hệ thống công thức hình học

CÁC HỆ THỨC HÌNH HỌC HỆ THỨC TRONG TAM GIÁCHệ thức lượng trong tam giác vuônga2 = b2 + c2 (Định lí Pitago)h2 = a’ . b’b2 = a . b’c2 = a . c’bc = ah Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuôngb = a . sinB = a . cosCb = c . tgB = c . cotgCc = a . sinC = a . cosBc = b . tgC = b . cotgBBất đẳng thức tam giácAB + AC > ABAB+BC > ACAC + BC >ABCác hệ quả của bất đẳng thức tam giácAB > AC – BCAB > BC – ACAC > AB – BCAC > BC – ABBC > AB – ACBC > AC – ABAB – AC < BC < AB + AC Các tỉ số lượng giác của góc nhọn tg.cotg = 1sin2  + cos2 = 1 Tĩ số lượng giác hai góc phụ nhau  và  = 900  ( 0 <  < 900 )Sin = CosCos = Sintg = CotgCotg = tgTỉ số lượng giác hai góc bù nhau  và  = 1800  (0 <  < 1800 )Sin = SinCos = Cos

C B

A

α

c' b'

a

h

CÁC HỆ THỨC HÌNH HỌC

HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

a2 = b2 + c2 (Định lí Pitago)

h2 = a’ b’

b2 = a b’

c2 = a c’

bc = ah

2 2 2

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

b = a sinB = a cosC

b = c tgB = c cotgC

c = a sinC = a cosB

c = b tgC = b cotgB

Bất đẳng thức tam giác

AB + AC > AB

AB+BC > AC

AC + BC >AB

Các hệ quả của bất đẳng thức tam giác

AB > AC – BC

AB > BC – AC

AC > AB – BC

AC > BC – AB

BC > AB – AC

BC > AC – AB

AB – AC < BC < AB + AC

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn

sin

cos

α

=

cos

cot

sin

α

=

tgα.cotgα = 1

sin2 α+ cos2α = 1

1

cot g

tg

α

α

=

Tĩ số lượng giác hai góc phụ nhau α và β = 90 0 - ( 0 < α α < 90 0 )

Sinα = Cosβ

Cosα = Sinβ

tgα = Cotgβ

Cotgα = tgβ

Tỉ số lượng giác hai góc bù nhau α và β = 180 0 - α (0 < α < 180 0 )

Sinα = Sinβ

Cosα = - Cosβ

tgα = - tgβ

Cotgα = - Cotgβ

Hệ thức lượng trong tam giác bất kì

Định lí hàm số cosin

a2 = b2 + c2 – 2bc cosA

b2 = a2 + c2 – 2ac cosB

c2 = a2 + b2 – 2ab cosC

Định lí hàm số cosin suy rộng

2 2 2

cot

4

gA

S

+ −

=

2 2 2

cot

4

gB

S

+ −

=

2 2 2

cot

4

gC

S

+ −

=

Hệ quả của định lí hàm số cosin

A < 900  b2 +c2 – a2 > 0

A = 900  b2 +c2 = a2

A >900  b2 +c2 – a2 < 0

Định lí hàm số sin

2

R

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp

Định lí hàm số tang

a b

a b+ =

2

A B

tg

A B

tg

+

−

Các công thức tính diện tích tam giác

S = 1

2ah a =1

2bh b =1

2ch c

S = 1

2b c sinA = 1

2a c sinB =1

2a b sinC Cho 2 tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng là k khi đó

1

2

S

4

2

abc

S

R

a b c

p

=

=

+ +

=

r là bán kính đường tròn nội tiếp

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp

( 2 2 2 2 2 2) ( 4 4 4)

1

2

2

S = p a r− =( p b r− ) b=( p c r− ) c

S = 2R2 sinA sinB sinC

Cho 2 tam giác có chung cạnh đáy khi đó

,

S

h

h (với h,h’ là đường cao tương ứng của 2 tam giác)

Công thức tính độ dài các đường trung tuyến

a

m = 2 b2 + 2 c2 – a2 = b2 + c2 +2 b c cosA

b

m = 2 a2 + 2 c2 – b2 = a2 + c2 + 2 a c cos B

c

m = 2 b2 + 2 a2 – c2 = b2 + a2 + 2a b cosC

Chú ý: Các tính chất trên nhớ bằng tính chất “ Trong một hình bình hành tổng bình

phương hai đường chéo bằng tổng bình phương các cạnh của hình bình hành”

AM = ma ; AD = 2ma ;

AD2 + BC2 = 2(AB2 + AC2)

Cho 2 tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng là k khi đó

1

2

d

d = k (với d1,d2 là đường trung tuyến tương ứng của 2 tam giác đồng dạng)

Công thức tính độ dài các đường phân giác trong:

a

A

bc

2 cos 2

b

B

ac

c

C

ab

Cho 2 tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng là k khi đó

,

m

m = k (với m,m, là đường phân giác tương ứng của 2 tam giác đồng dạng )

Công thức tính phân giác ngoài:

2 sin

2

a

A

bc

l

b c

=

−

2 sin

2

b

B

ac

l

a c

=

−

2 sin

2

c

C

ab

l

a b

=

−

ĐK: a > b > c

Các hệ thức cơ bản giữa các góc của tam giác:

2 2

sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sin

sin 2 sin 2 sin 2 4cos cos sin

sin sin

A

+ + = +

1

tgA tgB tgC tgAtgBtgC

+ + =

Các bất đẳng thức cơ bản trong một tam giác:

3 3

2 3

2 1 cos cos cos

8

≤

3 3

9

4 3

3

Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp:

a sin sin sin sin sin sin

4 sin sin sin

r

=

Công thức tính bán kính đường tròn bàng tiếp:

cos cos

2 cos cos

2 cos cos

2

a

b

c

a

A

A c

b

B

B c

c

C

C c

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN

Phương tích của một điểm đối với đường tròn

P I/(O) = 2 2

.

Tứ giác nội tiếp:

Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại I

ABCD nội tiếp  IA IB IC ID =

Điều kiện tiếp xúc:

Cho tam giác ABC có I là điểm ngoài đoạn AB IC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C

.

IA IB IC=

Trục đẳng phương - Tâm đẳng phương:

Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm tại N mà:

2 2

1 2

1

d

O N

d

−

2

d

O N

d

−

= +

Với d = O1O2, r1, r2 là các bán kính

Tâm đẳng phương của ba đường tròn là giao điểm của ba trục đẳng phương của từng cập các đường tròn đó:

TÍNH ĐỘ DÀI VÀ DIỆN TÍCH

I/ PHƯƠNG PHÁP:

Tìm mối liên hệ giữa cái đã biết với độ dài cần phải tinh1qua các định nghĩa, tính chất ,định lí, …, công thức đã cho

Lưu ý đến tính chất của tam giác cân ,đều,vuông có góc 300 , tính chất của đường trung tuyến, phân giác ,đường cao, trung trực trong tam giác, 2tam giác bằng nhau

T/C các hình tứ giác đã học

Vận dụng các đlí : đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang

AD đlí Pitago, đlí Talet

CM được các tam giác đồng dạng để suy ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

và biết cách biến đổi các đoạn thẳng tỉ lệ độ dài đoạn thẳng cần tình T/c đường cao, phân giác, trung tuyến của 2 tam giác đồng dạng

AD hệ thúc lượng trong tam giác vuông tma giác thường Đn các tỉ số lượng giác của góc nhọn để suy ra hệ thức giữa các cạnh và cac góc của tam giác vuông

Các công thúc tính độ dài đường tròn ,độ dài cung tròn

II/ CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI VÀ DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH

Hình hộp chữ nhật:

Sxq= 2(a+b).c

Stp= 2(ab + ac +bc)

V = abc

Hình lập phương:

Sxq = 4a2

Stp = 6a2

V = a3

Hình chóp đều:

Sxq= Sd.d

V = 1

3S h d

Stp = Sxq + Sd

(Sd là diện tich đáy, d là trung đoạn)

Hình chóp cụt:

1

2

' 1

3

xq

tp xq

= +

= + +

= + +

Với p,p’:chu vi 2 đáy, B,B’:diện tích 2 đáy, d: đường cao mặt bên, h đường cao hinh chóp cụt

Diện tích hình tròn:

Diện tích hình tròn

Diện tích hình quạt tròn:

Diện tích hình trụ:

Với r:bán kính, h: chiều cao

Diện tích hình nón:

Với l: đường sinh ,r: bán kính

Diện tích hình nón cụt

Với r1,r2: là bk 2 đáy, l: đường sinh ,h: chiều cao

Diện tích hình cầu:

2 0

360 2

2

2

tp

xq

π

=

2

2

3

tp

xq

r h V

π π

=

=

3

xq

h

π π

2

3

4

4 3

π

=

Tam Giác

S = 1

2ah a =1

2bh b =1

2ch c

S = 1

2b c sinA = 1

2a c sinB =1

2a b sinC Cho 2 tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng là k khi đó

1

2

S

4

2

abc

S

R

a b c

p

=

=

+ +

=

r là bán kính đường tròn nội tiếp

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp

( 2 2 2 2 2 2) ( 4 4 4)

1

2

2

S = p a r− =( p b r− ) b=( p c r− ) c

S = 2R2 sinA sinB sinC

Cho 2 tam giác có chung cạnh đáy khi đó

,

S

h

h (với h,h’ là đường cao tương ứng của 2 tam giác)

Diện tích các tứ giác

H vuông: S=a2

Hcn: S=a*b

H thang: S=(a+b)*h/2

Hbh: S= a*h

H thoi: S=d1*d2/2 với d1,d2 là các đường chéo

b

H

C B

A

I hb

ha

hc

a

h

C B

A

N P

Q

R M

E

B A

CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1:

a) Tìm công thức tính diện tích tam giác cân biết độ dài các cạnh

b) Tìm công thức tính diện tích tam giác đều biết độ dài một cạnh

Gợi ý:

a) Tính AH (Định lí Pitago) => SABC

b) Tương tự câu trên

Bài 2:

Cho tam giác đều ABC, I là một điểm nằm trong tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ I đến các cạnh của tam giác bằng đường cao của tam giác

Gợi ý:

Gọi ha, hb, hc lần lượt là độ dài đường cao tại đỉnh I

của các tam giác IBC, IAC, IAB

tính SABC, SIBC, SIAB, SIAC

 h = ha + hb + hc

Bài 3:

Chứng minh tổng các cạnh của ngũ giác lồi nhỏ hơn tổng các đường chéo của nó Gợi ý:

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác đối với

các tam giác ABR , BCQ , CDP , DNE

=> Cộng vế với vế của các bất đẳng thức

N

B A

H E

B A

=> Biến đổi về bất đẳng thức cần chứng minh

Bài 4:

Cho hình vuơng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, AM cắt DC tại N Chứng minh:

Gợi ý:

NDA

∆

 Tỉ số đồng dạng

 Thay DA = AB

 Điều cần chứng minh

hay

AM => Thay BM2 + AB2 = AM2 (Định lí Pitago)

 Điều cần chứng minh

Bài 5:

Cho hình thang ABCD (AB // CD), cĩ AB = 6cm, đường cao bằng 9cm Đường thẳng đi qua B song song với AB cắt CD tại E, chia hình thang ABCD thành hình bình hành ABED và tam giác BEC cĩ diện tích bằng nhau Tính diện tích hình thang

Gợi ý:

Tính SABED, SBCE

Do SABED = SBCE => CE = 2DE

=> SABCD

1, Cho tam giác ABC.Trên tia đối của BA lấy điểm M sao cho

7

4

=

BM

AB

Vẽ MN//BC (N ∈

AC).

a, Biết MN = 2,7cm Tính BC ;

b, Biết BC = 1,7cm Tính MN ;

Hướng dẫn

Từ

7

4

=

BM

7

4

=

AM AB

Do BC // MN nên áp dụng định lý Ta-let cho 2 tam giác: ∆ ABC và ∆ AMN ⇒tỉ lệ các

cạnh

MN

BC AM

AB = ⇒BC hoặc MN

2, Cho tam giác cân ABC có B=120 0 , AC=6cm Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Hướng dẫn :

Từ B=120 0 ⇒ A =C =?.

H là trung điểm AC ⇒AH=

2

AC

=?

Dựa vào công thức lượng giác trong tam giác vuông AHB

Cos A  = AB AH ⇒AB=?

Ta có B OˆA= 2 B CˆA= 2Cˆ = ? ⇒ ∆AOB đều ⇒ OB=AB=?

⇒Độ dài đường tròn : C =2πOA =?

3, Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh AB=6cm và AC=8cm Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tai M và N Tính các đoạn thẳng AM và AN.

Hướng dẫn:

Tính BC=? (Định lý Pitago)

Sử dụng tính chất đường phân giác BM ⇒

CB

CM AB

?

=

⇒ +

= +

⇒

=

CB AB

AB CM

AM

AM CB

AB

CM

AM

Xét ∆BMN : BM và BN là đường phân giác trong và ngoài tại B ⇒BM ⊥BN ⇒ ∆BMN

vuông tại B

AM

BA AN AN

AM

BA