành độ tiếp điểm bằng 2;

2)  C là đồ thị hàm số y   x3 3 x2  2 và tung độ tiếp điểm bằng 2;

 



 và tiếp điểm là giao điểm của  C với trục tung;

4)  C là đồ thị hàm số y  2 x3 3 x2  5 và tiếp tuyến đi qua 19

; 412

A 

5)  C là đồ thị hàm số y   x3 3 x2  2 và tiếp tuyến đi qua A1; 4

Bài 2 Cho y  2 x3 3 x2 12 x  1  C Tìm những điểm thuộc  C mà tiếp tuyến tại đó đi qua gốc tọa độ

§2 Điều kiện tồn tại tiếp tuyến

A Tóm tắt lý thuyết

Xét bài toán sau đây

Bài toán Cho đồ thị hàm số y f x   C Tìm điều kiện của tham số để  C có tiếp tuyến thỏa mãn một điều kiện nào đó

Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của  C :

12

:

11

x

x x

12

11

x x

x x

1

x x

Vậy không tồn tại x0 để  đi qua I Nói cách khác qua I không có tiếp tuyến của  C

Ví dụ 2 Cho y  4 x2 3 mx  6  C Tìm m để  C có tiếp tuyến đi qua A1; 2 

Giải Phương trình tiếp tuyến với  C tại điểm có hoành độ x0 là:

Ví dụ 3 Cho 2 1

2

x y x

5:

22

x

x x

Điểm A nằm trên đường thẳng x3  tọa độ A có dạng A 3;a

Qua A có tiếp tuyến tới  C khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với x0:

 2 0 0

0 0

5

22

x

x x

Trong trường hợp này  2 có nghiệm   1 có nghiệm

Trường hợp 2 a 2 0  a2 Khi đó  2 là phương trình bậc hai có     5a 35 Do đó, trong trường hợp này  1 có nghiệm khi và chỉ khi  2 có nghiệm, tức là

0



    5a 350  a7 Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là A3;a a  7

  C và d y: x Tìm m để  C tiếp xúc với d

Giải Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x0 (x0  1) là:

1:

 C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại x0 sao cho hai đường thẳng  và d trùng nhau Tức là

hệ sau đây có nghiệm đối với x0

  x0  m là một nghiệm của  *   * có nghiệm Vậy

 C tiếp xúc với d khi và chỉ khi m1

Ví dụ 5 Cho y   x4 8 x2 7  C Tìm m để đường thẳng d y:  60xm tiếp xúc với  C Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và  C

Giải Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x0 là:

 0 0  0

:y y x' x x y x

     :yy x x x y x' 0  0 '   0 y x0

 C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại x0 sao cho  và d trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ

sau đây có nghiệm đối với x0

1) Tìm trên trục tung những điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C ;

2) Tìm những điểm trên đường thẳng y 3 mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C

§3 Hệ số góc của tiếp tuyến

A Giới thiệu

Ta biết rằng f ' x0 là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  tại điểm có hoành độ x0

Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến

B Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho 2 3 2

2 2 3

y x x  x  C Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 của

x x

y   Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

Ta có f  1  9, suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  C là:

Chú ý (Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc)

 Tìm m để tiếp tuyến tại M của  C m song song với đường thẳng d: 5x y 0

Giải Phương trình tiếp tuyến tại M của  C m là

    :y y' 1 x 1 y 1

m m

y  m Do đó các tiếp tuyến của  C m tại A và B

vuông góc với nhau khi và chỉ khi

m m

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết

1)  C là đồ thị hàm số y   x3 3 x2  5 x 1, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

2)  C là đồ thị hàm số 1 3 2

5 2 3

y  x x  x , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất

Bài 2 Cho 1 3 2

1 3

y x mx   x m  C Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là 10 Viết phương trình các tiếp tuyến đó

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết rằng

1) [ĐHB06]  C là đồ thị hàm số

2

12

x x y

Bài 4 Tìm tất cả các điểm trên đồ thị  C của hàm số 1 3 2

y x  x mà tiếp tuyến tại đó vuông

góc với đường thẳng : 1 2

§4 Một số tính chất hình học của tiếp tuyến

A Tóm tắt lý thuyết

Phần này sử dụng một số kiến thức sau:

1 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho điểm M x y 0; 0 và đường thẳng  :axby c 0 Ta có công thức tính khoảng cách từ M

2 Giao điểm của hai đường thẳng

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng

x x

x x

13

10

x x





x x

x x x x

30

31

3 25

:

11

x

x x

 cách đều các điểm A và B khi và chỉ khi:

x x

0

5'

412

11

x x

1

x x



  C Tìm tọa độ điểm M thuộc  C biết tiếp tuyến của  C tại

M cắt hai trục Ox , Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

4

Giải Ta có

 2

2'

22

:

11

x

x x

2 2

:

x x

:

22

0

A

x x

y

x y

:

22

0

B

x x

y

x x

21

Ta có OA x  02,

2 0 2 0

2 1

x OB

x

1 4

OAB

4 0 2 0

1 4 1

x x



0 0 4

0 2

x





  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cách A 4; 1

một khoảng bằng 7 2

5

Bài 3 Cho 1

3 4

x y

  tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất

Bài 4 [ĐHA09] Cho 2

2 3

x y x

x



  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết rằng tiếp tuyến cắt các trục

tọa độ Ox , Oy lần lượt tại hai điểm A, B phân biệt sao cho ABOA 2

D Hướng dẫn và đáp số

y  x Bài 4 Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y  x 2

Bài 5 Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là 3

§5 Điều kiện tiếp xúc

A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa (Hình 1) Cho y f x   C và yg x   C'

 C và  C' tiếp xúc với nhau tại điểm M x y 0; 0 nếu cả hai điều

kiện sau đây thỏa mãn:

 M là một điểm chung của  C và  C' ;

 Tiếp tuyến của hai đường cong tại M trùng nhau

Điểm M được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho

  C và  C' tiếp xúc nhau  hệ  * có nghiệm đối với x;

 Nghiệm của  * chính là hoành độ tiếp điểm;

 x0 là hoành độ tiếp điểm  tiếp tuyến chung của  C và  C' tại điểm có hoành độ x0

y 0

x 0 M

Ví dụ 1 [SGKNC] Cho 3 5

2 4

yx  x  C và y x   2 x 2  C' Chứng minh  C và  C'

tiếp xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung

Giải Ký hiệu   3 5

05

ax b k x c m

k b x

b k  a c m    1 có nghiệm kép (ĐPCM) hoctoancapba.com

Ví dụ 3 [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng qua điểm A1; 2  và tiếp xúc với parabol

Vậy qua điểm A có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: y   2x và y 2x 4

Ví dụ 4 [ĐHB08] Cho y  4 x3 6 x2 1  C Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm

 1; 9

M   của  C

Giải Đường thẳng qua M , hệ số góc k có phương trình dạng :yk x  1 9

 là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm

  C và d y: x Tìm m để  C tiếp xúc với d

Giải  C tiếp xúc với d khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với x

x x

m x

là nghiệm của

là nghiệm của

m

m m

chúng vuơng gĩc với nhau

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến qua A của đồ thị  C trong các trường hợp sau:

 có nghiệm đối với x

Bài 2 Đường thẳng  qua 3 5

11

1

k x x

k x