Ứng dụng của tam thức bậc hai vào một số bài toán trong chương trình Trung học phổ thông ban nâng cao theo hướng tiếp cận dạy học giải quyết vấn đề

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ NGỌC ANH ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG BAN NÂNG CAO THEO HƯỚNG TIẾ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ NGỌC ANH

ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG BAN NÂNG CAO THEO HƯỚNG TIẾP CẬN DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN )

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Văn

HÀ NỘI – 2012

KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

Quy ước về các chữ viết sử dụng trong luận văn

Viết tắt Viết đầy đủ

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Giả thuyết khoa học 3

3 Mục đích nghi ên cứ u 3

4 Nhiệm vụ nghi ên cứu 3

5 Phương pháp nghi ên cứu 3

6 Phạm vi nghi ên cứ u 4

7 Mẫu khảo sát 4

8 Câu hỏi (vấn đề) nghiên cứ u 5

9 Kết quả đóng góp mới của luâ ̣n văn 5

10 Cấu trú c luâ ̣n văn 6

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Nhiệm vụ của quá trình dạy học Toán 6

1.1.1 Truyền thụ những tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống 6

1.1.2 Phát triển năng lực trí tuệ chung 8

1.1.3 Giáo dục chính trị tư tưởng, đạo đức và thẩm mĩ 10

1.1.4 Đảm bảo chất lượng phổ cập đồng thời với phát triển và bồi dưỡng năng khiếu 14

1.1.5 Liên quan giữa các nhiệm vụ 15

1.2 Dạy học giải quyết vấn đề 17

1.2.1 Cơ sở khoa học của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề 17

1.2.2 Những khái niệm cơ bản 18

1.2.3 Các hình thức dạy học giải quyết vấn đề 21

1.2.4 Các mức dạy học giải quyết vấn đề 22

1.2.5 Thực hiện dạy học giải quyết vấn đề 23

1.3 Kết luận chương 1 25

Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 26

2.1 Ứng dụng của tam thức bậc hai vào giải phương trình 26

2.2 Các bài toán quy về phương trìnnh bậc hai 30

2.2.1 Phương trình bậc cao 31

2.2.2 Các phương trình vô tỉ quy về phương trình bậc hai 39

2.2.3 Phương trình mũ quy về phương trình bậc 2 42

2.2.4 Phương trình logarit quy về phương trình bậc hai 43

2.2.5 Phương trình lượng giác quy về phương trình bậc hai: 45

2.2.6 Các phương trình phức hợp quy về phương trình bậc hai: 48

2.2.7 Một số phương trình có ẩn số ở mẫu số: 50

2.3 Ứng dụng của tam thức bậc hai vào giải hệ phương trình 53

2.4 Ứng dụng của tam thức bậc hai vào giải bất phương trình và hệ bất phương trình 56

2.5 Kết luận chương 2 74

Chương 3: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC THEO HƯỚNG TIẾP CẬN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA DẠY HỌC ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI 75

3.1 Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp dạy học giải quyết vấn đề 75

3.2 Một số biện pháp dạy học tam thức bậc hai theo hướng tiếp cận giải quyết vấn đề 75

3.2.1 Biện pháp 1: Tích cực tư duy học sinh trong quá trình phát hiện vấn đề 75

3.2.2 Biện pháp 2: Tích cực hoá tư duy của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề 81

3.2.3 Biện pháp 3: Tích cực hoá hoạt động của học sinh trong quá

trình kết luận vấn đề và đánh giá 87

3.3 Thực nghiệm sư phạm 94

3.3.1 Mục đích thực nghiệm 94

3.3.2 Nội dung thực nghiệm 94

3.3.3 Tổ chức thực nghiệm 94

3.3.4 Kết quả thực nghiệm 95

3.4 Phân tích kết quả thực nghiệm 98

3.4.1 Xử lí kết quả bằng thống kê toán học 98

3.4.2 Đánh giá định lượng kết quả 99

3.5 Kết luận chương 3 100

KẾT LUẬN CHUNG 101

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 103

MỞ ĐẦU

1 Lí do cho ̣n đề tài

Luật giáo dục nước Cộng Hoà Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam đã quy định:

“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 24)

Về vấn đ ề giáo dục , nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ương Đảng CSVN (khóa VII) cũng đã chỉ ra: “Giáo dục đào ta ̣o phải hướng vào đào ta ̣o những con người lao đô ̣ng tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề lớn thường gă ̣p, qua đó góp phần tích cực thực hiê ̣n mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước ma ̣nh, xã hội công bằng, dân chủ văn minh”

Vớ i mục ti êu đó , nhiê ̣m vụ đă ̣t ra cho người giáo vi ên là phải đổi mới phương pháp da ̣y ho ̣c , nhằm giải quyết m âu thuẫn giữa y êu cầu đào ta ̣o con người mới với vấn đề kh ông phù hợp của phương pháp da ̣y ho ̣c truyền thống Với đà phát triển kh ông ngừng của nền kinh tế trí thức hiê ̣n nay , viê ̣c n âng cao chất lươ ̣ng giáo dục và đào ta ̣o càng đòi hỏi cấp bách hơn bao giờ hết Dướ i ảnh hưởng của l í thuyết cổ điển về nhâ ̣n thức , phương pháp da ̣y ho ̣c chủ yếu là do người thầy thuyết trình và truyề n thụ các niềm tin về ch ân lí cho người ho ̣c với sự cảm hóa bằng c ách lâ ̣p luâ ̣n logic và thực nghiê ̣m Và dĩ nhiên, nhiệm vụ của người ho ̣c trò là tiếp thu mô ̣t cách đầy đủ và trung thành , nhưng thụ đô ̣ng , các niềm tin ch ân lí trong các tri thức khoa ho ̣c đượ c truyền giảng đó

Cho đến đầ u thế kỷ 20, khi nhận thức về khoa ho ̣c đã phát triển , người ta phát hiện ra rằng có những sự kiện kh ông thể suy từ các nguy ên lí khoa ho ̣c cổ điển, từ đó dẫn đến các tiếp câ ̣n ch ân lí theo phương pháp khác Người ta cho rằng nhiê ̣m vụ của khoa h ọc không phải đi tìm ch ân lí, vì có thể kh ông

bao giờ tìm ra mà tìm cách giải quyết vấn đề , tìm những c âu trả lời chấp nhâ ̣n đươ ̣c cho những bài toán mà con người thường gă ̣p trong cuô ̣c sống

Như vậy , trong nền giáo dục thế giới đã có cơ sở để hình thành mô ̣t

phương pháp da ̣y và ho ̣c mới , nay ta go ̣i là phương p háp giải quyết vấn đề (Problem solving ), thay cho phương pháp cũ là truyền đa ̣t và tiếp thu thụ động các bài giảng có sẵn trong chươ ng trình và sách giáo khoa Phương pháp này hiê ̣n nay đã được sử dụng ở nhiều trường ho ̣c ở Hoa Kỳ và đã trở thành mô ̣t yếu tố chủ đa ̣o trong cải cách giáo dục ở mô ̣t s ố nước khác

Hiện nay , sau nhiều thâ ̣p ni ên phát triển , nô ̣i dung của phương pháp giải quyết vấn đề đã được bồi đắp rất phong phú , được kết hợp với các nô ̣i dung về rèn luyê ̣n các k ĩ năng tư duy phê phán và tư duy sáng tạ o, làm cơ sở lí luâ ̣n cho rèn luyê ̣n và n âng cao năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng ta ̣o cho ho ̣c sinh

Khái niệm “Tam thức bậc hai” đã được đưa ra trong toán học từ những cấp bậc rất thấp nhưng phải đến chương 4 phần Đại số 10 ban nâng cao mới được giới thiệu một cách đầy đủ Đó là một đơn vị kiến thức nhỏ so với toàn

bộ chương trình Đại số trung học phổ thông nói riêng và toàn bộ chương trình toán học trung học phổ thông nói chung nhưng nó lại chiếm một vai trò quan trọng đối với việc giải các bài toán phổ thông Tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số, tam thức bậc hai còn được dùng để chứng minh bất đẳng thức hoặc giải các bài toán liên quan đến phương trình hàm… Đây chính là một công cụ đơn giản nhưng hiệu quả để giải rất nhiều bài toán xuyên suốt toàn bộ chương trình toán phổ thông

Từ những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng của tam thức

bậc hai vào một số bài toán trong chương trình trung học phổ thông ban nâng cao theo hướng tiếp cận dạy học giải quyết vấn đề”

2 Giả thuyết khoa học

Nếu giáo viên biết ứng dụng tam thức bậc hai một cách linh hoạt, đồng thời kết hợp với phương pháp dạy học giải quyết vấn đề một cách hợp lí, hiệu quả trong các khâu của quá trình dạy học thì có thể tích cực hoá hoạt động của học sinh qua đó phát triển được năng lực nhận thức và tư duy của học sinh ở mức độ cao, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán học

ở trường phổ thông

3 Mục đích nghiên cư ́ u

Khai thác ứng dụng của tam thức bậc hai vào một số bài toán chương trình trung học phổ thông một cách hệ thống, trong đó sử dụng phương pháp dạy học giải quyết vấn đề nhằm phát huy tính tích cực, chủ động và tư duy sáng tạo của học sinh

4 Nhiê ̣m vu ̣ nghiên cứu

- Nghiên cứ u lí luâ ̣n về phương pháp phát hiê ̣n và giải quyết vấn đề

- Nghiên cứu ứng dụng của tam thức bậc hai trong các bài toán thuộc chương trình trung học phổ thông ban nâng cao

- Nghiên cứu quá trình dạy học về ứng dụng của tam thức bậc hai theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

- Thực nghiê ̣m sư pha ̣m mô ̣t phần kết quả nghi ên cứ u để kiểm nghiê ̣m tính khả thi của đề tài

5 Phương pha ́ p nghi ên cứu

5.1 Phương pha ́ p nghiên cứu dựa trên các tài liê ̣u

- Nghiên cứ u các văn kiê ̣n của Đảng , Nhà nước về giáo dục đào tạo , tình trạng giáo dục , chương trình sách giáo khoa đổi mới , cách thức đổi mới phương pháp dạy học nói chung và dạy học Đại số n ói riêng

- Nghiên cứ u sách báo liên quan đến giáo dục

- Nghiên cứ u l í luâ ̣n về t âm lí học, lí luâ ̣n da ̣y ho ̣c m ôn Toán, phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học Toán và dạy học giải bài

tâ ̣p toán ho ̣c

- Nghiên cứ u chương trình sách giáo khoa , sách n âng cao Đại số 10, sách tham khảo

5.2 Phương pha ́ p điều tra quan sát

- Dự giờ, trao đổi với thầy cô giáo đồng nghiệp tại trường THPT T ây Sơn

- Tham khảo ho ̣c tâ ̣p kinh nghiê ̣m của nh iều giáo vi ên giàu kinh nghiê ̣m da ̣y Toán

- Tiếp thu và nghi ên cứu ý kiến của giảng vi ên hướng dẫn

- Điều tra tình tra ̣ng tiếp thu kiến thức của ho ̣c sinh đă ̣c biê ̣t là tìm hiểu thực tế khả năng vận dụng l í thuyết để làm bà i tâ ̣p

- Điều tra , tìm hiểu khả năng áp dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề của giáo viên trong da ̣y ho ̣c môn Toán

Sử dụng phương pháp như tr ên để nắm được tình h ình thực tiễn dạy và học ở trường phổ thông và để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm

5.3 Phương pha ́ p thực nghiê ̣m sư phạm

Dạy thử nghiệm tại lớp 10A8, 10A9 trườ ng THPT T ây Sơn nhằm kiểm tra tính khả thi của phương pháp này trong việc tiếp thu kiến thức của học sin h

5.4 Phương pha ́ p thống kê toán học

Xử lí các số liệu điều tra

6 Phạm vi nghiên cƣ ́ u

Toàn bộ các bài tập trong chương trình trung học phổ thông có liên quan

hoặc có thể vận dụng được tam thức bậc hai

7 Mẫu kha ̉ o sát

Lớ p 10A8, 10A9 trường THPT Tây Sơn, xã Phúc Đồng, huyện Gia Lâm,

Hà Nội

8 Câu ho ̉i (vấn đề) nghiên cƣ́u

Vận dụng tam thức bậc hai theo phương pháp dạy học giải quyết vấn đề như thế nào để có thể nâng cao tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh qua đó phát triển được năng lực nhận thức và tư duy của học sinh?

9 Kết qua ̉ đóng góp mới của luâ ̣n văn

- Trình bày rõ cơ sở l í luận về phương pháp da ̣y ho ̣c phát hiê ̣n và giải quyết vấn đề

- Kết quả điều tra thực tiễn cho thấ y phương pháp da ̣y ho ̣c và giải quyết vấn

đề được nhiều người vận dụng , quan tâm, có nhận thức đầy đủ

- Đề xuất các ứng dụng của tam thức bậc hai có vận dụng phương pháp dạy học giải quyết vấn đề đối với các bài toán được chia thành các dạng bài cụ thể

10 Cấu tru ́ c luâ ̣n văn

Ngoài phần mở đầu, kết luâ ̣n chung, tài liệu tham khảo , nội dung chính của Luâ ̣n văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luâ ̣n và thực tiễn

Chương 2: Một số ứng dụng của tam thức bậc hai vào một số bài toán trong chương trình trung học phổ thông

Chương 3: Một số biện pháp dạy học theo hướng tiếp cận dạy học giải quyết vấn đề thông qua dạy học ứng dụng tam thức bậc hai

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Nhiệm vụ của quá trình dạy học Toán

1.1.1 Truyền thụ những tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống

Truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng là cơ sở để thực hiện các nhiệm

vụ về các phương diện khác Để thực hiện nhiệm vụ quan trọng này, ta cần lưu ý những điểm sau đây:

1.1.1.1 Truyền thụ những dạng khác nhau của tri thức

Người ta thường phân biệt 4 dạng tri thức: Tri thức sự vật, tri thức phương pháp, tri thức chuẩn và tri thức giá trị

Tri thức sự vật trong môn toán thường là một khái niệm (ví dụ khái

niệm vectơ), một định lí (chẳng hạn định lí sin trong tam giác), cũng có khi là một yếu tố lịch sử

Tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về

bản chất: những phương pháp có tính chất thuật toán (ví dụ như phương pháp giải phương trình bậc hai) và những phương pháp có tính chất tìm đoán (chẳng hạn phương pháp tổng quát của Pôlya để giải bài tập toán học)

Tri thức chuẩn thường liên quan với những chuẩn mực nhất định,

chẳng hạn trình bày giả thuyết và kết luận của một chứng minh thế nào, sắp xếp các dòng biến đổi đồng nhất ra sao v.v…

Tri thức giá trị có nội dung như là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn

"Toán học có vai trò quan trọng trong khoa học kĩ thuật cũng như trong đời sống", "khái quát hoá là thao tác trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học"

Trong dạy toán học, người thầy giáo cần coi trọng đúng mực các dạng tri thức khác nhau, tạo cơ sở cho việc thực hiện giáo dục toàn diện Đặc biệt, chúng ta có thể nói rằng tri thức phương pháp ảnh hưởng trực tiếp tới việc rèn luyện kĩ năng, tri thức giá trị làm nền tảng cho việc giáo dục tư

1.1.1.2 Hình thành kĩ năng trên những bình diện khác nhau

Do tính trừu tượng nhiều bình diện của Toán học, trong dạy học Toán

ta cần quan tâm rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện khác nhau:

- Kĩ năng vận dụng tri thức nội bộ môn Toán

- Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác

- Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống

Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức toán học Không thể hình dung một con người hiểu những tri thức toán học mà lại không biết vận dụng chúng để làm toán

Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, thường là những môn gắn bó thực tiễn trực tiếp hơn môn toán

Kĩ năng trên bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn toán

Nó cũng cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống

1.1.1.3 Tô đậm những mạch tri thức, kĩ năng xuyên suốt chương trình:

Trong dạy toán học, ta không chỉ dừng lại việc truyền thụ những tri thức lẻ tẻ, rèn luyện những kĩ năng riêng biệt cho học sinh, mà còn phải thường xuyên chú ý những hệ thống tri thức, kĩ năng tạo thành những mạch xuyên suốt chương trình Trong môn toán, có thể kể tới những mạch như sau:

1.1.2 Phát triển năng lực trí tuệ chung

Môn toán có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh Nhiệm vụ này cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống,

có kế hoạch chứ không phải tự phát Muốn vậy, người thầy giáo cần có ý thức đầy đủ về các mặt sau đây:

1.1.2.1 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

Do đặc điểm của khoa học toán học, môn toán có tiềm năng quan trọng

có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic Nhưng tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra dưới hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi ngôn ngữ của con người và ngược lại ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác

Việc phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua môn toán có thể được thực hiện theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau:

- Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát…

- Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa

- Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại những chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh

1.1.2.2 Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

Tác dụng phát triển tư duy của môn toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng Muốn phát triển khả năng này, người thầy giáo cần lưu ý:

- Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hoá, quy lạ về quen… Những suy đoán có thể rất táo bạo, nhưng phải có căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, mà lại càng không phải là nghĩ

- Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng và quan hệ không gian và làm việc với chúng trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng

1.1.2.3 Rèn luyện những thao tác tư duy

Môn toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những thao tác

tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá v.v…, do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những thao tác này

Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách

một vật thành những bộ phận riêng lẻ

Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên

kết nhiều vật thành một hệ thống

Phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng lại

là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai thao tác cơ bản của một quá trình tư duy Những thao tác tư duy khác có thể coi là những dạng xuất hiện của phân tích và tổng hợp

Trừu tượng hoá là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm

không bản chất Đương nhiên sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn

hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát Như vậy, ta thấy ngay rằng trừu tượng hoá là điều kiện cần của khái quát hoá

Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, trong môn Toán học sinh còn phải thực hiện các phép tương tự hoá, so sánh… do đó có điều kiện rèn luyện cho họ những thao tác trí tuệ này

1.1.2.4 Hình thành những phẩm chất trí tuệ

Việc rèn luyện cho học sinh những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa toán học lớn đối với việc học tập, công tác và cuộc sống của học sinh Có thể nêu lên một số phẩm chất trí tuệ quan trọng:

- Tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Tính độc lập liên hệ chặt chẽ mật thiết với tính phê phán của tư duy Tính chất sau này thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc những ý nghĩa và tư tưởng của người khác và bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết đặt những câu hỏi “tại sao”, “như thế nào?” khi lĩnh hội kiến thức

- Tính sáng tạo: Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng sáng tạo ra cái mới: phát hiện ra vấn đề, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ Cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là ở chỗ cách nhìn cái cũ như thế nào Các khái niệm nhóm, vành, trường chẳng qua là một sự trừu tượng hoá, khái quát hoá những đối tượng, những quan hệ và những tính chất đã thấy trên một số tập hợp số Nhưng rõ ràng việc đi từ những tập hợp số tới những khái niệm nhóm, vành, trường là một sự sáng tạo lớn Tính sáng tạo có thể dẫn tới những suy nghĩ rất táo bạo, nhưng có căn cứ chứ không phải nghĩ liều, làm liều

1.1.3 Giáo dục chính trị tư tưởng, đạo đức và thẩm mĩ

Cũng giống như ở các bộ môn khác, quá trình dạy học môn Toán là một quá trình thống nhất giữa giáo dưỡng và giáo dục Để làm được việc này, người thầy giáo toán một mặt phải thực hiện phần nhiệm vụ chung giống như giáo viên các bộ môn khác: phát huy tác dụng gương mẫu, tận dụng ảnh hưởng của tập thể học sinh, phối hợp với giáo viên chủ nhiệm…; nhưng mặt khác còn cần khai thác tiềm năng của nội dung môn toán để góp phần riêng của bộ môn và việc thực hiện nhiệm vụ này Nhìn chung cần chống hai khuynh hướng:

- Khuynh hướng thứ nhất phủ nhận nhiệm vụ giáo dục tư tưởng chính trị của môn toán, hay nhẹ hơn một chút là chỉ hạn chế tác dụng giáo dục của môn này ở chỗ ra một số bài tập ứng dụng

- Khuynh hướng thứ hai muốn ôm đồm thực hiện cả nhiệm vụ giáo dục toàn diện của nhà trường mà không cần căn cứ vào đặc điểm bộ môn Vấn đề đặt ra là phải khai thác tiềm năng đặc thù của nội dung môn toán với tư cách là một thành phần trong tất cả các môn học, góp phần giáo dục chính trị tư tưởng, phầm chất đạo đức và thẩm mĩ Muốn vậy, cần phải lưu ý:

1.1.3.1 Giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội

Trong phạm vi môn toán, có thể giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa

xã hội theo những cách sau:

- Đưa ra những số liệu về công cuộc xây dựng và bảo vệ tổ quốc vào những

đề toán trong những trường hợp có thể được, chẳng hạn những bài toán có nội dung thực tế giải bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

- Khai thác một số sự kiện về lịch sử toán liên quan tới truyền thống dân tộc, chẳng hạn việc tính gần đúng số  theo quy tắc: “Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị”

- Giáo dục về lòng tự hào về tiềm năng Toán học của dân tộc ta Tiềm năng này bộc lộ rõ ràng đến mức thế giới đã thừa nhận rằng có một nền Toán học Việt Nam Việc dùng tiếng mẹ đẻ trong dạy học và nghiên cứu Toán cũng là một niềm tự hào dân tộc

1.1.3.2 Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng

Môn toán có nhiều tiềm năng có thể khai thác để bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng Để làm tốt việc này, cần chú ý các điểm sau:

- Làm cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn, cụ thể

là thấy rõ toán học là một dạng phản ánh thực thể khách quan, thấy rõ

nguồn gốc, đối tượng và công cụ của Toán học, qua đó hiểu được bản chất của sự trừu tượng toán học

- Làm cho học sinh ý thức được những yếu tố của phép biện chứng, chẳng hạn sự tương quan và vận động của các sự vật và hiện tượng, sự thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập, sự chuyển hoá từ thay đổi số lượng sang chất lượng, sự biện chứng cái chung và cái riêng, cái cụ thể và cái trừu tượng, cái tất nhiên và cái ngẫu nhiên v.v…

Cần chú ý là ta thực hiện những điều này thông qua việc dạy học toán chứ không phải dạy môn triết học trong môn toán

1.1.3.3 Rèn luyện phẩm chất đạo đức

Môn toán cũng có tiềm năng rất lớn đối với việc bồi dưỡng học sinh những phẩm chất đạo đức con người mới, bởi vì bản thân lao động toán học cũng đòi hỏi những phẩm chất như thế Trong những phẩm chất này có thể kể tới: tính cẩn thận, chính xác, tính kế hoạch, kỉ luật, kiên trì, vượt khó, ý chí tiến công, tinh thần trách nhiệm, thái độ phê phán, thói quen tự kiểm tra v.v…

Trong khi việc giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội, việc bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng chỉ có thể thực hiện ở những cơ hội nhất định thì việc rèn luyện phẩm chất đạo đức cho học sinh có thể diễn ra trong mọi giờ toán, ở mọi nội dung Điều quan trọng là thầy giáo không nên

vì thế mà ôm đồm muốn bồi dưỡng cho học sinh qua nhiều phẩm chất mọi cách dàn trải trong cùng một tiết học Phải căn cứ vào đặc thù của nội dung, vào tình hình cụ thể của học sinh về mặt đạo đức mà lục thì nhấn mạnh phẩm chất này, khi thì tập trung vào phẩm chất kia một cách có trọng tâm, trọng điểm Như vậy mới có thể đặt được hiệu quả giáo dục mong muốn

1.1.3.4 Giáo dục thẩm mỹ

Để giáo dục văn hoá thẩm mĩ cho học sinh, cần chú ý phát triển đồng thời các thành tố: tri thức và tầm nhìn thẩm mĩ, quan niệm và thị hiếu thẩm

mĩ, tình cảm và năng lực thẩm mĩ Môn toán cũng có thể đóng góp phần mình vào giáo dục thẩm mĩ cho học sinh từ một số phương diện

Thứ nhất, môn toán cũng có những cơ hội để học sinh cảm nhận và thể hiện cái đẹp theo nghĩa thông thường trong đời sống Những hình vẽ đẹp trong sách giáo khoa, cách trình bày bảng sáng của thầy, cô giáo, những trang hình màu sắc hoà hợp trên máy vi tính, những hình cân đối, hài hoà mà nhiều khi đã được người ta sử dụng kiến trúc và trong nghệ thuật tạo hình v.v… có tác dụng bồi dưỡng óc thẩm mĩ, làm cho học sinh biết thưởng thức cái đẹp Việc yêu cầu học sinh giữ vở sạch chữ đẹp, vẽ hình rõ ràng, sáng sủa, vẽ đồ thị với đường nét trơn tru, trình bày những phép tính ngăn nắp… sẽ góp phần giáo dục họ biết thể hiện và sáng tạo cái đẹp

Thứ hai, Toán học có một vẻ đẹp rất đặc sắc thể hiện tính logic, chính xác của nó Nhà bác học Nga N.E Giucôpxki (1847 – 1821) đã nhận xét

“Toán học cũng có vẻ đẹp riêng giống như hội hoạ và thi ca, vẻ đẹp này thường phản ánh qua những tư tưởng rõ ràng, khi mọi chi tiết của các suy lí như bày ra trước mắt ta, nhưng có khi nó làm ta phải sửng sốt vì những ý đồ rộng lớn chứa điều gì đó chưa nói ra hết nhưng đầy hứa hẹn” (trích theo Đỗ Xuân Hà… 1990) Như vậy cùng với những tri thức toán học quy định trong chương trình môn toán còn tiềm tàng những khả năng không nhỏ về giáo dục thẩm mĩ Giáo viên có thể dạy cho học sinh thưởng thức và thể hiện cái đẹp trong lập luận logic chặt chẽ, trong cách trình bày rõ ràng, mạch lạc, trong ngôn ngữ kí hiệu ngắn gọn, chính xác, trong những lời giải bất ngờ, độc đáo, trong những ứng dụng phong phú, đa dạng… của Toán học vào đời sống

Thứ ba, Toán học có tác dụng phát triển ở người học hiểu phẩm chất giúp họ biết thưởng thức và sáng tạo cái đẹp Một công trình nghệ thuật giá trị nào mà không có sự sáng tạo Con người phải có sự sáng tạo thì mới tạo ra được cái đẹp Như vậy, óc thẩm mĩ gắn liền với óc sáng tạo Việc thưởng thức tạo ra cái đẹp cũng thường liên hệ với tư duy hình tượng Toán học góp phần

phát triển năng lực sáng tạo tư duy hình tượng, cho nên môn toán có tác dụng giáo dục thẩm mĩ

1.1.4 Đảm bảo chất lượng phổ cập đồng thời với phát triển và bồi dưỡng năng khiếu

Việc đảm bảo chất lượng phổ cập xuất phát từ yêu cầu khách quan của xã hội và từ khả năng thực tế của học sinh Một mặt, xã hội đòi hỏi học sinh ra trường phải đảm nhiệm công việc lao động xây dựng và bảo vệ tổ quốc, nếu cơ

sở Toán học không vững thì sẽ ảnh hưởng tới năng suất lao động, tới hiệu suất công tác Mặt khác, những nghiên cứu của nhà tâm lí học khẳng định rằng mọi học sinh có sức khoẻ bình thường đều có thể tiếp thu một nền văn hoá phổ thông, trong đó có học vấn toán học phổ thông Hiện tượng có không ít học sinh kém toán ở trường phổ thông hiên nay là do nhiều nguyên nhân về cách dạy của thầy, cách học của trò, về hoàn cảnh kinh tế, điều kiện vật chất… chứ không phải do việc dạy học toán đòi hỏi học sinh một năng khiếu đặc biệt, một trí thông minh khác thường Người giáo viên toán có thể và cần phải làm cho học sinh tiếp thu được các tri thức và kĩ năng toán học cơ bản quy định trong chương trình Đó là nhiệm vụ bảo đảm chất lượng phổ cập

Tuy nhiên, không ít tất cả học sinh đều có khả năng trở thành những nhà Toán học Trong các trẻ em, một số có năng khiếu, tài năng về toán Phát hiện

và bồi dưỡng những mầm mống nhân tài này là rất cần thiết, rất quan trọng, bởi vì nước ta đang cần những nhà Toán học xuất sắc góp phần xây dựng nên Toán học hiện đại, nền khoa học kĩ thuật tiên tiến, góp phần xây dựng tổ quốc Để cho những mầm non như thế bị thui chột đi không phải chỉ đem lại

sự thiệt thòi bản thân người có năng khiếu mà còn là một sự lãng phí rất lớn của đất nước Cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật ngày nay đã buộc mọi người phải chú ý tới một loại tài nguyên vô cùng quý giá, đó là tài nguyên trí tuệ lỗi lạc Việc bồi dưỡng và sử dụng có hiệu quả tinh hoa trí tuệ là một trong

thuật, kinh tế, văn hoá và xã hội của một quốc gia Vì thế giáo dục năng khiếu ngày càng được khẳng định như một tất yếu của thời đại và trở thành khâu quan trọng trong chiến lược nhân tài của nhiều quốc gia Giáo dục toán học trong nhà trường phổ thông cần phải góp phần thực hiện nhiệm vụ này

Việc kết hợp giữa phổ cập với đề cao, giữa đại trà và mũi nhọn có thể được thực hiện bằng dạy học phân hoá theo hai con đường:

- Phân hoá trong (phân hoá nội tại) bao gồm những biện pháp chỉ đạo cá biệt hoặc những pha phân hoá trong dạy học đồng loạt

- Phân hoá ngoài (hay phân hoá về tổ chức) được thực hiện bằng cách giúp

đỡ tách riêng những nhóm học sinh yếu kém, bồi dưỡng tách riêng những nhóm học sinh giỏi, mở những chuyền đề tự chọn, những lớp chuyên, lớp chọn phân ban…

1.1.5 Liên quan giữa các nhiệm vụ

Các nhiệm vụ trên không tách rời nhau mà trái lại, chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau nhằm hình thành ở người học sinh thế giới quan và nhân sinh quan cách mạng, năng lực nhận thức và hành động động cơ đúng đắn và lòng say mê học tập lao động, xây dựng và bảo vệ tổ quốc Điều đó thể hiện sự thống nhất giữa dạy chữ và dạy người, giữa dạy học

và phát triển

Sự liên quan giữa các nhiệm vụ thể hiện như sau:

1.1.5.1 Tóm toàn diện của các nhiệm vụ

Các nhiệm vụ nêu ở trên là những phương diện khác nhau của một thể thống nhất thể hiện tính toàn diện của nhiệm vụ dạy học Toán Nói tới tính toàn diện và để người thầy giáo quan tâm tới các phương diện của nhiệm vụ, tránh khuynh hướng đơn thuần truyền thụ tri thức hoặc chỉ thực hành một cách thực dụng, không chú ý phát triển năng lực trí tuệ và giáo dục phẩm chất đạo đức Trong điều kiện kinh tế xã hội của nước ta hiện nay, tính toàn diện không nên hiểu là yêu cầu quá cao về tất cả các mặt một cách thoát li thực tế

Mặt khác, khi nói tới nhiệm vụ toàn diện là nói đối với toàn bộ chương trình Còn đối với từng bài cụ thể thì không nên hiểu nhiệm vụ toàn diện một cách khiên cưỡng, không nên yêu cầu một sự toàn diện đơn thuần mà trái lại, cần tập trung vào một số trọng tâm, trọng điểm

1.1.5.2 Vai trò của tri thức

Tri thức là cơ sở để rèn luyện kĩ năng thực hiện các nhiệm vụ khác

“Cơ sở” không nên hiểu là quan trọng hơn các nhiệm vụ khác mà chỉ có nghĩa

là nếu không truyền thụ tri thức thì không thể thực hiện các nhiệm khác Từ

đó phải tránh tình trạng học sinh nhắm mắt làm ngay bài tập khi chưa học lí thuyết Tuy nhiên từ đó cũng không được dẫn tới một xu hướng sai lầm theo chiều ngược lại là gia tăng khối lượng tri thức quá nhiều, nhồi nhét tri thức cho học sinh Thậm chí còn có khả năng giảm bớt số lượng tri thức mà không

hề ảnh hưởng xấu tới việc thực hiện nhiệm vụ toàn diện của môn toán Trong tình trạng hiện nay, sự tinh giản tri thức một cách có cân nhắc còn có thể làm lợi cho việc thực hiện nhiệm vụ về các mặt khác, thuận lợi cho việc giáo dục toàn diện

Với tư cách là cơ sở giáo dục toán học, tri thức có quan hệ mật thiết với việc thực hiện các nhiệm vụ toán học Đặc biệt, những tri thức phương pháp có liên quan chặt chẽ với việc rèn luyện kĩ năng, nhưng tri thức giá trị (đánh giá vai trò của một hoạt động, tầm quan trọng của một tri thức v.v…) nhiều khi có liên hệ với việc gây động cơ hoạt động, điều đó cũng ảnh hưởng tới việc rèn luyện kĩ năng, phát triển năng lực trí tuệ hoặc bồi dưỡng thế giới quan

1.1.5.3 Vị trí của kĩ năng và hoạt động

Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kĩ năng Sự nhấn mạnh này đặc biệt cần thiết đối với môn toán vì môn này được coi là môn học công cụ do đặc điểm và vị trí của nó trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách trong nhà trường phổ thông, vì vậy cần

định vị trí quan trọng của kĩ năng tất yếu dẫn tới nhấn mạnh vai trò của hoạt động của học sinh, bởi vì kĩ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động

Một số nhiệm vụ dạy học có thể được hoạt động hoá, tức là có thể dùng những hoạt động để trưng cho yêu cầu thực hiện các nhiệm vụ đó Người ta

có thể nêu ra những hoạt động mà việc tiến hành chúng thể hiện người học sinh đạt được mục đích đặt ra tới mức độ nào Việc hoạt động hoá một nhiệm

vụ là cụ thể hoá nhiệm vụ đó, đồng thời vừa vạch ra một con đường thực hiện nhiệm vụ đặt ra Vì những lí do đó cần cố gắng hoạt động hoá những nhiệm

vụ dạy học, mặc dù điều này không phải bao giờ cũng làm được

1.1.5.4 Sự thống nhất của các nhiệm vụ trong hoạt động

Cần hướng vào hoạt động của học sinh trong việc thực hiện các nhiệm

vụ dạy học Việc truyền thụ một kiến thức, rèn luyện một kĩ xảo, phát triển một năng lực, hình thành một phẩm chất cũng là nhằm góp phần giúp học sinh tiến hành một hoạt động nào đó trong học tập cũng như trong đời sống Nhờ đó, các nhiệm vụ về các mặt khác nhau được thống nhất trong một hoạt động, điều này thể hiện mối liên hệ hữu cơ giữa các nhiệm vụ đó Tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, năng lực trí tuệ và niềm tin một mặt là điều kiện và mặt khác là đối tượng biến đổi của hoạt động Hướng vào hoạt động một cách đúng đắn không hề làm phiến diện nhiệm vụ dạy học, mà trái lại còn đảm bảo tính toàn diện của nhiệm vụ đó [12, tr26-40]

1.2 Dạy học giải quyết vấn đề

1.2.1 Cơ sở khoa học của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề

1.2.1.1 Cơ sở triết học

Theo triết học duy vật biện chứng: “Mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển” Mỗi vấn đề được gợi cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với kiến thức và kinh nghiệm sẵn

có Tình huống này phản ánh một cách logic và biện chứng quan hệ bên trong

giữa kiến thức cũ, kĩ năng cũ, kinh nghiệm cũ với những yêu cầu giải thích sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế

1.2.1.2 Cơ sở tâm lí học

Theo các nhà tâm lí học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cần cần tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề, hay nói như Rubinstein: “Tư duy sáng tạo luôn luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề”

1.2.1.3 Cơ sở giáo dục học

Dạy học giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trong quá trình giải quyết vấn đề

Dạy học giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất giữa giáo dưỡng và giáo dục Tác dụng giáo dục của kiểu dạy học này là ở chỗ nó dạy cho học sinh cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách thức phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho người học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như: tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra…

1.2.2 Những khái niệm cơ bản

1.2.2.1 Vấn đề

Trong giáo dục, ngươi ta thường hiểu khái niệm “vấn đề” như sau: Một vấn đề được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành đồng) thoả mãn các điều kiện sau:

- Học sinh chưa giải giáp được câu hỏi đó hoặc chưa thực hiện được hành động đó

- Học sinh chưa được học một quy tắc có tính chất thuật toán nào để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra

Hiểu theo nghĩa trên thì vần đề không đồng nghĩa với bài tập Những bài tập chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng một quy tắc có tính chất thuật toán thì không phải là những vấn đề

1.2.2.2 Tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

Như vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thoả mãn điều kiện sau:

- Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn

với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được khó khăn trong tư duy hoặc hành động và vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua

- Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có một vấn đề, nhưng nếu học

sinh thấy xa lạ, không muốn tìm hiểu thì đây cũng chưa phải là một tình huống có vấn đề Trong tình huống có vấn đề, học sinh phải cảm thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giải quyết vấn đề đó

Một vấn đề có thể có ý nghĩa do bản thân nội dung của nó, đó có thể là lời giải cho một câu hỏi nào đó mà cá nhân đã quan tâm đến từ lâu, hay một câu hỏi nảy sinh một cách tự nhiên và lí thú từ logic của đề tài đang nghiên cứu Đó có thể là một tình huống nghịch lí khiến người ta ngạc nhiên thắc mắc Song, quá trình dạy học nêu vấn đề hình thành tốt đẹp các chức năng của nó thì trong quá trình áp dụng nó ngày càng nhiều trong thực hành thì bản thân quá trình sáng tạo, quá trình tìm tòi

sẽ trở thành động cơ chủ yếu

- Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề

tuy hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy nó vượt quá xa so với khả năng của mình thì học sinh cũng không sẵn sàng giải quyết vấn đề Cần

làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một

số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết vấn đề đó

Đặt vấn đề tốt sẽ tác động đến cá nhân theo một phương thức nhất định Nếu việc khắc phụ được khó khăn trong vấn đề nêu lên dẫn đến sự thoả mãn một nhu cầu nào đó của cá nhân, thì cá nhân đó sẽ có nguyện vọng giải quyết vấn đề ấy Lúc này sẽ nảy sinh một sự căng thẳng trí tuệ nhất định, sự căng thẳng này chỉ mất đi khi vấn đề đã được giải quyết Những người lười suy nghĩ, không quen với tư duy độc lập, sẵn sàng tránh sự căng thẳng đó và sự băn khoăn về trí tuệ kèm theo nó Điều đó cũng cho thấy, tình huống có vấn

đề còn phụ thuộc vào chủ quan và tạo ra tình huống có vấn đề như thế nào để không bỏ rơi một bộ phận học sinh trong lớp là kết quả của nghệ thuật sư phạm của giáo viên

1.2.2.3 Dạy học giải quyết vấn đề

Trong dạy học giải quyết vấn đề, giáo viên tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác và tích cực để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà lĩnh hội tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác

Đưa học sinh (H) đến một trở ngại (T) (tình huống có vấn đề), ở đó T thoả mãn các điều kiện gây xúc cảm và trên sức một ít

Học sinh tích cực hoạt động nhận thức dưới sự gợi mở dẫn dắt toàn bộ hoặc từng phần của giáo viên, hoặc hoàn toàn độc lập để tìm ra con đường

HK vượt qua T đến kết quả K Mô phỏng theo lí thuyết hoạt động các mũi tên

Hx thể hiện yếu tố trực giác với tư cách là một sự mách bảo bất ngờ, không nhận thức được Quá trình rèn luyện học sinh độc lập vượt qua trở ngại sẽ dần dần hình thành và phát triển ở họ các năng lực sáng tạo

Dạy học giải quyết vấn đề có những đặc trưng sau:

- Học sinh hoạt động tích cực huy động tri thức và khả năng của mình để giải quyết vấn đề

- Mục đích của dạy học không chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội được kết quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn làm cho họ phát triển được khả năng tiến hành những quá trình như vậy Nói cách khác, học sinh không chỉ học kết quả của việc học mà trước hết là học bản thân việc học

1.2.3 Các hình thức dạy học giải quyết vấn đề

Tuỳ theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề, người ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thức khác nhau của dạy học giải quyết vấn đề

1.2.3.1 Hình thức trình bày nêu vấn đề

Ở hình thức này, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn ở hai hình thức trên Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy đặt vấn đề và tình bày quá trình suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải) Trong quá trình này có tìm kiếm dự đoán, có lúc thành công, có khi thất bại phải điều chỉnh phương hướng mới đi đến kết quả Như vậy, kiến thức được trình bày không phải dưới dạng có sẵn mà là trong quá trình khám phá ra chúng, quá trình này là một sự mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thực

Hình thức này được áp dụng trong trường hợp thông báo những sự kiện trong lịch sử phát triển khoa học và chính khoa học cũng đứng trước những tình huống có vấn đề, có khi đến nay vẫn chưa giải quyết được Hoặc trong trường hợp do logic của trình bày tài liệu mà nảy sinh ra những tình huống mâu thuẫn với các quan niệm quen thuộc hay với những khẳng định mới đây của giáo viên liên quan với việc nghiên cứu giai đoạn phát triển khoa học trước đó Trong hai trường hợp vừa nêu, tình huống có vấn đề là không vừa sức học sinh Nếu tình huống có vấn đề tuy cũng vừa sức học sinh nhưng nó

thuận tiện để giới thiệu với học sinh một mẫu mực về tư duy nghiêm túc, tiết kiệm… thì vẫn có thể sử dụng hình thức trình bày nêu vấn đề

1.2.3.2 Hình thức tìm tòi từng phần

Trong hình thức này, học sinh giải quyết vấn đề không hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt khi cần thiết Giáo viên tạo tình huống, học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề với sự hướng dẫn của giáo viên Hình thức này

là cần thiết trong trường hợp học sinh gặp khó khăn, không có lối thoát khi giáo viên tạo tình huống gợi vấn đề Khi đó, nhiệm vụ của giáo viên là phải giúp đỡ học sinh mà không làm mất đi tính có vấn đề của bài toán Có thể chỉ

ra một số con đường để thực hiện phương pháp này Nếu học sinh không thể giải được bài toán thì giáo viên xây dựng một bài toán khác tương tự thế nhưng hẹp hơn Hoặc giáo viên chia một bài toán khó thành vài ba bài toán nhỏ, dễ hơn, nhưng tập hợp lại thì thành lời giải cho bài toán ban đầu Hoặc, giáo viên gợi ý những dữ kiện bổ sung cho điều kiện của bài toán khó, nhờ đó hạn chế được số bước giải và phạm vi tìm tòi…

1.2.3.3 Hình thức nghiên cứu

Trong hình thức nghiên cứu, tính độc lập của người học được phát huy cao độ Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó Thầy giáo giúp học sinh cùng lắm là ở khâu phát hiện vấn đề Như vậy, trong hình thức này, người học độc lập nghiên cứu vấn đề

và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này, nhờ đó chuẩn bị cho học sinh năng lực giải quyết các vấn đề một cách trọn vẹn

1.2.4 Các mức dạy học giải quyết vấn đề

Theo một số nhà lí luận dạy học, tuỳ theo mức độc lập tư duy của học sinh, người ta thực hiện các mức dạy học giải quyết vấn đề như sau:

Mức 1: Giáo viên đặt vấn đề, nêu cách giải quyết vấn đề, đồng thời giáo viên

giải quyết vấn đề Học sinh là người quan sát và tiếp nhận kết luận do giáo viên thực hiện, đây là mức thấp nhất và thường áp dụng với những nội dung dạy học quá khó so với trình độ nhận thức của học sinh Trong quá trình này,

họ cũng trải qua những thời điểm, những cảm xúc và thái độ khác nhau như một học sinh đang thực sự tham gia quá trình nghiên cứu, nhưng không trực tiếp giải quyết vấn đề

Mức 2: Giáo viên đặt vấn đề, nêu cách giải quyết vấn đề và giải quyết vấn đề

Sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh rút ra kết luận và giáo viên chính xác hoá các kiến thức

Mức 3: Giáo viên gợi ý để học sinh phát hiện vấn đề, hướng dẫn học sinh tìm

cách giải quyết vấn đề, giáo viên và học sinh cùng đánh giá kết quả, rút ra kết luận

Mức 4: Học sinh tự phát hiện vấn đề cần nghiên cứu, lập kế hoạch và giải

quyết vấn đề, tự rút ra kết luận, giáo viên nhận xét đánh giá

1.2.5 Thực hiện dạy học giải quyết vấn đề

Hạt nhân của dạy học giải quyết vấn đề là điểu khiển quá trình nghiên cứu của học sinh Quá trình này có thể chia thành các bước sau, trong đó:

Bước 1: Phát hiện vấn đề:

- Đưa học sinh vào tình huống có vấn đề

- Phân tích tình huống đó

- Dự đoán vấn đề nảy sinh và đặt mục đích chứng minh tính đúng đắn của

nó

Bước 2: Giải quyết vấn đề:

- Phân tích vấn đề, làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm

- Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết, có thể điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết Trong khâu này thường sử dụng những quy tắc tìm đoán như: quy lạ về quen, đặc biệt hoá, chuyển qua những trường hợp suy biến, xem xét tương tự, khái quát hoá, xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy ngược và suy xuôi…

- Trình bày cách giải quyết vấn đề

Bước 3: Kiểm tra và vận dụng:

- Kiểm tra sự đúng đắn và phù hợp với thực tế của lời giải

- Kiểm tra tính hợp lí hoặc tối ưu của lời giải

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng của kết quả

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề… và giải quyết nếu có thể

* Những điểm lưu ý trong quá trình sử dụng quy trình dạy học:

- Quy trình dạy học trên phải được xây dựng trên cơ sở bao quát toàn bộ các đơn vị kiến thức quy định trong một giờ học, tức là giáo viên phải định

rõ vấn đề nhận thức nào là cơ bản, cho học sinh phát hiện và giải quyết (giai đoạn 1 và 2), những vấn đề còn lại được coi là sự vận dụng (giai đoạn 3) của vấn đề cơ bản đó Như vậy, toàn bộ tiến trình giờ học là sự vận động và biến đổi theo ba giai đoạn của vấn đề cơ bản ban đầu

- Bước vận dụng vào tình huống mới (trong giai đoạn thứ ba của quy trình) lại trải qua ba giai đoạn của quy trình dạy học: phát hiện tình huống mới, giải quyết nó và lại vận dụng nó vào tính huống mới khác… cứ thế tiếp tục cho tới hết giờ học Do đó, hành động vận dụng ở quy trình dạy học phải

thực hiện mục đích kép: vừa tìm ra kiến thức mới, vừa rèn luyện phương thức hành động qua việc thực hành tại quy trình dạy học

- Quy trình dạy học đã nêu nên được coi là quy trình “khung” cho một giờ dạy theo kiểu giải quyết vấn đề Còn trong mỗi giai đoạn, hoạt động tương tác giữa giáo viên và học sinh luôn biến đổi hết sức linh hoạt bởi: tuỳ thuộc vào nội dung nhận thức nào cần lĩnh hội, hình thức dạy học nào được lựa chọn trình độ nhận thức của học sinh, năng lực chuyên môn và sư phạm của giáo viên… Song, cần đảm bảo tính hướng đích của quy trình dạy học: Dựa vào kết quả dự đoán mà chủ thể (học sinh) luôn hướng vào

đó để điều chỉnh và kiểm tra hành động của mình

- Không nên quá cứng nhắc trong việc xây dựng và sử dụng quy trình dạy học, bởi việc thiết kế nó bị phụ thuộc vào nội dung, đối tượng nhận thức, trình độ của giáo viên, phương tiện dạy học…

1.3 Kết luận chương 1

Chương này đề cập đến các cơ sở khoa học của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề, phân tích dạy học giải quyết vấn đề trong quá trình dạy học toán, với nhấn mạnh rằng: dạy học giải quyết vấn đề mang tính hiện đại, nó đáp ứng được một số yêu cầu về vấn đề dạy học và tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh Trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải dự tính lựa chọn các pha dạy học giải quyết vấn đề thích hợp cho từng nội dung, cho từng tiết học và cho từng đối tượng học sinh Dạy học theo hướng tiếp cận giải quyết vấn đề phù hợp với những định hướng và giải pháp đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO MỘT

SỐ BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1 Ứng dụng của tam thức bậc hai vào giải phương trình

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng:

(1) ax2  bx c   0( a  0)

1 Cách giải: Gọi  b2  4 ac Khi đó:

Nếu   0 : Phương trình vô nghiệm

Nếu   0: Phương trình có nghiệm kép 0

2

b x

a

  

Trường hợp b = 2b’ thì có thể viết nghiệm gọn hơn: 1;2

' '

b x

4 Dấu của nghiệm số: Dựa vào định lí viet ta có:

Điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là

Ví dụ 1: Cho phương trình 2x2 2xcos 0(o   )

a) Với những giá trị nào của  thì phương trình vô nghiệm

b) Gọi x x1 ; 2là nghiệm của phương trình Hãy xác định  sao cho

Ví dụ 2: Cho phương trình x22(m1)x m  3 0

a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có nghiệm

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà ko phụ thuộc vào m

c) Xác định m sao cho phương trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về trị tuyệt đối

Thế giá trị của m vào (1) ta được: x1 x2 2x x1 2 4 Đây là hệ thức liên hệ

giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m

c) Muốn phương trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối

Vậy m = 1 là giá trị hỏa mãn yêu cầu của bài toán

Ví dụ 3: Gọi  ; là các nghiệm của phương trình

6

x  xa  có nghiệm và 1 nghiệm bằng bình phương nghiệm kia

Giải: Trước hết ta phải có 15

(k1) ac kb 0, thì một trong hai thừa số của P phải bằng không và ngược lại Đó chính là điều phải chứng minh

2.2 Các bài toán quy về phương trìnnh bậc hai

Trong chương trình phổ thông, chúng ta thường gặp các bài toán giải các

phương trình hoặc hệ phương trình mà các phương rình hoặc hệ phương trình

đó thường được thể hiện dưới các hình thức:

- Phương trình vô tỉ

- Phương trình bậc cao

- Phương trình lượng giác;

2

x   x  

11; 2;

2

x   x   x  

Chú ý: Đối với phương trình bậc ba ax3bx2 cx d 0 ta cần biết các tính chất sau:

1 Nếu a+b+c+d=0 thì phương trình có một nghiệm là x=1

2 Nếu a-b+c-d=0 thì phương trình có một nghiệm là x=-1

Nếu đã đoán nhận được một nghiệm thì ta có thể dễ dàng phân tích vế trái thành thừa số Phương trình đã cho là một trường hợp riêng của dạng đã nêu ở trên

Ví dụ 2: Cho phương trình:

x  m  m x m  m 

a Xác định m sao cho phương trình có một nghiệm bằng -1

b Giải phương trình ứng với các giá trị m tìm được

Vậy với m = 3 hoặc m = -2 thì phương trình đã cho có nghiệm bằng -1

b Với m = 3 Phương trình đã cho có dạng:

Vậy phương trình (*) có 3 nghiệm: x = -1; x = 4; x = -3

Với m = -2 ta giải tương tự

Ví dụ 3: Giải phương trình

Giải: Chú ý rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả

hai vế của phương trình cho 2





Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x1 1;x2 5;x3 2;x4 2,5

Chú ý: Phương trình đã cho là một trường hợp riêng của phương trình dạng

0( 0)

ax bx cx dx k  a  với k ( ) ;d 2 k 0

được gọi là phương trình hồi quy)

Cách giải phương trình dạng tổng quát này hoàn toàn tương tự như cách giải phương trình đã cho

Trong trường hợp đặc biệt k 1

a  tức là đối với những phương trình có dạng

x   

Chú ý: Phương trình đã cho là một trường hợp riêng của phương trình dạng

(xa x b x c x)(  )(  )( d)m

Trong đó a+b=c+d hoặc a+c=b+c hoặc a+d=b+c

Cách giải phương trình tổng quát này tương tự như cách giải phương trình đã cho

Ví dụ 6: Giải phương trình (x3)4 (x 5)4 2

Vậy phương trình có nghiệm kép x = -4

Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình đã cho là: