Ma trận định thức

Các loại ma trận Ma trận thông thường - Ma trận hàng : Chỉ có một hàng duy nhất - Ma trận cốt : Chỉ có một cột duy nhất - Ma trận vuông : Số hàng = số cột  Đối với ma trận vuông ta có

TBL – Learning

Chào các bạn Có lẽ đây là thời điểm mà các bạn đang kiểm tra giữa

kỳ các môn toán Có rất nhiều bạn inbox facebook và nhắn tin tới điện thoại nói mình gia sư or mở lớp giảng đường dạy toán cao cấp Nhưng do thời gian dành cho khóa học xác suất thống kê tại giảng đường nên mình cũng khá bận mong các bạn thông cảm Đề giúp các bạn sinh viên học và

ôn tập tốt môn này mình đã cố gắng ngồi biên soạn tài liệu một cách dễ hiểu nhất, dùng ngôn ngữ đời thường để diễn đạt cho các bạn Hy vọng các bạn yêu thích cách học này

Hiện tại mình đang thực hiện một dự án giáo dục TBL – Learning Dự

án này nhằm tạo ra những tài liệu có giá trị cho cả học sinh và sinh viên Đồng thời TBL – Learning cũng trao học bổng cho các em học sinh có hoàn cảnh khó khăn và học bổng cho những em học sinh có KQ thành tích tốt Vậy nên hiện tại TBL rất mong muốn các bạn quyên góp quỹ cho dự án Các bạn có thể liên hệ qua

Phone : 01639085045 gặp Lã Văn Toàn

Fb : https://www.facebook.com/lavantoan.TBLeducation

Sắp tới khóa K60 Học viện Nông nghiệp VN, TBL còn mở ra khóa học dành cho 4-5 em sinh viên nhằm tạo cho các em điều kiện làm quen dần với môi trường đại học, những phương pháp học tập, cũng như những kỹ năng cần thiết trong xã hội Với mục tiêu : Vì thế hệ trẻ VN

Một lần nữa xin cảm ơn các bạn

I Ma trận

1 Định nghĩa: Ma trận là một bảng số gồm m hàng và n cột được viết trong dấu ngoặc [ ] hoặc ngoặc ( )  Ma trận cấp m x n

Người ta thường dùng chữ cái in hoa kèm theo m x n để ký hiệu ma trận

VD : Ma trận 𝐴3∗3 = (

1 2 6

7 4 5

3 8 6

)

Hoặc Ma trận 𝐵3∗3 = [

7 45 5

] Thông thường trong quá trình ra đề và làm bài tập người ta không nhất thiết phải ghi kích thước của ma trận Tức là :

𝐴 = (

1 2 6

7 4 5

3 8 6

)

2 Các loại ma trận

Ma trận thông thường

- Ma trận hàng : Chỉ có một hàng duy nhất

- Ma trận cốt : Chỉ có một cột duy nhất

- Ma trận vuông : Số hàng = số cột

 Đối với ma trận vuông ta có khái niệm đường chéo chính Trong hình vuông có hai đường chéo, vậy đường chéo nào là đường chéo chính Đường chéo chính là đường chéo bao gồm những phần tử

có chỉ số hàng = chỉ số cột Hay nói một cách đơn giản đường chéo chính là đường chạy từ góc trên bên trái xuông góc dưới bên phải của ma trận vuông

 Hình vuông có hai đường chéo Một đường chéo là đường chéo chính rồi thì đường còn lại là đường chéo phụ

 Vết của ma trân được ký hiệu là “tr” , nó bằng tổng các số nằm trên đường chéo chính

VD:

𝐴 = (

1 2 6

7 4 5

3 8 6

)

Tr(A) = 1 + 4 + 6 = 11

Ma trận đặc biệt

- Ma trận không: Là mà trận gồm các phần tử là số ( Toàn bộ là số 0 )

Ký hiệu và VD

θ = ( 0 0 0

0 0 0)

- Ma trận chéo  { Ma trận vuông

Các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là 0 Chú ý: Ở đây mình nói các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là 0 Còn các phần tử trên đường chéo chính có thể bằng 0 hoặc khác 0

VD : A = (

)

- Ma trận đơn vị { Ma trận chéo

Các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 Kết hợp với khái niệm của ma trận chéo ta có định nghĩa rõ ràng hơn của ma trận đợi vị

Ma trận đơn vị{

Ma trận vuông Các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là 0 Các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1

- Ma trận đợi vị ký hiệu là I

VD : I = (

)

3 Phép chuyển vị và ma trận đối xứng

Phép chuyển vị :

- “Chuyển” là di chuyển , “ Vị” là vị trí

- Phép chuyển vị là phép di chuyển vị trí Nói rõ hơn là chuyển vị trí của hàng cho cột ; Hàng  Cột

- Nếu ma trận gốc là A thì ma trận chuyển vị ký hiệu là 𝐴𝑡

- Tương tự Nếu ma trận gốc là B thì ma trận chuyển vị ký hiệu là 𝐵𝑡

A= (

1 2 6

7 4 5

3 8 6

) 𝑃ℎé𝑝 𝑐ℎ𝑢𝑦ể𝑛 𝑣ị → 𝐴𝑡 = (

)

Nhìn vào biển đổi trên ta nhận thấy hàng 1 của A là ( 1 ; 2 ; 6) được chuyển thành cột 1 của 𝐴𝑡

Ma trận đối xứng

Ma trận được gọi là đối xứng nếu chuyển vị của ma trận gốc được một ma trận mới giống y ma trận gốc

Kiểm tra xem ma trận B sau đây có phải ma trận đối xứng không ?

B = (

) Đầu tiên ta thực hiện phép chuyển vị ( Tức là đi biến đổi hàng của ma trận gốc thành cột của ma trận mới )

B = (

) 𝑃ℎé𝑝 𝑐ℎ𝑢𝑦ể𝑛 𝑣ị → 𝐵𝑡 = (

)

Nhận thấy 𝐵𝑡 = 𝐵  B là ma trận đối xứng

II Các phép toán về ma trận

Trong ma trận chúng ta xét đến các phép tính cộng, trừ, nhân

1 Phép cộng hai ma trận A và B

- Điều kiện để cộng hai ma trận A và B đó ma trận A và B phải có kích thước bằng nhau Tức là số hàng của ma trận A = số hàng của ma trận B và số cột ma trận A = số cột ma trận B

- Ta thực hiện cộng hai ma trận bằng cách cộng các phần tử tương ứng với nhau Tức là phần tử ở ( hàng 2 cột 3 ) của ma trận A thì cộng với phần tử ở ( hàng 2 cột 3 ) của ma trận B

VD : Cho ma trận A= (

2 3 1

3 0 4

1 4 6

) và B = (

1 2 6

7 4 5

3 8 6

)

A+B = (

) + (

1 2 6

7 4 5

3 8 6

) = (

)

2 Phép trừ hai ma trận A và B

- Điều kiện để trừ hai ma trận cũng giống với điều kiện cộng hai ma trận

- Cách trừ hai ma trận cũng giống cộng hai ma trận

VD : Cho ma trận A= (

2 3 1

3 0 4

1 4 6

) và B = (

1 2 6

7 4 5

3 8 6

)

A-B = (

) − (

1 2 6

7 4 5

3 8 6

) = (

−4 −4 −1

)

3 Phép nhân số thực với ma trận

Giả sử ta nhân số thực k với ma trận A

- Ma trận mới có kích thước bằng ma trận cũ

- Phần tử của ma trận mới bằng phần tử của ma trận cũ tại vị trí tương ứng nhân với k

VD : 3.A=3 (

) = (

3 12 18

)

4 Phép nhân hai ma trận

Phép nhân hai ma trận hoàn toàn không giống phép cộng và phép trừ hai

ma trận Vậy khác như ở chỗ nào

+ Phép nhân hai ma trận A và B không đòi hỏi kích thước của hai ma trận đó phải bằng nhau Tuy nhiên cũng không phải nhân hai ma trận

có kích thước bất kỳ được Ma trận A nhân với ma trận B phải có điều kiện Số cột ma trận A = Số hàng của ma trận B

VD : Ma trận có kích thước (2 x 3) nhân được với ma trận có kích thước (3 x 5 ) vì số cột của ma trận A = số hàng của ma trận B = 3 + Kết quả của phép nhân ma trận có kích thước (m*n) với ma trận có kích thước (n*p) là một ma trận có kích thước (m*p)

+ Trước khi đi vào nhân hai ma trận ta cần hiểu cách nhân ma trận 1 cột với ma trận 1 hàng

VD mình họa luôn nhé

Thực hiện phép nhân hai ma trận A và B

A = ( 1 ; 3 ;4 ) Ma trận một hàng

B = (

5 4 6

) Ma trận một cột

À ! Đây là phép nhân hai ma trận nên cần phải kiểm tra xem nó có thỏa mãn điều kiện không đã Ma trận A có kích thước ( 1 hàng ; 3 cột) , Ma trận B có kích thước ( 3 hàng ; 1 cột) Ta thấy số hàng của

ma trận A = số cột ma trận B = 3  Ta thực hiện được phép nhân Kết quả của phép nhân là ma trận có kích thước (1* 1) Tức là ma trận chỉ gồm một phần tử duy nhất

A.B = ( 1 ; 3 ;4 ) (

5 4 6

) = 1.5 + 3.4 + 4.6 = 41

Ở đây ta nhận thấy ta

 Nhân phần tử thứ nhất của ma trận A với phần tử thứ nhất của

ma trận B 1.5 = 5

 Nhân phần tử thứ hai của ma trận A với phần tử thứ hai của ma trận B 3.4 = 12

 Nhân phần tử thứ ba của ma trận A với phần tử thứ ba của ma trận B 4.6 = 24

 Sau đó cộng các kết quả lại với nhau Ta được kết quả của phép nhân hai ma trận A.B = 5+12+24=41

Ta bắt đầu tiến hành nhân hai ma trận

A= (

2 3 1

3 0 4

1 4 6

) và B = (

3 6

2 6

2 0 )

Ma trận A có kích thước (3*3)

Ma trận B có kích thước (3*2)

 Kết quả của ma trận A.B là ma trận có kích thước (3*2)

𝐴 𝐵 = (

) Bây giờ ta cần đi xác định a,b,c,d,e,f

- Xác định a : Trong ma trận kết quả, a nằm ở tọa độ ( hàng 1, cột 1) Như

vậy giá trị của a = (hàng 1 của ma trận A) * (cột 1 của ma trận B)

a = ( 2 ; 3 ; 1) (

3 2 2 ) = 2.3+3.2+1.2 = 14

Vì phần nhân ma trận 1 hàng với ma trận một cột mình đã nói phần trên nên những phần tiếp theo mình sẽ chỉ viết ( 2 ; 3 ; 1) (

3 2 2 ) = 14

- Xác định b : Trong ma trận kết quả, b nằm ở tọa độ ( hàng 1, cột 2) Như

vậy giá trị của b = (hàng 1 của ma trận A) * (cột 2 của ma trận B)

- Xác định c : ………

- Xác định d,e,f tương tự

Nhận xét xem : AB = BA hay không?

Trả lời: A nhân B được nhưng chưa chắc B nhân A được Vì không thỏa

mãn điều kiện số cột của ma trận đầu bằng số hàng của ma trận sau Nhưng

nếu nó thỏa mãn điều kiện để B nhân A thì kết quả của hai ma trận không

thể lúc nào cũng bằng nhau

III Các tính chất của ma trận:

- A + B = B + A

- ( A + B) + C = A + ( B + C )

- k(A + B) = kA + kB

- (k + l)A = kA + lA

- A (B C) = (A B) C

- A (B + C) = AB + AC

- (A + B) C = AC + BC

- 𝐴𝑚𝑥𝑛 𝐼𝑛 = 𝐴𝑚𝑥𝑛

- Ѳ 𝐴 = 𝐴 Ѳ = Ѳ

- (𝐴 𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡 𝐴𝑡

- 𝐴 𝐴𝑡 và 𝐴𝑡 𝐴 luôn là ma trận đối xứng

Trong tính toán bao giờ cũng có một cách nhanh và hiệu quả nhất Vậy muốn

nhanh và hiệu quả thì ta phải linh hoạt trong việc biến đổi

Ta đi vào xét ví dụ sau

Cho hai ma trận

A= (

2 −3 7

) và B= (

)

Tính các biểu thức sau theo nhiều cách ( Quan trọng là nhiều cách để linh

hoạt hơn Hehe )

a, 𝐴2− 𝐵𝐴

b, 𝐴2+ 𝐵𝐴

c, Tính A.B và BA

d, Tính 𝐴𝑡 𝐵𝑡 và 𝐵𝑡 𝐴𝑡

IV Định thức của ma trận ( Ký hiệu là det(A) hoặc | A | )

- Cho ma trận vuông cấp một A = [a]  Định thức của ma trận A là a

VD : Cho A = [1]  Định thức của ma trận A là det(A) = |A| = 1

- Bên trên là tính định thức của ma trận cấp 1 Vậy ma trận vuông cấp

hai thì tính làm sao ??

VD Định thức của ma trận B= (𝑎 𝑏

𝑐 𝑑) là det(B) = |B| = |

𝑎 𝑏

𝑐 𝑑| = ad-bc

Áp dụng xem nào… Tính định thức của ma trận B = (2 5

7 5) Det(B) = |B| = |2 5

7 5|=2.5 – 5.7=-25

- Bắt đầu từ ma trận vuông cấp 2 trở lên ta quan tâm đến định thức con

Vậy định thức con là gì ?

 Mỗi một phần tử có một định thức con tương ứng Giả sử phần tử

𝐴𝑖,𝑗 tức là phần tử có tọa độ là ( hàng i, cột j) Từ ma trận ban đầu ta gạch bỏ đi hàng i, cột j Được một ma trận mới Định thức của ma

trận mới chính là định thức con của ma trận ban đầu tương ứng với phần tử 𝐴𝑖,𝑗

 Định thức con của ma trận A tương ứng với phần tử 𝐴𝑖,𝑗 được ký hiệu là 𝐷𝑖,𝑗

VD cho ma trận A

A= (

) Yêu cầu : Xác định định thức con của ma trận A tương ứng với phần tử 𝐴2,3 Tức là đi xác định 𝐷2,3

Giải : Tọa độ của phần tử 𝐴2,3 là hàng 2 và cột 3 À như vậy ta bỏ đi hàng 2

và cột 3 của ma trận A Ta được

A= (

) A= (

)

Sau khi bỏ thì được ma trận mới là (2 −3

2 5 ) Vậy định thức của (

2 −3

2 5 )

là định thức con của ma trận A tương ứng với phần tử 𝐴2,3 Bây giờ ta đi tính định thức của (2 −3

2 5 ) … À tới đây là ma trận vuông cấp hai rồi nên

dễ tính |2 −3

2 5 | = 2.5 – 2.(-3) = 16

Vậy 16 là định thức con của ma trận A tương ứng với phần tử 𝐴2,3

- Ở trên ta tính được định thức của ma trận vuông cấp 1, cấp 2 còn cấp 3,4, thì sao ??

Thông thường trong đề thi của sinh viên nông nghiệp thì dừng lại ở ma trận vuông cấp 3 Nếu có thì cũng chỉ là ma trận vuông cấp 4 Vậy bây giờ cứ xét cho ma trận vuông cấp 3 đã nhé

 Để tính định thức của ma trận vuông cấp 3 trở lên ta chọn một hàng hoặc một cột bất kỳ Sau đó đi xác định dấu của các phần tử nằm trên hàng ( cột) đó Dấu của phần tử là (+) nếu tổng tọa độ hàng + cột là số chẵn , là (-) nếu tổng tọa độ hàng + cột là số lẻ Sau đó đi xác định định thức con ứng với các phần tử đó

VD : Tính định thức của ma trận A= (

)

Như lúc nãy đã nói ta chọn một hàng hoặc một cột bất kỳ để tính định thức

Để cho đơn giản và dễ nhìn ta chọn cột 1 đi À như vậy cột một bao gồm

phần (

2 1

−3

)

Bây giờ đi xác định dấu của từng phần tử trên Dấu không phải là 2 mang dấu dương , -3 có dấu trừ đằng trc là mang dấu (-) đâu nha Như đã nói lúc nãy, nếu tổng tọa độ cột + hàng = chẵn  Dấu (+) và ngược lại

+ Phần tử 2 nằm ở ( hàng 1 cột 1 )  Tổng hàng + cột = 1 + 1 =2 ( chẵn)

 Dấu (+)

+ Phần tử 1 nằm ở ( hàng 2 cột 1 )  Tổng hàng + cột = 2 + 1 =3 ( lẻ )  Dấu (-)

+ Tương tự phần tử -3 mang dấu (+)

Xong bước xác định dấu Ta đi xác định định thức con tương ứng với các phần tử đó Tức là đi tìm 𝐷1,1, 𝐷2,1, 𝐷3,1

A= (

)

+ Đi tìm 𝐷1,1 bằng kiến thức đã học ở bên trên Bỏ hàng 1 cột 1 và tính định thức của ma trận mới ta được 𝐷1,1 = −2

+ Tương tự 𝐷2,1 = −21 và 𝐷3,1 = −18

Tổng kết ta có bảng sau

Định thức con tương ứng với phần tử đó

Nhân phân tử dấu định thức con

2.(-2) = -4 -1.(-21) = 21 +(-3).(-18) = 54

Vậy định thức của ma trận vuông cấp baA= (

) là

Det(A) = |A| = |

| = 71

Bây giờ các bạn thử chọn cột hai, cột ba hoặc hàng một , hàng 3 … làm như trên xem có ra KQ = 71 không nha

Câu hỏi đặt ra là ma trận bậc 4, bậc 5 thì tính định thức ra sao

Xét VD sau : Tính định thức của ma trận B = (

)

À !! Là ma trận bâc 4 Nhưng cứ thử chọn một hàng hoặc một cột bất kỳ để tính xem sao Ta chọn hàng một đi

Hàng một gồm các phần tử (

1 2 2 0 ) Sau đó ta đi xác định dấu và định thức con

Kết quả được bảng sau

Định thức

5 4 8

0 3 6

5 1 2

| |

2 3 1

0 3 6

5 1 2

| |

2 3 1

5 4 8

5 1 2

| |

2 3 1

5 4 8

0 3 6

| Yêu cầu Tính định thức của các ma trận cấp 3 trên Đưa về

dạng bậc 3 rồi … Các bạn tự tính rồi làm tiếp nha

V Các tính chất của định thức

Giả sử có A là ma trận vuông cấp n

- Ma trận gồm một hàng hoặc một cột toàn số 0 thì detA = 0

|

0 0 3 1

2 0 2 5

4 0 4 6

3 0 5 7

| = 0

- Đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột của ma trận A cho nhau ta được ma trận mới có định thức là số đối của ma trận cũ

|

| = − |

|

- Nếu ma trận A có hai hàng giống nhau hoặc hai cột giống nhau thì detA = 0

|

1 2 1 1

2 4 2 5

4 5 4 6

3 5 3 7

| = 0 vì có cột 1 giống cột 3

- Nếu ma trận A có hai hàng hoặc hai cột tỉ lệ với nhau thì detA = 0

|

1 2 3 2

2 4 2 4

4 5 4 8

3 5 5 6

|=0 vì cột 4 bằng 2 lần cột 2

- Nhân một hàng hoặc một cột với một số rồi cộng với một hàng hoặc một cột khác ta được ma trận mới Định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ

- Chúng ta có thể đưa thừa số k chung của một hàng hoặc một cột ra ngoài

- |kA| = 𝑘𝑛|𝐴|

- |𝐴𝑘| = |𝐴|𝑘

- |𝐴𝑡| = |A|

- |A.B| = |A|.|B|

- |A+B| = |A| + |B|

Những tính chất trên giúp bạn tính định thức một cách nhanh và hiệu quả hơn là ngồi áp dụng phương pháp cổ đại

Như ta đã biết khi tính định thức ta phải chọn bất kỳ một cột hoặc một hàng Nhưng nếu hàng hoặc cột đó gồm nhiều phần tử thì ngồi bấm máy mỏi dời tay Vậy nên ta sẽ tìm cách giảm bớt số phần tử đó ??

À ! Giảm bớt số phần tử đó thì không được rồi Nhưng đưa phần tử đó về phần

tử 0 thì được Mục đích đưa về phần tử 0 để khi thực hiện phép tính ta không cần đụng đến hạng tử đó

Việc học các tính chất và đặc biệt là tính chất « Nhân một hàng hoặc một cột với một số rồi cộng với một hàng hoặc một cột khác ta được ma trận mới Định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ » giúp cho chúng ta biến đổi các

phần tử của hàng hoặc cột về phần tử 0 trước khi đi tính định thức

VD : Tính định thức của ma trận

|A| = |

|

Cách 1 : Cứ ngồi làm bằng phương pháp cổ đại  Hơi lâu … Nhưng có công mài

sắt có ngày nên kim

Cách 2 : Hướng tư duy …

- Nhìn xem ma trận có hai hàng hoặc hai cột nào tỉ lệ với nhau hay không Nếu tỉ lệ với nhau thì det = 0 Còn nếu không có hai hàng hoặc cột nào tỉ lệ thì

đi làm như sau…

Chọn một hàng bất kỳ và đưa được càng nhiều phần tử về 0 thì càng tốt Thông thường để cho đơn giản ta chọn hàng hoặc cột có phần tử 1

À nhìn vào chọn luôn cột 1

Ta thực hiện các phép biến đổi sau để đưa càng nhiều phần tử của cột 1 về phần

tử 0 thì càng tốt

|

| −2 ℎ1 + ℎ2̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ |

| −4 ℎ1 + ℎ3̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ |

0 −3 −8 2

|

−3 ℎ1 + ℎ4

̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ |

|

Sau này viết đơn giản như sau :

|

| −2 ℎ1 + ℎ2, −4ℎ1 + ℎ3, −3ℎ1 + ℎ4̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ |

|

Như vậy tới đây cột 1 của ma trận là gồm 3 phần tử 0 Bây giờ áp dụng phương pháp tính định thức cho ma trận trên