Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

c Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A.. b Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A... Bài tập 29: Với mỗi tam giác sau, viết

Trang 1

Đt : 0914449230 1 Email : ngvuminh249@yahoo.com

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Phần 1: Hệ toạ độ trong không gian

Trang 2

5 A,B,C lập tam giác ⇔ A,B,C không thẳng hàng ⇔ AB, ACuuur uuur không cùng

phương ⇔ ⎡⎣AB, ACuuur uuuur⎤ ≠⎦ 0r khi đó diện tích tam giác ABC là S = 1 ,

r r r uur

r d/ Tìm tọa độ các vectơ sau : e =2u 4 v 3w− + , αur r= +u 5 v 2wr− uur,

muur = − 32ur + 12 vr−wuur

, nr = − + − +3u v 2i 5jr r r r , r 3u 5i 3kr = r+ −r r

Bài tập bổ sung : Cho ba vectơ a = ( 2 ; − 5 ; 3 ); b = ( 0 ; 2 ; − 1 ); c = ( 1 ; 7 ; 2 )

Tìm toạ độ các vectơ sau đây: d a b 3c

Trang 3

Bài tập 5 : Trong không gian Oxyz cho A(2; −3 ; 1), B(1; −1; 4) và C(−2; 1; 6)

a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

b/ Tính các vectơ sau : AB, AC, BC, 2AB 3AC 4BCuuur uuur uuur uuur+ uuur− uuur

uuur c/ Tính: (2AB AC BCuuur uuur− )

d/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : MAuuuur = −2MBuuur

e/ Tìm tọa độ điểm K sao cho : KA 2KB 2CBuuur− uuur= uuur

f/ Tìm tọa độ điểm P sao cho : PA 2PB 4PC 0uuur+ uuur− uuur r=

g/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Bài tập 6: Cho ba điểm: A(−3;2;1); B(3;−1;2); C(0;−4;2)

CMR tam giác ABC cân

c/ Trong khôgn gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết A(4;1;-2),

B’(4;5;10) C(-3;-2;17), D’(-7;-2;11) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại

Bài tập 8 : Tìm góc giữa hai vectơ sau:

a) a = ( 4 ; 3 ; 1 ); b= (− 1 ; 2 ; 3 ) b) a =(2;5;4); b = ( 6 ; 0 ; 3 ) c) a =(1;−1;1); b = ( 0 ; 1 ; 3 )

Bài tập 9:

a/ Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm: A(3;1;0); B(−2;4;1)

b/ Trên trục Ox, tìm điểm cách đều hai điểm: A(1;0;1); B(2;1;2)

c/ Trên trục x’Ox, tìm điểm M cách đều hai điểm: A(2;−1;1) ; C(3;−2;−1)

(ĐS : (4;0;0) )

Bài tập 10:

a/ Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm:A(1;1;1); B(−1;1;0); C(3;1;−1)

b/ Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm:A(2;−1;1);B(1;3;4); C(3;−2;−1)

Trang 4

) Bài 7: Cho A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-1;-2;2)

1/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác

2/ Tính cosin của 3 góc Δ ABC 3/ Tìm trên Ox điểm cách đều A và B 4/ Tìm trên Oz điểm cách đều C và B

5/ Tìm trên mặt phẳng xOy điểm cách đều A, B, C

Bài tập 11: cho ACuuur =(3, 2, 5− ) với C 1,0,3 Tìm A ( )

Bài tập 12: Cho điểm M( 3;4;7) Tìm tọa độ hình chiếu của M trên −

a/ Các trục tọa độ b/ Các mặt phẳng tọa độ

Bài tập 13: Cho tam giác ABC với A(0;−2;1); B ( 3 ; 2 ; 2 ); C(4;1;−2)

a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC

b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC

c) Tìm chân D của đường phân giác trong AD của góc A

E Hai vectơ cùng phương Cho ar=(a , a ,a , b= b , b , b1 2 3) r ( 1 2 3)

cùng phương ⇔ sao cho

a/ CMR a , br r là hai vectơ ngược hướng

b/ CMR và là hai vectơ không cùng phương ar

b/ Vì 62 ≠ và là hai vectơ không cùng phương 12 ar

cr

Ví dụ 2 : Cho A(−3;1;4); B(2;3;6); C(3;−4;1)

a/ CMR A,B,C lập tam giác

b/ Tìm tọa độ điểm M(x;y;−6) sao cho AM, BCuuuur uuur

cùng hướng

Giải :

uuur

a/ AB=(5;2;2 , AC) uuur =(6; 5; 3− − )

Trang 5

Vậy A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

; ; Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên BC và

m A’ i xứng với A qua đườ

m A’ đố xứng với A qua đườ

c/ Cho A(2;−1;3); B(3;0;−2); C(5;−1;−6) Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên

a độ điểm A’ đối xứng với A qua đ

Chú ý : A,B, C,D lậ p tứ diện ⇔ AB, AC, ADuuur uuur uuuur không đồng phẳng

⇔ AB, AC AD 0⎡⎣uuur uuur uuur⎤⎦ ≠

Trang 6

(h là chân đường cao hạ từ đỉnh A)

Bài tập 16: Xét sự đồng phẳng của 3 vectơ a, b, cr r r

b) Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD

c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A

Bài tập 21: Cho bốn điểm: A(2;3;1); B(4;1;−2) ; C(6;3;7) ; D(−5;−4;8)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng)

b) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A

c) Tìm tọa độ của điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D

-

Trang 7

Giải : so sánh với phương trình x2 +y2 + −z2 2ax 2by 2cz d 0− − + =

Ta có suy ra mặt cầu có tâm I (3; – 4;2)

Bài tập 23: cho phương trình :

a/ x2 +y2 + −z2 2mx 4 m 1 y 2 m 2 z 7m+ ( + ) − ( − ) + 2 + =8 0 (1)

0 m 4

.Xác định tham số m để (1) là phương trình của một mặt cầu (S) Khi đó xác định m để mặt

Trang 8

b/ Tâm I(2; 0; 1) và qua điểm A(2; 1; 5)

c/ Qua 4 điểm A(2; 2; 1), B(3; 2; 2), C(–3; 1; 6), D(3; –8; 0)

☺ b/ mặt cầu (S) có tâm I(2; 0; 1) và qua điểm A(2; 1; 5)

nên có bán kính R IA = = 0 2 + + 1 2 4 2 = 17 với IAuur =(0;1;4)

gọi pt (S) : x +y + −z 2ax 2by 2cz d 0− − + =

d 0

+ =+ =+ =+ =

Trang 9

Bài tập 24: Viết phương trình mặt cầu nếu biết:

a) Tâm I(5; –3; 7) bán kính R = 2

b) Tâm I(3; –2; 1) và qua điểm A(2; 1; –3)

c) Tâm I(4; –4; –2) và đi qua gốc toạ độ

d) Hai đầu đường kính là A(4; –3; –3) và B(2; 1; 5)

e) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; –5) và B(–4; 0; 7)

Soạn : a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính R= 3

b) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4)

c) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3)

Bài tập 25: Viết phương trình mặt cầu (S):

a/ (ĐH Bách Khoa Hà Nội – 96) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(3; 2; 6),

B(3;-1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1; -1) (ĐS: x 2 + y 2 + + z 2 2x 3y 8z 13 0 + − − = )

b/ (ĐH Văn Lang – 98) đi qua bốn điểm A(0; 0; 0), B(0;0; 4), C(0; 4; 0), D(4; 0; 0) c/ Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2)

d/ Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0)

e/ Đi qua bốn điểm: A(1 ; 0 ; 0) ; B(0 ; 1 ; 0) ; C(0 ; 0 ; 1); D (-2 ; 1 ; -1)

8 = 0) f/ Đi qua bốn điểm: A(–1; 2; 0), B(2; –3; –1), C(0; –2; –2), D(–2; 0; 1)

Bài tập 26: Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ:

n = (A;B;C) là vecto pháp tuyến của mp

b) Phương trình mặt phẳng đi qua M(x0;y0;z0)

và có vectơ pháp tuyến n = (A;B;C) có dạng:

n r

0)(

)(

)(x−x0 +B y− y0 +C z−z0 =

A

Trang 10

c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

có dạng: + + = 1

c z b y a x Ghi chú : ………

………

z B b C c y O A a x d) các trường hợp đặc biệt : (P) : Ax + By + Cz + D = 0 + nếu D = 0 : (P) : Ax + By + Cz = 0 thì (P) đi qua gốc O + Các mp tọa độ cần nhớ : (Oxy) : z = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Ozy) : x = 0

Ví dụ 5 : lập phương trình mp (P) trong các trường hợp sau : a/ qua A(2; 1; 5) và có vectơ pháp tuyến là nr =(2; 3; 2− − ) b/ cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2) c/ qua 3 điểm A(1; –2; 4), B(3; 2; –1), C(–2; 1; -3) không thẳng hàng d/ (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(3; -2; 5), B(-5; 4; 7) e/ qua ba điểm A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu của A(-3; 2; -4) lên các trục Ox, Oy, Oz f/ qua điểm A(1; 2; 2) và song song với mp (R) : 2x 3y z 2013 0 − − + = Giải : ☺ a/ (P)qua A(2; 1; 5) và có vectơ pháp tuyến là nr =(2; 3; 2− − ) Phương trình (P) : 2 x 2( − −) (3 y 1 − −) (2 z 5 − ) = ⇔ 0 2x 3y 2z 9 0 − − + = ☺b/ (P) cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2) nên (P) chính là mặt phẳng đoạn chắn : x2 1+ +y z2 = ⇔ +1 x 2y z 2 0− − = − ☺c/ qua 3 điểm A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C(-2; 1; -3) không thẳng hàng nên (P) có cặp vectơ chỉ phương là A B C ( )

AB 2; 4; 5

AC 3;3; 7

⎪

⎨

= − −

⎪⎩

uuur

Trang 11

Bài tập 27: Viết phương trình mặt phẳng:

1/ Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến n=(−3;4;1)

2/ Đi qua M(1; –3; 7) và có vectơ pháp n =(3;2;0)

3/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy

4/ Đi qua M(1; 0; 5) và vuông góc với trục Ox

5/ Đi qua điểm M(1; 3; –2) và vuông góc với đường thẳng M1M2 với M1(0; 2; –3)

và M2(1; –4; 1)

6/ Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, trong đó B(3; –1; 0), C(2; 1; 1)

7/ Đi qua M(1; 3; –2) và song song với mặt phẳng 2x – y + 3z + 4 = 0

p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x – 3y + 2z + 13 = 0

8/ Qua các hình chiếu của A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ

9/ Qua A(3; 4; -5) và song song với 2 vectơ u =(3;1;−1) và v = (1;−2;1)

Trang 12

10/ Qua A(-2; 4; 1) và có cặp vectơ chỉ phương a = (3;−5;2) và b=(1;−4;3)

11/ Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ a =(3;−1;−4)

12/ Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) 13/ Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2)

14/ Qua A(2; –4; 0), B(5; 1; 7), C(–1; –1; –1)

15/ Chứa tam giác ABC với A(1; –1; 2), B(–3; 0; 4), C(1; 1; 0)

16/ Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – 2y + z + 3 = 0 17/ Qua P(3; 1; –1), Q(2; –1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x – y + 3z – 1= 0

27/ Qua các hình chiếu vuông góc của M(2; 3; -5) lên các mặt phẳng toạ độ

(Oxy), (Oyz), (Ozx)

28/ Qua M(1; 0; 0), N(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y – z = 0

Bài tập 28: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng sau:

a) PQ với P(3; –1; –2), Q(-3; 1; 2) b) MN với M(1; 3; 2), N(–3; 5; 6)

c) EF với E(1; 2; – 4), F(5; 4; 2) d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; –1)

e) M1M2 với M1(2; 3; – 4), M2(4; –1; 0) f) AB với A(–1; 2; 3), B(0; 3; –1) Bài tập 29: Với mỗi tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện

a/ Tam giác ABC với A(3; –5; 2), B(1; –2; 0), C(0; –3; 7)

b/ Tam giác MNP với M(–3; 5; 7), N(0; –1; 1), P(3; 1; –2)

Bài tập 30: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Với:

Trang 13

f) A(5; 0; 0), B(0; –3; 0), C(0; 0; –5)

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

(P) : đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

có dạng: + + = 1

c

z b

y a

Ví dụ 6 : lập phương trình mp (P) đi qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt

tại A,B,C có tọa độ dương sao cho thể tích tứ diện O.ABC nhỏ nhất

Ví dụ 7 : lập phương trình mp (P) đi qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt

tại các điểm A,B,C có tọa độ là số dương sao cho tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện O.ABC là I(1;1;1)

Giải : từ trung điểm E của AB ta dựng trục d của

tam giác vuông OAB và d//Oz Từ trung điểm M của OC

dựng trục của OC cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Trang 14

Oz lần lượt tại A,B,C khác gốc O sao cho thể tích tứ diện O.ABC bằng 1/6

(ĐS : (P): x y z 1 0 x y z 1 0 + + + = ∨ + + − = )

c/ Lập phương trình mp (P) đi qua M(– 1;2;4) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại

A,B,C tọa độ dương sao cho OA = OB = OC

(ĐS : (P): x y z 5 0 + + − = )

d/ Lập phương trình mp (P) qua M(2;1;4) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C tọa

độ dương sao cho ABC là tam giác đều

Bài tập 32: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :

a/ Qua A(1; 2; 0), B(-1; 1; 3), C(2; 0; – 1) và có tâm nằm trong mp(Oxz)

b/ Qua A(1; – 4; 2), B(1; 1; – 3), C(2; 3; 2) và có tâm nằm trong mp(Oxy)

c/ (D – 2004) Qua ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và có tâm nằm trong

2

0 0

0

C B A

Cz By

Ax MH

d(M,(P))

++

Trang 15

về hai phía của (P):

Bài tập 33: Tính khoảng cách từ một điểm đến mp(P):

a/ A(2; 0; 1), (P): x y z 2 0+ + − = b/ B(–2; 3; 0), (P): 2x y 3z 1 0+ + + =

Bài tập 34: Tính khoảng cách từ mp(Q) đến mp(P):

(P): 4x 3y 5z 8 0+ − − = và (Q): 4x 3y 5z 12 0+ − + =

Bài tập 35: Cho mặt phẳng (α : 2x – 3y + z – 7 = 0 )

và các điểm M(0; 2; – 1), N(2; 1; 8), P(– 1; – 3; 0)

a) Hai điểm nào cùng phía đối với (α b) Hai điểm nào khác phía đối với ) (α )

Ví dụ 8 : Tìm điểm M trên Oz cách đều điểm A(2;3;4) và (P) : 2x 3y z 17 0+ + − =Giải : Vì M Oz ∈ nên M(0; 0; m); AMuuuur =(2;3;4 m− )

M cách đều điểm A(2;3;4) nên ta có AM d M, P= ( ( ) )

Trang 16

Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R và mp (P)

(P) là tiếp diện của m/c (S)

Bài tập 38: Viết phương trình mặt cầu:

a) Tâm I(3; –5; –2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x – y – 3z + 1 = 0

b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y –7z +42 = 0

c) Tâm K(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + 3 = 0

d) Tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y – 2z + 5 = 0

e) Bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0

tại điểm M(1; 1; –3)

Ví dụ 10 : (S) : x2 +y2 +z2 −6x 4y 2z 3− + − = 0 Viết phương trình tiếp

diện của mặt cầu (S) tại điểm A(3; 6; -2) (CĐKT ĐN -2000)

I

H

Trang 17

(P) : 0 x 3( − +) (4 y 6 − −) (1 z 2 + )= ⇔ 0 4y z 26 0 − − =

Bài tập 39: Viết pt mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( )

a) Tiếp xúc với mặt cầu: (x −3)2 +(y−1)2 +(z +2)2 =24 tại điểm M(– 1; 3; 0)

05426

2 2

2 + y + z − x− y+ z + =

x

49)

2()3()1(x− 2 + y+ 2 + z − 2 =

2 2 2

x y z 2x 4y 6z 2 0

b) Tiếp xúc với mặt cầu: tại M(4; 3; 0)

c) Tiếp xúc với mặt cầu: tại M(7; – 1; 5)

Bài tập 40: Viết pt mặt phẳng

a) Tiếp xúc với mặt cầu: x2 + y2 + z2 −2x−2y− 2z −22 = 0

và song song với mp: 3x– 2y + 6z + 14=0

b) Tiếp xúc với mặt cầu: x2 + y2 + z2 −6x+4y +2z −11= 0

và song song với mp: 4x +3z – 17 = 0

c) Tiếp xúc với mặt cầu: x2 + y2 + z2 −2x−4y +4z =0

và song song với mp: x +2y +2z +5 = 0

+ + − − − − =

d) ĐH GTVT 98 tiếp xúc với mặt cầu (S):

và song song với mặt phẳng (Q): 4x + 3y – 12z + 1=0

C Vị Trí tương đối của hai MP

Trang 18

Bài tập 44: Viết phương trình mặt phẳng:

a) Qua M(1; 3; – 2) và song song với mặt phẳng 2x + 2y – 5z + 1 = 0

b) Qua gốc toạ độ và song song với mặt phẳng 6x – 5y + z – 7 = 0

c) Qua M(2;– 3; 1) và song song với mặt phẳng (Oyz)

d) (P) song song với mp (Q) : 2x – 3y – 6z – 14= 0 và khoảng cách từ O đến (P) bằng 5

e) (P) song song với mp (Q) : 2x – 3y – 5z + 1= 0 và khoảng cách từ M(–1; 3; 1) đến (P) bằng 3

Soạn : a) Qua M(3; – 2;–7) và song song với mặt phẳng 2x + y – 3z + 5 = 0

b) Qua M(1; 4; – 2) và song song với mp (Oxz)

Bài tập 45:

a/ Viết ptmp (P) qua A(2;0;0) , B(0;3;0) và cách gốc O một khoảng bằng 6/7

ĐS : 3x 2y 6z 6 0 + ± − =

b/ (P) : x y z 3 0 + + − = ; (Q) : x y z 1 0 − + − = Viết pt mp (R) vuông góc với (P)

và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2 (ĐH Khối D – 2010)

bằng 1/3 (ĐS : b = c = 1) (ĐH Khối B – 2010)

d/ A(1; 2; 1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1), D(0; 3; 1) Viết pt mp (P) đi qua A,B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) (ĐH Khối B – 2009) e/ Lập pt mp (P) qua điểm A(5; 2; 0) đồng thời khoảng cách từ B(6; 1; –1) đến

Trang 19

Email : ngvuminh249@yahoo.com

Phần 4: Phương trình đường thẳng

A Phương trình đường thẳng

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng d : ⎩⎨

⎧

= + +

+

= + +

+

(Q) 0 ' '

' '

) (

0 D z C y B x A P D Cz By Ax là giao tuyến của hai mp(P) và (Q) có vectơ chỉ phương : u = ⎣ ⎡ n , n(P) (Q)⎤ ⎦ r uuur uuur Đt : 0914449230 19 2 Phương trình tham số: ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = + = ct z z bt y y at x x 0 0 0 P Q d là đường thẳng qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương ur =(a; b; c) 3 Phương trình chính tắc: x−a x0 = y−b y0 = z −c z0

là đường thẳng quaM0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương ur =(a; b; c)

( ) ur = − 1; 2; 4 VD : viết ptđt (d) qua M(5;3; –1) và có VTCP là ………

………

Bài tập 46:Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng:

⎩

⎨

⎧

= +

− +

=

− +

−

0 3 2

0 4 3 3

2

z y

x

z y x

⎩

⎨

⎧

=

− + +

= +

− +

0 6 2 6

0 7 4 3 3

z y x

⎩

⎨

⎧

=

−

=

−

+

0 2

0 1

y

z x

⎩

⎨

⎧

=

− + +

= +

−

+

0 1

0 3 2

z y x

⎩

⎨

⎧

= +

−

=

− +

−

0 6 3

0 5

y x

z y x

⎩

⎨

⎧

=

− +

=

− + +

0 1

0 1 2

z x

z y x

Trang 20

Bài tập 47: Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng trong

các trường hợp sau:

a) Qua (2; 0; –1) và có vectơ chỉ phương a= (− 1 ; 3 ; 5 ).

soạn : a/ Qua (–2; 0; 5) và có vectơ chỉ phương a =(0;1;4)

b) Qua M(2; 0; –1)và song song với đường thẳng AB với A(2; 3; –1) và B(1; 2; 4) c) Qua hai điểm A(3; 1; –5) và B(2; 1; –1)

soạn : b/ Qua hai điểm A(1; 2; –7) và B(1; 2; 4)

c/ Qua hai điểm A(–2; 1; 3) và B(4; 2; –2)

d/ Qua A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2)

e/ Qua hai điểm A(1; –1; 0) và B(0; 1; 2)

d) Qua (3; 4; 1) và song song với đường thẳng (d): x = 1 + 25t, y = – 4t, z = 5 + 3t e) Qua (2; 0; –5) và song song với đường thẳng (d): 01 25 = −32.

f) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Ox

g) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oy

h) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oz

i) Qua A(1; 3; –1) và song song với vectơ a =(1;2;−1).

j) Qua A(2; 3; 5) và vuông góc với mỗi mặt phẳng toạ độ

k) Qua A(1; 4; –2) và song song với đường thẳng

01253

03226

z y x

l) (ĐH Thùy Sản 1998) Qua M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng

−+

=

−+

−

0323

0723

z y x

m) Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và song song với đường

thẳng d’:

3 21

Bài tập 48: Cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + z + 2 = 0, (Q): x + y + 2z – 1 = 0

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng trên cắt nhau

b) Viết phương trình tham số của giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q)

Bài tập 49 :

Trang 21

a/ A(1; 3; 2) , B(1; 2; 1) , C(1; 1; 3) Viết phương trình tham số đường thẳng (d)

đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC)

a/ (ĐH Thủy lợi 96) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) có

phương trình: và song song với hai đường

c/ (ĐH Khối A – 2005) Cho đường thẳng d: x 11− = y 32+ = z 31− và mp (P):

2x + y – 2z + 9=0 Tìm tọa độ các điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm

đó đến mặt phẳng (P) bằng 2 (ĐS: I(–3; 5; 7), I(3 ; –7; 1))

0 0 0

+ Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là: M x0+ at;y0 + bt;z0+ ct

d/ (CĐ Kinh Tế - 2007) Cho đường thẳng d: x 32− = y 1 z 51− = 2− và mp (P):

x + y – z – 1 = 0 Tìm tọa độ các điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm

đó đến mặt phẳng (P) bằng 3

e/ (ĐH Khối D – 2007) Cho đường thẳng d : x 1−−1 = y 21+ = z2 và A(1; 4; 2),

B(–1; 2; 4) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d sao cho MA 2 + MB 2 nhỏ nhất

f/ (Cao Đẳng 2008) Cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng d: x1 = −y1= z2−1

Trang 22

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d Tìm tọa độ M

thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O

g/ (Cao Đẳng 2010) Cho đường thẳng d: x y 1 z

−

mp (P): 2x – y + 2z –2 = 0 Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với

(P) Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và (P)

h/ Trong hệ trục tọa độ Oxyz tìm điểm M thuộc đường thẳng

(d): x = 1 + t, y = – t, z = 2 – t và cách mp (Q) : 2x – 2y + z + 1 = 0 một khoảng là 1

k/ (soạn) Tìm điểm A thuộc d:

1 2 2 3

2 1 3 sao cho AM= 35

với A(2; –5; –6) ĐS : M(1; –2; –1) và M(5; 0; –7)

m/ Cho M(2;1;4) và d: Tìm H thuộc d sao cho MH ngắn nhất

1 2

Tìm N thuộc d sao cho MN= 11

B Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho mp( α )có vectơ pháp tuyến nr = (A; B; C)đường thẳng (d) có vectơ chỉ

Trang 23

=+++

062

0167

53

z y x

=

−++

05

0106

32

z y x

Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Gọi H là giao điểm của d và (P)

Trang 24

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:

0 0 0

Bài tập 55 : Các dạng nâng cao

a/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; –1;0), vuông góc và cắt

đường thẳng (d) : ⎧⎨ − + + =⎩5x y z 2 0x y 2z 1 0+ + + = (ĐH Thương Mại – 2000)

Trang 25

Lập phương trình đường thẳng cắt d1, d2 và song song với d3 (ĐH GTVT – 2000)

c/ Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và

vuông góc với mp (P) : x – 2y + z + 5 = 0 (ĐH Văn Lang – 97)

1

x 2z 0 (d ):

0) e/ Lập phương trình đường thẳng qua M(0;1; 1), vuông góc với đường thẳng

k/ (ĐH Khối D – 2006) Cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng d:

Trang 26

3 1

l/ (ĐH Khối A – 2005) Cho đường thẳng d: x−−11= y2+3 = z1−3 và

mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0 Tìm giao điểm A của d và (P) Viết phương trình

đường thẳng d’đi qua A nằm trong (P) và vuông góc d’

m/ (ĐH Khối B – 2004) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho A(–4; –2; 4) và đường

thẳng Viết phương trình đường thẳng (Δ) qua A, cắt và vuông góc

B Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng

Cho hai đường thẳng:

(d) qua điểmM(x0;y0;z0)và có vectơ chỉ phương u = (a;b;c)

(d’) qua điểm '( ; ; 0')và có vectơ chỉ phương

' 0

'

0 y z x

a) (d)∩(d') ⇔hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b) (d) chéo (d’) ⇔ hệ phương trình vô nghiệm

Trang 27

TH3. Hai đường thẳng vuông góc ⇔ ⊥ur uru' ⇔ aa ' + bb ' + cc ' = 0

Chú ý : Hai đường thẳng chéo nhau ⇔ ⎡⎣u,u' MM' 0r ur uuuuur⎤⎦ ≠

Ví dụ 11 : Chứng minh hai đường thẳng d:

31

+ Đường thẳng d qua điểm M(3;1;2) có vectơ chỉ phương ar =(1 ; 1; 2 − )

+ Đường thẳng d’ qua điểm M’(0;2;0) có vectơ chỉ phương a'ur = −( 1;3; 2)

+ Tính ⎡⎣a, a'r ur⎤ = − −⎦ ( 8; 4; 2), MM' ( 3;1; 2)uuuuur= − −

r ur uuuuur + Tính ⎡⎣a, a' MM' 24 4 4⎤⎦ = − − = − ≠16 0

Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau

Soạn : CM d và d’ chéo nhau

1/ d: và d’:

2

5 34

−

=++

01

02

z y x

; x−67 = y 4−6 = z−25

Trang 28

e) x2−1= y1+5 = z 4−3

; x3−6 = y2+1= z1+3

f) x21 y 22 = 1z

/ Giải : Xét hệ phương trình: .Từ (1) và (2) suy ra

Thay giá trị t vào (3) ta thấy thỏa mãn

Vậy hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại M(3; 7; 18)

Bài tập 57 : (ĐH Mở HN – 2000) Cho hai đường thẳng 1

u u' Chú ý: 00 ≤ α ≤900

2/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	1,07 MB