Vn Lời Nói Đầu abcdef... Các Bài Toán Bài Toán 1... Vn Phần II.
Trang 1Hà Tĩnh tháng 11 năm 2015
Trang 2Vn
Lời Nói Đầu
abcdef
Trang 3Vn
Phần I Các Bài Toán
Bài Toán 1 Giải hệ phương trình
x3+ 3x2+ 3x = 2y3+ 6y2+ 6y
x2+ y2 = ypx (x + y) + xpy (y − x)
Bài Toán 2 Giải hệ phương trình
√
y + 2x − 1 +√
1 − y = y + 2
x√
x =py (x − 1) +px2− y
Trang 4Vn
Phần II Hướng Dẫn Giải
Giải hệ phương trình sau
x3+ 3x2+ 3x = 2y3+ 6y2+ 6y (1)
x2+ y2 = ypx (x + y) + xpy (y − x) (2)
Bài toán 1
Lời Giải
Điều kiện: x (x + y) ≥ 0 ; y (y − x) ≥ 0
Ta có:
ypx (x + y) ≤ x2 + xy + y2
2 xpy (y − x) ≤ x2− xy + y2
2
⇒ ypx (x + y) + xpy (y − x) ≤ x2+ y2 (3)
Khi đó:
(2) ⇔
(
y2 = x2+ xy
x, y ≥ 0 ⇔
x = −1 +√5
2 y
x = −1 −√5
2 y
x, y ≥ 0
⇔
x = −1 +√5
2 y
x, y ≥ 0
x = −1 −√5
2 y
x, y ≥ 0
⇔
x = −1 +√5
2 y
x, y ≥ 0
x = y = 0
Với
x = −1 +√5
2 y
x, y ≥ 0
thay lên phương trình còn lại ta được:
−1 +√5
2 y
!3
+ 3 −1 +√5
2 y
!2
+ 3.−1 +√5
2 y = 2y
3+ 6y2+ 6y
⇔−4 +√5y3− 3 + 3
√ 5 2
!
y2+ −15 + 3√5
2 y = 0 ⇔ y = 0 ⇒ x = 0 Với x = y = 0 thay lên phương trình trên thỏa mãn
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (0; 0)
Trang 5Vn
Giải hệ phương trình sau
√
y + 2x − 1 +√
1 − y = y + 2
x√
x =py (x − 1) +px2− y
Bài toán 2
Lời Giải
Phương trình thứ hai của hệ ta có
p
y (x − 1) +px2− y = x√x
√
xy − y −px2− y = xy − y − (x
2− y)
py (x − 1) +px2− y =
x (y − x)
x√
x =
y − x
√ x
⇒ 2√xy − y = y − x√
x + x
√
x = x
2− x + y
√ x
⇒ 2py (x2− x) = x2− x + y
⇒ 4y x2− x = x2 − x + y2
⇔ y − x2+ x2 = 0 ⇔ y = x2− x Thay vào phương trình đầu của hệ ta được
√
x2+ x − 1 +√
−x2+ x + 1 = x2− x + 2
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
√
x2+ x − 1 ≤ x
2+ x − 1 + 1
2 =
x2+ x 2
√
−x2+ x + 1 ≤ −x2 + x + 1 + 1
2 =
−x2+ x + 2 2
Từ đó suy ra
x2− x + 2 ≤ x
2+ x
2 +
−x2 + x + 2 2
⇔ (x − 1)2 ≤ 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 0 Thử lại ta thấy thõa mãn hệ phương trình
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 0)
Giải hệ phương trình sau
y3+ ypx4+ y4 = x3+ x
2√
x − y + x
3y3 (xy +√
x − y)2 = xy
Bài toán 3
Trang 6Vn
Ta thấy xy = 0 không phải là nghiệm của phương trình (2)
Chia cả 2 vế pt 2 cho xy ta được:
2√
x − y
xy +
1 (1 +
√
x − y
xy )
2
= 1
Đăt t =
√
x − y
xy Phương trình trở thành
2t + 1 (1 + t)2 = 1 ⇔ 1 = (1 − 2t)(1 + t)2 ⇔
t = 0
t = −3 2
• Với t = 0 ⇒ x = y thay vào phương trình đầu ta được nghiệm x = y = √41
2 (T /M )
• Với t = −3
2 ⇔ 2√x − y + 3xy = 0
Từ phương trình đầu ta có
y4+ y2px4+ y4 = xy(x2+ 1) ⇒ xy > 0 Suy ra phương trình 2√x − y + 3xy = 0 vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y = √41
2
Giải hệ phương trình sau
(x + 1)y2014 = 2√
x 2x + 3 = 4√
x − y2015
Bài toán 4
Lời Giải
Điều kiện x ≥ 0
Xét phương trình thứ nhất của hệ ta có
(x + 1)y2014 = 2√
x ≤ x + 1 ⇒ y2014 ≤ 1 ⇒ y ∈ [−1; 1]
Khi đó 2x + 3 = 4√x − y2015 ≤ 4√x + 1
⇔ 2 √x − 12
≤ 0 ⇔ x = 1
Do đó x = 1 ⇒ y = −1 (T /M )
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; −1)
Giải hệ phương trình sau
4x3+ y3+ y√
2x − y = 3y2x
x +√ 4x2+ 1
y + 2py2+ 1= 3xy
Bài toán 5
Lời Giải
Trang 7Vn
Ta có 3xy = x + 4x2+ 1 y + 2py2+ 1 ≥ 0
Nhận thấy xy = 0 không là nghiệm nên xét hai trường hợp sau
Nếu x > 0 thì y > 0 và có
x +√ 4x2+ 1 y + 2py2+ 1≥ (x + 2x) (y + 2y) = 9xy > 3xy Suy ra trường hợp này vô nghiệm
Nếu x < 0 thì y < 0 và xét phương trình thứ nhất
−p2x − y = −3xy + 4x
3
y +
y2
2 +
y2
2 ≥ −3xy + 3xy = 0
⇔ y = 2x Thay vào phương trình thứ hai của hệ, nhận được
x +√ 4x2+ 1 2x + 2√
4x2+ 1= 6x2
⇔x +√
4x2+ 1
2
= 3x2 ⇔ x +√4x2+ 1 = −√
3x ⇔ x = −p1
2√ 3 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) =
−√1
2√3; −√2
2√3