Tam thức bậc hai và một số ứng dụng.

11 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ .... Dấu của tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biệ

MỤC LỤC

CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI 5

1.1 Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai 5

1.1.1 Nghiệm của phương trình bậc hai 5

1.1.2 Định lý Vi - ét 7

1.2 Bài toán dấu của tam thức bậc hai 8

1.2.1 Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai 8

1.2.2 Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai 10

1.3 So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số và biện luận phương trình bậc hai 11

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 15

2.1 Hệ phương trình hỗn hợp và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 15

2.1.1 Hệ phương trình hỗn hợp 15

2.1.2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 16

2.2 Dấu của tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biện luận bất phương trình 18

2.3 Phương trình vô tỷ và phương trình bậc cao 23

2.3.1 Phương trình vô tỷ 23

2.3.2 Phương trình bậc cao 26

2.4 Phương trình mũ và phương trình lôgarit 31

2.4.1 Phương trình mũ 31

2.4.2 Phương trình lôgarit 33

2.5 Một số phương trình lượng giác 35

2.6 Một số sai lầm của học sinh khi sử dụng định lý đảo về dấu của tam

thức bậc hai 37

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC KHẢO SÁT HÀM SỐ PHỤ THUỘC THAM SỐ 39

3.1 Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số 39

3.2 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên một miền 40

3.2.1 Hàm số bậc 3: 41

3.2.2 Hàm phân thức: 43

3.3 Cực trị và dạng đồ thị của hàm số 44

3.4 Xác định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước 46

3.5 Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng 48

3.6 Giao điểm của đường thẳng với hàm số bậc bốn và với các nhánh của hypebol 52

3.6.1 Giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm bậc 4 52

3.6.2 Giao điểm của đường thẳng với nhánh của hypebol 53

CHƯƠNG IV: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 55

4.1 Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc chứng minh bất đẳng thức 55

4.2 Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc giải các bài toán hình học 57

KẾT LUẬN 59

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not

defined

trong luận văn này tôi chọn đề tài “ Tam thức bậc hai và một số ứng dụng”

Nội dung luận văn gồm các phần sau:

Chương I Một số dạng toán về tam thức bậc hai Trong chương

này, tôi hệ thống hóa lại một cách ngắn gọn về các dạng toán như các phương pháp giải phương trình bậc hai, so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với các số đã cho

Chương II Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai vào việc giải phương trình, bất phương trình Trong chương này chúng tôi

nêu lên một số ứng dụng trực tiếp định lý đảo của tam thức bậc hai và các bài toán áp dụng gián tiếp định lý trên Đó là giải hệ phương trình hỗn hợp

và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải phương trình vô tỷ và phương trình bậc cao, giải phương trình mũ và phương trình lôgarit, giải một số phương trình lượng giác, dấu của tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biện luận bất phương trình, một số sai lầm của học sinh khi sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai

Chương III Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai vào việc khảo sát hàm số Tôi sử dụng định lý đảo của tam thức bậc hai

vào một số bài toán về khảo sát hàm số và đồ thị như: hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên một miền, cực trị và dạng đồ thị của hàm số, xác định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước,…

Chương IV Ứng dụng định lý đảo về tam thức bậc hai vào việc chứng minh bất đẳng thức và bài toán hình học Trong chương này tôi

trình bày về những ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc chứng minh bất đẳng thức và một số bài toán hình học

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long với

sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS Bùi Huy Hiền Cuối cùng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của Thầy Đồng thời, tôi xin cảm ơn các Thầy, Cô thuộc khoa Toán – Tin, Phòng sau đại học trường đại học Thăng Long đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do kinh nghiệm và thời gian có hạn, nên bản luận văn này không thể tránh khỏi thiếu sót, tôi mong sự đóng góp

ý kiến của các Thầy Cô và độc giả

Hải Phòng, ngày 8 tháng 7 năm 2015

Người thực hiện

Ngô Kim Trang

CHƯƠNG I MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI

1.1 Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai

1.1.1 Nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a, b, c  và a 0)

* Nếu  < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

* Nếu  = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép

a

b x

2

2 , 1









Để ý thấy rằng nếu ac < 0 thì   0 khi đó tam thức bậc hai luôn

có hai nghiệm phân biệt

Nếu b là số chẵn, b = 2b' thì

1,2

b x

Nếu    ' 0 4(m   2) 0 m 2 : Phương trình (1.1) có nghiệm

1

m x

m = 1: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

m>2: Phương trình vô nghiệm

 Phương trình (1.2) có hai nghiệm phân biệt m  1

Vậy phương trình (1.2) luôn có nghiệm  m

Ngược lại, nếu hai số thực có tổng là S, có tích là P thì hai số

đó là nghiệm của phương trình X2 SX P 0 (với 2

5

1 1

1 1

1 1

1

2 1 2 1 2

1 2

x y y

Vậy y1, y2 là nghiệm của phương trình 2 1 2 0

X  X   Hay 9X2   X 2 0, chính là phương trình cần lập

1 2

2 2 1

2 1

m x x

m x x

Do x12x2 nên 2 2

1 2

3 2 1 (*) 1 (**)

Chú ý Khi giải một phương trình bậc hai có chứa tham số, để tìm

điều kiện của tham số thoả mãn yêu cầu về các nghiệm thì ta phải lưu

ý đến điều kiện có nghiệm của phương trình

1.2 Bài toán dấu của tam thức bậc hai

1.2.1 Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f x( )ax2 bxc a, 0,  b2 4ac.Nếu  0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x

Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a,

a

b x

Nếu  0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 (x1x2)

Khi đó f(x) cùng dấu với a với mọi xx1; x2 và trái dấu với a với mọi x (x1;x2)

Ví dụ 1.6 Với những giá trị nào của m thì bất phương trình sau có

Chú ý Ta có thể giải bài toán bằng cách tìm điều kiện để bất phương

trình vô nghiệm Tức tìm điều kiện để  2  

m x  mx m  x

Những giá trị của m còn lại sẽ làm cho bất phương trình có nghiệm

1.2.2 Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 bxc

(a  0) và một số thực 

- Nếu a.f() < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 <  < x2

- Nếu a.f() > 0 thì f(x) có thể có nghiệm hoặc không Trong trường hợp có nghiệm x1 x2 thì   (-; x1)  (x2; + )

Hệ quả 1

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c (a 0) và một số thực  Khi đó,

a.f() < 0 khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 <  <x2

Hệ quả 2 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c (a0) và hai số thực

,  ( < ) Khi đó, f().f() < 0 khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và có duy nhất một trong hai nghiệm nằm trong khoảng (, )

Như vậy, nếu ta áp dụng định lý trên và các hệ quả của nó, thay cho việc phải chứng minh  0 học sinh chỉ cần chọn được một hoặc hai giá trị

,  là đủ Sau đây là một vài ví dụ minh họa phương pháp này:

Nhận xét

- Trong ví dụ này ta có thể tính  và chứng minh   0 Nhưng làm theo phương pháp này vấp phải khó khăn là kết quả tính  khá cồng kềnh nên việc chứng minh  0 là khó khăn

- Trong ví dụ trên hệ số của x2 dương, do vậy ta chỉ cần chọn  sao cho f() < 0 là đủ Tuy nhiên, có những bài toán mà hệ số a của x2 chưa xác định dấu Khi ấy, để tránh xét dấu của a ta nên tìm số ,  sao cho f() f() < 0 Rồi ứng dụng hệ quả 2 của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai để kết luận phương trình có nghiệm

Vậy f( -).f( ) = - 2. 2 0  ,  R  f(x) luôn có nghiệm

Nhận xét

- Nếu f().f() = 0 thì  hoặc  là nghiệm nên khi có hai số , 

thỏa mãn f() f()  0 ta có kết luận ngay rằng f(x) luôn có nghiệm

- Trong khi áp dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai, học sinh thường lúng túng không biết chọn  thế nào cho phù hợp Những bài toán này thường có tham số, do đó có thể chọn  làm sao cho trong quá trình tính f() tham số triệt tiêu đi càng nhiều càng tốt

1.3 So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số và biện luận phương trình bậc hai

Việc so sánh một số với nghiệm của phương trình bậc hai đóng vai trò quan trọng và là công cụ hữu hiệu để giải và biện luận phương trình Trước hết ta cần cho học sinh nắm vững bảng sau:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx +c (a  0 ; a,b,c  ) và một

số thực 

Điều kiện Vị trí nghiệm a.f() < 0 x1 <   x2

  0 a.f() > 0

0)(f.a0

(Dùng phương pháp gián tiếp)

Trước hết ta tìm điều kiện để hệ trên vô nghiệm tức là hệ

)1(f.a

0)1(f.ax

11

a Phương trình có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( - 1; 1 )

b Nghiệm lớn của phương trình thuộc khoảng ( - 2; 1 )

b Để nghiệm của phương trình thuộc khoảng ( – 2 ; 1) điều kiện

m af

m af

CHƯƠNG II ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

2.1 Hệ phương trình hỗn hợp và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ta tiến hành so sánh nghiệm của f(x) với 0 và 2 bằng cách lập bảng so sánh nghiệm Phương trình (1) có  = 9 - 4( 2 – m ) = 1 + 4m

a.f (0) = 2 - m

a.f (2) = - m

2.1.2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Với các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, có thể được chuyển

về phương trình bậc hai bằng một trong các cách sau:

Cách 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương

) 2 3 ( ) 5 3 (

2

2 2

2 2

x x

x x m x

x x

f(-1) = 2(3 – m ) – 6( 3 – m ) + ( 5 – m )2 – 4 = m2 - 6m + 9 = (m - 3)2 > 0  m  3

+) = 0 2m – 5 = 0m = 5

2 suy ra phương trình (2.2.2) có nghiệm kép 1 2 3

m m

1 02

2 02



 

 x1 < - 2 < -1<x2 (thỏa mãn)

Vậy: m < 3 phương trình vô nghiệm

m = 3 phương trình có vô số nghiệm        x  ; 2  1; 

m > 3 phương trình có hai nghiệm

2.2 Dấu của tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biện luận bất phương trình

Dấu của tam thức bậc hai trên một miền là một vấn đề quan trọng của các bài toán về bất phương trình bậc hai, mà đặc biệt là bài toán có

tham số

Dưới đây là các dạng bài toán thường gặp:

Dạng 1 Cho tam thức bậc hai ( )f x = ax2 + bx + c (a0) tìm điều kiện để

Dạng 2 Cho tam thức bậc hai f x = ax2 + bx + c ( a0) tìm điều kiện để

+) Với a < 0, f x có đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới nên f x >

0 nếu chỉ có nghiệm x  (x1 ; x2) Bởi vậy không thể xảy ra f x > 0

1 (Dùng phương pháp gián tiếp)

Ta tiến hành tìm a để (2.3) vô nghiệm Điều này tương đương với tìm a để f x  0 có nghiệm xR

2828

a

a a

3 21

3

11

4114

a

a

a a

a a

Dạng 3 Tìm điều kiện để bất phương trình f x = ax2 + bx + c > 0

f x > 0, x (  ,  )

000

0 ) 2

1 ( 1

2 1 0

2

f m x

x

1 0

2 2

0 4 5 0

) 1 (

0 ) 2

1 (

(2.4.2) 1

20

(2.4.3) 1

Giải (2.4.1) :   4 ( 1 m2)  0  m  1 kết hợp với m < 0 cho ta m< -1

với x  (- ;

2 4

  )  tgx ( -;1) Đặt y = tgx bài toán trở thành tìm m để bất phương trình f(y) = my2 + (2m - 1)y + m - 3 > 0 (2.5.1) có nghiệm

0 ) 1 (

0 1 8

0 1 8

s f m m



1818

12

m

m

m m m

 kết hợp với m > 0 vô nghiệm

+) m < 0 Do đồ thị của f(y) là parabol có bề lõm quay xuống dưới nên không thể thỏa mãn (2.5.1) có nghiệm y <1  vô nghiệm

Tóm lại, không tồn tại m thỏa mãn bài toán

Chú ý

- Ở đây ta chỉ xét các dạng f(x) > 0, còn với những dạng f(x) <0 ta có thể nhân hai vế của bất phương trình với (-1) rồi đưa về dạng trên để giải

- Với cách làm tương tự ta có thể đưa ra cách giải tổng quát trên miền [ ;  ); (  ;  ]; [  ;  ];

2.3 Phương trình vô tỷ và phương trình bậc cao

2.3.1 Phương trình vô tỷ

Với các phương trình chứa căn thức, có thể được chuyển về phương trình bậc hai bằng một trong các cách sau:

Cách 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương

5 ) 4 ( 2

) 3 ( 10 5 ) 4 ( 2 2

3

x m

x m x

Nhận xét

- Một trong những phương pháp hữu hiệu để giải phương trình vô tỷ

đó là nâng lên lũy thừa hai vế của phương trình để khử căn thức Trong quá trình nâng lên lũy thừa với số mũ chẵn thì nhất thiết hai vế của phương trình phải không âm

- Ngoài phương pháp lũy thừa để khử căn thức còn một phương pháp nữa cũng hay được sử dụng đó là phương pháp đặt ẩn phụ Khi đặt ẩn phụ

ta phải chú ý tới miền của ẩn phụ

Ví dụ 2.7 Tìm m để phương trình 2 2 2

2 3

x      (2.7) có nghiệm Với giá trị nào của m thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt

* TH1: Xét t = 0  m =  3

+) m = 3thì f(t) = t2 – 3t = 0 có nghiệm t = 0 ; t = 3suy ra phương trình (2.7) có 4 nghiệm x

+) m = - 3 thì f(t) = t2 + 3t = 0 có nghiệm t = 0 ; t = - 3(loại)

4 mà học sinh phổ thông thường gặp

2.3.2.1 Phương trình bậc 3

Dạng tổng quát ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) với a  0 Ta nhận thấy phương trình bậc 3 luôn có ít nhất một nghiệm thực Do đó, ta dùng phương pháp thử trực tiếp hoặc phương pháp nhóm các số hạng để tìm ra nghiệm thực đó Giả sử là nghiệm thực đó thì (1) tương đương với phương trình (x  )(ax2 BxC)  0 và số nghiệm của phương trình (1) sẽ phụ thuộc số nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + Bx + C và quan hệ giữa các nghiệm đó với 

-) f(x) vô nghiệm  ’ = 1-m < 0  m > 1

-)  = 0 m = 1  f(x) có nghiệm kép x1 x2 1 1

m

   -) f(x) có nghiệm là -1  f(-1) = 0  m = - 3 lúc này nghiệm thứ

hai sẽ là

3

1

-) f(x) có hai nghiệm khác -1 

'

300

m m

m m m

Để (2.9) có 3 nghiệm thỏa mãn (*) thì trước tiên f(x) phải có nghiệm

 ’=m2 - 1  0  m  1 hoặc m  - 1 Khi đó f(x) có hai nghiệm x1, x2

- Ở trên qua các ví dụ ta đã đề cập các phương pháp giải phương trình bậc ba có sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai và các

hệ quả của chúng Ngoài ra còn một số phương pháp khác mà ta không

đề cập đến

(loại)

2.3.2.2 Phương trình bậc 4

Cũng như đối với phương trình bậc 3, phương trình bậc 4 cũng đã có công thức giải cụ thể nên về nguyên tắc mọi phương trình bậc 4 đều có thể giải được Nhưng công thức này học sinh phổ thông chưa được tiếp cận nên

ta không thể sử dụng công thức này như một công cụ để giải quyết các bài toán phổ thông Do vậy, đối với phương trình bậc 4 ta chỉ xét các dạng cơ bản sau:

a Dạng phương trình hồi quy

e

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1*) Do đó chia cả hai vế của (1*) cho x2 ta được:

(1*) 2     2  0

x

e x

d c bx

d bx x

t   

d bx ax

m c

x1 =  t2 ; x2   t1; x3  t1 , x4  t2 Vậy điều kiện (*)  - 2 < t2 < -1 <  t1 < 0 < t1 <1 < t2 <2

0 ) 0 (

0 ) 1 (

f a

f a

f a

0 5

0 3

m m

Lời giải

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế cho x2 ta được: (2.11)  x2  1  (m 1 )(x1)  1  0