chinh phục kỳ thi thpt quốc gia môn toán 2017 phương pháp tọa độ trong không gian oxyz

Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một , ,điểm gốc O.. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên tr

BÀI 1 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A - LÝ THUYẾT

1 Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một , ,điểm gốc O Gọi   i j k, ,

là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox Oy Oz Hệ ba trục như vậy , ,

gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý:  MOxyz0;MOyzx0;MOxz y0

4 Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a ( ;a a a1 2; 3)

c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b ,

và c đồng phẳng  [ , ].a b c    0

 Diện tích hình bình hành ABCD : SABCD  AB AD, 

- Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính

góc giữa hai đường thẳng

- Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ

diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương

 

 

0

00

6

ABCD

V    AB AC AD

trong không gian bằng

Câu 5 Trong không gian cho hai điểm A1; 2;3 , B0;1;1, độ dài đoạn ABbằng

A 6 B 8 C 10 D 12

Câu 6 Trong không gian Oxyz , gọi   i j k, ,

là các vectơ đơn vị, khi đó với M x y z ; ;  thì OM

,b( ; ; )b b b1 2 3

là một vectơ, kí hiệu a b,

, được xác định bằng tọa độ

Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Oxsao cho M không trùng với gốc tọa

độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng

A M a ; 0; 0 , a 0 B M0; ;0 ,b  b 0 C M0;0;c c , 0 D M a ;1;1 , a 0 Câu 11 Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng Oxysao cho M không trùng với

gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox Oy , khi đó tọa độ điểm , M là (a b c  ) , , 0

Câu 13 Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u

và v, khi đó u v, 

của tam giác ABC là

trọng tâm G của tam giác ABC

là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là

A Q  6;5; 2 B Q6;5; 2 C Q6; 5; 2  D Q    6; 5; 2 Câu 22 Cho 3 điểm A1;2;0 , 1;0; 1 ,  B   C 0; 1;2   Tam giác ABC là

Câu 23 Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A1; 2; 2 , B0;1;3 , C3; 4;0 Để tứ giác

ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là

A D  4;5; 1  B D4;5; 1  C D    4; 5; 1 D D4; 5;1 

Câu 24 Cho hai vectơ a

và b tạo với nhau góc 60 và 0 a 2;b 4

Câu 35 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD

cho bởi công thức nào sau đây:

A

, 1

AB AC AD h

AB AC AD h

AB AC AD h

Câu 36 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A1; 2; 0 ,  B3;3; 2 , C1; 2; 2 , D3;3;1 Độ

dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC là 

Câu 37 Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCDcó A(1; 0; 2), ( 2;1;3), (3; 2; 4), (6;9; 5)B  C D  Tìm

tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

hai điểm A B có tọa độ là ,

M 

3

; 0; 02

M 

1 30; ;

2 2

M 

Câu 39 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (1; 2;1), (3; 1; 2) A B  Điểm M trên trục Ozvà cách đều

hai điểm A B có tọa độ là ,

Câu 41 Tọa độ của vecto n

vuông góc với hai vecto a (2; 1; 2), b(3; 2;1)

3



, u k a b v    ; a2 b

Để u vuông

45.6

83



Câu 44 Cho hai vectơ a 1; log 5;3 m,b3;log 3; 45 

Với giá trị nào của m thì a b

Câu 46 Trong không gian Oxyz cho ba điểm (1; 0; 0), (0; 0;1), (2;1;1) A B C Tam giác ABC là

Câu 47 Trong không gian Oxyz cho tam giác ABCcó A(1; 0; 0), (0; 0;1), (2;1;1)B C Tam giác ABC có

Câu 48 Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là1;1;1 , 2;3; 4 , 7; 7;5     Diện tích của hình bình

sao cho vectơ x

đồng thời vuông góc với a b c  , ,

Câu 52 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1) , B(2; 1;3) ,C ( 2;3;3)

ĐiểmM a b c ; ;  là đı̉nh thứ tư của hı̀nh bı̀nh hà nh ABCM , khi đó Pa2b2c2 có giá trị bằng

A 43. B 44. C 42. D 45

Câu 53 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm (1; 2; 1) A  , (2; 1;3)B  ,C ( 2;3;3) Tìm

tọa độ điểmD là chân đườ ng phân giá c trong gó c A của tam giá cABC

Câu 54 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A( 1;3;5) , B( 4;3;2) , C(0; 2;1) Tìm tọa

độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

OABC O A B C    thỏa mãn điều kiện OAa OB, b OC, 'c

Thể tích của hình hộp nói trên bằng:

(2) Tam giác BCD vuông tại B

(3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6

Các mệnh đề đúng là:

Câu 57 Trong không gianOxyz , cho ba vectơ a   1,1, 0 ; b(1,1, 0);c1,1,1

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

Câu 58 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diê ̣n ABCD, biết A(1; 0;1),B ( 1;1; 2),

13

3 13.13

Câu 59 Cho hình chóp tam giác S ABC với I là trọng tâm của đáy ABC Đẳng thức nào sau đây là

Câu 60 Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), (0;1; 0), (0;0;1), ( 2;1; 1)B C D   Thể

tích của tứ diện ABCD bằng

Câu 64 Cho hình chóp S ABCD biết A2; 2; 6 , B3;1;8 , C1; 0; 7 , D1; 2;3 Gọi H là trung

điểm của CD , SH ABCD Để khối chóp S ABCD có thể tích bằng 27

2 (đvtt) thì có hai

điểm S S thỏa mãn yêu cầu bài toán Tìm tọa độ trung điểm 1, 2 I của S S1 2

A I0; 1; 3   B I1; 0;3 C I0;1;3 D I1; 0; 3  

Câu 65 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (2; 1; 7), (4;5; 2) A  B  Đường thẳng ABcắt mặt phẳng

(Oyz tại điểm ) M Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào

Câu 66 Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), (3; 0;1), C(2; 1;3) B  và D thuộc

trục Oy Biết V ABCD  và có hai điểm 5 D10; ; 0 ,y1  D20;y2; 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán Khi đó y1y2 bằng

Câu 67 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A( 1; 2; 4), (3;0; 2), C(1;3; 7) B  Gọi D là chân

đường phân giác trong của góc A Tính độ dài OD

205

Câu 68 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giá c ABC, biết A(1;1;1), B(5;1; 2) ,C(7;9;1)

Tı́nh đô ̣ dà i phân giá c trong ADcủa gócA

A 2 74

3 74

Câu 69 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm (2; 4; 1) A  , (1; 4; 1)B  , (2; 4;3)C D(2; 2; 1)

Biết M x y z ; ; , đểMA2MB2 MC2MD2 đạt giá trị nhỏ nhất thì xyz bằng

Câu 70 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm (2;3;1) A , B ( 1; 2; 0),C(1;1; 2) H là

trực tâm tam giác ABC, khi đó, độ dài đoạn OH bằng

A 870

870

870

870

Câu 71 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1; 0), B nằm trên mặt phẳng

(Oxy và có hoành độ dương, ) C nằm trên trục Ozvà H(2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC Toạ độ các điểm B, C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

Câu 72 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD, B(3;0;8), D  ( 5; 4; 0) Biết

đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy ) và có to ̣a đô ̣ là nhữ ng số nguyên , khi đó CA CB 

C - ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

4 0

x y z

AB AC AD h

Ta có: ABBCCA3 2  ABC đều Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC là

trọng tâm của nó Kết luận: 5 8 8; ;

Câu 56 Chọn A

Câu 57 Chọn A

.cos( , )

AB AC AD h

Gọi S a b c ; ; SH   a;1b;5cSH k AB AC , k3;3;3  3 ;3 ;3k k k

   

Suy ra 3 3 9k29k2 9k2 k  1

+) Với k 1 SH3;3;3S 3; 2; 2

+) Với k  1 SH    3; 3; 3S3; 4;8

Suy ra I0;1;3

x z y

a b

175145

a b

3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S I R ;  và mặt phẳng  P Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  P  d IH là

khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P Khi đó :

+ Nếu d R : Mặt cầu và mặt

phẳng không có điểm chung

+ Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Lúc đó:  P là mặt phẳng

tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm

R I

H P

d

r I' α

R I

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó

được gọi là đường tròn lớn

Cho điểm I cố định và một số thực dương R Tập hợp tất cả

những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi

là mặt cầu tâm I, bán kính R

Kí hiệu: S I R ; S I R ;   M IM| R

4 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S I R ;  và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của I lên  Khi đó :

+ IH R:  không cắt mặt

cầu

+ IH R:  tiếp xúc với mặt cầu

 là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp

điểm

+ IH R:  cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng( )

5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R

+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S)  d I ;  R

+ Mặt phẳng  là tiếp diện của (S)  d I ;  R

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm M0x y z0; 0; 0



R I

* Thuật toán 2: Gọi phương trình ( ) : S x2y2z22ax2by2czd 0

Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a b c d (, , , a2b2c2d ) 0

Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

a) (S) qua A3;1; 0 ,  B5;5;0 và tâm I thuộc trục Ox

Mặt cầu tâm O0; 0;0 và bán kính R 3, có phương trình (S) : 2 2 2

9

x y z  c) Chọn 1;1; 0  0; 1; 0 

a) Cách 1: Gọi I x y z ; ;  là tâm mặt cầu (S) cần tìm

Theo giả thiết:

Gọi I t ; 1;   t là tâm mặt cầu (S) cần tìm

Gọi It; 2t1;t2d: là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S)

I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho IAB vuông tại I

Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x2y2z24x4y4z0 và điểm A4; 4;0 Viết

phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều

Bài giải :

(S) có tâm I2; 2; 2 , bán kính R2 3 Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S)

Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng :  2 2 2   

c Theo (*), suy ra  P :x  y z 0 hoặc x  y z 0

Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C)

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P)

Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P)

Bước 3: Gọi r là bán kính của (C): 2     2

Ta có : dI P,   1 2Rmặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn (đ.p.C m)

* Đường thẳng d qua I1; 0; 0 và vuông góc với (P) nên nhận  1;0;0

1

20

z

z x

+ Ta có: d I P ,   Gọi r là bán kính của (C), ta có : 1 2     2

r R d I P  

Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC

Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:

+ Đường thẳng là tiếp tuyến của (S)  d I ;  R

+ Mặt phẳng( ) là tiếp diện của (S)  d I ;  R

* Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao

Bài tập 1: Cho đường thẳng  : 1 2

Vì d I ,   R nên   không cắt mặt cầu  S

172

tâm I, tại hai điểm A, B sao cho AB6 Phương trình của mặt cầu  S là:

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

Bài tập 9: Cho mặt cầu 2 2 2

( ) :S x y z 4x2y6z 5 0 Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cầu

Bài tập 10: Cho ( ) : S x2y2z2 6x6y2z 3 0 và hai đường thẳng 1: 1 1 1;

Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là : 2x y 2z 7 0, 2 x y 2z170

Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu   2 2 2

:   2 4 6  5 0

diện:

a) qua M1;1;1

b) song song với mặt phẳng (P) : x2y2z 1 0

* Với m 6 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z 6 0

* Với m12 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z120

c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là  2;1; 2 

m m

* Với m 3 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z 3 0

* Với m15 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z150

Câu 13 Gọi I là tâm mặt cầu   2 2  2

Câu 20 Cho mặt cầu   2 2 2

:    4 0

S x y z và 4 điểm M1; 2;0 ,  N0;1; 0 ,  P1;1;1, Q1; 1; 2 

Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu  S ?

Câu 21 Mặt cầu  S tâm I1; 2; 3  và tiếp xúc với mặt phẳng  P :x2y2z 1 0 có phương trình:

Câu 24 Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính AB với A1;3; 2 ,  B3;5;0 là:

A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng Oxy là:

Câu 28 Cho ba điểm A2; 0;1 , B1; 0;0 , C1;1;1 và mặt phẳng  P :xy  z 2 0 Phương trình

mặt cầu đi qua ba điểm A B C và có tâm thuộc mặt phẳng , ,  P là:

A x–12y22z– 32  50 B x–12y22z– 32 5

C x–12y22z– 32 50 D x12y22z32 50

Câu 32 Cho đường thẳng d: 1 1

Câu 35 Cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 2x4y6z 2 0 và mặt phẳng ( ) : 4 x3y12z100

Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S và song song với ( )  có phương trình là:

Câu 39 Cho đường thẳng : 5 7

I tại hai điểm A, B sao cho AB6 Phương trình của mặt cầu ( )S là:

A (x4)2(y1)2(z6)2 18 B (x4)2 (y1)2(z6)2 12

C (x4)2(y1)2(z6)2 16 D (x4)2(y1)2(z6)2 9

Câu 40 Cho hai mặt phẳng  P ,  Q có phương trình  P :x2y  z 1 0 và  Q : 2xy  z 3 0

Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng  P và tiếp xúc với mặt phẳng  Q tại điểm M , biết rằng

M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ x M 1, có phương trình là:

Câu 44 Cho điểm A(1;3; 2), đường thẳng : 1 4

Câu 48 Cho điểm A2;5;1 và mặt phẳng ( ) : 6P x3y2z240, H là hình chiếu vuông góc của A

trên mặt phẳng  P Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784 và tiếp xúc với mặt phẳng

 P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

A x82y82z12 196 B x82y82z12 196

C x162y42z72 196 D x162y42z72 196

Câu 49 Cho mặt phẳng  P : 2xy  z 5 0 và các điểm A0; 0; 4 ,  B2; 0; 0 Phương trình mặt cầu

đi qua O A B và tiếp xúc với mặt phẳng , ,  P là:

A x12y12z22 6 B x12y12z22 6

C x12y12z22 6 D x12y12 z22 6

Câu 50 Cho mặt phẳng  P :x2y2z 2 0 và điểm A2; 3;0  Gọi B là điểm thuộc tia Oy sao

cho mặt cầu tâm B, tiếp xúc với mặt phẳng  P có bán kính bằng 2 Tọa độ điểm B là:

A 0;1; 0  B 0; 4; 0  

C 0; 2;0 hoặc 0; 4; 0   D 0; 2; 0 

Câu 51 Cho hai mă ̣t phẳng ( ) : 2P x3y  z 2 0, ( ) : 2Q x   y z 2 0 Phương trình mặt cầu ( )S

tiếp xú c vớ i mă ̣t phẳng ( )P ta ̣i điểm A1; 1;1  và có tâm thuô ̣c mă ̣t phẳng ( )Q là:

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt

đường thẳng d tại hai điểm A B sao cho tam giác , IAB vuông là:

Câu 56 Cho điểm I1; 0; 0và đường thẳng : 1 1 2

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB4 là:

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB6 là:

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

Phương trình mặt cầu  S có tâm I và cắt

đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

Phương trình mặt cầu  S có tâm I và

cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho 30o

A x12y12z22 72 B x12y12z22 36

C x12y12z22 66 D x12y12z22 46

Câu 63 Phương trình mặt cầu có tâm I3; 3; 7  và tiếp xúc trục tung là:

Câu 69 Mặt cầu (S) có tâm I2;1; 1  và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông

Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (S):

A 2;1;1  B 2;1; 0  C 2; 0; 0  D 1; 0; 0 

Câu 70 Gọi (S) là mặt cầu có tâm I1; 3; 0  và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều

Điểm nào sau đây không thuộc mặt cầu (S):

Câu 72 Cho điểm I1; 7;5và đường thẳng : 1 6

đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 2 6015 là:

Câu 74 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1; 2;1 và B0;1;1 Mặt cầu đi qua hai

điểm A, B và tâm thuộc trục hoành có đường kính là:

hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm là:

điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm của  S là:

hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm  S là:

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông

góc chung của đường thẳng d và trục Ox là:

Câu 80 Cho hai đường thẳng

2:4

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn

thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và d’ là:

1169

967.2

Câu 82 Cho các điểm A2; 4; 1  và B0; 2;1  và đường thẳng

Gọi  S là mặt cầu đi

qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.Đường kính mặt cầu  S bằng:

Câu 87 Cho mặt cầu  S : x12y22z32 9 Phương trình mặt cầu nào sau đây

là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy):

A x12y22z32 9 B x12y22z32 9

C x12y22z32 9 D x12y22z32 9

Câu 88 Cho mặt cầu  S : x12y12z22 4 Phương trình mặt cầu nào sau đây là

phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:

Phương trình mặt cầu  S có hai dạng là: