Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm.. Trong trường hợp mà
Trang 1SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS
Năm học 2012 – 2013 MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
1
(4.0 điểm)
1 (2.0 điểm)
2 (4 1) 8( 4)
∆ = m+ − m− 2
= m + m+ − m+ =16m2+33
0.5
0.5
Vì ∆ =16m2+33 0 > ∀ ∈m ¡ nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
2 (2.0 điểm)
Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với ∀m nên
theo định lý Vi-ét ta có 1 2
1 2
x x 2(m 4)
0.5
Theo ycbt: x1−x2 =17⇔ (x1−x2)2 =289⇔ (x1+x2)2−4x x1 2 =289 0.5
2
(4.0 điểm)
1 (2.0 điểm)
P =
1
) 1 )(
1 ( 2 ) 1 2 ( 1
) 1 ( 3
−
+
− +
+
− + +
−
x
x x
x
x x x
x
x x
0.75
1
) 1 )(
1 (
+ +
−
− +
+
+ +
−
x x
x x
x x x x
0.75
2 (2.0 điểm)
Đặt x= t, t ≥ 0 ta được pt 2 1 ( )
2 0
2 ( )
= −
− − = ⇔ = t L
Với t = 2 ta được x= 2 ⇔x = 4 (thỏa mãn ĐK) 0.25
3
(4,0 điểm)
1 (2.0 điểm)
( 1) ( 1) 72
xy y x
+ + + =
( 1) ( 1) 72
x y
3 3
3 3
( 1) ( 1) 512 ( 1) ( 1) 72
Đặt (x+1)3 = a và (y +1)3 = b ta có hệ 512
72
ab
a b
=
+ =
0.25
Giải hệ (2) ta được : (a;b) = (64;8) hoặc (a;b) = (8;64) 0.25
Với (a;b) = (64;8) ⇒
3 3
( 1) 64 ( 1) 8
x y
1 4
1 2
x y
+ =
+ =
Với (a;b) = (8;64) ⇒
3 3
( 1) 8 ( 1) 64
x y
1 2
1 4
x y
+ =
+ =
Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là: (3;1); (1;3) 0.25
Trang 22 (2.0 điểm)
Đặt x + = ≥ 5 u 0, x + = ≥ 2 v 0 ta có: uv = x2 + 7 x + 10, u2− = v2 3 0.25
Thay vào phương trình ta được: ( u v − )(1 + uv ) = u2 − v2
( u v )(1 uv ) ( u v u v )( )
⇒ − + = − + ⇔ − ( u v )(1 − u )(1 − = ⇔ v ) 0 1
1
u v u v
=
=
=
0.5
* Với u = v ta có x + = 5 x + ⇒ 2 PT vô nghiệm
* Với u = 1 ta có x + = 5 1 ⇔ = − x 4(loại)
* Với v = 1 ta có x + = 2 1 ⇔ = − x 1(TM) Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = -1
0.25 0.25 0.25 0.25 4
(5.0 điểm)
1 (2.0 điểm)
· AMB ANB = · = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
AB = NA = = tg600 = 3
0.5
2 (2.0 điểm)
·MON là góc ở tâm cùng chắn cung MN ⇒ · MON = 2 MAN · = 1200 0.5
EMF ENF ⇒ tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn đường kính EF tâm K 0.5
3 (1.0 điểm)
Trang 3Gọi I là giao điểm của AC và MD.
Ta có: MCA NCM · = · = 600 ⇒ · ACD = 600
⇒ tam giác MCD có CI vừa là đường cao vừa là phân giác
⇒ ∆MCD cân tại C
0.25
⇒ SMCD = 2.SMCI = MI CI
2
1
= ( MC sin MCI MC · )( cos MCI · )= ( MC sin 60 )(0 MC cos60 )0 =
4
3 2
⇒ SMCD lớn nhất ⇔ MC lớn nhất ⇔ MC là đường kính của (O) 0.25
5
(3.0 điểm)
1 (1.5 điểm)
n2 + np + p2 = 1 -
2
3m
2 (1)⇔ (m + n + p)
2 + (m - p )2 + (n - m)2 = 2 0.5
⇔(m + n + p)2 = 2 - (m - p)2 - (n - m)2 ≤ ⇒ 2 S2 ≤ ⇔ − 2 2 ≤ ≤ S 2 0.5
S = 2 ⇔ m = n = p = 2
3 ; S = - 2 ⇔ m = n = p =
-2
⇒ maxS = 2 khi m = n = p =
3
2 ; minS = − 2 khi m = n = p = -
3
2 (1.5 điểm)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
2
0.5
2
ab bc abc bc bc b cab bc b
2 1
1
0.5
1
Chú ý: 1 Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2 HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3 Tổng điểm của bài thi không làm tròn.