Bài tập Ma Trận Định Thức

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Câu 1... Xét xem các ánh xạ sau đây có phải là dạng songtuyến tính trên ¡ 2 không.. Nếu có, hãy lập ma trận của dạng song tuyến tính đó trong cơ sở chính tắc.

BÀI T P ẬPCHƯƠNG I MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Câu 1 Thực hiện các phép tính về ma trận sau

n x x

2n n n

, trong đó phần tử ở cột thứ j là ( 1)- i j+ Tìm phần tử a32 của A2;2) Cho A=( )a ij 2011

, trong đó phần tử ở dòng thứ i là ( 1)- i j+ Tìm phần tử a32 của A2;3) Cho A=( )a ij 2011

, trong đó phần tử ở dòng thứ i là ( 1) - i i Tìm phần tử a32 của A2;4) Cho A=( )a ij 2011

, trong đó phần tử ở cột thứ j là ( 1) - j j Tìm phần tử a32

của A2;5*) Cho A=( )a ij 2011

, trong đó phần tử ở cột thứ j là j2 Tìm phần tử a32 của A2;6*) Cho A=( )a ij 2011

, trong đó phần tử ở dòng thứ i là i2 Tìm phần tử a32 của A2;7*) Cho A=( )a ij 2011

, trong đó phần tử ở dòng thứ i là 2i-1

Tìm phần tử a32 của A2;8*) Cho A=( )a ij 2011

, trong đó phần tử ở cột thứ j là 2j-1

Tìm phần tử a32 của A2;9*) Cho A=( )a ij 2011

, trong đó phần tử ở dòng thứ i là 20111

i

C

- Tìm phần tử a32 của A2;10*) Cho A =( )a ij 2011

m m

L

M M M O M

L (cấp n); 4*)

1

n n n

n

=

+

LLL

111

1

n n n

3) A=P-1.diag(1 1 - 1).P ; 4) A=P.diag(1 - 1 1).P-1;

ï + + =íï

ï - - = íï

íï + + - + =ïï

-ïïî

( ; ) ( ; )a b + c d =(a c b d+ ; - ), ( ; )l a b =(a+l; )b a b c d" , , , ,l Î ¡

;4) Tập hợp ¡ 2 với phép cộng và phép nhân vô hướng:

( ; ) ( ; )a b + c d =( ; ), ( ; )a d l a b =( ;a b a b c d l ) " , , , ,l Î ¡

;5) Tập hợp ¡ 2 với phép cộng và phép nhân vô hướng:

( ; ) ( ; )a b + c d =( ;ac bd), ( ; )l a b =(a+l; )b a b c d" , , , ,l Î ¡

;6) Tập hợp ¡ 2 với phép cộng và phép nhân vô hướng:

C = x x x Î ¡ x+ =x + i = n

-;

, u =2 (0; 1; 1)

-, u =3 (2; 2; 2)

; u =(2; 1; 5)- ;3) u =1 (2; 4; 3)

, u =2 (1; 1; 0)

-, u =3 (3; 3; 3)

; u = -( 1; 2; 0);4) u = -1 ( 2; 1; 0)

, u =2 (3; 2; 1)

-, u =3 (1; 2; 3)

-; u =(2; 1; 1)- ;5) u =1 (2; 1; 3)-

, u =2 (3; 1; 2)

-, u =3 (1; 2; 2)

-; u =(2; 4; 3)- ;6) u =1 (2; 4; 3)

2) u1=x3+2x2- 2x+1, u2=x3+3x2- x+4, u3=2x3+5x2- 3x+5; u=x2- 3x+2;3) u1=5x2- 4x2- 2x, u2=x3- 2x+1, u3= - 2x2+3; u=x3- 3x2+1;

4) u1=x2- 3x+2, u2=x3+3x2- x+4, u3=2x3+5x2- 3x+5; u=x3+2x2- 2x+1;5) u1=x3- 3x2+1, u2=5x2- 4x2- 2x, u3= - 2x2+3; u=x3- 2x+1;

6) u1=x3+2x2- 2x+1, u2=x2- 3x+2, u3=2x3+5x2- 3x+5; u=x3+3x2- x+4;7) u1=x3- 3x2+1, u2=x3- 2x+1, u3=5x2- 4x2- 2x; u= - 2x2+3;

, u2=(0; 1; )- m

, u =3 (1; 3; 1)

-; u=( ; 1; 2)m- ;3) u1=(1; 2; )- m

, u = -2 ( 2; 1; 3)

, u =3 (1; 3; 1)

; u=( ; 1; 1)m- ;4) u1=( ; 2; 1)m -

, u2=(1; ; 2)m

, u =3 (0; 1; 1)

-; u = -( 2; 1; 3);5) u =1 (1; 2; 3)-

, u2=(0; 1; )- m

, u3=( ; 1; 2)m

-; u =(1; 5; 1)- ;6) u1=(1; 2; )- m

, u = -2 ( 2; 1; 3)

, u =3 (1; 1; 1)

-; u=( ; 1; )m- m ;7) u =1 (3; 2; 3)-

, u2=(2;- m m; )

, u3=( ; 1; 2)m

-; u =(0; 2; 1);8) u1=(1;- m m; )

2) u =1 (1; 2; 3)

-, u =2 (0; 1; 3)

-, u =3 (1; 2; 1)

;3) u =1 (1; 3; 0)-

, u = -2 ( 3; 1; 2)

, u =3 (1; 4; 1)

-;4) u =1 (0; 2; 1)-

, u =2 (1; 5; 2)

-, u =3 (2; 1; 1)

-;5) u =1 (1; 2; 3)-

, u =2 (2; 1; 4)

-, u = -3 ( 1; 1; 2)

-;6) u =1 (1; 2; 3)- - , u =2 (5; 1; 3)

, u =3 (1; 1; 1)

-;7) u =1 (0; 2; 3)-

, u =2 (2; 3; 4)

-, u =3 (7; 1; 2)

-;8) u =1 (1; 2; 7)-

1) U ={u1=(1; 1; 1),- u2=(1; 1; 0),u3=(2; 0; 0)}

, [ ] (1 0 0)

T U

, [ ] (1 0 2)

T U

, [ ] (3 2 1)

T U

, [ ] (1 0 0)

T U

, [ ] (1 0 2)

T U

, [ ] (3 2 1)

T U

7) U ={u1=(1; 1; 0),- u2=(1; 1; 1),- u3=(2; 1; 0)}

-, [ ] (1 0 2)

T U

, [ ] (3 2 1)

T U

, u =2 (2; 3; 1)

-, u =3 (0; 1; 4)

-, u =4 (1; 2; 7)

trong ¡ 3;3) u =1 (1; 0; 0; 1)-

, u =2 (2; 1; 1; 0)

, u =3 (1; 1; 1; 1)

trong ¡ 4;4) u =1 (1; 0; 0; 1)-

, u =2 (2; 1; 1; 0)

, u =3 (1; 2; 3; 4)

trong ¡ 4;5) u =1 (1; 1; 1; 1)

, u =2 (1; 2; 3; 4)

, u =3 (0; 1; 2; 3)

trong ¡ 4;6) u =1 (1; 1; 1; 1; 0)

, u =2 (1; 1; 1; 1; 1)

-, u =3 (2; 2; 0; 0; 1)

trong ¡ 5;7) u =1 (1; 1; 1; 1; 0)

, u =2 (2; 2; 0; 0; 1)

-, u =3 (1; 1; 5; 5; 2)

trong ¡ 5;8) u =1 (2; 2; 0; 0; 1)-

ïï

íï + + =ïï

ï + - - + =íï

ï + - + + =íï

ï + - + - =ïïî

CHƯƠNG IV ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Câu 1 Tìm biểu thức của các ánh xạ tuyến tính f :¡ n ® ¡ m, biết ảnh của các vector trong các không gian tương ứng như sau:

1) f(1; 1)=(1; 2; 2)- - và f(3; 5)=(1; 0; 3)- ;

2) f(1; 2)=(1; 2; 8)- và f(2; 3)- =(2; 3; 5)- ;

;3) B ={u1=2e1+e u2, 2= -e1+2 ,e u3 3=3e2+e3}

;4) B ={u1=2e1+ +e2 e u3, 2= -e2+2 ,e u3 3=3e1+e3}

;5) B ={u1=2e1+e u2, 2= -e1 e2+2 ,e u3 3=3e1+e3}

;6) B ={u1=2e1+e u2, 2= - e2+2 ,e u3 3=3e1- e2+e3}

;7) B ={u1=2e1+ -e2 e u3, 2= -e1 e2+2 ,e u3 3=3e1+e3}

;8) B ={u1=2e1+ -e2 e u3, 2= -e1 e2+2 ,e u3 3=3e1- e2+e3}

Câu 6 Trong ¡ 4 cho cơ sở B ={(1; 1; 0; 0), (0; 1; 1; 0), (0; 0; 1; 1), (0; 0; 0; 1)}- - - Cho ánh xạ tuyến tính f :¡ 3®¡ 4, tìm [ ]B3

E f

trong các trường hợp sau:

và y=( ; )y y1 2

Xét xem các ánh xạ sau đây có phải là dạng songtuyến tính trên ¡ 2 không Nếu có, hãy lập ma trận của dạng song tuyến tính đó trong cơ sở chính tắc

1) f x y( , )=3x x1 2+y y1 2- 3x y2 1

; 2) f x y( , )=3x y1 1+x y1 2- 3x y2 1

;3) f x y( , )=3x y1 1- 5x y2 2+x y1 2+7x y2 1

; 4) f x y( , )=3x12- 5x y2 2+x y1 2+y22;5) f x y( , )=3x y1 1- 2x y1 2+x y2 1- x y2 2

; 6) f x y( , )=3x y1 1+x y1 2- 3x y2 1+2y12;7) f x y( , )=3x y1 1- 5x y1 2+x y2 2+y22; 8) f x y( , )=3x12- 5x y2 1+x y2 1- 4y22

Câu 2 Trong ¡ 2, cho hai cơ sở A và B Cho dạng song tuyến tính trên ¡ 2 xác định như sau:

f x x y y =x y - x y + x y + x y

Chứng tỏ rằng f là đối xứng và kiểm chứng[ ] T[ ]

1) f =x12+5x22- 4x23+2x x1 2- 4x x1 3;

2) f =x x1 2+x x2 3+x x1 3

;3) f =x x1 2+2x x2 3+4x x1 3

;4) f =4x12+x22+x32- 4x x1 2- 3x x2 3+4x x1 3;

5) f =2x12+x22+2x23- 4x x1 2- 2x x2 3;

6) f =x12+3x22+6x23+2x x1 2+2x x1 3- 2x x2 3;

7) f = - x12+2x23- 2x x1 2+2x x1 3+4x x2 3;

8) f = - x12- 2x22- 3x23+2x x1 2+2x x1 3- 2x x2 3

Câu 7 Dùng thuật toán Jacobi hoặc thuật toán biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng để đưa các dạng

toàn phương xác định như sau về dạng chính tắc:

q x y =x - y + xy

;3*)

2

q x y z =x + xy- yz

;4*)

q x y z = - x + z - xy+ xz+ yz

;5*)

q x y z =x + y + z - xy+ xz- yz

;6*)

q x y z =x + y + z - xy+ xz- yz

;7*)

q x y z t =x + y + z + t +2xy- 4xz- 6xt- 10yz- 2yt+18zt