Chương 9: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC potx

Hai ma trận cùng cấp đợc gọi là bằng nhau nếu các phần tử tơng ứng của chúng bằng nhau và đợc gọi là khác nhau nếu có ít nhất một phần tử khác nhau...  Nhân các phần tử trên cùng một dò

Ch ơng 9 Ma trận - Định thức

9.1 Ma trận

9.1.1 Định nghĩa ma trận.

Định nghĩa 9.1 Một tập hợp m n số thực đợc sắp xếp có thứ tự thành một bảng gồm m dòng và n cột đợc gọi là một ma trận cấp m n, ký hiệu là:

n n

Chú ý 9.1 Trong chơng này ta luôn giả thiết cấp của một ma trận là tích

của hai số nguyên dơng

Hai ma trận cùng cấp đợc gọi là bằng nhau nếu các phần tử tơng ứng của chúng bằng nhau và đợc gọi là khác nhau nếu có ít nhất một phần tử khác nhau

Một ma trận cấp m n mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0 đợc gọi

là ma trận không cấp m n, ký hiệu là 0 mn Vậy :

Một trận đờng chéo cấp n có các phần tử trên đờng chéo chính đều bằng

1 đợc gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu là E mn Vậy:

Một ma trận cấp m n đợc gọi là ma trận hình thang nếu phần khác 0

trong ma trận đó lập thành một hình thang vuông Chẳng hạn, các ma trận sau là các ma trận hình thang:

Nhận xét 9.1 Cho A = (aij)mn Nếu gọi A1, A2, , An lần lợt là các cột của

ma trận A Thì ma trận A là một hệ gồm n vectơ cột m chiều, hay A = (A1,

A2, , An) Nếu gọi A1, A2, , Am lần lợt là các dòng của ma trận A Thì matrận A là một hệ gồm m vectơ cột n chiều, hay

A =

m

A A A

gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

 Đổi chỗ hai dòng ổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) của ma trận cho nhau.

 Nhân các phần tử trên cùng một dòng (hoặc một cột) của ma trận với một hằng số khác 0.

 Nhân các phần tử trên cùng một dòng (hoặc một cột) của ma trận với một hằng số rồi cộng tơng ứng vào một dòng (hoặc một cột) khác.

Nhận xét 9.3. Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một ma trận chính làcác phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào hệ các véctơ dòng (hoặc hệ các véctơcột) của ma trận đó.

Định nghĩa 9.4 Cho hai ma trận A = (aij)mn và B = (bij)mn thì tổng của hai

ma trận này là một ma trận đợc ký hiệu và xác định nh sau:

A  B =(aij  bij) mn.

Nhận xét 9.4 Cần lu ý rằng chỉ có tổng của hai ma trận cùng cấp màkhông có tổng của hai ma trận khác cấp

Định nghĩa 9.5 Cho ma trận A = (aij)mn và k là hằng số thì tích của số k

với ma trận A là một ma trận đợc ký hiệu và xác định nh sau:

kA = (kaij)mn.

Định nghĩa 9.6 Cho ma trận A = (aij)mn Gọi A1, A2, , An lần lợt là các cột

của ma trận A; B là vectơ cột m chiều và k là số nguyên dơng thoả mãn

1  k  n Phép thế vectơ cột B vào vị trí cột k của A là bỏ cột thứ k của

A đi và thay vào đó cột B Ma trận nhận đợc, đợc ký hiệu và xác định nh sau:

A k (B) = (A1, A2, , Ak-1, B, Ak+1, , An) nếu 1< k < n;

A 1 (B) = (B, A2, A3, , An) nếu k = 1;

A n (B) = (A1, A2, , An-1, B) nếu k = n.

Định nghĩa 9.7 Cho hai ma trận A = (aij)mn, B = (bij)np Tích của hai ma

trận A và B là ma trận đợc ký hiệu và xác định nh sau: AB = (cij)mp trong đó cij = ai1b1j  ai2b2j   ainbnj (i = 1, 2, 3, , n; j =1, 2, 3, ,p).

Nhận xét 9.5.

(i) Hai ma trận nhân đợc với nhau nếu số cột của ma trận bị nhân bằng

số dòng của ma trận nhân Ma trận tích có số dòng bằng số dòng của matrận bị nhân, số cột bằng số cột của ma trận nhân

(ii) Phần tử nằm trên dòng i và cột j của ma trận tích bằng, các phần tử

nằm trên dòng i của ma trận bị nhân, nhân tơng ứng với các phần tử nằmtrên cột j của ma trận nhân rồi cộng lại

(iii) Ma trận A có thể nhân đợc với ma trận B, nhng B cha chắc đ nhânã nhân

đợc với A (chẳng hạn số cột của B khác số dòng của A) Vì vậy phép nhân matrận không giao hoán

Ví dụ 9.3 Cho hai ma trận A = , B

Định nghĩa 9.7 Cho n số nguyên, dơng đầu tiên 1,2,3, , n Mỗi cách sắp

xếp vị trí của n số đó đợc gọi là một hoán vị của n số đó Nếu trong một hoán

vị, mà một số đứng trớc lớn hơn một số đứng sau thì tạo thành một nghịch thế Số nghịch thế của một hoán vị là tổng các nghịch thế có trong hoán vị

đó

Ký hiệu số nghịch thế của hoán vị (j 1 ,j 2 , ,j n ) là N(j 1 ,j 2 , ,j n ) Hoán vị (j 1 ,j 2 , ,j n ) đợc gọi là hoán vị chẵn (hoặc lẻ) nếu N(j 1 , j 2 , , j n ) là số chẵn (hoặc

số lẻ).

Ví dụ 9.4

(i) Nếu n = 1 Thì có một hoán vị là (1), N(1) = 0.

(ii) Nếu n = 2 Thì có hai hoán vị là (1,2) và (2,1) N(1,2) = 0, N(2,1) = 1 (iii) Nếu n = 3 Thì có 6 hoán vị là:

(1,2,3), N(1,2,3) = 0; (1,3,2), N(1,3,2) = 1; (2,1,3), N(2,1,3) = 1;

(2,3,1), N(2,3,1) = 2; (3,1,2), N(3,1,2) = 2; (3,2,1), N(3,2,1) = 3

Chú ý 9.2 Với n số thì có n! hoán vị.

Tính chất 9.2. Nếu đổi chỗ hai số trong một hoán vị cho nhau thì số nghịch

thế của nó thay đổi tính chẵn (lẻ) Nghĩa là, nếu (j 1 ,j 2 , , j i, , jk , , j n) là hoán

vị chẵn thì (j 1 , j 2 , , j k, , ji , , j n) là hoán vị lẻ và ngợc lại.

9.2.2 Định nghĩa định thức.

Định nghĩa 9.8 Cho A =(aij)mn là ma trận vuông cấp n Từ mỗi dòng của

A lấy tuỳ ý một phần tử sao cho không có hai phần tử nào nằm trên cùng một cột, chẳng hạn nếu xếp theo thứ tự tăng dần của dòng các phần tử đó là

9.2.3 Tính chất của định thức.

Định lý 9.1 Cho ma trận A =(aij)nn Khi đó, định thức của ma trận không

thay đổi qua phép chuyển vị, nghĩa là: A AT

Chứng minh Vì A =(aij)nn AT =(aji)nn Theo định nghĩa của định thức và

Cho A = (a)nn với các cột là A1, A2, , An Giả sử đổi chỗ cột thứ j và cột

thứ k của A cho nhau (1  j < k  n) đợc định thức mới ký hiệu là A  Ta

có: A =A1,A2, ,Aj, , Ak, ,An 

= j k n j k n

j k n

N(i ,i , ,i , ,i , ,i )

(i ,i , ,i , ,i , i )

( ) a a a a a

(i ,i , ,i , ,i , i )

( ) a a a a a

= A1,A2, ,Ak, , Aj, ,An  = A .

Hệ quả 9.2.1 Nếu trong một định thức có hai dòng bằng nhau (hoặc hai cột

bằng nhau) thì định thức bằng 0.

Ví dụ 9.6 Cho a1, a2, , an là các số thực khác nhau Giải phơng trình:

n n

n

x x x

a a a

a a a



2 2

2

11

01

Định lý 9.3 Nếu nhân tất cả các phần tử nằm một dòng (hoặc một cột) với một số thì định thức đợc nhân với số đó Chẳng hạn, gọi A1,A2, ,Aj, ,An lần lợt là các cột của A với A = (a)nn và k là số thực Thì:

Aj(kAj) = kA  A1,A2, ,kAj, ,An  = kA

Chứng minh Theo định nghĩa định thức ta có:

1 =A1,A2, ,kAj, ,An .

Hệ quả 9.3.1 Nếu trong một định thức có một dòng (hoặc một cột) bằng không thì định thức đó bằng 0.

Hệ quả 9.3.2 Nếu trong một định thức có hai dòng (hoặc hai cột) tỷ lệ với nhau thì định thức đó bằng 0.

Định lý 9.4 (Tính chất tuyến tính). Cho A là ma trận vuông cấp n với các

cột là A 1 , A 2 , , A n ; B 1 , B 2 , , B m là các vectơ cột n chiều; k 1 , k 2 , , k m là các số thực ; j là chỉ số cột của A (1  j  n) Thì:

Aj(k1B1 k2B2  kmBm) = k1Aj(B1)  k2Aj(B2)   kmAj(Bm)

k 2A 2 ,A 2,A3, ,An k 3A 3,A2,A 3, ,An  k nA n,A2,A3, ,A n = A

Chứng minh Giả sử A là định thức cấp n với các cột là A1, A2, , An; có

hệ các vectơ cột phụ thuộc tuyến tính Thì trong hệ các vectơ cột đó có ítnhất một vectơ biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ Chẳng hạn

đó là A1 Thì: A1 = k2A2 k3A3  knAn với k2,k3, ,kn là các số thực Thì địnhthức đó là:

Giả sử A  0 mà hệ  A1, A2, , An các vectơ cột của nó phụ thuộc

tuyến tính Theo hệ quả 9.4.3 thì A = 0, trái với giả thiết  (đpcm).

, B =

abcd

áp dụng định lý 9.4 ta có:

D2 = A, A2BC, A4B4C, A6B9C

= A,A,A4B4C,A6B9C  2A,B,A4B4C,A6B9C 

A,C,A4B4C,A6B9C

=2A,B,A,A6B9C  8A,B,B,A6B9C  8A,B,C,A6B9C

 A,C,A,A6B9C  4A,C,B,A6B9C  4A,C,C,A6B9C

= 8A,B,C,A6B9C  4A,B,C,A6B9C

= 4A,B,C,A6B9C

= 4A,B,C,A  24A,B,C,B  36A,B,C,C = 0.

9.3 khai triển định thức

Trong phần định thức, chúng ta mới chỉ tính đợc các định thức đếncấp 3 Trong phần này, chúng ta đa ra phơng pháp khai triển định thức

để từ đó ta tính đợc định thức các cấp

9.3.1 Phần phụ đại số.

Cho D = A với A = (aij)nn Nh ta đ biết ã nhân det(aij) = aij = aij

Phần tử aij đợc gọi là định thức con cấp 1 của D Trong định thức D, saukhi bỏ đi dòng thứ i và bỏ đi cột thứ j (i =1,2, ,n; j =1,2, ,n) chỉ còn n 1dòng và n 1 cột Các phần tử nằm trên giao điểm của n 1 dòng và n 1 cộtcòn lại đó (giữ nguyên thứ tự của các dòng và các cột) tạo thành một địnhthức cấp n 1 ký hiệu là Mij và đợc gọi là định thức con bù của phần tử aij

Định nghĩa 9.9 Cho D = A với A = (aij)nn Phần phụ đại số (hoặc phần

bù đại số) của phần tử aij (i =1,2, ,n; j =1,2, ,n) đợc ký hiệu và xác định nh sau:

A ij = (1)i  j M ij , trong đó M ij là định thức con bù của phần tử a ij

9.3.2 Công thức khai triển định thức theo một dòng (hoặc cột).

Cho D = A với A = (aij)nn Ngời ta chứng minh đợc các công thức sau:

Công thức khai triển định thức theo dòng thứ i (i =1,2, ,n):

(ii) Nếu trong định thức cần tính có ít phần tử bằng 0 (thậm chí không có).

Thì ta sử dụng các tính chất của định thức, để chuyển việc tính định thức đã nhân

cho về tính định thức mới có nhiều phần tử bằng 0, thậm chí có dòng (hoặccột) chỉ có 1 phần tử khác 0 Các ví dụ sau đây sẽ minh hoạ cho nhận xét9.10

nn

a a a

a a

nn

a a a

a a

Khai triển định thức theo cột 1 ta đợc:

A = a11a22(1)2

n n

nn

a a a

a a

1 2

a 

1 2

a 

1 2

3, Nhân cột 1 với (4) rồi cộng vào cột 4 ta có:

Định nghĩa 9.10 Cho A và X là các ma trận vuông cấp n Ma trận X đợc

gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A nếu:

là ma trận không suy biến vì A = 14  0.

Định lý 9.7 Cho A là ma trận vuông cấp n Đổi chỗ hai dòng iều kiện cần và đủ để ma trận

A có ma trận nghịch đảo là ma trận A không suy biến.

Chứng minh Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo A1 thì A A1 = Enn.Suy ra:  A A1 = Enn AA1 = 1 A  0

Ngợc lại, nếu A là ma trận không suy biến A  0 Gọi A là ma trận

phụ hợp của A Theo các định lý 9.5) và 9.6 thì: AA = AA = AEnn

1) Với giá trị nào của  thì ma trận A có ma trận nghịch đảo?

2) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A khi  = 0

Nhận xét 9.11 Phơng pháp tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A vuông

cấp n nh đ trình bầy ở trên chỉ áp dụng đã nhân ợc cho những ma trận cấp thấp (n

 4), với những ma trận cấp cao (n >4) thì việc tìm ma trận phụ hợp A kháphức tạp và hay nhầm lẫn Để khắc phục tình trạng đó, ngời ta có thể tìm

ma trận nghịch đảo bằng cách thành lập ma trận (AEnn), rồi dùng cácphép biến đổi sơ cấp thực hiện vào hệ các vectơ dòng của ma trận (AEnn).Biến đổi ma trận (AEnn) về ma trận mới sao cho bên phía ma trận A trởthành ma trận Enn thì bên phía ma trận Enn trở thành ma trận A1 Nếutrong quá trình biến đổi mà bên phía ma trận A xuất hiện một dòng (hoặcmột cột) bằng không thì dừng lại, khẳng định ma trận A suy biến do đókhông có ma trận nghịch đảo

Ví dụ 9.15 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận

Định nghĩa 9.13 Cho A là ma trận cấp m n Hạng của ma trận A (ký

hiệu là hg(A)) là cấp của định thức con khác không cấp cao nhất của ma trận A

Nếu A = (aij)mn và hg(A) = r thì:

 0  r  min m,n;

 Trong ma trận A có ít nhất một định thức con khác không cấp r;

 Mọi định thức con cấp r 1 trở đi của ma trận A đều bằng 0

Nếu A = (aij)nn thì hg(A) = 0  A = 0nn; hg(A) = n  A  0

Giải Ta có: A là ma trận cấp 45) nên định thức con cấp cao nhất có thể có

của A là cấp 4 Nhng dòng 4 của A bằng tổng của 3 dòng đầu nên mọi địnhthức con cấp 4 của A đều bằng 0  hg(A)  3 Bạn đọc dễ dàng kiểm tra đợc

mọi định thức con cấp 3 của A đều bằng 0  hg(A)  2 Mặt khác, trong A

Chứng minh Giả sử A = (aij)mn, hg(A) = r

(i) Nếu r =0  A =0mn  hệ các vectơ dòng của A đều là các vectơ không

n chiều  hạng của hệ các vectơ dòng của A bằng 0 Tơng tự, hệ các vectơ cộtcủa A đều là các vectơ không m chiều  hạng của hệ các vectơ cột của Abằng 0

(ii) Nếu 1  r  minm,n  trong A có ít nhất một định thức con cấp r

là định thức khác 0, mọi định thức con từ cấp r 1 trở đi của A đều bằng 0.Không giảm tổng quát, giả sử

Dr =

r r

a a a

a a a

ra hệ A , A , , A0 0 r0

1 2  độc lập tuyến tính

a) Hệ A1, A2, , Ar độc lập tuyến tính trong Rn vì nếu hệ đó phụ thuộctuyến tính thì tồn tại các số k1, k2, , kr không đồng thời bằng 0 để:

k1 A1 k2 A2  kr Ar = 0n

 k1 aj1 k2 aj2  kr ajr = 0 (j = 1,2, ,m)

 k1 aj1 k2 aj2  kr ajr = 0 (j = 1,2, ,r)

 hệ A , A , , A10 20 r0 phụ thuộc tuyến tính, trái với kết quả trên

b) Nếu bổ sung thêm bất kỳ một vectơ Ai trong hệ A1, A2, , Am vào hệ

A1, A2, , Ar, ta sẽ chứng minh hệ mới phụ thuộc tuyến tính Thật vậy, nếu

1  i  r thì hệ mới có hai vectơ Ai do đó hệ mới phụ thuộc tuyến tính Nếu i

> r, ta thành lập định thức Dr+1 có các phần tử nằm trên r dòng đầu và r cột

đầu là các phần tử của Dr; r 1 phần tử nằm trên dòng r 1(hoặc cột r 1)của

Dr+1 là r 1 phần tử nằm trên dòng i (hoặc cột j, j = 1,2, ,n) của ma trận A.Theo định nghĩa hạng của ma trận ta có: Dr+1 = 0

Khai triển định thức Dr+1 theo cột r 1 ta đợc:

a1jM1j  a2jM2j   arjMrj  aijDr = 0 (j =1,2, ,n),trong đó Mkj là phần bù đại số của akj trong Dr+1 Mà Dr  0 nên

aij =

r

D

 1( a1jM1j  a2jM2j   arjMrj) (j =1,2, ,n)hay aij = h1a1j  h2a2j   hrarj (j =1,2, ,n)

 Ai = h1A1  h2A2   hrAr  hệ mới phụ thuộc tuyến tính

Từ a) và b) suy ra hệ A1, A2, , Ar độc lập tuyến tính cực đại trong hệ

A1, A2, , Am  hg(A1, A2, , Am) = r = hg(A)

Chứng minh tơng tự ta đợc hg(A1, A2, , An) = r = hg(A).(đpcm)

Hệ quả 9.8.1 Nếu hệ các vectơ dòng (hoặc cột) của định thức A độc lập tuyến tính thì A  0.

Hệ quả 9.8.2 Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận đó.

Chứng minh Hệ quả này đợc suy ra trực tiếp từ các định lý 9.8 và 8.8.

Định nghĩa 9.1. Giả sử A = (a ij)mn có hg(A) = r > 0 Mỗi định thức con khác

0 cấp r của ma trận A đợc gọi là một định thức con cơ sở của ma trận A và các dòng (hoặc cột) của ma trận A chứa các dòng (hoặc cột) của định thức con

đó đợc gọi là các dòng (hoặc cột) cơ sở của ma trận A.

Bài toán: Tính hạng của ma trận A = (aij)mn  0mn.

Giải bài toán trên có nhiều phơng pháp, sau đây chúng ta đa ra hai

ph-ơng pháp đó là: Phph-ơng pháp định thức bao quanh và phph-ơng pháp biến đổi matrận

a) Phơng pháp định thức bao quanh.

Giả sử bằng cách nào đó biết đợc Dr là định thức con khác không cấp r của

ma trận A (không giảm tổng quát, giả sử Dr gồm các phần tử nằm trên rdòng đầu tiên và r cột đầu tiên của A) Xuất phát từ Dr tính các định thứccon cấp r 1 chứa định thức con Dr (không cần xét các định thức không chứa

Dr)

(i) Nếu mọi định thức con cấp r 1 chứa định thức con Dr đều bằng 0.Theo hệ quả 9.4.3 ta suy ra các dòng thứ r 1, r 2, ,m của A đều là tổ hợptuyến tính của các dòng thứ 1, 2, r của A Do đó, hg(A) = r

(ii) Nếu tồn tại một định thức con cấp r 1 chứa định thức con Dr (kýhiệu là Dr+1) là định thức khác 0 Thì ta lại tính các định thức con cấp r 2chứa định thức con Dr+1 đó và lặp lại quá trình trên nh đối với Dr Quá trìnhnày dừng lại ở không quá minm,nr bớc

trận có dạng hình thang hoặc đờng chéo từ đó suy ra hạng của ma trận đã nhân

Câu 2 Định nghĩa định thức H y xây dựng công thức tính định thức cấp 3 ã nhân

Câu 3. Phát biểu các tính chất của định thức và hệ quả của chúng.

Câu 4 Phát biểu công thức khai triển định thức theo các phần tử một dòng

hay một cột Trình bày ứng dụng của nó để tính định thức

Câu 5 Phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện cần và đủ để ma trận

khả nghịch

Câu 6 Nêu 2 phơng pháp tìm ma trận nghịch đảo

Câu 7 Định nghĩa hạng của ma trận (cho cả 2 trờng hợp ma trận kháckhông và bằng không)

Câu 8 Phát biểu định lý về mối liện hệ giữa hạng của ma trận và hạng của

hệ véc tơ Từ đó chứng minh 2 hệ quả sau:

A= 0  hệ các vác tơ cột (hay hàng) của A là PTTT