HỆ THỐNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG PHẲNG & KHÔNG GIAN

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoan thẳng có một điểm đầu, điểm còn lại là điểm cuối.. Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối c

VECTƠ TRONG PHẲNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoan thẳng có một điểm đầu, điểm còn lại là điểm cuối

2 Giá của vectơ là đường thẳng mang vectơ đó

3- Kí hiệu:

Nếu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B, kí hiệu AB

Ta còn kí hiệu một vectơ nào đó bằng một chữ in thường, với mũi tên ở trên, ví dụ vectơ a b x y   , , , ,

4 Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó, chẳng hạn:

- Độ dài của vectơ a

6 Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Hai vectơ ngược hướng ab

7 Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài

Vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ Vectơ 0 cùng hướng với mọi vectơ

9 Cho hai vectơ a b ,

Từ điểm A tùy ý, vẽ AB a  , rồi vẽ BC b 

Khi đó AC gọi là tổng của hai vectơ a b ,

10 Nếu tổng của hai vectơ , a b 

là vectơ – không a b   0 thì ta bảo a

là vectơ đối của vectơ b

hoặc b là vectơ đối của vectơ a

Vectơ đối của vectơ a là vectơ a

Vectơ đối của vectơ AB

là vectơ BA

Vectơ đối của vectơ a Ngược hướng với a

Cùng độ dài với a

Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0

11 Hiệu của hai vectơ là tổng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai a b     a  b

12 Tích của vectơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu k a

, được xác định như sau:

Khi đó:  a,b =  AOB

Góc giữa hai vectơ a và b

không phụ thuộc vào

15* Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Vectơ b

cùng phương với vectơ a a  0   k R b:ka

17* Các quy tắc của vectơ

Quy tắc cộng: AA  1A A1 2A A2 3   A A n1 n  AA n

Quy tắc chèn điểm:    AA n AA1A A1 2A A2 3  A A n1 n

Quy tắc hiệu: AB AC CB   

Quy tắc hình bình hành: canh canh   duongcheo (Cùng xuất phát từ một đỉnh)

Quy tắc trung điểm:

18* Quy tắc hình hộp: canh canh canh     duongcheo (xuất phát từ 1 đỉnh)

19 Trong không gian, ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song

song hoặc chứa trong một mặt phẳng

20* Cho 3 vectơ a

, b

và c trong không gian

 Từ một điểm O bất kỳ ta vẽ OA     a OB, b OC, c Khi đó ba vectơ a,

b

và c

đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm O, A, B, C cùng nằm trên

một mặt phẳng

 Nếu một trong ba vectơ a, b

và c

là vectơ 0

thì ba vectơ đó đồng

phẳng

 Nếu hai trong ba vectơ a, b

và c

cùng phương thì ba vectơ đó đồng

phẳng

21* Cho hai vectơ không cùng phương a

, b

và một vectơ c

trong không gian

Khi đó, ba vectơ a, b

và c

đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại duy nhất cặp số

m, n sao cho cma nb 

22* Cho a

, b

và c

là ba vectơ không đồng phẳng Với bất kỳ một vectơ x

nào

trong không gian ta đều tìm đƣợc một bộ duy nhất ba số m, n, p sao cho:

xmanbpc

TỌA ĐỘ TRONG PHẲNG TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A B I

A B I

A B I

A B I

A B C G

A B C G

A B C G

A B C G

A B C G

x x x x

y y y y

z z z z

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

TRONG MẶT PHẲNG

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

TRONG KHÔNG GIAN

1 Vectơ pháp tuyến của một đường thẳng là vectơ khác 0 có

giá vuông góc với đường thẳng ấy Kí hiệu là nd 1 Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng là vectơ khác 0



có giá vuông góc với mặt

phẳng ấy Kí hiệu là n  



Vectơ chỉ phương của một đường thẳng là vectơ khác 0 có giá

song song hoặc trùng với đường thẳng ấy Kí hiệu là ud Vectơ chỉ phương của một mặt phẳng là vectơ khác 0



có giá song song hoặc nằm

trong mặt phẳng ấy Kí hiệu là u  

n A B C P

A B

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG PHẲNG

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

 Hai đường thẳng d d cắt nhau tạo thành bốn góc Số đo 1, 2

nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo góc giữa hai

đường thẳng d d hay đơn giản là góc giữa 1, 2 d d 1, 2

 Khi d1/ /d2 hoặc d1d2, ta quy ước góc giữa chúng bằng

hay đơn giản là d d1; 2 Góc này không vượt quá 900

 Hai mặt phẳng    P1 , P cắt nhau tạo thành bốn góc Số đo nhỏ nhất của các 2góc đó được gọi là số đo góc giữa hai mặt phẳng    P 1, P2 hay đơn giản là góc giữa   P1 , P 2

 Khi    P1 / / P hoặc 2    P1  P2 , ta quy ước góc giữa chúng bằng 0

0

 Góc giữa hai mặt phẳng    P 1, P được ký hiệu là 2     

1, 2

là     P1 , P2  Góc này không vượt quá 0

90

Khoảng cách giữa hai đường

thẳng song song bằng khoảng

cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia

2*

 P A x1 1 B y C z1  1 D10

 P A x2 2 B y C z2  2 D2 0

   P1 / / P 2

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song

song bằng khoảng cách từ một điểm tùy

ý trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

PHƯƠNG TRÌNH HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC

Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d ,d 1 2 là

tập hợp tất cả điểm M thỏa:

 , 1  , 2

 d AxBy C 0 và M x M;y M ,N x N;y Nd

 M,N nằm cùng phía đối với d  f M   .f N 0

 M,N nằm khác phía đối với d  f M   .f N 0

Với f x y , AxBy C

Nếu  d A x1 1 B y C1  10 và  d2 A x2 B y C2  2 0 cắt nhau tại

M thì mọi đường thẳng khác đi qua M đều có dang:

 1 1 1  2 2 2 0

m A xB y C n A xB y C  với 2 2

0

m n 

Hai mặt phẳng  P A x1 1 B y C z1  1 D10 và  P A x2 2 B y C z2  2 D2 0 cắt nhau

0 :

0

d



đều có dạng:

 1 1 1 1  2 2 2 2 0

m A xB y C z D n A xB y C z D  với 2 2

0

1 Phương trình mặt cầu tâm I x ;y ;z 0 0 0 bán kính R là tập hợp các điểm

M(x;y;z) thỏa phương trình:

(P) không cắt (S)  d(I,(P)) > R

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt  d(I,(d)) < R

(P) cắt (S) tại hai điểm phân biệt  d(I,(P)) < R

 Muốn viết phương trình tiếp tuyến d của (C), ta chú ý tới 2 điều:

- Điểm trên đường tròn mà d đi qua

- Định lý: d là tiếp tuyến của (C)

 (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có dạng:

  2 2 2 ax 0Ax+By+Cz+D=0

ELLIP TRONG MẶT PHẮNG ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Cho hai điểm cố định F F1, 2 với F F1 2 2c c 0

Đường elip là tập hợp các điểm M sao cho MF1MF2 2a

Trong đó a là số cho trước lớn hơn c

Hai điểm F F1, 2 gọi là các tiêu điểm của elip

Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của elip

1*

 0 0 0

1 2 3

; ;:

M x y z d

2* Phương trình chính tắc của elip

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tiêu cự F1c;0 ,  F c2 ;0

Khi đó phương trình elip là:  E :x22 y22 1a b 0

M M

HÌNH DẠNG CUẢ ELIP VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

1* Tính đối xứng của elip

Elip có phương trình  E :x22 y22 1a b 0

làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng

2* Vị trí tương đối của hai đường thẳng

1

( )d đi qua M1x y z và có 1; 1; 1 u u u u( ;1 2; 3)2

A , cắt trục Oy tại hai điểmB và 1 B2

- Bốn điểm đó gọi là các đỉnh của elip

- Trục Ox được gọi là trục lớn, trục Oy gọi là trục bé

Người ta cũng gọi đoạn A A là trục lớn, đoạn 1 2 B B là 1 2

trục bé

- Độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b

- Vẽ qua A A1, 2 hai đường thẳng song song với trục tung,

vẽ qua B B1, 2 hai đường thẳng song song với trục hoành

Bốn đường thẳng đó tạo thành hình chữ nhật cơ sở

3 Tâm sai của elip

Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và

được kí hiệu là e, tức là e c0 e 1

a

  

Cách 2: Xét hệ phương trình tạo thành gồm các phương trình của ( )d1 và (d2)

 Nếu hệ có một nghiệm duy nhất thì ( )d1 cắt (d2)

 Nếu hệ vô số nghiệm thì  d1 (d2)

 Nếu hệ vô nghiệm thì  

 

1 2

1 2

/ /( ), ( )

- Nếu hệ có nghiệm thì hai đường cắt nhau

- Nếu hệ vô nghiệm thì hai đường chéo nhau

3* Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Đường thẳng d đi qua điểm M0x y z0; 0; 0 và có VTCP u u u u 1; 2; 3

- Mặt phẳng (P) có VTPT n A B C ; ; 

Cách 1:

* u n  0  d cắt (P)

 d vuông góc (P) u/ /n

 

/ /

u n



  





 

- Nếu M0 d M0 P thì d  P

- Nếu M0 d M0 P thì d/ / P

Cách 2:

- Viết d dưới dạng tham số

0 1

0 2

0 3

;

 





  



- Giải hệ

0 1

0 2

0 3

0

 



  



  





- Nếu hệ có một nghiệm thì d cắt (P)

- Nếu hệ vô nghiệm thì d // (P)

- Nếu hệ có vô số nghiệm thì d  P

KHOẢNG CÁCH 1* Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Đường thẳng d đi qua điểm M0x y z0; 0; 0 và có VTCP

 1; 2; 3

u u u u

- Một điểm M bất kỳ

- Tính d M d( , )?

;

M M u

d M d

u



 



Cách 2:

- Viết phương trình mặt phẳng   qua M và vuông góc với d

- Tìm giao điểm H của d với  

- Khi đó: (d M d, )MH

Cách 3:

- Viết d dưới dạng tham số

0 1

0 2

0 3

;

 





  



- Gọi H là điểm bất kỳ thuộc d H x 0u t y1; 0u t z2 ; 0u t3 

- Để H là hình chiếu vuông góc của M lên d MHu

- Khi đó d M d( , )MH

2* Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

- Đường thẳng d đi qua điểm A và có VTCP u

- Đường thẳng d’ đi qua điểm B và có VTCP v

- Tính d d d( , ')?

Cách 1:

( , ')

;

u v AB

d d d

u v

 

 



 

 

  

 

Cách 2: Tính độ dài đoạn vuông góc chung

Cách 3:

- Viết phương trình mặt phẳng   chứa d’ và   // d

- Khi đó d d d( , ')d d ,  d A ,  

GÓC 1* Góc giữa hai đường thẳng

- Đường thẳng d có VTCP u

- Đường thẳng d’ có VTCP v

- Khi đó os , ' .

u v

c d d

u v



 

 



 

0 cos d d, ' 90

d d   u v u v 

2* Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Đường thẳng d có VTCP u

- Mặt phẳng (P) có VTPT n

- Khi đó sin ,   .

u n

d P

u n



 

 



 

0 sin d P, 90

 

 

/ /



 





