BÀI TOÁN 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó.– Điểm chung thứ nhất thường dễ thấy.– Điểm chung thứ hai là giao điểm của 2 đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất.Cách 2: Nếu trong 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng song song thì chỉ cần tìm 1 điểm chung, khi đó giao tuyến sẽ đi qua điểm chung và song song với 2 đường thẳng nàyVí dụ 1. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).Giải Dễ dàng thấy rằng, điểm S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).Như vậy, để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta chỉ cần tìm thêm một điểm chung nữa. Trong mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD, lấy điểm O sao cho: O = AC ∩ BD. Khi đó,•O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)•O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD).Do vậy O là 1 điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Vậy, SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và(SBD). Ví dụ 2. Cho điểm S không thuộc mặt phẳng chứa hình thang ABCD (AB CD và AB > CD). Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).Giải Dễ dàng thấy rằng, điểm S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).Như vậy, để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta chỉ cần tìm thêm một điểm chung nữa. Ta thấy, AB > CD. Kẻ đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại I. Khi đó,•I ∈ AD mà AD ⊂ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD)•I ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC) Do đó, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).Vậy, SI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).Ví dụ 3. Cho bốn điểm A, B, C, D không thuộc cùng một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC. Tìm giao tuyến của (BCD) và (MNP).Giải Vì P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P là một điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD). Bây giờ, chúng ta cần tìm thêm một điểm chung nữa. Vì MN không song song với BC nên kẻ đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại I.Khi đó,•I ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP)•I ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC)Do vậy, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).Vậy, PI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).Ví dụ 4. Cho Δ ABC nằm trong mặt phẳng (P) và đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) không song song với AB, AC. S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) và A’ là một điểm thuộc SA. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (A’; a) và (ABC).Giải
Trang 15 cách giải toán hình học không gian nhanh nhất
BÀI TOÁN 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:
Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó
– Điểm chung thứ nhất thường dễ thấy
– Điểm chung thứ hai là giao điểm của 2 đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất
Cách 2: Nếu trong 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng song song thì chỉ cần tìm 1 điểm chung, khi đó giao tuyến sẽ đi qua điểm chung và song song với 2 đường thẳng này
Ví dụ 1 Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình bình hành ABCD
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
Giải
Dễ dàng thấy rằng, điểm S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) Như vậy, để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta chỉ cần tìm thêm một điểm
chung nữa
Trong mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD, lấy điểm O sao cho: O = AC ∩ BD Khi đó,
•O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)
•O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD)
Trang 2Do vậy O là 1 điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Vậy, SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và(SBD)
Ví dụ 2 Cho điểm S không thuộc mặt phẳng chứa hình thang ABCD (AB // CD và AB >
CD) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
Giải
Dễ dàng thấy rằng, điểm S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
Như vậy, để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta chỉ cần tìm thêm một điểm
chung nữa
Ta thấy, AB > CD Kẻ đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại I
Khi đó,
•I ∈ AD mà AD ⊂ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD)
•I ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC)
Trang 3Do đó, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Vậy, SI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
Ví dụ 3 Cho bốn điểm A, B, C, D không thuộc cùng một mặt phẳng Trên các đoạn thẳng
AB, AC, BD lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến của (BCD) và (MNP)
Giải
Vì P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P là một điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và
(SBD)
Bây giờ, chúng ta cần tìm thêm một điểm chung nữa Vì MN không song song với BC
nên kẻ đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại I
Khi đó,
•I ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP)
•I ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC)
Trang 4Do vậy, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).
Vậy, PI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP)
Ví dụ 4 Cho Δ ABC nằm trong mặt phẳng (P) và đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P)
không song song với AB, AC S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) và A’ là một điểm thuộc SA Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (A’; a) và (ABC) Giải
Kẻ đường thẳng AB cắt đường thẳng a tại M Nối A’M Khi đó,
•A’M ⊂ (A’; a) và M ∈ (A’; a)
•M ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ M ∈ (ABC)
Vậy M là một điểm chung của hai mặt phẳng (A’;a) và (ABC)
Kẻ đường thẳng AC cắt đường thẳng a tại N Nối A’N Khi đó,
•A’N ⊂ (A’; a) và N’ ∈ (A’; a)
•N ∈ AC mà AC ⊂ (ABC) ⇒ N ∈ (ABC)
Trang 5Vậy N là một điểm chung của hạ mặt phẳng (Á’; a) và (ABC).
Do đó, MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (A’; a) và (ABC)
Ví dụ 5 Cho tứ diện A.BCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên
trong tam giác ACD Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) (AMN) và (BCD)
b) (DMN) và (ABC)
Giải
a) Kẻ AM cắt BD tại E
Khi đó,
•E ∈ AM mà AM ⊂ (AMN) ⇒ E ∈ (AMN)
•E ∈ BD mà BD ⊂ (BCD) ⇒ E ∈ (BCD)
Do đó, E là một điểm chung của hai mặt phẳng (AMN) và (BCD)
Kẻ AN cắt CD tại F
Khi đó,
•F ∈ AN mà AN ⊂ (AMN) ⇒ F ∈ (AMN)
•F ∈ CD mà CD ⊂ (BCD) ⇒ F ∈ (BCD)
Do đó, F là một điểm chung của hai mặt phẳng (AMN) và (BCD)
Vậy, EF là giao tuyến của hi mặt phẳng (AMN) và (BCD)
b) Kẻ DM cắt AB tại P
Khi đó,
•P ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ F ∈ (ABC)
•P ∈ DM mà DN ⊂ (DMN) ⇒ P ∈ (DMN)
Do đó, P là một điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DMN)
Kẻ DN cắt AC tại Q
Khi đó,
•Q ∈ AC mà AC ⊂ (ABC) ⇒ Q ∈ (ABC)
Trang 6•Q ∈ DN mà DN ⊂ (DMN) ⇒ Q ∈ (DMN)
Do đó, Q là một điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DMN)
Vậy, PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (DMN)
BÀI TOÁN 2: Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)
Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:
– Ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P)
– Khi không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:
1 Tìm một mp (Q) chứa a
2 Tìm giao tuyến b của (P) và (Q)
3 Gọi: A = a ∩ b thì: A = a ∩ (P)
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là một điểm trên cạnh SC
a Tìm giao điểm của AM và mp(SBD)
b Lấy một điểm N trên cạnh BC Tìm giao điểm của SD và mp(AMN)
Hướng dẫn
a Ta chọn mp(SAC) chứa AM, tìm giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD)
Gọi O = ACÇBD
Ta có: SO=mp(SAC)Çmp(SBD)
Giao tuyến SO cắt AM tại I
Do đó: IÎ(SBD)
ÞI = AMÇmp(SBD)
b Ta chọn mp(SBD) chứa SD, tìm giao tuyến của mp(SBD) và mp(AMN)
Gọi H = ANÇBD
Ta có: HI là giao tuyến của hai mp(AMN) và mp(SBD)
Trong mp(SBD) giao tuyến HI cắt SD tại K
Vậy K = SDÇmp(AMN)
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của cạnh SC
a Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mp(SBD) Chứng minh rằng IA = 2IM
b Tìm giao điểm P của đường thẳng SD với mp(ABM)
c Gọi N là một điểm tùy ý trên cạnh AB Tìm giao điểm của đường thẳng MN với
mp(SBD)
Hướng dẫn
a Ta có: I =AMÇSO nên I = AMÇmp(SBD)
AM và SO là hai đường trung tuyến của tam giác SAC
Trang 7Nên I là trọng tâm tam giác SAC
Þ AI = 2IM
b Mp(SBD) chứa SD cắt mp(ABM) theo giáo tuyến BI vì B và I đều là các điểm chung của hai mp đó
Trong mp(SBD) đường thẳng SD cắt BI tại P
Do đó: P = SDÇmp(ABM)
c Mp(SCN) chứa MN cắt mp(SBD) theo giao tuyến SH, trong đó H = NCÇBD
Trong mp(SCN) đường thẳng MN cắt SH tại K
Do đó: K =MNÇmp(SBD)
Bài 3 Cho tứ diện ABCD M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD O là một điểm bên trong
DBCD Tìm giao điểm của:
a MN và (ABO) b AO và (BMN)
Hướng dẫn:
a Tìm giao tuyến của (ABO) và (ACD)
b Tìm giao tuyến của (BMN) và (ABO)
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB Gọi I, J, K là ba điểm
lần lượt trên SA, AB, BC
a Tìm giao điểm của IK với (SBD)
b Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC
Hướng dẫn:
a Tìm giao tuyến của (SBD) với (IJK)
b Tìm giao tuyến của (IJK) với (SBD và (SCD)
BÀI TOÁN 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:
Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc 2 mặt phẳng phân biệt
Bài 1 Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC,BC và G là trọng tâm của tam giác ABC Mặt phẳng (a) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N Một mặt phẳng (β) qua BC cắt SD, SA lần lượt là tại P và Q
a Gọi I = AM ∩DN và J = BP ∩ EQ.Chứng minh bốn điểm S, I, J , G thẳng hàng
b Giả sử AN ∩ DM = K ; BQ ∩ EP = L.Chứng minh S, K, L thẳng hàng
Hướng dẫn
a Ta có S, I, J, G là điểm chung của hai mặt phẳng (SAE) và (SBI) nên chúng thẳng hàng
b Vì S, K, L là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE) nên chúng thẳng hàng
Trang 8Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh SB
a Tìm giao điểm E, F của IK và DK với mp(SAC)
b Gọi O = ADÇBC, M = SCÇOK Chứng minh bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng
Hướng dẫn
a Gọi H = ACÇBI; G = ACÇBD
Trong mp(SBI): IK cắt SH tại E
Trong mp(SBD): DK cắt SG tại F
Ta cso: E = IKÇmp(SAC); F = DKÇmp(SAC)
b Các điểm A, E, F, M Î mp(AKO)
Các điểm A, E, F, M Î mp(SAC)
Vậy A, E, F, M là bốn điểm chung của hai mp(AKO) và (SAC) nên chúng cùng nằm trên đường giao tuyến của hai mp đó
Vì vậy chúng thẳng hàng
BÀI TOÁN 4: Chứng minh 3 đường thẳng a, b, c đồng quy.
Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:
– Cách 1: Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mp mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba
Tìm A = a ∩ b
Tìm 2 mp (P), (Q), chứa A mà (P) ∩ (Q) = c
– Cách 2: Ta chứng minh: a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một
Bài 1 Cho hình vuông ABCD, ABEF không cùng thuộc một mp Trên AC lấy điểm M,
trên BF lấy điểm N sao cho Chứng minh DM, AB, EN đồng quy Hướng dẫn
Trong (ABEF) gọi I1 là giao điểm EN và AB
Trong (ABCD) gọi I2 là giao điểm DM và AB
Trang 9Từ (3), (4) Þ I2 = I1 = I
Vậy DM, AB, EN đồng quy tại I
BÀI TOÁN 5: Tìm tập hợp giao điểm M của 2 đường thẳng di động a, b.
Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:
– Tìm mp (P) cố định chứa a
– Tìm mp (Q) cố định chứa b
– Tìm c = (P) ∩ (Q) Ta có M thuộc c
– Giới hạn
BÀI TOÁN 6: Dựng thiết diện của mp(P) và một khối đa diện T.
Cách giải toán hình học không gian nhanh nhất:
Muốn tìm thiết diện của mp(P) và khối đa diện T, ta đi tìm đoạn giao tuyến của mp(P) với các mặt của T Để tìm giao tuyến của (P) với các mặt của T, ta thực hiện theo các bước:
1 Từ các điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của T
2 Kéo dài giao tuyến đã có, tìm giao điểm với các cạnh của mặt này từ đó làm tương tự
ta tìm được các giao tuyến còn lại, cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta sẽ có thiết diện cần dựng
Trang 10Bài 1 Cho tứ diện ABCD Trên các đoạn CA, CB, BD cho lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB, NP không song song với CD Gọi (a) là mp xác định bởi ba điểm M, N, P nói trên Tìm thiết diện tạo bởi (a) và tứ diện ABCD
Hướng dẫn
Trong mp(ABC), đường thẳng MN cắt AB tại I
Trong mp(ABD), đường thẳng IP cắt AD tại Q
Ta có: MN =(a)Ç(ABC)
NP =(a)Ç(BCD)
PQ =(a)Ç(ABD)
QM =(a)Ç(ACD)
Ta được thiết diện cắt tứ diện ABCD bởi mp(a) là tứ giác
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N, E là ba điểm lần lượt lấy trên AD, CD, SO Tìm thiết diện của hình chóp với mp (MNE)
Hướng dẫn
Gọi I = MNÇBD
Trong mp(SBD): IE cắt SB tại Q
MN cắt BC tại H và MN cắt AB tại K
Ta có: HQ = (SBC)Ç(EMN)
Các đoạn MN, NP, PQ, QR, RM là các đoạn giao tuyến của mp(MNE) với đáy và các mặt bên của hình chóp
Thiết diện là ngũ giác MNPQR
Bài 3 Cho hình chóp S.ABC M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của
AB và AD Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
HD: Thiết diện là 1 ngũ giác
Bài 4.Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD
a Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC)
b DM cắt AC tại K Chứng minh S, K, J thẳng hàng
c Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN)
HD:
a Gọi O=ACÇBD thì I=SOÇBN, J=AIÇMN
b J là điểm chung của (SAC) và (SDM)
c Nối CI cắt SA tại P Thiết diện là tứ giác BCNP