Chuyên đề: TAM THỨC BẬC HAI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG – Xuctu.com

- Đối với bất phương trình tích xét dấu các nhân tử rồi nhân các dấu đó lại. với nhau, dựa vào dấu của bất phương trình rồi kết luận nghiệm.[r]

Chuyên đề: TAM THỨC BẬC HAI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1/ Định nghĩa tam thức bậc hai:

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax 2 +bx+c trong đó a, b, c là

những số cho trước với a ≠ 0

2/ Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x)=ax 2 +bx+c (a≠0)

-Nếu ∆<0 (∆ < ' 0)thì f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc ℝ

-Nếu ∆= 0(∆ = ' 0) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x 2

b a

≠ − -Nếu ∆>0 (∆ > ' 0)thì f(x) có hai nghiệm x 1 và x 2 (x 1 <x 2 ) Khi đó f(x) trái dấu

với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng(x1;x2) ( tức là x 1 < x < x 2 ) và f(x) cùng dấu với a với mọi x nằm ngoài đoạn [x x1; 2]( tức là x < x 1 hoặc x < x 2)

Với ∆ =b2 −4ac(∆ = ' ( )b' 2 −ac)

Bài tập mẫu 1: f(x)= x 2 -x+1>0 ∀ ∈x ℝ vì tam thức f(x) có ∆= - 3 < 0 và a = 1 > 0

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:

x -∞ +∞

x 2 -x+1 +

Bài tập mẫu 2: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= -x 2 -2x+3

Giải

Vì a=-1<0 và tam thức f(x) có hai nghiệm x 1 =-3 ; x 2 = 1 ( dễ thấy x 1 < x 2) nên

f(x) < 0 (cùng dấu với a) khi x ∈ −∞ − ∪ +∞( ; 3) (1; ) và f(x) > 0 (trái dấu với a) khi

x ∈ −( 3;1)

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:

x -∞ -3 1 +∞

-x 2 -2x+3 - 0 + 0 -

Bài tập mẫu 3: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= x 2 -2x+1

Giải

f(x)= x 2 -2x+1 > 0 ∀ ≠x 1 vì tam thức f(x) có ∆=0 và nghiệm kép x = 1, a = 1 > 0

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:

x -∞ 1 +∞

x 2 -2x+1 + 0 +

Bài tập áp dụng:

Xét dấu các tam thức sau:

1/ f(x)= -2x 2 - 2x + 1 2/ f(x)= 9x 2 - 12x + 4 3/f(x)= x 2 - 2x + 5

4/f(x)= - x 2 - 4x 5/f(x)= x 2 – 3 6/f(x)= - x 2 + 1

7/ f(x)= 3x 2 + 2x

3/ Một số ứng dụng:

1/ Tìm tham số m để tam thức bậc hai không đổi dấu trên ℝ

Cách giải: dựa vào nhân xét :

2

2

0

0 0

0

a

x R bx c

a

x R bx c

>



∀ ∈ + + > ⇔ 

∆ <



<



∀ ∈ + + < ⇔ 

∆ <



Bài tập mẫu 1: Với những giá trị nào của m thì đa thức f(x) = (2-m)x 2 - 2x + 1 luôn

dương với mọi x thuộc ℝ

Giải

-Với m = 2 thì f(x)= -2x+1 lấy cả những giá trị âm Do đó m = 2 không thỏa mãn điều

kiện đề bài

- Với m≠2, f(x) là tam thức bậc hai với ∆ = −' m 1 Do đó:

0

> − > <

− < <



Vậy với m < 1 thì tam thức luôn dương

Bài tập áp dụng:

Với những giá trị nào của m thì các đa thức sau luôn âm với mọi x thuộcℝ

1/f(x) = (m-1)x 2 + (2m+1)x + m + 1 2/f(x) = - x 2 + 2m 2x - 2m 2 - 1

3/f(x) = (m-2)x 2 - 2(m-3)x + m - 1

Với những giá trị nào của m thì các đa thức sau luôn dương với mọi x thuộc ℝ

1/f(x) = (m 2 +2)x 2 - 2(m+1)x + 1 2/f(x) = (m+1)x 2 + 2(m+2)x + m + 3

2/Giải bất phương trình bậc hai, bất phương trình tích và bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu

Cách giải:

- Đối với bất phương trình bậc hai ta xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm

- Đối với bất phương trình tích xét dấu các nhân tử rồi nhân các dấu đó lại với nhau, dựa vào dấu của bất phương trình rồi kết luận nghiệm

- Đối với bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu ta phải đưa về dạng ( )

( ) 0; ( ) ( ) 0; ( ) ( ) 0; ( ) ( ) 0

<  > ≤ ≥ 

  , rồi mới xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm

Bài tập mẫu 2: Giải các bất phương trình sau:

1/ - x 2 + 2x + 3 < 0 2/ x 2 + 2x + 1 > 0 3/ - x 2 + 2x – 6 > 0

4/

2

2

7 10

x x

− + 5/ (4 - 2x)(x 2 + 7x + 12 ) < 0

Giải

1/ - x 2 + 2x + 3 < 0

Ta có: - x 2 + 2x + 3 = 0 có hai nghiệm x 1 =-1, x 2 =3, a=-1<0

Bảng xét dấu:

x - ∞ -1 3 +∞

vt - 0 + 0 -

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S=(−∞ − ∪ ; 1) (3; +∞)

2/ x 2 + 2x + 1 > 0

Ta có: x 2 + 2x + 1 =0 có nghiệm kép x = -1, a=1>0

Bảng xét dấu:

x - ∞ -1 +∞

vt + 0 +

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= ℝ\{-1} 3/ - x 2 + 2x – 6 > 0 Ta có: - x 2 + 2x – 6 = 0 vô nghiệm, a=-1<0 Bảng xét dấu: x - ∞ +∞

vt -

Vậy: bất phương trình vô nghiệm S=∅ 4/ 2 2 2 16 27 2 7 10 x x x x − + ≤ − + Bất phương trình trở thành: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 16 27 2 7 10 2 16 27 2 0 0 2 7 0 7 10 7 10 7 10 x x x x x x x x x x x x x − + − − + − + − ≤ ⇔ ≤ ⇔ − + ≤ − + − + − + Bảng xét dấu x -∞ 2 7

2 5 +∞

-2x+7 + | + 0 - | -

x 2 -7x+10 + 0 - | - 0 +

vt + || - 0 + || -

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= 2;7 (5; )

2

∪ +∞

5/ (4 - 2x)(x 2 + 7x + 12) < 0

Bảng xét dấu

x -∞ -4 -3 2 +∞

4-2x + | + | + 0 -

x 2 +7x+12 + 0 - 0 + | +

vt + 0 - 0 + 0 -

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S=(− − ∪ 4; 3) (2; +∞)

Bài tập áp dụng:

Giải các bất phương trình sau:

1/- 3x 2 + 2x + 3 < 0 2/ 9x 2 + 12x + 4 > 0 3/ - 2x 2 + x – 1 > 0

4/- 3x 2 + 2x < 0 5/ x 2 – 4 > 0 6/ - 2x 2 – 1 > 0

7/

2

2

16 27 0

x x

− + 8/ (4 + x)(- x 2 + 7x + 6) < 0 9/

2 2

1

x x

x − − ≤x

− +

x x ≤ x x

3/Giải hê bất phương trình

Cách giải:

Giải từng bất phương trình sau đó giao nghiệm lại

Bài tập mẫu 3: Giải hệ bất phương trình sau: 3 22 7 2 0

x x

x x

 − + >





− + + >



Giải

Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là S1= ;1 (2; )

3

Bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là S2= 1;3

2

−

Tập nghiệm của hệ là 1 2

1 1;

3

S= ∩ = −S S  

Bài tập mẫu 4: Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm

(m-2)x 2 +2(m+1)x+2m > 0

Giải

Đặt f(x)=(m-2)x 2 +2(m+1)x+2m

Để bất phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi f(x) ≤0 ∀ ∈x ℝ

Với m = 2 ta cĩ f(x)=6x+4 Khi đĩ f(x) nhận cả các giá trị dương

Giá trị m=2 khơng thỏa mãn điều kiện địi hỏi

Với m≠2 ta cĩ:

2

m

<

Vậy bất phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi m≤ −3 10

Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải các hệ bất phương trình sau

a/ 32 3 3 4

7 10 0

x x

− < +





2 2

7 10 0

x

x x

 − >





2 2

3 0

x

 − <







Bài 2:Tìm các giá trị của m để phương trình sau cĩ nghiệm

a/ (m-5)x 2 - 4mx + m – 2 = 0

b/ (m+1)x 2 + 2(m-1)x + 2m – 3 = 0

c/ x 2 + (m-2)x - 2m + 3 = 0

Bài 3 Chứng minh rằng các phương trình sau vơ nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào

a/ x 2 - 2(m+1)x + 2m 2 + m + 3 = 0 b/ (m 2 + 1)x 2 + 2(m+2)mx + 6 = 0

Bài 4:Tìm các giá trị của m để bất phương trình

(m-1)x 2 - 2(m+1)x + 3(m-2)> 0 nghiệm đúng ∀ ∈x ℝ

Bài 5: Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau cĩ nghiệm: ( )

2

2 15 0

x x



 + − <



4/Giải một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

a/ Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Dạng 1: |f(x)|=g(x) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

hoặc

f x g x f x g x

Dạng 2: |f(x)|>g(x) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

hoặc

f x g x f x g x

Dạng 3: |f(x)|<g(x) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

hoặc

f x g x f x g x

b/ Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

Dạng 4: ( ) ( ) ( ) ( ) 2( )

0

g x

f x g x

f x g x



=



Dạng 5: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2( )

0 0

f x

f x g x g x

f x g x





≤



Dạng 6: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( )

0 0

0

g x

f x

Bài tập mẫu 5: Giải các phương trình sau:

1/ | x 2 - 8x + 15| = x – 3 2/ 3x2+24x+22 2= x+1

Giải

1/ | x 2 - 8x + 15| = x - 3  − ≥ ( )  − ≥ ( )

hoặc

x -8x+15=x-3 x -8x+15=-x+3

( )

( )

 ≥



=

 ≥



=

=

2

2

3

6

x -9x+18=0

6 3

4

x -7x+12=0

4

x

Hpt I trởthành x

x x

x

Hpt II trởthành x

x x

Vậy phương trình có nghiệm S

2

2

2 / 3 24 22 2 1

1 1

21

21 21

x

x x

x Vậy phương trình cónghiệm x



≥ −

= −



=

Bài tập mẫu 6: Giải các bất phương trình sau:

1/ | x 2 + 3x - 4| > x – 8 2/ x2− 4x> −x 3 3/ x2− 2x− 15 < −x 3

Giải

1/ | x 2 + 3x - 4| > x - 8

1 2

2 2

4 12 0

x

x x Vậy bất phương trình cónghiệm S

+ − > − − − + > −

≤ − ∨ ≥



+ + > ∀



− < < − < <

− < <

+ − < 



S S

= ∪ = ℝ

2/ x2− 4x> −x 3

( )

2

1

2

3 0

3

;

2

9

2

x

x x

Hệ bất phương trình I x S

x x Hệ bất phương trình II x S

x Vậy bất phương trình cónghiệm S S S

− ≥

≤ ∨ ≥



<



≥



⇔  ⇔ > ⇒ = +∞



= ∪ = −∞ ∪  +∞ 

3/ x2− 2x− 15 < −x 3

[ )

2

6

5;6

x

Vậy bất phương trình cónghiệm S

 − − < − +  <



=

Bài tập áp dụng

Bài 1:Giải các phương trình và bất phương trình sau:

1/ | x 2 + x - 5| = |x - 1| 2/ | x - 1| = 2x – 1 3/ | x 2 + 2x - 1| > x 2 - 1

4/ | - x 2 + 2x + 4| < 2x 2 - 3x + 1 5/ 2x2− > − 1 1 x 6/ x2− 5x− 14 2 ≥ x− 1

7/ 2x− ≤ 1 2x− 3

Bài 2:Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

= 2 + − − +

− − −

2 /

| 2 1| 2

x x

−

3 /

x x x x 4 /y= x2−5x−14− +x 3

Bài 3:Tìm m sao cho phương trình: x 4 + (1-2m)x 2 + m 2 – 1 = 0

a/ Vô nghiệm

b/ Có hai nghiệm phân biệt

c/ Có bốn nghiệm phân biệt

Bài 4: Tìm các giá trị của a sao cho phương trình: (a-1)x 4 - ax 2 + a 2 – 1 = 0 có ba

nghiệm phân biệt

Bài 5: Cho phương trình x 4 + 4x 3 + (3m+4)x 2 + 2(3m+4)x + 6(m+1) = 0

a/Tìm m để phương trình vô nghiệm b/ Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt c/ Tìm m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt d/Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt e/Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm

II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

Khi học sinh học ứng dụng dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình, bất phương trình , hệ bất phương trình nhiều em học sinh đã lúng túng hoặc xét dấu sai các tam thức bậc hai, hoặc kết luận nghiệm của bất phương trình sai

III ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP:

Để các em học sinh dễ hiểu, dễ nhớ ứng dụng được dấu của tam thức bậc hai một cách thành thạo khi dạy phần này tôi sẽ đua ra các lỗi thường mắc phải của các em thường thì minh họa Bài tập mẫu Cụ thể như sau:

1- Đối với các bất phương trình có vế trái là tam thức bậc hai vô

nghiệm, các em thường kết luận sai nghiệm

VD: Giải bất phương trình x 2 +x+4>0

Sai: x 2 +x+4>0

Ta cĩ x 2 +x+4=0 vơ nghiệm nên bất phương trình vơ nghiệm S=∅

Đúng Ta cĩ x 2 +x+4=0 vơ nghiệm và a=1>0 nên x 2 +x+4>0 với mọi x thuộc ℝ

Vậy bất phương trình vơ số nghiệm S=ℝ

Hướng khắc phục:Sau khi tìm nghiệm vế trái các em lập bảng xét dấu và so sánh

với dấu của bất phương trình nếu giống nhau thì kết luận vơ số nghiệm, cịn nếu khác nhau thì bất phương trình mới vơ nghiệm

2 Đối với các bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu các em thường xét dấu khi chưa đưa bất phương trình về dạng ( )

( ) 0 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0

<  > ≤ ≥ 

2 2 2

2

3 4

5 6

3 4

5 6

x x

VD Giải bất phương trình

x x

x x

Sai

x x

− − <

− − <

Bảng xét dấu

x -∞ -1 2 3 4 +∞

x 2 -3x-4 + 0 - | - | - 0 +

x 2 -5x+6 + | + 0 - 0 + | +

vt + 0 - || + || - 0 +

Vậy nghiệm của bất phương trình là S = (-1;2)∪(3;4)

Đúng

− − < ⇔ − − − <

Bảng xét dấu

x -∞ 2 3 5 +∞

2x-10 - | - | - 0 +

x 2 -5x+6 + 0 - 0 + | +

vt - || + || - 0 +

Vậy nghiệm của bất phương trình là S = (−∞;2)∪(3;5)

Hướng khắc phục: Các bất phương trình chứa ẩn ở mẫu số ta phải chuyển

vế sao cho vế phải bằng 0 tức là cĩ dạng ( )

( ) 0

P x

Q x = rồi mới xét dấu vế trái

3- Khi giải các phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai các em thường đặt sai điều kiện

Bài tập mẫu: Giải phương trình: x2 + 3x− = − 4 x 2

2 2

7 8

7

Sai

x x

x nhận

Vậy phương trình cónghiệm x

≤ − ∨ ≥



=

=

2

2

2 0

7

Đúng

x x

x loại

Vậy phương trình vônghiệm

≥



− ≥

=

Hướng khắc phục : Các em học thuộc cơng thức, nếu lở khơng nhớ điều kiện

thi ta giải bằng phương trình hệ quả, sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại phương trình ban đầu rồi mới kết luận nghiệm

SÁCH THAM KHẢO MỚI NHẤT CHO NĂM HỌC 2019-2020

ĐANG PHÙ HỢP VỚI BẠN

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Đặt mua tại:

https://goo.gl/forms/nsg1smHiVcjZy1cH2

Xem thêm nhiều sách tại:

http://xuctu.com/

Hổ trợ giải đáp: sach.toan.online@gmail.com

fb/quoctuansp