PHƯƠNG PHÁP tọa độ 2016

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I.. Lý thuyết Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' Với hình lập phương... Gọi M là trung điểm của SC.. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường th

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

I Lý thuyết

Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

Với hình lập phương

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)

'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )

Với hình hộp chữ nhật

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)

'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)

Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A'B'C'D' Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của

hai đường chéo của hình thoi ABCD

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử cạnh hình vuông bằng a và

Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông





























2

2

; 0

; 0

; 2

C

a A

0; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; )



Với hình chóp tam giác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và

của BC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

A

D

D’

C

A’

B’

O O’

x

y

B’

C

B

D’

A’

C’

y

z

x

z

B

D

C

A

O

S

x

y z

C

A

S

y z

cho I(0;0;0)

A  B 

Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho A(0;0;0)

Khi đó : B a ;0;0 ;  C a b; ;0

D0; ;0 ; (0;0; )b  S h

Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho O(0;0;0)

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và  ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có

;

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho A(0;0;0)

Khi đó : B a ;0;0 ; C 0; ;0  b 

S 0;0; h 

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và  ABC vuông tại B

B

D

C

A

O

S

x

y

z

B

D

C

A

O

S

x

y z

B

C

A

S

x

y z

Tam giác ABC vuông tại B có

;

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho B(0;0;0)

Khi đó : A a ;0;0 ; C 0; ;0  b 

Sa;0;h

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông tại C

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho C(0;0;0)

Khi đó : A a ;0;0 ; B 0; ;0  b 

( ; ; )

2 2

a b

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông tại A

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho A(0;0;0)

Khi đó : B a ;0;0 ; C 0; ;0  b 

(0; ; )

2

a

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông cân tại C

z

B

C

A

S

B

C

S

z

B

C

A

H

S

x

y z

Tam giác ABC vuông cân tại C có

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho H(0;0;0)

2

a

h

II Bài tập áp dụng





rằng : cos2 cos2  cos2  1

( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương

chủ biên, NXBGD 2000 )

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau : O( 0 ; 0 ; 0 ) ; A (a; 0 ; 0 );

)

0

;

;

0

( b

) 0 ( a b

AB 

) 0 ( a c

AC  

Tìm vectơ pháp tuyến của :

nAB,AC(bc ac ab)

) 0 0 1 (



) 0 1 0 (



) 1 0 0 (



Sử dụng công thức tính góc giữa hai

mặt phẳng:

( ),( )

cos

cos  OBC ABC

( ),( )

cos

cos  OBC ABC

( ),( )

cos

cos  OBC ABC

 2 2 2 2 2 2

cos

b a a c c b

c b









 2 2 2 2 2 2

cos

b a a c c b

a c









H

B

C

A

S

x

y

z

x

y

z



C

C’

O

2 2 2 2 2 2

cos

b a a c c b

b a









2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2















b a a c c b

b a a c c b







Bài toán 2 Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :

tam giác AB ' D'

( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau : O A( 0 ; 0 ; 0 ) ;

)

;

0

;

0

(

' a

)

0

;

0

;

(a

B ; B' (a; 0 ;a)

)

0

;

;

( a a

C ; C' (a;a;a)

)

0

;

;

0

( a

D ; D' ( 0 ;a;a)

a Chứng minh : A'C (AB'D' )

' '

' '

D AB C

A AD C

A

AB C

A















Ta có :





















)

;

; 0 ( '

)

; 0

; ( '

)

;

; ( '

a a AD

a a AB

a a a C A

Vì





































' '

' '

0 0

' '

0 0

' '

2 2

2 2

AD C A

AB C A a

a AD

C A

a a

AB C A

Nên A'Cmp(AB'D' )

b Chứng minh : G là trọng tâm của

) ( :

t a

z

t

y

t

x

C





















) ' '

B’

A

B

C

D

D’

A’

C’

G 

x

y z

Phương trình tổng quát của mặt

phẳng (AB'D' )

0 :

)

'

'

(AB D x yz 

Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt

phẳng (AB'D' )























































3 2 3 3

a y

a x

z y x

t a z

t y

t x











3

2

; 3

; 3

a a a











































3

2 3

3 3

3 3

' '

' '

' '

a z

z z z

a y y y y

a x x x x

D B A G

D B A G

D B A G

(2)

So sánh (1) và (2), kết luận

giác AB ' D'

c Tính d(AB'D'),(C'BD)

)

'

đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

)

'

(C BD  ' , '  ( 2; 2; 2)

Ta có : (AB'D' ) :x yz  0 (C'BD):xyza0

3 ) ' ' ( , )

' ( ), ' ' (AB D C BD d B AB D a

d Tính cos(DA'C),(ABB'A')



)

'

'

(ABB A là j(0 1 0)

 ,'  ( 0 ; 2; 2) 2( 0 ; 1 ; 1 )

Vectơ pháp tuyến của (DA'C): n3  ( 0 ; 1 ;  1 )

2

1 ) ' ' ( ), ' ( cos DA C ABB A 

A ABB C

DA' ), ( ' ' ) 45

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac

) 0

;

0

;

0

(

A

O ; A'(0;0;a) ;

)

0

;

;

0

( a

B ; B' ( 0 ;a;a)

)

0

;

;

( a a

C ; C' (a;a;a)

)

0

;

0

;

(a

D ; D' (a; 0 ;a)

A

B

C

D

D’

A’

B’

C’

x

y z

Chứng minh B ' D'và A' B chéo

nhau, ta chứng minh ba vectơ

' ,

'

;'

'D A B BB

phẳng

Cần chứng minh

tích hỗn hợp của ba vectơ

' ,

'

;'

'D A B BB

Ta có : B'D'(a;a;0)

A'B(0;a;a); BB'(0;0;a)

B'D,'A'B(a2;a2;a2)

B'D,'A'B.BB'a3 0

Tính dB'D',A'B

] ' ,' ' [

' ] ' ,' ' [ '

,

'

'

B A D B

BB B A D B B

A

D

B

3

3 3

' , '

3 4

4 4

3

a a

a a

a a

a B

A D B







AC cắt BD tại gốc toạ độ O Biết A( 2 ; 0 ; 0 ); B( 0 ; 1 ; 0 ); S( 0 ; 0 ; 2 2 ) Gọi M là trung điểm của SC

1 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

2 Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N

( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau : O( 0 ; 0 ; 0 );

)

0

;

0

;

2

(

A ; B( 0 ; 1 ; 0 ); S( 0 ; 0 ; 2 2 )

Ta có :

)

0

;

0

;

2

( 

2;0;2 2



SA ; BM 1;1; 2

1a.Tính góc giữa SA và BM

công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Ta có :

2 3

, cos

BM SA

BM SA BM

SA



A

C

D

S

O

B

x

y z

30



1b Tính khoảng cách giữa SA và BM

Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử

dụng công thức tính khoảng cách giữa

hai đường thẳng chéo nhau

) 2

; 0

; 2 2 ( ] , [SA BM    ; AB (2;1;0)

0 2 4 ]

, [SA BM AB  

3

6 2 4 8

2 4 ]

, [

].

, [ ) ,







AB SA

AB BM SA BM

SA d

2 Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Dễ dàng nhận thấy :

) ( ) (ABM SCD

AMN S ABM S ABMN

V.  .  .

Trong đó :

SB SM SA

V S ABM [ , ].

6

1

SN SM SA

V S AMN [ , ].

6

1



CD AB









2

1

;

) 2 2

; 0

; 2



) 2 2

; 1

; 0 ( 



) 0

; 2 4

; 0 ( ] ,

3

2 2 6

2 4 ].

, [ 6

1

V S ABM

3

2 6

2 2 ]

, [ 6

1

V S AMN

2

.

)

0

;

0

;

4

(

B ; C( 0 ; 3 ; 0 ); B1(4;0;4)

)

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Oxyznhư sau :O(0;0;0);

Với :

)

0

;

3

;

0

( 

A ; B( 4 ; 0 ; 0 ); C( 0 ; 3 ; 0 ); B1(4;0;4)







) 4

; 3

;

0

(

) 4

; 3

;

0

(

1

1

C

A









2

3

;

2

M

C(0;3;4)mp(Oyz)

A

C 1

O

x

y

Phương trình mặt cầu có tâm là A

và tiếp xúc với mặt phẳng

)

(BCC1B1 

Viết phương trình mp (BCC1B1) 

A,(BCC1B1)

d

R

) 0 16 12 ( ] ,

(BCC1B1):3x4y120

5

24



R

576 )

3 ( :x2  y 2z2 



Tìm vectơ pháp tuyến của (P)

] , [ )

(

//

)

(

1 1

BC AM n

P

BC

P

AM

P 



















2

3

;

2

AM ; BC1 (4;3;4)

Vectơ pháp tuyến của (P) :

) 12

; 24

; 6 ( ] ,

Phương trình mặt phẳng (P) :

0 12 2 4 : ) (P x y z 

cm

ĐH&CĐ khối D năm 2002 )

Dựng hình :

ABC

vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ

)

0

;

0

;

0

(

A

O ; B( 3 ; 0 ; 0 ); C( 0 ; 4 ; 0 )

)

4

;

0

;

0

(

Tính : AH dA , BCD( )

Viết phương trình tổng quát của

mặt phẳng (BCD)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)

0 12 3 3 4 1 4 4 3 : ) (BCD x y  z   x y z 

Sử dụng công thức tính khoảng

cách từ một điểm đến một mặt

phẳng

17

34 6 34

12 9 9 16

12 )

(









BCD A d

thẳng AM và BI

A

B

C

D

H

I

x

y z

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac

)

0

;

0

;

0

(

A ; B( 0 ; 0 ;a) ; M ( a2 ; 0 ; 0 )

)

;

2

;

0

( a a

Toạ độ trung điểm I của MN











2

a a a

1a Xác định tâm I của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABMN

Chú ý :











'

Ay Ax

By Ax

Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên











2

a a a

của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN

1b.Tính bán kính R của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABMN

Bán kính mặt cầu :

2

3 2

a MN

2 Tính d(AM,BI)

Chứng minh AM và BI chéo

nhau

Sử dụng công thức tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau

Ta có : AM ( a2 ;0;0) ;













2

;

;a a a

BI ; AB(0;0;a)

) 2

;

; 0 ( ] , [AM BI  a2 a2

5

5 2 ] , [

].

, [ ) ,

BI AM

AB BI AM BI

AM

xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh

tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )

Dựng hình :

Gọi O là tâm của hình vuông

S

P

M

E

z

y

B

N

A

x

z

'

y

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

)

0

;

0

;

0

(

O ; S0;0;h ;

A 2; 0; 0

2

a



2

; 0; 0 2

a











0

;

2

2

;

0 a ; B 











2

2

;

0 a

Toạ độ trung điểm P của SA

P 2; 0 ;



h

; ; 0



3 2

;0; ; (0; 2;0)

Vì : MN.BD 0 MN  BD

đường thẳng MN và AC

Chứng minh MN và AC chéo nhau

Sử dụng công thức tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng chéo nhau

2

ah

uuuur uuur

2

4 2

uuuur

Vì :

2

4

a h

MN AC AM

uuuur uuur uuuur

4 2

2

4 ]

, [

].

, [ ,

2 2

2

a h a

h a

AC MN

AM AC MN AC

MN

Bài toán 9 Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho A(0;0;0)

Khi đó : B c ;0;0 ; C 0; ;0  b 

C

A

D

y

z

D 0;0; a 

Ta có : BCuuur  c b; ;0

BDuuur   c;0;a

uuur uuur

Áp dụng bất đẳng thức Côsi :

2

a b b c  ab c

2

b c c a  abc

2

c a a b  a bc

,

S  BC BDuuur uuur  a b a c b c b

Ta có :

abc a b c   a bc b ac c ab  

2 BCD

a b a c b c S

(AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Gọi I là trung điểm của BC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

cho I(0;0;0)



;0;0 ; S 0; ; ; 0; ;0

4 12 2 4 12 2



5 3

4 12 2

uuuur

5 3

4 12 2

uuur

2 1

5 3

4 24

ah a

ur uuuur uuur

3

B

C

H

A

B

I

S

x

y

z

M

N

a a

uuur

AMN  SBC nur1 nuur2 n nur uur1 2 0

2

0

2 2

3

6

a

n SB SC  ah 

uur uur uuur

Diện tích tam giác AMN :

2

,

AMN

S  uuuur uuurAM AN  

4

90

a

mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,

trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )

Dựng hình :

Gọi H là hình chiếu vuông góc

Ta có : SA2SB2a2 3a2 AB2

SABvuông tại S SM a

Do đó : SAMđều 3

2

a SH

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

S 0; 0; 3

2

a

a

B 3 ; 0; 0

2

a

a a

M ; 0; 0

2

a

  ; N

3

; ; 0 2

a a

3

; 0;

uuur

; ;

uuur

; 0;

uur

3

; 2 ;

uuur

2 ; ;0

DN  a a

uuur

+ Thể tích khối chóp S.BMDN

.

S BMDN SMNB SMND

uuur uuur

3

3 ,

2

a

SM SN SB

uuur uuur uur

;

3

3 3 ,

2

a

SM SN SD

uuur uuur uuur

3

,

SMNB

a

V  SM SN SBuuur uuur uur 

3

,

SMND

a

V  SM SN SDuuur uuur uuur 

.

S BMDN SMNB SMND

S

A

B

C

D

N

M

x

y

z

+ Công thức tính góc giữa SM, DN

cos ,

SM DN

SM DN

SM DN



uuur uuur uuur uuur

1 cos ,

5 3

4

a

SM DN

khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

(0;0;0)

B

A0; ;0a  ; Ca;0;0; B’0;0;a 2

M ; 0; 0

2

a

; ; 0

2

a

AM  a 

uuuur

; B Cuuuur' a;0;a 2

' 0; ; 2

AB  a a

uuuur

Chứng minh AM và B’C chéo nhau

2

2

a

uuuur uuuur + Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

' ' '

1

2

ABC A B C ABC

+ Khoảng cách giữa AM và B’C

Vì :

3

2

a

AM B C AB

uuuur uuuur uuuur

, '

AM B C AB

d AM B C

AM B C



uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur

3

7 2

7 1

2 2

a

a

90

BADABC ABBCa, 2

A’

B

C’

M

x

z

B’

C

minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển

sinh Cao đẳng năm 2008 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

(0;0;0)

A ; Ba;0;0 ; Ca a; ;0;

D0; 2 ;0a  ; S0;0; 2a

M0;0; a ; N 0; ;a a 

0; ;0

uuuur

; BCuuur 0; ;0a 

 ;0; 

MB a a

uuur

0;0; 

uuur

; SCuuura a; ;a

 ;0; 2 

SB a  a

uur

; SNuuur0; ;a a

uuur uuur

3

,

uuur uuur uur

3

,

uuur uuur uuur

+ Chứng minh BCNM là hình chữ nhật

MN MB







uuuur uuur uuuur uuur BCNM là hình chữ nhật

.

S BCNM SMCB SMCN

3

1

,

SMCB

a

V  SM SC SBuuur uuur uur 

3

1

,

SMCN

a

V  SM SC SNuuur uuur uuur 

3

3

S BCNM SMCB SMCN

a

, cắt SA, SD lần lượt tại M, N Tính diện tích thiết diện BCNM

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

(0;0;0)

A ; Ba;0;0 ; Ca a; ;0;

D0; 2 ;0a  ; S0;0; 2a

B

M

x

z

C

N

D

S

M

z

N

D

S

 M0;0; h 

Xác định vị trí điểm M

 ;0; 

BM  a h

uuuur

; BCuuur 0; ;0a 

uuuur uuur

 ; ;0 1;1;0

AC a a a

uuur

Ta có :

/ / / / / /

BC AD







( )

BC SAB BCBM

ABM

1

a

MN  AD

,

n BM BC 

uur uuuur uuur

nuur h;0;a

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC :

 ; ;0 1;1;0  1;1;0

0

. 1. 1.0 0.

sin 30





uur r uur r

1

2 2

2

h



h a





+ Diện tích thiết diện BCNM :

BCNM

a

S  BM MNBC 

thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) lá 1; 2; 3

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

Aa;0;0 ; B0; ;0b ; C0;0;c

B

A

M

z

B

H

E

C

 M1; 2;3 

Aa;0;0OAuuur( ;0;0)a

B0; ;0b OBuuur(0; ;0)b

C0;0;cOCuuur (0;0; )c

+Thể tích khối chóp O.ABC

.

,

O ABC

V  OA OB OCuuur uuur uuur  abc

Giải hệ :

6

1 2 3

a

a b c

b c

a b c





+ Phương trình mặt phẳng (ABC) :

1 2 3

a b c

Áp dụng bất đẳng thức Côsi :

1

27

6abc

.

3

9

O ABC

a

c







 



a Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Dựng hình :

SO(ABCD)

2

SO SC OC  a  

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac

)

0

;

0

;

0

(

O ; S 0; 0; 2

2

a

A 2; 0; 0

2

a



2

; 0; 0 2

a











0

;

2

2

;

0 a ; B 











2

2

;

0 a

a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD

x

z

S

A

D

O

x

y

Phương trình mặt phẳng (SCD)

2 0 2

a

x y z

3 2

(SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD)

2

a

, ( )

3

d A SCD

90

ABCBAD ABBCa, 2

&CĐ khối D năm 2007 )

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc

(0;0;0)

A ; Ba;0;0 ; Ca a; ;0;

D0; 2 ;0a  ; S0;0; 2a

SB a a

uur

SC a a a

uuur

0; 2 ; 2

SD a a

uuur

uuur uuur

2 1;1; 2

a



+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu

vuông góc của A trên SB

Phương trình tham số của SB :

2

x a at

y

  



 



(tR)

+ Chứng minh tam giác SCD vuông

 ; ; 2 

SC a a  a

uuur

; CDuuur  a a; ;0

SC CD SCCD

uuur uuur

Tọa độ điểm H :

H x y z SBH a at a t

( ;0; 2 )

AH a at a t

uuur

B

I

x

z

C

H

D

S

+ Viết phương trình mặt phẳng (SCD)

(SCD) đi qua điểm S và nhận vectơ

1;1; 2

AHSBuuur uurAH SB

3

; 0;

+ Khoảng cách từ H đến (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD)

2 2

2

3 3 , ( )

a a

d H SCD